位值原理與數(shù)的進(jìn)制.教師版

1、目tM怔 教學(xué)目標(biāo)本講是數(shù)論知識體系中的兩大基本問題，也是學(xué)好數(shù)論知識所必須要掌握的知識要點(diǎn)。通過本講的學(xué) 習(xí)，要求學(xué)生理解并熟練應(yīng)用位值原理的表示形式，掌握進(jìn)制的表示方法、各進(jìn)制間的互化以及二進(jìn)制與 實(shí)際問題的綜合應(yīng)用。并學(xué)會在其它進(jìn)制中位值原理的應(yīng)用。從而使一些與數(shù)論相關(guān)的問題簡單化。戢Ml世 知識點(diǎn)撥、位值原理位值原理的定義： 同一個(gè)數(shù)字，由于它在所寫的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)值也不同。也就是說， 每一個(gè)數(shù)字除了有自身的一個(gè)值外，還有一個(gè)“位置值”。例如“ 2” ,寫在個(gè)位上，就表示 2個(gè)一，寫在百位上，就表示2個(gè)百，這種數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來表示數(shù)的原則，稱為寫數(shù)的位值原理。位值原理的表

2、達(dá)形式：以六位數(shù)為例： abcdef =ax 100000+bx 10000+cx 1000+dx 100+ex 10+f。二、數(shù)的進(jìn)制我們常用的進(jìn)制為十進(jìn)制，特點(diǎn)是“逢十進(jìn)一”。在實(shí)際生活中，除了十進(jìn)制計(jì)數(shù)法外，還有其他的大于1的自然數(shù)進(jìn)位制。比如二進(jìn)制，八進(jìn)制，十六進(jìn)制等。二進(jìn)制：在計(jì)算機(jī)中，所采用的計(jì)數(shù)法是二進(jìn)制，即“逢二進(jìn)一”。因此，二進(jìn)制中只用兩個(gè)數(shù)字0和1。二進(jìn)制的計(jì)數(shù)單位分別是1、21、22、23、，二進(jìn)制數(shù)也可以寫做展開式的形式，例如100110在二進(jìn)制中表示為：(100110) 2=1 X 2 +0X 2 +0X 2 +1X 2 +1 x 2 +0X 2。二進(jìn)制的運(yùn)算法則：“

3、滿二進(jìn)一”、“借一當(dāng)二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。 注意：對于任意自然數(shù)n,我們有n°=1on進(jìn)制：n進(jìn)制的運(yùn)算法則是“逢 n進(jìn)一，借一當(dāng)n”，n進(jìn)制的四則混合運(yùn)算和十進(jìn)制一樣，先乘除，后 加減；同級運(yùn)算，先左后右；有括號時(shí)先計(jì)算括號內(nèi)的。例題精講模塊一、位置原理【例1】 某三位數(shù)abc和它的反序數(shù)cba的差被99除，商等于 與的差；【解析】本題屬于基礎(chǔ)型題型。我們不妨設(shè)a> b > c。(abc- Cba )+ 99=(100a+10b+c)-(100c+10b+a) 十 99=(99a-99c)十 99=a-c ;【鞏固】an與ba的差被9

4、除，商等于與的差；【解析】(ab-bi)- 9=(10a+b)-(10b+a)- 9=(9a-9b) - 9=a-b ;【鞏固】ab與ba的和被11除，商等于 與的和?！窘馕觥?旺+ba)- 1仁(10a+b)+(10b+a)- 11=(11a+11b) - 1仁a+b?！纠?】(美國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)把一個(gè)兩位數(shù)的十位與個(gè)位上的數(shù)字加以交換，得到一個(gè)新的兩位數(shù)如果原來的兩位數(shù)和交換后的新的兩位數(shù)的差是45,試求這樣的兩位數(shù)中最大的是多少？【解析】設(shè)原來的兩位數(shù)為ab，交換后的新的兩位數(shù)為ba，根據(jù)題意，ab -ba =(10a b) (10b -a) =9(a -b) =45 , a -b

5、=5，原兩位數(shù)最大時(shí)，十位數(shù)字至多為9，即a =9 , b =4，原來的兩位數(shù)中最大的是94【鞏固】將一個(gè)四位數(shù)的數(shù)字順序顛倒過來，得到一個(gè)新的四位數(shù)(這個(gè)數(shù)也叫原數(shù)的反序數(shù) )，新數(shù)比原數(shù)大8802 .求原來的四位數(shù).【解析】設(shè)原數(shù)為abcd，則新數(shù)為dcba,dcba -abcd =(1000d100c 10b a) -(1000a 100b 10c d) =999(d - a) 90(c - b).根據(jù)題意，有 999(d a) 90(cb) =8802 , 111 (d -a) 10 (cb) =978 =888 90 . 推知 d-a=8 , c-b=9，得到 d=9 , a =1

