同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第三篇常微分方程

1、第三篇 常微分方程第六章 常微分方程函數(shù)是研究客觀事物運(yùn)動規(guī)律的重要工具，找出函數(shù)關(guān)系，在實(shí)踐中有重要意義但是在許多問題中，常常不能直接找出這種函數(shù)關(guān)系，但卻能根據(jù)問題所處的環(huán)境，建立起這些變量和它們的導(dǎo)數(shù)（或微分）之間的方程，這樣的方程稱為微分方程在本章中，主要介紹常微分方程的基本概念和幾種常用的常微分方程的解法第一節(jié) 微分方程的概念下面我們通過兩個例子來說明常微分方程的基本概念11 引例引例1 一曲線通過點(diǎn)（1，2），且在該曲線上任一點(diǎn)處的切線斜率為，求這條曲線方程解 設(shè)所求曲線方程為，且曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為根據(jù)題意以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義得. 兩邊同時(shí)積分得 （為任意常數(shù)） 又因?yàn)榍€通過（

2、1，2）點(diǎn)，把，代入上式，得故所求曲線方程為引例2 將溫度為的物體放入溫度為的介質(zhì)中冷卻，依照冷卻定律，冷卻的速度與溫度成正比，求物體的溫度與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系解 依照冷卻定律，冷卻方程為 （為比例常數(shù)），所求函數(shù)關(guān)系滿足，以上我們僅以幾何、物理上引出關(guān)于變量之間微分方程的關(guān)系下面我們介紹有關(guān)微分方程基本概念1.2 微分方程的基本概念 定義1 含有未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程在微分方程中，若未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程若未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程例如 下列微分方程中，（1） ； （2）； （3） （4）； （5） 都是微分方程，其中（1）

3、、（2）、（3）、（5）是常微分方程，（4）是偏微分方程 本課程只討論常微分方程 定義2 微分方程中含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階 在上例中，（1）、（2）、（5）是一階常微分方程，（3）是二階常微分方程 一般地，階微分方程記為：定義3 若將代入微分方程中使之恒成立，則稱是微分方程的解（也稱顯式解）；若將代入微分方程中使之恒成立，則稱關(guān)系式是微分方程的隱式解定義4 微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解稱為微分方程的通解引例1中，積分后得到為微分方程的通解，由于通解中含有任意常數(shù)，所以它不能完全確定地反映客觀事物的規(guī)律性，必須確定這些常數(shù)，為此

4、，要根據(jù)實(shí)際問題，提出確定通解中的常數(shù)的條件設(shè)微分方程中未知函數(shù)，如果微分方程是一階的，確定任意常數(shù)的條件是；如果微分方程是二階的確定任意常數(shù)的條件是，上述這些條件叫做初始條件定義5 求解微分方程滿足初始條件的特解問題稱為一階微分方程的初值問題記作例1 驗(yàn)證是微分方程的解解 的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)分別是 ， 把和代入微分方程中，因此，是微分方程的解如果、是任意常數(shù)，則解是二階微分方程的通解例2 已知是微分方程的通解，求滿足初始條件，的特解 解 由題意得，把，分別代入得,即，于是微分方程的特解為 習(xí)題 6-1 1指出下列各微分方程的階數(shù) （1）； （2）； （3） ； （4）； (5)； (6)

5、； （7）； （8） 2. 驗(yàn)證下列函數(shù)是所給的微分方程的解 （1）； （2）； （3） ； （4） 3驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的解，并求滿足初始條件的特解 4寫出下列條件確定的曲線所能滿足的微分方程 （1）曲線在任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)縱坐標(biāo)的3倍 （2）曲線在任一點(diǎn)處的切線斜率與該點(diǎn)橫坐標(biāo)成正比 5英國人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯(Malthus)在擔(dān)任牧師期間，查看了當(dāng)?shù)亟烫?00多年來的人口出生統(tǒng)計(jì)資料，發(fā)現(xiàn)了如下現(xiàn)象：人口出生率是一個常數(shù)在1798年，他發(fā)表了人口原理一書，其中提出了著名的Malthus人口模型他假定條件如下：在人口的自然增長過程中，人口增長率與人口總數(shù)成正比表示時(shí)間（變量），表

