常見統(tǒng)計分布及其特點

1、【附錄一】常見分布匯總一、二項分布二項分布（ Binomial Distribution），即重復(fù)n 次的伯努利試驗（Bernoulli Experiment），用表示隨機試驗的結(jié)果,如果事件發(fā)生的概率是P, 則不發(fā)生的概率q=1-p ，N 次獨立重復(fù)試驗中發(fā)生 K 次的概率是。二、泊松poisson分布1、概念當(dāng)二項分布的n 很大而 p 很小時，泊松分布可作為二項分布的近似，其中為np 。通常當(dāng)n 10,p0.1 時，就可以用泊松公式近似得計算。2、特點期望和方差均為。3、應(yīng)用（固定速率出現(xiàn)的事物。）在實際事例中，當(dāng)一個隨機事件，例如某電話交換臺收到的呼叫、來到某公共汽車站的乘客， 以固定的

2、平均瞬時速率 （或稱密度） 隨機且獨立地出現(xiàn)時，那么這個事件在單位時間（面積或體積）內(nèi)出現(xiàn)的次數(shù)或個數(shù)就近似地服從泊松分布三、均勻分布uniform設(shè)連續(xù)型隨機變量X 的分布函數(shù)F(x)=(x-a)/(b-a)， a x b則稱隨機變量X 服從 a,b上的均勻分布，記為XUa,b 。四、指數(shù)分布Exponential Distribution1、概念2、特點無記憶性（ 1）這種分布表現(xiàn)為均值越小，分布偏斜的越厲害。（ 2）無記憶性當(dāng) s,t 0 時有它總共使用至少P(T>s+t|T>t)=P(T>s)即，如果T 是某一元件的壽命，已知元件使用了ts+t 小時的條件概率，與從開

3、始使用時算起它使用至少s 小時的概率相等。小時，3、應(yīng)用在電子元器件的可靠性研究中，通常用于描述對發(fā)生的缺陷數(shù)或系統(tǒng)故障數(shù)的測量結(jié)果五、正態(tài)分布Normal distribution1、概念2、中心極限定理與正態(tài)分布（說明了正態(tài)分布的廣泛存在，是統(tǒng)計分析的基礎(chǔ)）中心極限定理：設(shè)從均值為、 方差為 2; （有限） 的任意一個總體中抽取樣本量為當(dāng) n 充分大時，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為、方差為2/n的正態(tài)分布。3、特點在總體的隨機抽樣中廣泛存在。4、應(yīng)用正態(tài)分布是假設(shè)檢驗以及極大似然估計法ML 的理論基礎(chǔ)定理一：設(shè)X1， X2， X3. 。 Xn 是來自正態(tài)總體N（， 2）的樣本，則有n

4、的樣本，樣本均值XN（， 2/n ）總體方差常常未知，用t 分布較多六、 2 卡方分布（與方差有關(guān)）chi-square distribution1、概念若 n 個相互獨立的隨機變量?、 ?、 n ，均服從標準正態(tài)分布（也稱獨立同個服從標準正態(tài)分布的隨機變量的平方和構(gòu)成分布于標準正態(tài)分布），則這n 一新的隨機變量，其分布規(guī)律稱為卡方分布（ chi-square distribution），其中參數(shù)n 稱為自由度【注意】假設(shè)隨機干擾項呈正態(tài)分布。因此，卡方分布可以和RSS殘差平方和聯(lián)系起來。用，所得的變量就是標準正態(tài)分布，就服從卡方分布。2 RSS/2、卡方分布的特點E()= n。，記為（這個容

