第五章 彈性理論平面問題

1、51 彈性理論的基本方程彈性理論的基本方程52 彈性理論問題的基本解法彈性理論問題的基本解法53 基本定理基本定理54 直角坐標(biāo)系下平面問題的基本方程直角坐標(biāo)系下平面問題的基本方程55 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題 56 用多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)解平面問題用多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)解平面問題57 三角形截面壩三角形截面壩 58 山字型構(gòu)造、用多項(xiàng)式解平面問題解例山字型構(gòu)造、用多項(xiàng)式解平面問題解例 第五章第五章 彈性理論的平面問題彈性理論的平面問題51 彈性理論的基本方程彈性理論的基本方程一、基本方程一、基本方程1. 平衡微分方程平衡微分方程 2. 幾何方程幾何方程 應(yīng)變與位移關(guān)系方程應(yīng)變與位移關(guān)系方程應(yīng)

2、變相容方程應(yīng)變相容方程二、本構(gòu)方程廣義胡克定律二、本構(gòu)方程廣義胡克定律 各向同性體的本構(gòu)方程的幾種形式各向同性體的本構(gòu)方程的幾種形式zxzxyzyzxyxyzzyyxx222以應(yīng)變表示應(yīng)力以應(yīng)變表示應(yīng)力GGGEEEEEEEEEzxzxyzyzxyxyxyzzzxyyzyxx以應(yīng)力表示應(yīng)變以應(yīng)力表示應(yīng)變體積應(yīng)變虎克定律體積應(yīng)變虎克定律二、邊界條件二、邊界條件1.面力邊界條件面力邊界條件 2.位移邊界條件位移邊界條件 三、彈性力學(xué)基本問題三、彈性力學(xué)基本問題 彈性力學(xué)的基本未知量為彈性力學(xué)的基本未知量為三個(gè)位移分三個(gè)位移分量量，六個(gè)應(yīng)力分量六個(gè)應(yīng)力分量和和六個(gè)應(yīng)變分量六個(gè)應(yīng)變分量，共計(jì)，共計(jì)十五個(gè)

3、未知量?；痉匠虨槿齻€(gè)平衡微分十五個(gè)未知量。基本方程為三個(gè)平衡微分方程，六個(gè)幾何方程和六個(gè)物理方程，也方程，六個(gè)幾何方程和六個(gè)物理方程，也是十五個(gè)基本方程是十五個(gè)基本方程 第一類邊值問題：第一類邊值問題： 已知彈性體內(nèi)的體力和其表面的面力，求平已知彈性體內(nèi)的體力和其表面的面力，求平衡狀態(tài)的彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量和位移分量，這時(shí)的邊界條衡狀態(tài)的彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量和位移分量，這時(shí)的邊界條件為件為面力邊界條件面力邊界條件。 第三類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力分量，以及物體表面第三類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力分量，以及物體表面的部分位移分量和部分面力分量，求平衡狀態(tài)的彈性體內(nèi)各的部分位移分量和部

4、分面力分量，求平衡狀態(tài)的彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量和位移分量。這時(shí)的邊界條件在面力已知的部點(diǎn)的應(yīng)力分量和位移分量。這時(shí)的邊界條件在面力已知的部分，用面力邊界條件，位移已知的部分用位移邊界條件，稱分，用面力邊界條件，位移已知的部分用位移邊界條件，稱為為混合邊值問題混合邊值問題。 第二類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力分量以及表面的位移第二類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力分量以及表面的位移分量，分量， 求平衡狀態(tài)的彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量和位移分量，求平衡狀態(tài)的彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量和位移分量， 這時(shí)的邊界條件為這時(shí)的邊界條件為位移邊界條件位移邊界條件。 位移邊界條件位移邊界條件邊界位移已知邊界位移已知位移邊