6、示人口總數(shù)（依賴于時(shí)間變化），表示人口增長率與人口總數(shù)之間的比例常數(shù)，試用微分方程表達(dá)上述條件 6一棵小樹剛栽下去的時(shí)候生長緩慢， 漸漸地， 小樹長高了并且長得越來越快， 幾年之后， 綠蔭底下已經(jīng)可乘涼了； 但長到某一高度后， 它的生長速度趨于穩(wěn)定， 然后再慢慢降下來 如果假設(shè)樹的生長速度既與目前的高度成正比， 又與最大高度和目前高度之差成正比，試用微分方程來描述這一過程（設(shè)樹生長的最大高度為H(m), 在t(年)時(shí)的高度為的是比例常數(shù)） 第二節(jié) 可分離變量微分方程 本節(jié)我們討論的是一階微分方程的解法2.1 可分離變量微分方程 引例 微分方程，顯然不能直接用積分法求解，但是適當(dāng)?shù)刈冃危海藭r(shí)，

7、方程右邊是只含的函數(shù)的微分，方程左邊是只含的函數(shù)的微分，對上式積分，得，即（為任意常數(shù)）這就是微分方程的通解一般地，一階微分方程，如果能變形為的形式，則方程稱為可分離變量的微分方程此處，為連續(xù)函數(shù)根據(jù)以上所述，解可分離變量的微分方程的步驟如下：第一步：分離變量，將方程寫成的形式；第二步：兩端積分：；第三步：求得微分方程的通解，其中分別為的原函數(shù) 例1 求微分方程的通解 解 將方程分離變量，得到 =，兩邊積分，即得 ，即由于是任意非零常數(shù)，又也是方程的解，故原方程的通解為（為任意常數(shù)）注：變量分離過程中，常將微分方程變形，有時(shí)會產(chǎn)生“失解”的現(xiàn)象：如果存在，使得滿足微分方程，且包含在通解中，可與

8、通解合并如果不包含在通解中，求解微分方程時(shí)，必須補(bǔ)上，和通解一起共同構(gòu)成微分方程的解 例2 求微分方程的解 解 將方程分離變量，得到 ，兩邊積分:，得，整理得方程的通解是（為任意非零常數(shù)）由于，解得，也是方程的解另外，包含在通解中，不含在通解中，故原方程的解為（為任意常數(shù)）和例3 鐳的衰變有如下規(guī)律：鐳的衰變速率與它的現(xiàn)存量成正比當(dāng)時(shí)，求鐳的存量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系解 由題意得滿足初始條件此微分方程為變量分離方程，變量分離，得，積分，得，即將初始條件代入上式，得，故鐳的衰變規(guī)律為 2.2 齊次方程如果一階微分方程中，有些方程不能直接分離變量，但可以通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，化為可分離變量的微分方程，齊次

9、微分方程就是其中一種如果可化為，的形式，則稱此方程為齊次方程例如 微分方程可化為，即等號右邊分子、分母同除以，得，故此方程為齊次方程齊次方程的解法：令，則，代入齊次方程，即，為變量分離方程例4 求微分方程的通解 解 令，則，代入上式，得，化簡，分離變量，得，積分，得，即把回代，得原方程的通解思考：如何觀察一階微分方程是齊次的？， 特點(diǎn)：分式中分子與分母的各項(xiàng)中與的冪次之和無一例外的“整齊”次，則該微分方程是齊次方程例5 求微分方程的通解解 原方程可化為， 令，則，代入上式，得，化簡，分離變量，得，積分，整理，得，把回代，得原方程的通解習(xí)題6-2 1求下列微分方程的通解 （1）； （2）； （3

10、）； （4）； (5) ； (6) ； (7) ； (8) 2求下列微分方程在初始條件下的特解 （1）； （2）； （3）； (4) , 3求下列齊次方程的通解或特解 （1）； （2）； （3）； (4) ； （5），； （6）， 4作適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，求下列微分方程的通解 （1）； （2）； （3） ； （4） 5已知放射性物質(zhì)鐳的衰變速度與該時(shí)刻現(xiàn)有存鐳量成正比由經(jīng)驗(yàn)材料得知，鐳經(jīng)過1600年后，只剩余原始量的一半試求鐳的質(zhì)量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系6假設(shè)設(shè)備在每一時(shí)刻由于磨損而價(jià)值損耗的速度與它的實(shí)際價(jià)格成正比已知最初價(jià)格為，試求年后的價(jià)格 7由物理學(xué)知道，物體冷卻的速率與當(dāng)時(shí)物體的溫度和周圍環(huán)境

