線性代數(shù)試題及答案

1、線性代數(shù)習(xí)題和答案第一部分選擇題（共28分）、單項(xiàng)選擇題（本大題共 14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有 一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選或未選均無分。ana12a13an=m,a 21a22a23a211設(shè)行列式=n，則行列式A. m+n C. n- man a12 亠a13 a21 a22 a23B. - (m+n)D. m- n等于（2設(shè)矩陣A=00，則A-1等于（3丿(1A-0031 0 0110 0B.00220 0 1100-kJ3丿（1、-00-002310 1 0D.001300-0 0 12丿 丿V00A.C.3.設(shè)矩陣，Z3-1

2、、21 0-1V-214，A *是A的伴隨矩陣，貝U AA=中位于（1 , 2）的元素是（2B. 6D.-)B. B = C 時(shí) A=0A. -6C. 24. 設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式 AB=AC,則必有（A. A = 0C. A =0 時(shí) B=CD. |A| = 0 時(shí) B=C5. 已知3X4矩陣A的行向量組線性無關(guān)，則秩（ AT）等于（）A. 1B. 2C. 3D.46. 設(shè)兩個(gè)向量組a 1, a 2,，a s和B 1, 3 2,，3 s均線性相關(guān)，則（）A. 有不全為0的數(shù)入1,入2,，入s使入1 a什入2 a 2+入s a s=0和入1 3什入2 3 2+入s 3 s=0B. 有不全

3、為0的數(shù)入1,入2,，入s使入1 （ a 1+31）+入2 （ a 2+32）+入s （as+ 3 s）=0C. 有不全為0的數(shù)入1,入2,，入s使入1 （a 1 -31）+入2 （ a 2-32）十+入s（as- 3 s）=0D. 有不全為0的數(shù)入1,入2，入s和不全為0的數(shù)卩1,卩2,，卩s使入1 a什入2a 2+入 s a s=0 和卩 1 3 1+ 卩 2 3 2+ + 1 s 3 s=07. 設(shè)矩陣A的秩為r,則A中（ ）A. 所有r- 1階子式都不為0B.所有r- 1階子式全為0C.至少有一個(gè)r階子式不等于0D.所有r階子式都不為08. 設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組，n 1, n

4、 2是其任意2個(gè)解，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. n什n 2是Ax=O的一個(gè)解C. n 1-n 2是Ax=0的一個(gè)解9設(shè)n階方陣A不可逆，則必有（A.秩（A）nC. A=011B. _ n 1+ n 2 是 Ax=b 的一個(gè)解22D.2 n 1- n 2 是 Ax=b 的一個(gè)解)B. 秩(A )=n- 1D.方程組Ax=0只有零解10. 設(shè)A是一個(gè)n（3）階方陣，下列陳述中正確的是（）A. 如存在數(shù)入和向量a使A a =入a,則a是A的屬于特征值 入的特征向量B. 如存在數(shù)入和非零向量a,使（入E - A） a =0，則入是A的特征值C. A的2個(gè)不同的特征值可以有同一個(gè)特征向量D. 如入1,入

5、2,入3是A的3個(gè)互不相同的特征值，a 1, a 2, a 3依次是A的屬于入1,入2,入3的特征向量，貝U a 1, a 2, a 3有可能線性相關(guān)11. 設(shè)入o是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于入的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為k，則必有（ ）B. k3C. k=3D. k312. 設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.| A|2必為1B.| A必為1C. A- 1=ATD. A的行（列）向量組是正交單位向量組13. 設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，C是實(shí)可逆矩陣，B=CTAC .則（）A. A與B相似B. A與B不等價(jià)C. A與B有相同的特征值D. A與B合同14.下列矩陣中是正定矩陣的為（)i23

6、3、4A.B.4丿26丿10 0 11 1C.02-3D. 12 0-35丿0 2丿非選擇題（共72分）2分，共20分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每第二部分、填空題（本大題共 10小題，每小題 小題的空格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無分。15. 33Aj表示|A |中元素aj的代數(shù)余子式（i,j=1,2,3 ）,則25 36/冷1 T 1f、123,B=Q 1一1 丿l1-2 4則 A+2 B=16.設(shè) A=17.設(shè)A =匈3x 3 ,|A|=2 ,2 2 2(a11A21+a12A22+a13A23)+(a21A21 +a22A22 + a23A 23) +(a31A21 + a32A22+a33A

7、23)=18. 設(shè)向量（2, -3, 5）與向量（-4, 6, a）線性相關(guān)，貝U a= 一.19. 設(shè)A是3x 4矩陣，其秩為3，若n 1, n 2為非齊次線性方程組 Ax=b的2個(gè)不同的解，則它 的通解為.20. 設(shè)A是m x n矩陣，A的秩為r（n），則齊次線性方程組 Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系中含有解的個(gè) 數(shù)為.設(shè)向量a、3的長(zhǎng)度依次為 2和3，則向量a + B與a - 3的內(nèi)積（a + 3 , a - 3 ）=422.設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8，已知A有2個(gè)特征值-1和4,則另0106、23.設(shè)矩陣 A =1dd，已知a108-1是它的一個(gè)特征向量,2 /為特征值為.a所對(duì)應(yīng)的特征值