6、, c=9 , b=0，原數(shù)為 1099.【鞏固】如果一個(gè)自然數(shù)的各個(gè)數(shù)碼之積加上各個(gè)數(shù)碼之和，正好等于這個(gè)自然數(shù)，我們就稱這個(gè)自然數(shù)為“巧數(shù)”。例如，99就是一個(gè)巧數(shù)，因?yàn)?9X 9+ (9 + 9) = 99。可以證明，所有的巧數(shù)都是兩位 數(shù)。請你寫出所有的巧數(shù)?！窘馕觥吭O(shè)這個(gè)巧數(shù)為ab，則有ab+a+b=10a+b, a(b+1)=10a，所以b+1=10, b=9。滿足條件的巧數(shù)有：19、29、39、49、59、69、79、89、99?！纠?】(第五屆希望杯培訓(xùn)試題)有3個(gè)不同的數(shù)字，用它們組成6個(gè)不同的三位數(shù)，如果這6個(gè)三位 數(shù)的和是1554，那么這3個(gè)數(shù)字分別是多少？【解析】設(shè)這六

7、個(gè)不同的三位數(shù)為 abc,acb,bac,bca,cab,cba ,因?yàn)?abc 100a 10b c, acb =100a 10c b ,，它們的和是：222 (a b c) =1554，所以abc =1554 "222 =7 ,由于這三個(gè)數(shù)字互不相同且均不為0,所以這三個(gè)數(shù)中較小的兩個(gè)數(shù)至少為1 , 2,而7-(1 2) =4，所以最大的數(shù)最大為 4;又1 23=6：7，所以最大的數(shù)大于 3, 所以最大的數(shù)為 4,其他兩數(shù)分別是1, 2.【鞏固】(迎春杯決賽)有三個(gè)數(shù)字能組成 6個(gè)不同的三位數(shù)，這6個(gè)三位數(shù)的和是 2886，求所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中最小的三位數(shù).【解析】設(shè)三個(gè)數(shù)字

8、分別為 a、b、c,那么6個(gè)不同的三位數(shù)的和為：abc acb bac bca cab cba =2(a b c) 100 2(a b c) 10 2(a b c)二 222 (a b c) 所以a b c =2886-'222 =13，最小的三位數(shù)的百位數(shù)應(yīng)為1，十位數(shù)應(yīng)盡可能地小，由于十位數(shù)與個(gè)位數(shù)之和一定，故個(gè)位數(shù)應(yīng)盡可能地大，最大為9，此時(shí)十位數(shù)為13-1-9 = 3，所以所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中最小的三位數(shù)為139 .【鞏固】用1, 9, 7三張數(shù)字卡片可以組成若干個(gè)不同的三位數(shù)，所有這些三位數(shù)的平均值是多少？【解析】卡片“9”倒過來看是“ 6”。作為卡片“ 9”，由第3題的結(jié)

9、果可知，1, 9, 7可組成的六個(gè)不同的 三位數(shù)之和是(1 + 9 + 7)X 222;同理，作為卡片“ 6”，1, 6, 7可組成的六個(gè)數(shù)之和是(1 + 6 + 7)X 222。這 12 個(gè)數(shù)的平均值是：(1 + 9 + 7) + ( 1+ 6+ 7) X 222- 12= 573.5?！眷柟獭繌?9九個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)，用這三個(gè)數(shù)可組成六個(gè)不同的三位數(shù)。若這六個(gè)三位數(shù)之和是精選資料，歡迎下載【解析】【鞏固】【解析】【例4】【解析】【鞏固】【解析】【鞏固】【解析】【例5】【解析】【鞏固】【解析】3330,則這六個(gè)三位數(shù)中最小的可能是幾？最大的可能是幾？設(shè)這三個(gè)數(shù)字分別為 a、b、c。由于每個(gè)數(shù)