11、溫度之差成正比現(xiàn)在把100的沸水注入杯中，放在室溫為20的環(huán)境中冷卻，5min中后測得水溫為60.求水溫（）與時(shí)間t（min）之間的函數(shù)關(guān)系 8探照燈的聚光鏡的鏡面是一張旋轉(zhuǎn)曲面，它的形狀由坐標(biāo)面上的一條曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成按聚光鏡性能的要求，在其旋轉(zhuǎn)軸（軸）上一點(diǎn)處發(fā)出的一切光線，經(jīng)它反射后都與旋轉(zhuǎn)軸（軸）平行求曲線的方程第3節(jié) 一階線性微分方程 31 一階線性齊次微分方程 形如 （6-3-1）的方程，叫做一階線性齊次微分方程方程（6-3-1）是可分離變量的微分方程，分離變量，得，兩端積分，得，整理，得 （），其中也是方程的解 一階線性齊次微分方程的通解為 （為任意的常數(shù)）32 一階線性非齊次微

12、分方程 方程 （6-3-2）且則方程（6-3-2）叫做一階線性非齊次微分方程現(xiàn)在我們用常數(shù)變易法來求一階線性非齊次微分方程的通解這個方法是把（6-3-1）的通解中的C換成的未知函數(shù)，即作變換 ， （6-3-3）于是 （6-3-4）將（6-3-3）和（6-3-4）代入（6-3-2）得，兩端積分得，代入（6-3-3）得方程（6-3-2）的通解 （6-3-5）上述方法求一階線性非齊次微分方程通解的步驟，可以總結(jié)為：（1）先求對應(yīng)的齊次方程的通解；（2）將齊次方程通解中的常數(shù)變換為待定函數(shù)，代入原方程，求出，得到非齊次方程的通解 這種方法稱為常數(shù)變易法例1 求微分方程的通解解 原方程即 ，這是一階線性

13、非齊次微分方程，其中，（I）：常數(shù)變易法先求原方程對應(yīng)的齊次方程的通解.分離變量得 ，兩邊積分，得 ，（為了方便計(jì)算記）故 ，將上式中的任意常數(shù)變換成函數(shù)，即設(shè)原來的非齊次微分方程的通解為 ，則 ，將和代入原方程，得 ，整理得 ，兩邊積分，得 ，故原方程的通解為 ，（II）：公式法將代入公式（6-3-5），得例 2 求微分方程滿足初始條件下的特解. 解 這是一階線性非齊次微分方程，其中套用公式（6-3-5），得 把初始條件代入上式，得，故所求的特解是 例3 求微分方程，的通解解 上述微分方程可改寫為，即，為關(guān)于未知函數(shù)的微分方程，其中，套用公式（6-3-5），得33貝努利方程 方程 （） （6

14、-3-6）叫做貝努利方程這個方程不是線性方程，但可以通過變量代換化為線性方程事實(shí)上，對于上式兩端同除以，得 （6-3-7）令，那么，用（）乘方程（6-3-7），得，求出方程的通解后，以代得貝努利方程的通解例4 求方程的通解解 以除以方程兩端，得，令，則上述方程成為， 它的通解為， 以代，解得方程的通解為習(xí)題 6-3 1求出下列微分方程的通解 （1） ； （2）； （3） ； （4）； （5） ； （6）2求下列微分方程滿足所給初始條件的特解 （1）， ； （2） ； （3）； （4） ； （5） ； （6）； 3.求解下列貝努利方程的通解（1）； （2）；（3）； （4）4.一容器內(nèi)盛鹽水10

15、0L，含鹽50g現(xiàn)以的鹽水注入容器內(nèi)，其流量為設(shè)注入鹽水與原有鹽水被攪拌成均勻的混合液，同時(shí)，此混合液有以流量為流出試求容器內(nèi)的含鹽量與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系5.設(shè)有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動從速度為零的時(shí)刻起，有一個與運(yùn)動方向一致、大小與時(shí)間成正比（比例系數(shù)為）的力作用于它，此外還受到與速度成正比（比例系數(shù)為）的阻力求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系第4節(jié) 可降階的高階微分方程 4.1 型微分方程 微分方程的右端僅含有自變量 ，可以對微分方程兩邊積分，得到一個階的微分方程同理可得 依次繼續(xù)進(jìn)行，積分次，便得方程的含有個任意常數(shù)的通解 例1 求微分方程 的通解 解 對所給方程接連積分兩次，得， 記，原