5、易證明）（ 1 ）分布的均值為自由度nD(2n)，記為（ 2 分布的方差為） 2 倍的自由度 ) = 2n。）如果互相獨立，則：3（獨立可加減）（分布，自由度；服從服從分布，自由度為3、圖形特點4、應(yīng)用定理二，設(shè) X1， X2， X3. 。 Xn 是來自正態(tài)總體 N（， 2）的樣本，則有樣本均值 XN（， 2/n ）2S1)( n 2（ n-1）2（ 1）正態(tài)分布以及卡方分布是F 檢驗的基礎(chǔ)。 大量的檢驗用到了F 檢驗： F 檢驗、三大檢驗。七、 t 學(xué)生分布（用樣本方差s 來標準化） Student'st-distribution1、概念（適用于2 未知）【理解】 把樣本標準正態(tài)化的

6、U變換前提是方差已知， 但總體方差是未知的， 所以用樣本方差來代替總體方差。根據(jù)中心極限定理，抽樣服從方差為總體方差除以n 的正態(tài)分布。由于在實際工作中， 往往是未知的， 常用 s 作為的估計值， 為了與 u 變換區(qū)別， 稱為 t變換，統(tǒng)計量 t 值的分布稱為 t 分布（ u 變換指把變量轉(zhuǎn)換為標準正態(tài)分布）【思考】 為什么樣本方差比總體方差要?。恳驗橐粋€是總體方差，一個是樣本均值的方差。不同2、特點1）與標準正態(tài)分布曲線相比，自由度v 越小， t 分布曲線愈平坦，曲線中間愈低，曲線雙側(cè)尾部翹得愈高；自由度v 愈大， t 分布曲線愈接近正態(tài)分布曲線，當(dāng)自由度v=時， t 分布曲線為標準正態(tài)分布

7、曲線。定理三：設(shè) X1， X2， X3. 。 Xn 是來自正態(tài)總體 N（，2）的樣本，則有為樣本方差S，） 2/n ，（ XN樣本均值X t（n-1） S/n【注意】 S 是樣本方差。中心極限定理說的是樣本均值的方差。八、 F 分布 F-distribution1、概念F 分布定義為：設(shè)X、 Y 為兩個獨立的隨機變量，X 服從自由度為k1 的卡方分布，Y 服從自由度為 k2 的卡方分布，這2 個獨立的卡方分布被各自的自由度除以后的比率這一統(tǒng)計量的分布2、特點（ 1）它是一種非對稱分布；（ 2）它有兩個自由度，即n1 -1和 n2-1 ，相應(yīng)的分布記為F（n1 1，n2-1），n1 1 通常稱為

8、分子自由度，n2-1通常稱為分母自由度；和為參數(shù)的分布族，不同的自由3（） F 分布是一個以自由度度決定了F 分布的形狀。F分布的倒數(shù)性質(zhì)：）（ 4分布有關(guān)。 F）殘差平方和之比通常與 5（九、邏輯分布logistic（分類評定模型）最早應(yīng)用最廣的離散選擇模型1、概念te1f(t)F(t)t2) e(1t1 eF(t) t e1 F(t)2、特點用作增長曲線并為二進制響應(yīng)建模。在生物統(tǒng)計和經(jīng)濟領(lǐng)域使用。Logistic分布由尺度和位置參數(shù)描述。Logistic分布沒有形狀參數(shù)，也就是說其概率密度函數(shù)只有一個形狀。下列圖形顯示了不同參數(shù)值對Logistic分布的效應(yīng)。尺度參數(shù)的效應(yīng)位置參數(shù)的效應(yīng)Logistic分布的形狀與正態(tài)分布的形狀相似，但Logistic分布的尾部更長。十、伽馬分布1、概念伽瑪分布（Gamma Distribution）是統(tǒng)計學(xué)的一種連續(xù)概率函數(shù)。Gamma分布中的參數(shù)稱為形狀參數(shù)（ shape parameter ），稱為尺度參數(shù)（ scale parameter 假設(shè)隨機變量 X 為 等到第件事發(fā)生所需之等候時間 , 密度函數(shù)為）。特征函數(shù)為伽馬分布的可加性當(dāng)兩隨機變量服從Gamma分布，且單位時間內(nèi)頻率相同時，Gamma數(shù)學(xué)表達式若隨機變量其