10、字都分別有兩次作百位、十位、個(gè)位，所以六個(gè)不同的三位數(shù)之和為 222x( a+ b + c)= 3330，推知a+ b + c = 15。所以，當(dāng)a、b、c取1、5、9時(shí), 它們組成的三位數(shù)最小為159,最大為951。a, b, c分別是0L 9中不同的數(shù)碼，用 a, b, c共可組成六個(gè)三位數(shù)，如果其中五個(gè)三位數(shù) 之和是2234,那么另一個(gè)三位數(shù)是幾？ 由a , b , c組成的六個(gè)數(shù)的和是 222 (a b c) 因?yàn)?234 222 10，所以a b c 10 若a b c =11，則所求數(shù)為 若a b c =12，則所求數(shù)為 若a b c =13，則所求數(shù)為 若a b c =14，則所

11、求數(shù)為222 11 2234=208，但 2 0 8 = 10=11，不合題意.222 12 2234=430，但 4 3 0 = 7 = 12，不合題意.222 13-2234=652, 6 5 2=13，符合題意.222 14 -2234=874，但 8 7 4 =19 =14，不合題意.若a b c _15，則所求數(shù)_222 15-2234=1096，但所求數(shù)為三位數(shù)，不合題意.所以，只有a b y=13時(shí)符合題意，所求的三位數(shù)為652.在兩位自然數(shù)的十位與個(gè)位中間插入09中的一個(gè)數(shù)碼，這個(gè)兩位數(shù)就變成了三位數(shù)，有些兩位數(shù)中間插入某個(gè)數(shù)碼后變成的三位數(shù)，恰好是原來兩位數(shù)的9倍。求出所有這

12、樣的三位數(shù)。因?yàn)樵瓋晌粩?shù)與得到的三位數(shù)之和是原兩位數(shù)的10倍，所以原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)只能是 0或5。如果個(gè)位數(shù)是0，那么無論插入什么數(shù)，得到的三位數(shù)至少是原兩位數(shù)的10倍，所以個(gè)位數(shù)是 5。設(shè)原兩位數(shù)是 ab，貝U b=5，變成的三位數(shù)為 ab5,由題意有 100a+ 10b + 5=( 10a+ 5)x 9，化 簡得a+ b= 4。變成的三位數(shù)只能是 405, 315, 225, 135。一輛汽車進(jìn)入高速公路時(shí)，入口處里程碑上是一個(gè)兩位數(shù)，汽車勻速行使，一小時(shí)后看到里程碑 上的數(shù)是原來兩位數(shù)字交換后的數(shù)。又經(jīng)一小時(shí)后看到里程碑上的數(shù)是入口處兩個(gè)數(shù)字中間多一個(gè)0的三位數(shù)，請問：再行多少小時(shí)，可看

13、到里程碑上的數(shù)是前面這個(gè)三位數(shù)首末兩個(gè)數(shù)字交換 所得的三位數(shù)。設(shè)第一個(gè)2位數(shù)為10a+b ;第二個(gè)為10b+a ;第三個(gè)為100a+b ;由題意：(100a+b)-(10b+a)=(10b+a)-(10a+b);化簡可以推得 b=6a, 0< a,b < 9,得 a=1, b=6;即每小時(shí)走 61-16=45 ;(601-106)十45=11;再行11小時(shí)，可看到里程碑上的數(shù)是前面這個(gè)三位數(shù)首末兩個(gè)數(shù)字交換所 得的三位數(shù)。將四位數(shù)的數(shù)字順序重新排列后，可以得到一些新的四位數(shù).現(xiàn)有一個(gè)四位數(shù)碼互不相同，且沒有0的四位數(shù)M，它比新數(shù)中最大的小 3834,比新數(shù)中最小的大 4338.求這

14、個(gè)四位數(shù).設(shè)組成這個(gè)四位數(shù)的四個(gè)數(shù)碼為a , b , c , d(d_1),則有 abcd -dcb 3834 4338 =8172 ,可得 999(a -d) 90 (b-c) =8172 =7992180 ,則 a-d =8 , b-c=2, a =9 , d =1 , M =尿 4338，且 M的四位數(shù)字分別為 1、c、b、9 , 由于8 9 =17的個(gè)位數(shù)字為7 ,所以b , c中有一個(gè)為7,但b-c 2 ,所以c不能為7 ,故b = 7, c=5, M =1579 4338=5917.已知 abcd abc ab a =1370,求abcd . 原式：1111a+ 111b+ 11c