16、方程的通解例2 求方程的通解解 設(shè)代入方程,得， 解線性方程得為任意常數(shù))，即， 兩端積分得， 再積分得到方程的通解為， 其中為任意常數(shù). 例3 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受力F的作用沿Ox軸作直線運(yùn)動設(shè)力僅是時(shí)間t的函數(shù):F=F(t) 在開始時(shí)刻t=0時(shí)F(0)=，隨著時(shí)間t的增大，此力均勻地減小，直到t=T時(shí)， 如果開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)，且初速度為零， 求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律 解 設(shè)表示在時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置， 根據(jù)牛頓第二定律， 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的微分方程為由題設(shè)， 力隨t增大而均勻地減小，且t=0時(shí)， F(0)= ，所以；又當(dāng)t=T時(shí)，F(xiàn)(T)=0，從而于是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的微分方程又寫為，其初始條件為， 把微分方程兩邊

17、積分，得，再積分一次，得，由初始條件x|t=0=0， 得于是所求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律為，0tT4.2 型微分方程 方程 (6-4-1)的右端不顯含未知函數(shù)，如果我們設(shè)，則方程化為 ， 這是關(guān)于的一階方程，設(shè)的通解為=j(x,C1)，則 ， . 對它進(jìn)行積分，原方程的通解為 . . 例4 求微分方程(1+x2)y=2xy滿足初始條件y|x=0=1, y|x=0=3的特解 解 所給方程是y=f(x, y)型的 設(shè)y=p， 代入方程并分離變量后， 有兩邊積分，得ln|p|=ln(1+x2)+C，即 p=y=C1(1+x2) (C1=eC)由條件y|x=0=3，得C1=3，所以 y=3(1+x2)兩邊再積分

18、，得y=x3+3x+C2又由條件y|x=0=1，得C2=1，于是所求的特解為y=x3+3x+1 4.3型微分方程 方程 (6-4-2) 的右端不顯含自變量，看作未知函數(shù)，即令y=p，并利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則把方程化為 原方程化為設(shè)方程的通解為y=p=j(y, C1), 則原方程的通解為例5 求微分方程yy-y2=0的通解 解 設(shè)y=p， 則，代入方程, 得 在y0、p0時(shí)， 約去p并分離變量， 得，兩邊積分得，即 p=C y或y=C y (C=c)再分離變量并兩邊積分, 便得原方程的通解為，即 y=C1eCx (C1=c1)例6 求微分方程滿足初始條件 的特解.解 令由代入方程并化簡得，上式為

19、可分離變量的一階微分方程，解得，再分離變量,得，由初始條件，得出，從而得，再兩邊積分,得或，由得出，從而所求特解為 習(xí)題 6-41求下列各微分方程的通解 （1） ； （2）； （3） ； （4） ； 2.求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解（1）； （2）；（3） ； （4）3設(shè)有一質(zhì)量為的物體，在空中靜止開始下落，如果空氣阻力為（其中為常數(shù)，為物體運(yùn)動的速度），試求物體下落的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系第5節(jié) 二階線性微分方程本節(jié)課，我們主要討論二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)及其解法.5.1二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 二階線性微分方程的一般形式為y+P(x)y+Q(x)y=f(x)，若方程右端f(x)0時(shí)

20、，方程稱為齊次的； 否則稱為非齊次的.先討論二階齊次線性方程y+P(x)y+Q(x)y=0， 即. 定理1 如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0，的兩個解， 那么y=C1y1(x)+C2y2(x)，也是方程的解， 其中C1、C2是任意常數(shù).證明 對y=C1y1(x)+C2y2(x)求一階導(dǎo)得 C1y1+C2y2=C1 y1+C2 y2，再求二階導(dǎo)得 C1y1+C2y2=C1 y1+C2 y2. 因?yàn)閥1與y2是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的解， 所以有 y1+P(x)y1+Q(x)y1=0及y2+P(x)y2+Q(x)y2=0，從而 C1y1+C2y2+P(

21、x) C1y1+C2y2+Q(x) C1y1+C2y2 =C1y1+P(x)y1+Q(x)y1+C2y2+P(x)y2+Q(x)y2=0+0=0. 這就證明了y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的解. 下面討論函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)： 設(shè)y1(x), y2(x), , yn(x)為定義在區(qū)間I上的n個函數(shù). 如果存在n個不全為零的常數(shù)k1, k2, , kn, 使得當(dāng)xI 時(shí)有恒等式k1y1(x)+k2y2(x)+ + knyn(x)0成立，那么稱這n個函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)； 否則稱為線性無關(guān). 對于兩個函數(shù)， 它們線性相關(guān)與否，只要看它們的比是否為常數(shù)

