2.1 矩陣的定義與運(yùn)算ppt課件

1、1一一 、矩陣的定義、矩陣的定義 由由 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)排成的排成的 行行 列的數(shù)表列的數(shù)表nm mn njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 mnmmnnaaaaaaaaa2122221112112.1.1 2.1.1 矩陣的定義矩陣的定義 2.1 2.1 矩陣及其運(yùn)算矩陣及其運(yùn)算第二章第二章 矩矩 陣陣2 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211簡記為簡記為 .ijnmijnmaaAA .,簡簡稱稱為為元元的的元元素素個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)稱稱為為這這Anm 元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.稱為稱為 矩陣矩陣. .

2、nm 記作記作元元3例如例如 34695301是一個(gè)是一個(gè) 實(shí)矩陣實(shí)矩陣,42 2222222613i是一個(gè)是一個(gè) 復(fù)矩陣復(fù)矩陣,33 421是一個(gè)是一個(gè) 矩陣矩陣,13 9532是一個(gè)是一個(gè) 矩陣矩陣,41 4是一個(gè)是一個(gè) 矩陣矩陣.11 4二、幾種特殊矩陣二、幾種特殊矩陣(1)(1)只有一行的矩陣只有一行的矩陣 ,21naaaA 稱為行矩陣稱為行矩陣( (或行向量或行向量) ).,21 naaaB(2) 只有一列的矩陣只有一列的矩陣稱為列矩陣稱為列矩陣( (或列向量或列向量).).5 （3）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，元素全為零的矩陣稱為零矩陣， 零零矩陣記作矩陣記作 或或 . .nm n

3、mo o注意注意 .00000000000000000000 不同階數(shù)的零矩陣是不相等的不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如例如6例如例如 2222222613i是一個(gè)是一個(gè)3 階方陣階方陣.(4)(4)行數(shù)與列數(shù)都等于行數(shù)與列數(shù)都等于 的矩陣的矩陣 ，稱為，稱為 階階nnA.nA方陣方陣. .也可記作也可記作(5)(5)三角矩陣三角矩陣上三角矩陣上三角矩陣11121222000nnmnaaaaaa 11212212000nnnmaaaaaa 下三角矩陣下三角矩陣7記作記作 .,21ndiagA n 00000021（6）形如形如 的方陣的方陣, ,OO不全為不全為0 稱為稱為( (或或）.（7

4、7）數(shù)量矩陣）數(shù)量矩陣000000aaa（8 8）單位矩陣）單位矩陣1000100018（9 9）對(duì)稱陣）對(duì)稱陣 如果如果n階矩陣階矩陣A=（aij）的元素滿足）的元素滿足aij=aji (i,j=1，2， ，n），則稱），則稱A為為n階階對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣 ，如，如420221013012103230（1010）反對(duì)稱陣）反對(duì)稱陣 如果如果n階矩陣階矩陣A=（aij）的元素滿足）的元素滿足aij= aji (i,j=1，2， ，n），則稱），則稱A為為n階階反對(duì)稱矩陣反對(duì)稱矩陣 ，顯然，顯然aii=0（i=1，2， ，n） 如：如：9例如例如 9348314736521與與為為同型矩陣同型矩陣

5、. 一、一、同型矩陣與矩陣相等的概念同型矩陣與矩陣相等的概念 1. 1.兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等, ,列數(shù)相等時(shí)列數(shù)相等時(shí), ,稱為稱為同型矩陣同型矩陣.2.1.2 2.1.2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算 10例例1 設(shè)設(shè),131,213321 zyxBA.,zyxBA求求已已知知 解解,BA . 2, 3, 2 zyx 2. 2.兩個(gè)矩陣兩個(gè)矩陣 為為同型矩陣同型矩陣,并且對(duì)應(yīng)元素相等并且對(duì)應(yīng)元素相等,即即 ijijbBaA與與 , 2 , 1;, 2 , 1njmibaijij 則稱矩陣則稱矩陣 相等相等,記作記作BA與與.BA 11、定義、定義 mnmnmmmmnnnnbababa

6、babababababaBA221122222221211112121111二、矩陣的加法、減法二、矩陣的加法、減法 設(shè)有兩個(gè)設(shè)有兩個(gè) 矩陣矩陣 那末矩陣那末矩陣 與與 的和記作的和記作 ，規(guī)定為，規(guī)定為nm ,bB,aAijij ABBA 12說明說明 只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算行加法運(yùn)算.例如例如 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 132 2、 矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211

7、3 . ,04BABAAA 矩矩陣陣的的減減法法 ,ija .負(fù)矩陣負(fù)矩陣的的稱為矩陣稱為矩陣A141 1、定義、定義.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 三、數(shù)與矩陣相乘三、數(shù)與矩陣相乘規(guī)規(guī)定定為為或或的的乘乘積積記記作作與與矩矩陣陣數(shù)數(shù), AAA15 ;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律、數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來, ,統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算. .（設(shè)（設(shè) 為為 矩陣，矩陣， 為數(shù)）為數(shù)） ,nm BA、161、定義、定義 skkjiksjisjijiijbabababac1221