15、 + d = 1370 ,所以 a= 1 , =2 ；進(jìn)而推知 c = 3 , d=4 所以 abcd=1234。則 111b + 11c + d= 1370- 1111 = 259 ,推知 b(2008年清華附中考題)已知一個(gè)四位數(shù)加上它的各位數(shù)字之和后等于2008 ,則所有這樣的四位數(shù)之和為多少.設(shè)這樣的四位數(shù)為 abcd ,貝U abcd a b c d =2008 ,即 101 aDI 1b 2c 2S8=,貝U a =1或2.若 a =2,則 101b 11c 2d =6 ,得 b=c=0, d =3 ,贏=2003 ;若 a =1 ,則 1 0b 1 c1 1 d =2,由于 11

16、c 2d 11 9 2 9=117 ,所以1 0b 11 £ 0 7口 , 1 所以 b 8 ,故 b 為 9 , 11c 2d =1007-909=98 ,貝U c 為偶數(shù)，且11c_98-2 9 =80,故 c 7,由 c 為偶數(shù)知 c=8, d =5 , abed =1985 ;精選資料,歡迎下載【例6】 有一個(gè)兩位數(shù)，如果把數(shù)碼3加寫在它的前面，則可得到一個(gè)三位數(shù)，如果把數(shù)碼3加寫在它的后面，則可得到一個(gè)三位數(shù)，如果在它前后各加寫一個(gè)數(shù)碼3,則可得到一個(gè)四位數(shù)將這兩個(gè)三位數(shù)和一個(gè)四位數(shù)相加等于3600 求原來的兩位數(shù).【解析】設(shè)原來的兩位數(shù)是ab，則得到的兩個(gè)三位數(shù)分別為ab

17、3和3ab，四位數(shù)為 3ab3，由題知ab3 3ab 3ab3 =3600，即 10 a 3 30033 10 ： ：30b, 21 ab = 294，故 ab =14 .【鞏固】如果把數(shù)碼5加寫在某自然數(shù)的右端，則該數(shù)增加A1111，這里A表示一個(gè)看不清的數(shù)碼，求這個(gè)數(shù)和A?！窘馕觥吭O(shè)這個(gè)數(shù)為x，則10x+5-x= A1111,化簡得9x= A1106，等號右邊是9的倍數(shù)，試驗(yàn)可得A=1,x=1234。【鞏固】某八位數(shù)形如2abcdefg，它與3的乘積形如abcdefg4，則七位數(shù)abcdefg應(yīng)是多少？【解析】設(shè) abcdefg =x ,貝U 2a b c d e2 f gl 0 , ab

18、cxefg4 =10x 4 , 根據(jù) 題意， 有2 107 x 3=10x 4，得 7x=6 107 -4 =59999996，所以 x =8571428.【例7】 一個(gè) 六位數(shù)abcdef ,如 果滿足4 abcdef fabcde ,則 稱abcdef為"迎 春數(shù)”（例如 4 102564 = 410256，貝U 102564就是“迎春數(shù)”）.請你求出所有“迎春數(shù)”的總和.【解析】由于是把六位數(shù)abcdef的末位f調(diào)到首位構(gòu)成了新六位數(shù)fabcde，所以不妨把a(bǔ)bcde看成一個(gè)整體，設(shè)abcde二A ,則根據(jù)位值原理可知“迎春數(shù)”是10A f ,并滿足關(guān)系式： 4 10A f j

19、=100000f A .對等式化簡得：39 A =99996 f .所以：A =2564 f .因?yàn)锳是五位數(shù)，f是一位數(shù)，所以f可以為4, 5, 6,乙8, 9.而“迎春數(shù)” abcdef =10A f =10 2564 f f =25641 f ,那么，所有“迎春數(shù)”的總和是：25641 4 5 6 7 8 9 =25641 39 =999999 .【鞏固】（2008年“華杯賽”決賽）設(shè)六位數(shù)abcdef滿足fabcde = f abcdef，請寫出這樣的六位數(shù).此時(shí)可將f =1 , 2,3,【解析】令 abcde =x，則：fabcde = f 105 x,f 105 - fx =10f

20、 -1x =111111;當(dāng)f =4時(shí)，x =102564.只有這兩個(gè)數(shù)滿足條件.由于將f可能的值一一代入進(jìn)行檢驗(yàn)有些麻煩，可以將其進(jìn)行如下變形后再進(jìn)行:5f 10 -f105f -f2x =10f -110f -1°5f "°4 10-廠=104 衛(wèi) 匕，所以 X1010 -10f -110f -110f -1x -10410 f105 -10f2-10 f -1105 -10f210f2 -f-10f -1105 _ f10f -1是整數(shù).106 10 f 10 力一 f 1 f D 1 999設(shè)其為a，則10 a 11是整數(shù)，所以10f -1是10 f 11