22、，如果比為常數(shù)，那么它們就線性相關(guān)，否則就線性無關(guān). 例如， 1-cos2x ，sin2x 在整個數(shù)軸上是線性相關(guān)的. 函數(shù) x，5x2在任何區(qū)間(a, b)內(nèi)是線性無關(guān)的. 定理2 如果如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的兩個線性無關(guān)的解，那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) (C1、C2是任意常數(shù))是方程的通解. 例1 驗(yàn)證y1=cos x與y2=sin x是方程y+y=0的線性無關(guān)解，并寫出其通解. 解 因?yàn)閥1+y1=-cos x+cos x=0，y2+y2=-sin x+sin x=0，所以y1=cos x與y2=sin x都是方程的解.由于不恒為

23、常數(shù)， 所以cos x與sin x在(-, +)內(nèi)是線性無關(guān)的. 因此y1=cos x與y2=sin x是方程y+y=0的線性無關(guān)解. 方程的通解為y=C1cos x+C2sin x. 推論1 如果y1(x), y2(x), , yn(x)是方程y(n)+a1(x)y(n-1)+ +an-1(x)y+ an(x)y=0的n個線性無關(guān)的解， 那么， 此方程的通解為y=C1y1(x)+C2y2(x)+ + Cnyn(x),其中C1, C2, , Cn為任意常數(shù). 定理3 設(shè)y*(x)是二階非齊次線性方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的一個特解，Y(x)是對應(yīng)的齊次方程的通解, 那么y=Y(x

24、)+y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解. 例如，Y=C1cos x+C2sin x 是齊次方程y+y=0的通解， y*=x2-2是y+y=x2的一個特解， 因此 y=C1cos x+C2sin x+x2-2是方程y+y=x2的通解. 定理4 設(shè)非齊次線性微分方程 y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的右端f(x)幾個函數(shù)之和， 如y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)+ f2(x)，而y1*(x)與y2*(x)分別是方程y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)與y+P(x)y+Q(x)y=f2(x)的特解，那么y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解.5.2常系數(shù)齊次線性微分方程 先討論

25、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，再把二階方程的解法推廣到階方程. 方程 y+py+qy=0 (6-5-1)稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程， 其中p、q均為常數(shù). 如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)解，那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.由定理2可知，要求二階常系數(shù)線性齊次微分方程 (6-5-1)的通解，關(guān)鍵在于求出它的兩個線性無關(guān)的特解.為此，我們分析一下方程 (6-5-1)有什么特點(diǎn).容易看出，二階常系數(shù)線性微分方程 (6-5-1)的左端是分別乘以“適當(dāng)”的常數(shù)后，可以合并成零，這就是說，適合于方程 (6-5-1)的函數(shù)必須與其一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)之間只差一個常數(shù)因

26、子.而指數(shù)函數(shù)（r為常數(shù)）就是具有此特征的最簡單的函數(shù).因此可用函數(shù)來試解（是待定常數(shù)）.將代入方程 (6-5-1)得因?yàn)?，所以?(6-5-2)由此可見，只要是代數(shù)方程 (6-5-2)的根，那么就是微分方程 (6-5-1)的解.于是微分方程 (6-5-1)的求解問題，就轉(zhuǎn)化為求代數(shù)方程 (6-5-2)的根的問題.代數(shù)方程(6-5-2)稱為微分方程(6-5-1)的特征方程.特征方程是一個一元二次代數(shù)方程，它的根有三種情況，因此微分方程(6-5-1)的解也有三種情況：由一元二次方程的求根公式，有 (1) 當(dāng)時(shí)，特征方程 (6-5-2)有兩個不相等的實(shí)根和，則方程 (6-5-1)有兩個線性無關(guān)的特

27、解. 這是因?yàn)椋?函數(shù)、是方程的解，又不是常數(shù). 因此方程的通解為 (2) 當(dāng)時(shí)，特征方程(6-5-2)有兩個相等的實(shí)根，則方程(6-5-1)只得到一個特解，這時(shí)直接驗(yàn)證可知是方程(6-5-)得另一個特解，且與線性無關(guān)，因此微分方程(6-5-1)的通解為 (3) 當(dāng)時(shí)，特征方程(6-5-2)有一對共軛復(fù)根，其中.則方程(6-5-1)有兩個線性無關(guān)的復(fù)數(shù)形式的特解.而在實(shí)際問題中，常用的是實(shí)數(shù)形式的解，為了得到實(shí)數(shù)形式的解.我們先利用歐拉公式把改寫為 由本節(jié)定理1知，微分方程(6-5-1)的兩個解的線性組合仍是它的解，因此實(shí)數(shù)函數(shù) 仍是微分方程(6-5-1)的解，且它們線性無關(guān)，因此方程(6-5