8、24設(shè)實(shí)二次型f(Xl,X2,X3,X4,X5)的秩為4,正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為 三、計(jì)算題(本大題共7小題，每小題6分，共42分)25設(shè) A=24234求(1) ABT； (2) |4A|.26試計(jì)算行列式3 巧21110巧-13132-4-1q27.設(shè)矩陣A =12123 0，求矩陣B使其滿足矩陣方程3.丿AB =A+2 B.3103;試判斷a 4是否為a廣1-22328.給定向量組a 1=29.設(shè)矩陣A =-24-131,-1203a 2,0623a 4=9-14.9 ja 3的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。2 =-63 .45求：(1)秩(A)；(2) A的列向量組的一個(gè)最大線

9、性無關(guān)組。0-2 2 30. 設(shè)矩陣A= -2 3 4的全部特征值為1 ,1和-8.求正交矩陣T和對(duì)角矩陣D，使T- 1AT=D.、24切31. 試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形2 2 2f(X 1 ,X2 ,X3)= X 1 2X2 -3X3 4X1X2 -4X1X3 -4X2X3 , 并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題(本大題共 2小題，每小題5分，共10分)32. 設(shè)方陣A滿足A3=0 ,試證明E- A可逆，且(E- A) - 1= E+A+A2.33. 設(shè)n 0是非齊次線性方程組 Ax=b的一個(gè)特解，E 1, E 2是其導(dǎo)出組 Ax=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系 試證明(1) n 1= n 0+

10、E 1, n 2= n 0+ E 2均是Ax=b的解；(2) n 0, n 1, n 2線性無關(guān)。答案：一、單項(xiàng)選擇題(本大題共14小題，每小題2分，共28分)1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C11.A12.B二、填空題(本大題共15. 633 716.7丿16. 48.A9.A10.B13.D14.C10空，每空2分，共20分)17. -1018. n 1+c( n 2- n 1)(或 n 2+c( n 2- n 1), c為任意常數(shù)19. n- r20. -521. t224.三、計(jì)算題（本大題共125.解（1）ABT= 3L120：22、403421丿V17小題，每小題86 、=

11、18 10 .310 丿3(2) |4A|=4 |A|=64|A而6分，共42分）|A |=3317251-11-513-4-1113-1201-100101-53-3-5-530所以 |4A|=64 (- 2) =- 12826.解51 1T1 1 -1-5-5 05 1 1 -6 2 0 -5-5 0-6-52-5=30 10 =40.27.解 AB =A +2 B 即(A- 2E) B= A，而(A- 2E)所以1B=(A- 2E)-1A = 1It-5711064 汽一1 2322. 13-8=2-9-6129丿130入0-532、1_30-11-30-10224011234-19丿0

12、13-112丿28解一1035、1 0 3 50 1 120 1120 0 880 0 11Q 0 14-14丿 0 0 01 0 0 20 10 10 0 1150 00.J所以a 4=2 a 1+ a 2+ a 3,組合系數(shù)為（2, 1, 1）解二考慮 a 4=Xi a 1+X2 a 2+X3 a 3,2X1 如2 +3X3 =0即 J1212X2 +2x3 =4gX1 +4X2 -X3 =9.29解方程組有唯一解（2, 1, 1） T，組合系數(shù)為（2, 1, 1）A10-20-10062 -2A_A0328-209632丿q-2-102032870006-2700-217 /對(duì)矩陣A施行

13、初等行變換G-2T02 ：0328=B.0003-120 000(1 )秩(B) =3，所以秩(A)=秩(B) =3.B的第1、2、4列是(2)由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系，而B是階梯形,B的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組。(A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是)30.解 A的屬于特征值 入=1的2個(gè)線性無關(guān)的特征向量為E 1= (2, - 1, 0), E 2= (2, 0, 1) *2（5/5、25/15經(jīng)正父標(biāo)準(zhǔn)化，得 n 1=r5/5,n 2=池/15 0丿E/3丿入=-8的一個(gè)特征向量為1/3 xE 3=2

14、，經(jīng)單位化得n 3=2/3a2/39所求正交矩陣為T =1 0對(duì)角矩陣 D = 0 1 02V5 / 5(也可取T =05/52詬/52(15/151/3、-J5/54/5/152/3075/3-2/30:0 ._8./2 尿/151/3 -75/32/3 .)-4V5/15-2/3,#31解f(x 1 , X2,2 2 2X3)= ( X1+2X2- 2X3) - 2X2 +4X2X3- 7X3=(Xl+2x2- 2x3) 2- 2 ( X2-X3)2- 5X32.yi =xi2x2 -2x3xi=yi -2y2設(shè) y2 二X2 X3即X2X3X3y2 y3，y3因其系數(shù)矩陣1可逆，故此線性變換滿秩。#經(jīng)此變換即得f（x 1，X2，X3）的標(biāo)準(zhǔn)形2 2 2y1 - 2y2 - 5y3 .四、證明題（本大題共 2小題，每小題5分，共10分）32證 由于（E- A）（ E+A +A2）=E- A3=E，所以E- A可逆，且（E - A） -1= E+A+A2 .33證 由假設(shè) A n 0= b, AE 1=0, A E 2=0.(1) An 1