21、0 f110-1-10 1f -999999的約數(shù).當(dāng) f =1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 時(shí)，10f -1 分別為 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89,o由999999 =37 11 13 37容易知道其中只有 9和39是999999的約數(shù)，此時(shí)f分別為1和4 .這樣的六位數(shù)有 111111和102564.例 8】 記四位數(shù)abcd為X ,由它的四個(gè)數(shù)字a,b,c,d 組成的最小的四位數(shù)記為 X ,如果 X -X* =999，那么這樣的四位數(shù) X共有個(gè).【解析】X -X* =999得到X =999 X ” = X ” 1000 -1，所

22、以如果a、b、c、d組成的四位數(shù) X”末位數(shù)字不是0，那么X等于將X "的千位數(shù)字加1,個(gè)位數(shù)字減1,反過來X”等于X的千位數(shù)字減1 ,個(gè)位數(shù)字加1，所以X “為a _1 bc d 1 ,與X比較，b和c位置沒有換，交換的是 a和d , X 表示為dbca,可以得到等式a-1=d，即a=d1.所以a和d的取值組合，只有2和1,3和2,9和8,共8種情況.對于其中任意一種組合，由于 dbca是由四個(gè)數(shù)字 a b、c、d組成的最小的四位數(shù)，分別考慮 b、 c中有0的情況(可能兩個(gè)都為0;若只有一個(gè)0，則b = 0 , d乞c乞a);以及b、c都不為0的情 況(此時(shí)d乞b乞c乞a)，可知兩

23、種情況下各有 3種可能，共6種可能：d00a , d0da , d0aa , ddda , ddaa , aa .比如以 a =4 , d =3為例，dbca 可能的取值有 3004, 3034 , 3044 , 3334 , 3344 , 34444這6個(gè)數(shù).根據(jù)乘法原理，滿足條件的四位數(shù)一共有8 6 =48種.如果a、b、c、d組成的最小的四位數(shù) X “末位數(shù)字是0 ,顯然X"的百位、十位都是 0 ,此時(shí)a、 b、c、d無法組成其它的四位數(shù)，不合題意.由于每一個(gè)X”對應(yīng)一個(gè)X ,所以滿足條件的四位數(shù)X共有48個(gè).【例9】 將4個(gè)不同的數(shù)字排在一起，可以組成24個(gè)不同的四位數(shù)(4

24、3 2 1 =24).將這24個(gè)四位數(shù)按從小到大的順序排列的話，第二個(gè)是5的倍數(shù)；按從大到小排列的話，第二個(gè)是不能被4整除的偶數(shù)；按從小到大排列的第五個(gè)與第二十個(gè)的差在30004000之間.求這24個(gè)四位數(shù)中最大的那個(gè).【解析】從題中可以看出，這 4個(gè)數(shù)都不為0.設(shè)這4個(gè)不同的數(shù)從小到大依次為a,b,c,d ，它們組成的24個(gè)四位數(shù)中，第二小的是abdc,是5的倍數(shù)，又c不為0,所以c = 5.它們組成的24個(gè)四位數(shù)中，第二大的是 議，是2的倍數(shù)但不是4的倍數(shù)，所以b是偶數(shù)，而ab 不是4的倍數(shù)由b是偶數(shù)且b ：:C =5知b為4或2若為2，那么a =1，但此時(shí)ab =12是4的 倍數(shù)，矛盾，

25、所以，又 Ob不是4的倍數(shù)，所以a為1或3.它們組成的 24個(gè)四位數(shù)中，第五小的為 adbc (最小的5個(gè)依次為abcd , abdc , acbd , acdb , adbc)，第五大(第二十小)的為dacb (最大的5個(gè)依次為dcba , dcab , dbca , dbac , dacb ), 所以dacb-adbc得到的四位數(shù)的千位為3.由于a :d ,所以acb ： dbc ,那么減法算式中百位要向千位借位，所以d-1-a=3,故d =a 4 .又dc = 5,所以a 1,那么a = 3 , d = 7 , 它們組成的24個(gè)四位數(shù)中最大的為 dcba ,即7543.模塊二、數(shù)的進(jìn)制【