28、-1)的通解為 綜上所述，求二階常系數(shù)線性齊次微分方程(6-5-1)的通解的步驟如下： （1） 寫出微分方程(6-5-1)的特征方程； （2） 求出特征方程的兩個根，； （3） 根據(jù)兩個根的不同情形，按下表寫出微分方程(6-5-1)的通解：特征方程的兩個根，微分方程的通解兩個不相等的實(shí)根，兩個相等的實(shí)根一對共軛復(fù)根 例1 求微分方程y-2y-3y=0的通解. 解 所給微分方程的特征方程為r2-2r-3=0， 即(r+1)(r-3)=0.其根r1=-1， r2=3是兩個不相等的實(shí)根，因此所求通解為y=C1e-x+C2e3x. 例2 求方程y+2y+y=0滿足初始條件y|x=0=4、y| x=0=

29、-2的特解. 解 所給方程的特征方程為r2+2r+1=0，即(r+1)2=0.其根r1=r2=-1是兩個相等的實(shí)根， 因此所給微分方程的通解為y=(C1+C2x)e-x. 將條件y|x=0=4代入通解， 得C1=4， 從而y=(4+C2x)e-x， 將上式對x求導(dǎo)，得y=(C2-4-C2x)e-x. 再把條件y|x=0=-2代入上式，得C2=2. 于是所求特解為x=(4+2x)e-x. 例3 求微分方程y-2y+5y= 0的通解. 解 所給方程的特征方程為r2-2r+5=0.特征方程的根為r1=1+2i, r2=1-2i, 是一對共軛復(fù)根， 因此所求通解為y=ex(C1cos2x+C2sin2

30、x). 方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) + + pn-1y+pny=0，稱為n 階常系數(shù)齊次線性微分方程，其中 p1, p2 , , pn-1, pn都是常數(shù). 二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式， 可推廣到n 階常系數(shù)齊次線性微分方程上去. 引入微分算子D, 及微分算子的n次多項(xiàng)式：L(D)=Dn +p1Dn-1+p2 Dn-2 + + pn-1D+pn，則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作(Dn +p1Dn-1+p2 Dn-2 + + pn-1D+pn)y=0或L(D)y=0. 注：D叫做微分算子D0y=y, Dy=y, D2y=y, D3y=y,

31、,Dny=y(n). 分析： 令y=erx， 則L(D)y=L(D)erx=(rn +p1rn-1+p2 rn-2 + + pn-1r+pn)erx=L(r)erx.因此如果r是多項(xiàng)式L(r)的根， 則y=erx是微分方程L(D)y=0的解. n 階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程： L(r)=rn +p1rn-1+p2 rn-2 + + pn-1r+pn=0稱為微分方程L(D)y=0的特征方程. 根據(jù)特征方程的根，可以寫出其對應(yīng)的微分方程的解如下： （1） 單實(shí)根r 對應(yīng)于一項(xiàng)： Cerx ； （2） 一對單復(fù)根r1, 2=a ib 對應(yīng)于兩項(xiàng)： eax(C1cosbx+C2sinbx)；

32、（3） k重實(shí)根r對應(yīng)于k項(xiàng)：erx(C1+C2x+ +Ck xk-1)； （4）一對k 重復(fù)根r1, 2=a ib 對應(yīng)于2k項(xiàng)： eax(C1+C2x+ +Ck xk-1)cosbx+( D1+D2x+ +Dk xk-1)sinbx.這樣就得到階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解 例4 求方程y(4)-2y+5y=0 的通解. 解 這里的特征方程為r4-2r3+5r2=0，即r2(r2-2r+5)=0.它的根是r1=r2=0和r3, 4=12i. 因此所給微分方程的通解為y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x). 例5 求方程的通解， 其中b0. 解 這里的特征方程為r4+b 4