8、1 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘積記作并把此乘積記作.ABC 設(shè)設(shè) 是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，矩陣， 是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，那末規(guī)定矩陣矩陣，那末規(guī)定矩陣 與矩陣與矩陣 的乘積的乘積是一個(gè)是一個(gè) 矩陣矩陣 ，其中，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB四、矩陣與矩陣相乘四、矩陣與矩陣相乘17例例2222263422142 C22 16 32 816設(shè)設(shè) 415003112101A 121113121430B例例3 3?18故故 121113121430415003112101ABC. 解解 ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2

9、 17 1019注意注意只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘. 106861985123321例如例如 123321 132231 .10 不存在不存在.202、矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律、矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 為數(shù)）為數(shù)）; ;4AEAAE 若若A是是 階矩陣，則階矩陣，則 為為A的的 次冪，即次冪，即 并且并且 5nkAk 個(gè)個(gè)kkAAAA ,AAAkmkm ().m kmkAA 為為正正整整數(shù)數(shù)k,m21注意注意（1）矩陣不滿

10、足交換律，即：）矩陣不滿足交換律，即：,BAAB .BAABkkk 例例 設(shè)設(shè) 1111A 1111B則則,0000 AB,2222 BA.BAAB 故故22但也有例外，比如設(shè)但也有例外，比如設(shè),2002 A,1111 B則有則有, AB22 2 2 BA22 2 2.BAAB 23注意注意（2）非零矩陣相乘，可能是零矩陣，即由）非零矩陣相乘，可能是零矩陣，即由,.ABOAOBO不能推出或例例 設(shè)設(shè) 1111A 1111B則則,0000 AB.AOBO但且24注意注意（3）兩個(gè)矩陣的乘法不滿足消去律，即由）兩個(gè)矩陣的乘法不滿足消去律，即由,.ABAC AOBC不能推出則則,0000 AB例例

11、設(shè)設(shè) 1111A 1111B22,22C00,00AC,.ABACBC但25例例4 4 計(jì)算下列乘積：計(jì)算下列乘積： 21322 1 解解 213221 12 22 12 22 13 23 .634242 26 3213332312322211312113212bbbaaaaaaaaabbb 解解332222112bababa 321bbb.222322331132112233322222111bbabbabbabababa 321333231232221131211321bbbaaaaaaaaabbb331221111bababa =333223113bababa 27定義定義 把矩陣把矩陣

12、 的行換成同序數(shù)的列得到的的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 . AAA例例,854221 A;825241 TA ,618 B.618 TB、轉(zhuǎn)置矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣五、矩陣的轉(zhuǎn)置五、矩陣的轉(zhuǎn)置 282、轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)、轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì) ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 29例例5 5 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求解法解法1 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB30解法解法2 TTTABAB 213012131027241.1

13、031314170 31例例6 6 設(shè)列矩陣設(shè)列矩陣 滿足滿足 TnxxxX,21 , 1 XXT.,2,EHHHXXEHnETT 且且陣陣是是對(duì)對(duì)稱稱矩矩證證明明階階單單位位矩矩陣陣為為證明證明 TTTXXEH2 TTTXXE2 ,2HXXET .是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣H2HHHT 22TXXE TTTXXXXXXE44 TTTXXXXXXE44 TTXXXXE44 .E 32六、方陣的行列式六、方陣的行列式1、定義、定義 由由 階方陣階方陣 的元素所構(gòu)成的行列式，的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣叫做方陣 的行列式，記作的行列式，記作 或或nAAA.det A 8632A例例8632 A則則.

14、2 2、運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì) ;1AAT ;2AAn ;3BAAB .BAAB (4)000.ABAB 或33七、共軛矩陣七、共軛矩陣定義定義當(dāng)當(dāng) 為復(fù)矩陣時(shí)，用為復(fù)矩陣時(shí)，用 表示表示 的共軛的共軛復(fù)數(shù)，記，稱為復(fù)數(shù)，記，稱為 的共軛矩陣的共軛矩陣. ijaA ijaija ijaA AA ;2AA 3;ABAB運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì) ;1BABA 4 ()( ) .TTAA34小結(jié)小結(jié)(1)(1)矩陣的概念矩陣的概念 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211列的一個(gè)數(shù)表列的一個(gè)數(shù)表行行nm35(2) 特殊矩陣特殊矩陣 方陣方陣 ;nm 行矩陣與列矩陣行矩陣與列矩陣;單位矩陣單位矩陣

15、; ;零矩陣；零矩陣；.100010001 ,21 naaaB ,21naaaA n 00000021數(shù)量矩陣；數(shù)量矩陣；上、下三角矩陣上、下三角矩陣；對(duì)稱、反對(duì)稱矩陣對(duì)稱、反對(duì)稱矩陣.00000036矩陣運(yùn)算矩陣運(yùn)算 加法加法數(shù)與矩陣相乘數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣方陣的行列式方陣的行列式共軛矩陣共軛矩陣三三37（2）只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)）只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘,且矩陣相乘且矩陣相乘不滿足交換律不滿足交換律.（1）只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能）只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算進(jìn)行加法運(yùn)算.注意注意 （3）矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的數(shù)乘運(yùn)算不同）矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的數(shù)乘運(yùn)算不同.38思考題（1 1）矩陣與行列式的有何區(qū)別）矩陣與行列式的有何區(qū)別?