5、界Su 位移邊界條件就是彈性體表面的就是彈性體表面的變形協(xié)調(diào)彈性體臨近表面的位移與已知邊界位移相等彈性體臨近表面的位移與已知邊界位移相等 wwuvuu混合邊界條件混合邊界條件彈性體邊界彈性體邊界 SS Su部分邊界位移已知部分邊界位移已知位移邊界Su 部分邊界面力已知部分邊界面力已知面力邊界S 不論是不論是面力邊界條件，位移邊界條件，還是還是混合邊界條件，任意邊界的邊界條件，任意邊界的邊界條件數(shù)必須等于數(shù)必須等于3 3個(gè)。個(gè)。52 彈性理論問題的基本解法彈性理論問題的基本解法直接解法：直接解法：應(yīng)力法應(yīng)力法位移法位移法間接解法：間接解法：逆解法逆解法半逆解法半逆解法53 基本定理基本定理彈性力

6、學(xué)解的彈性力學(xué)解的迭加原理迭加原理是指在線彈性條件下，對(duì)于是指在線彈性條件下，對(duì)于滿足小變形條件的彈性體，在兩組不同的外力作用滿足小變形條件的彈性體，在兩組不同的外力作用下所得到的彈性力學(xué)解相加等于這兩組外力同時(shí)作下所得到的彈性力學(xué)解相加等于這兩組外力同時(shí)作用于彈性體的解答。用于彈性體的解答。 彈性力學(xué)彈性力學(xué)解的唯一性定理解的唯一性定理：假如彈性體內(nèi)受已知體力的：假如彈性體內(nèi)受已知體力的作用，物體表面面力已知，或者表面位移已知；或者部作用，物體表面面力已知，或者表面位移已知；或者部分表面面力已知，部分表面位移已知。則彈性體處于平分表面面力已知，部分表面位移已知。則彈性體處于平衡狀態(tài)時(shí)，彈性體

7、內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力分量和應(yīng)變分量都是衡狀態(tài)時(shí)，彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力分量和應(yīng)變分量都是唯一的。對(duì)于表面有部分或全部位移已知的，則位移分唯一的。對(duì)于表面有部分或全部位移已知的，則位移分量也是唯一的。量也是唯一的。 圣維南局部影響原理圣維南局部影響原理其主要內(nèi)容為：物體表面某一小其主要內(nèi)容為：物體表面某一小面積上作用的外力力系，如果被一個(gè)靜力等效的力系所面積上作用的外力力系，如果被一個(gè)靜力等效的力系所替帶，那么物體內(nèi)部只能導(dǎo)致局部應(yīng)力的改變。而在距替帶，那么物體內(nèi)部只能導(dǎo)致局部應(yīng)力的改變。而在距離力的作用點(diǎn)較遠(yuǎn)處，其影響可以忽略不計(jì)。離力的作用點(diǎn)較遠(yuǎn)處，其影響可以忽略不計(jì)。 根據(jù)圣維南局部影響原理，假如

8、我們用一靜力等效根據(jù)圣維南局部影響原理，假如我們用一靜力等效力系取代彈性體上作用的原外力，則其影響僅在力力系取代彈性體上作用的原外力，則其影響僅在力的作用區(qū)域附近。離此區(qū)域較遠(yuǎn)處，幾乎不受影響。的作用區(qū)域附近。離此區(qū)域較遠(yuǎn)處，幾乎不受影響。 54 直角坐標(biāo)系下平面問題的基本方程直角坐標(biāo)系下平面問題的基本方程工程上，空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題工程上，空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題討論的彈性體為薄板，厚度為h遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)另外兩個(gè)方向的尺度。一、平面應(yīng)力問題一、平面應(yīng)力問題因此應(yīng)力沿厚度方向不變 二、平面應(yīng)力問題二、平面應(yīng)力問題 這類彈性體是具有很長的