33、=0.它的根為, . 因此所給微分方程的通解為 . 5.3常系數(shù)非齊次線性微分方程本節(jié)課著重討論二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法. 方程，如果不恒為零，上述方程稱為二階常系數(shù)線性非齊次方程，其中p、q是常數(shù). 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對應(yīng)的齊次方程的通解y=Y(x)與非齊次方程本身的一個特解y=y*(x)之和： y=Y(x)+ y*(x).本節(jié)課只介紹方程右端取如下兩種常見形式時(shí)，求的方法. 型 對于型，其中是常數(shù)，是的次多項(xiàng)式：. 當(dāng)f(x)=Pm(x)elx時(shí)， 可以猜想， 方程的特解也應(yīng)具有這種形式. 下面用待定系數(shù)法求微分方程 （6-5-3）的一個特解.因?yàn)榉匠蹋?-5-

34、3）的右端是多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)的乘積，而多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)之積的導(dǎo)數(shù)仍為多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)之積，聯(lián)系到方程（6-5-3）左端的系數(shù)均為常數(shù)的特點(diǎn)，它的特解也應(yīng)該是多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)之積.因此設(shè)（其中是的待定多項(xiàng)式）是方程（1）的特解.則有 ， ，將代入方程（6-5-3）并約去，得 （6-5-4）（I） 當(dāng)不是特征方程的根時(shí)，即，要使（6-5-4）式的兩端恒等，必須與同次，因此可設(shè)為另一個次多項(xiàng)式：（其中然后將所設(shè)特解代入方程（6-5-3），并通過比較兩端的同次冪系數(shù)來確定.（II）當(dāng)是特征方程的單根時(shí)，則必有而，此時(shí)要使式（6-5-4）兩端恒等，必須是次多項(xiàng)式，從而是次多項(xiàng)式，因此可設(shè)（其中為次待定多

35、項(xiàng)式）.然后將所設(shè)特解代入方程（6-5-3），并用與（I）同樣的方法確定的系數(shù).（III） 當(dāng)是特征方程的二重根時(shí)，則必有且，此時(shí)要使式 （6-5-4）兩端恒等，必須是次多項(xiàng)式，從而是次多項(xiàng)式，因此可設(shè)（其中為次待定多項(xiàng)式）.然后將所設(shè)特解代入方程（6-5-3），并用與（I）同樣的方法確定的系數(shù).綜上所述，我們有如下結(jié)論：二階常系數(shù)線性齊次微分方程 有如下形式的特解其中是與同次（次）的多項(xiàng)式，而按不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的二重根，分別取0，1或2. 例1 求微分方程y-5y+6y=xe2x的特解. 解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程, 且f(x)是Pm(x)elx

36、型(其中Pm(x)=x, l=2). 則與所給方程對應(yīng)的齊次方程為y-5y+6y=0， 它的特征方程為r2-5r +6=0. 解得特征方程有兩個實(shí)根r1=2， r2=3. 由于l=2是特征方程的單根， 所以應(yīng)設(shè)方程的特解為y*=x(b0x+b1)e2x，把它代入所給方程， 得-2b0x+2b0-b1=x.比較兩端x同次冪的系數(shù)，得，-2b0=1， 2b0-b1=0.由此求得， b1=-1. 于是求得所給方程的一個特解為.例 2 求微分方程的一個特解.解 因?yàn)榉匠逃叶?，屬于型，其中，且不是特征方程的根，所以可設(shè)特解為 因而有，將代入原方程并整理，得 比較兩端同次冪的系數(shù)，有解之得所以原方程的特解

37、為.例 3 求微分方程的通解.解 （1）先求對應(yīng)齊次方程的通解 因?yàn)樘卣鞣匠逃袃蓚€相等的實(shí)根，所以對應(yīng)齊次方程的通解為 .（2）求非齊次方程的一個特解 因?yàn)榉匠逃叶耍瑢儆谛?，其中，且是特征方程的二重根，故設(shè)特解為 ，因而有 ， ，將代入原方程并整理，得，比較兩端同次冪的系數(shù)，得，于是特解為 ，所以原方程的通解為. 型 其中為常數(shù)，分別是的次，次多項(xiàng)式，并且其中有一個可以為零. 我們可以推導(dǎo)出這種類型的二階常系數(shù)非齊次微分方程的特解的形式方程y+py+qy=elxPl (x)coswx+Pn(x)sinwx的特解形式 應(yīng)用歐拉公式可得 elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx ， 其中，

38、 而m=maxl, n. 設(shè)方程y+py+qy=P(x)e(l+iw)x的特解為y1*=xkQm(x)e(l+iw)x，則必是方程的特解，其中k按liw不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 于是方程y+py+qy=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx的特解為 =xk elxR(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx. 綜上所述，我們有如下結(jié)論： 如果f(x)=elx Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx， 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y+py+qy=f(x)的特解可設(shè)為y*=xk elxR(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx，其中R(1