9、縱向軸的柱形物體，橫截面這類彈性體是具有很長的縱向軸的柱形物體，橫截面大小和形狀沿軸線長度不變；作用外力與縱向軸垂直，并且大小和形狀沿軸線長度不變；作用外力與縱向軸垂直，并且沿長度不變；柱體的兩端受固定約束。沿長度不變；柱體的兩端受固定約束。 沿沿z方向的位移恒等于零方向的位移恒等于零 三、平面問題的基本方程三、平面問題的基本方程1.平衡微分方程：平衡微分方程：0Xyxyxx0Yyxyxy2.幾何方程：幾何方程：yvyxuxyuxvxyyxxyxyxx222223. 本構(gòu)方程：本構(gòu)方程：平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題GEEEExyxyxyyyxx平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題GEEEExyxyxyxyyy

10、xyxx)(1)1(1)(1)1(11121124. 面力邊界條件：mlYmlXyyxxyx55 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題一、一、應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程在常體力條件下，可以通過應(yīng)力函數(shù)表達(dá)應(yīng)力分量。這樣問題的基本未知量由三個(gè)應(yīng)力分量簡化為一個(gè)應(yīng)力函數(shù)。 體力為常量體力為常量二、體力為常量時(shí)微分方程的特解二、體力為常量時(shí)微分方程的特解0Xyxyxx0Yyxyxy此微分方程組的解為特解與通解的和此微分方程組的解為特解與通解的和特解：特解：YyXxYyXxYyXxxyxxxyxxxyxx, 0, 000,三、應(yīng)力函數(shù)和雙調(diào)和方程三、應(yīng)力函數(shù)和雙調(diào)和方程1.應(yīng)力函數(shù)應(yīng)

11、力函數(shù)則滿足上式的函數(shù)為：則滿足上式的函數(shù)為：yxxyxyyx22222應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)2. 雙調(diào)和方程雙調(diào)和方程 應(yīng)力分量不僅需要滿足平衡微分方程，而且還需要應(yīng)力分量不僅需要滿足平衡微分方程，而且還需要滿足變形協(xié)調(diào)方程，將上述應(yīng)力分量代入變形協(xié)調(diào)方程，滿足變形協(xié)調(diào)方程，將上述應(yīng)力分量代入變形協(xié)調(diào)方程，可得可得 00244422444yyxx函數(shù)應(yīng)滿足雙調(diào)和方程函數(shù)應(yīng)滿足雙調(diào)和方程 56 用多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)解平面問題用多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)解平面問題 逆解法逆解法的基本思想是：對(duì)于一些具有矩形邊界并的基本思想是：對(duì)于一些具有矩形邊界并不計(jì)體力的平面問題，分別選用冪次不同的多項(xiàng)不計(jì)體力的平面問題，分別選用

12、冪次不同的多項(xiàng)式，令其滿足基本方程，求出應(yīng)力分量，并由邊式，令其滿足基本方程，求出應(yīng)力分量，并由邊界條件確定這些應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)邊界上的面力，從界條件確定這些應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)邊界上的面力，從而確定該應(yīng)力函數(shù)所能解決的問題。而確定該應(yīng)力函數(shù)所能解決的問題。 一、應(yīng)力函數(shù)為一次多項(xiàng)式一、應(yīng)力函數(shù)為一次多項(xiàng)式cybxa00022222yxxyxyyx一次多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)一次多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)無應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)無應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)。這個(gè)結(jié)論說明在應(yīng)力函數(shù)中增加或減少一個(gè)這個(gè)結(jié)論說明在應(yīng)力函數(shù)中增加或減少一個(gè)x，y 的線性函數(shù)，將不影響應(yīng)力分量的值。的線性函數(shù)，將不影響應(yīng)力分量的值。 二、應(yīng)力函數(shù)為二次多項(xiàng)式二、應(yīng)力函數(shù)為二次多項(xiàng)式22cybxyaxbyxaxcyxyyx2222222二次多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)二次多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)常應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)常應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)三、應(yīng)力函數(shù)為三次多項(xiàng)式三、應(yīng)力函數(shù)為三次多項(xiàng)式3223dycxyybxaxcybxyxbyaxxdycxyxyyx22266222222三次多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)三