39、)m(x)、R(2)m(x)是m次多項(xiàng)式， m=maxl, n， 而k 按l+iw (或l-iw)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1.例 4 求微分方程的一個特解.解 方程右端屬于型，其中，因?yàn)樵匠虒?yīng)的齊次方程的特征方程的根為，故不是特征方程的根，所以可設(shè)特解為 ，因而有 ， ，將代入原方程并整理，得 ，比較兩端同次冪的系數(shù)，有，解之得，所以原方程的特解為. 習(xí)題 6-51求方程下列微分方程的通解 （1）； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6）； (7) ； (8) . 2. 求下列微分方程滿足初始條件下的特解： （1）； （2）； （3）； （4），. 3求

40、下列微分方程的通解 （1）； （2）； （3）； （4）；(5) ； (6) . 4. 設(shè)函數(shù)滿足求. 第6節(jié) 微分方程應(yīng)用 6.1經(jīng)濟(jì)應(yīng)用 如何用微分方程確定商品價(jià)格浮動的規(guī)律 例 1 設(shè)某種商品的供給量與需求量是只依賴于價(jià)格的線性函數(shù)，并假設(shè)在時(shí)刻價(jià)格的變化率與這時(shí)的過剩需求量成正比.試確定這種商品的價(jià)格隨時(shí)間的變化規(guī)律. 解 設(shè) ， （6-6-1） ， （6-6-2）其中，都是已知的正常數(shù). 當(dāng)供給量與需求量相等時(shí)，由（6-6-1）式與（6-6-2）式求出平衡價(jià)格為. 當(dāng)供給量小于需求量時(shí)，價(jià)格將上漲，這樣市場價(jià)格就隨時(shí)間的變化而圍繞平衡價(jià)格上下波動.因而我們設(shè)想價(jià)格是時(shí)間的函數(shù).由假定

41、知道，的變化率與成正比，即 ，其中是正常數(shù).將（1）和（2）代入上式，得 ， （6-6-3）其中，都是正常數(shù).(3) 式是一階線性微分方程，其通解為 如果初始價(jià)格，則（3）式的特解為 ，該式即為商品價(jià)格隨時(shí)間的變化規(guī)律.6.2工程應(yīng)用 建筑構(gòu)件的冷卻時(shí)間如何計(jì)算？ 例 2 建筑構(gòu)件開始的溫度為100，放在20的空氣中，開始的600s溫度下降到60.問從100下降到25需要多長時(shí)間.解 設(shè)物體的溫度為，冷卻系數(shù)，則該問題的方程 ,其初始條件為.方程中的負(fù)號是因?yàn)榻橘|(zhì)溫度20，物體放熱，是降溫過程，此時(shí).該方程是可分離變量的微分方程，也是一階線性非齊次微分方程.其解為 .又因?yàn)殚_始的600s下降到

42、60，即，代入得 .所以，當(dāng)時(shí)， ，解得.即2400s后，物體溫度下降到25.習(xí)題 6-61作直線運(yùn)動的物體的速度與物體到原點(diǎn)的距離成正比，已知物體在10s時(shí)與原點(diǎn)相距100m，在20s時(shí)與原點(diǎn)相距200m,求物體的運(yùn)動規(guī)律.2試建立常微分方程，從微分方程的角度說明正確的減體重的方法.設(shè)每天的飲食可產(chǎn)生熱量,用于新陳代謝消耗熱量，活動消耗熱量體重，并且理想假定減重時(shí)產(chǎn)生的熱量主要由脂肪提供，每千克脂肪轉(zhuǎn)化的熱量為，記為體重，于是平衡方程為：.第7節(jié) MATLAB軟件的應(yīng)用MATLAB中主要用dsolve來求解常微分方程的解析解，ode45,ode23,ode15s求解數(shù)值解，其中dsolve常用命令格式為：S=dsolve（方程1,方程2，.,初始條件1,.,初始條件2,.,自變量）ode45是最常用的求解微分方程數(shù)值解的命令，對于剛性方程組不宜采用，ode23與ode45類似，只是精度低一些，ode12s用來求解剛性方程組，是用格式同ode45.可以用help dsolve, help ode45查閱有關(guān)這些命令的詳細(xì)信息. 例1 求下列微分方程的解析解（1）；（2）；（3）. 解 （1）輸入命令： clear; s=dsolve(Dy=a*y+b) 輸出結(jié)果： s =-b/a+exp(a*t)*C1（2）輸入命令：clear; s=ds