26、例 10 】(101)2 勺1011)2 (11011)2 =； (11000111)2 (10101)2 十(11)2 =()2 ； (3021)4 +(605)7 =()10 ； (63121)8 (1247)8 (16034)8 -(26531)(1744)； 若(1030人=140，貝V n =.【解析】 對于這種進(jìn)位制計(jì)算，一般先將其轉(zhuǎn)化成我們熟悉的十進(jìn)制，再將結(jié)果轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的進(jìn)制：(101)2%1011)2 (11011)2 =(5)10 X(11)10 (27)10 =(28)10 =(11100)1。； 可轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制來計(jì)算：(11000111) -(10101) 2 -

27、9;(112 =(199)10 -(21)10-10 =(192)10 =(11000000)；如果對進(jìn)制的知識較熟悉，可直接在二進(jìn)制下對(10101) 2 一：一(11 2進(jìn)行除法計(jì)算，只是每次借位都是 2,可得(11000111)2 -(10101)2 " (11)2 =(11000111)2 -(111)2 =(11000000)2 ； 本題涉及到3個(gè)不同的進(jìn)位制，應(yīng)統(tǒng)一到一個(gè)進(jìn)制下.統(tǒng)一到十進(jìn)制比較適宜：(3021)4(605)7 =(3432 41)1°(6725朮=(500)1°； 十進(jìn)制中，兩個(gè)數(shù)的和是整十整百整千的話，我們稱為“互補(bǔ)數(shù)”，湊出“互補(bǔ)

28、數(shù)”的這種方法叫“湊整法”，在n進(jìn)制中也有“湊整法”，要湊的就是整n .原式=(63121)8 -(1247)8 (26531)8】-(16034)8 (1744)8】= (63121)8 -(30000)8 -(20000)8 =(13121)8 ； 若(1030)n =140，則 n3 3n =140，經(jīng)試驗(yàn)可得 n =5 .【鞏固】 567 =() 8 =() 5 =() 2 ； 在八進(jìn)制中，1234456322=； 在九進(jìn)制中，14438+3123712011770 + 5766=.【解析】本題是進(jìn)制的直接轉(zhuǎn)化：567 =(1067)8 =(4232)5 =(1000110111)2

29、; 原式 =1234 _(456 322) =1234 _ 1000 =234 ; 原式 =14438(3123 5766) _(712011770) =14438 10000 20000 =4438 .【例11】在幾進(jìn)制中有4 13=100?【解析】利用尾數(shù)分析來解決這個(gè)問題：由于(4)10 (3)1。=(12)10，由于式中為100,尾數(shù)為0，也就是說已經(jīng)將 12全部進(jìn)到上一位. 所以說進(jìn)位制n為12的約數(shù)，也就是12, 6, 4, 3, 2中的一個(gè).但是式子中出現(xiàn)了 4,所以n要比4大，不可能是4, 3, 2進(jìn)制.另外，由于(4)10 (13)1(52)10，因?yàn)?2 :：: 100，也

30、就是說不到 10就已經(jīng)進(jìn)位，才能是 100,于 是知道n <10，那么n不能是12.所以，n只能是6.【鞏固】在幾進(jìn)制中有125 125=16324?【解析】注意(125)10 (125)1(15625)10，因?yàn)?5625 <16324，所以一定是不到 10就已經(jīng)進(jìn)位，才能得到 16324，所以 n ：10 .再注意尾數(shù)分析，(5)10 (5)10 =(25)10，而16324的末位為4，于是25-4 = 21進(jìn)到上一位. 所以說進(jìn)位制n為21的約數(shù)，又小于10,也就是可能為 7或3.因?yàn)槌霈F(xiàn)了 6，所以n只能是7.【鞏固】算式1534 25 =43214是幾進(jìn)制數(shù)的乘法？【解析

31、】注意到尾數(shù)，在足夠大的進(jìn)位制中有乘積的個(gè)位數(shù)字為4 5 =20，但是現(xiàn)在為 4,說明進(jìn)走20 -4 =16，所以進(jìn)位制為16的約數(shù)，可能為16、8、4或2.因?yàn)樵街杏袛?shù)字 5,所以不可能為4、2進(jìn)位，而在十進(jìn)制中有1534 25=38350： 43214,所以 在原式中不到10就有進(jìn)位，即進(jìn)位制小于10,于是原式為8進(jìn)制.【例12】將二進(jìn)制數(shù)(11010.11)2 化為十進(jìn)制數(shù)為多少？【解析】根據(jù)二進(jìn)制與十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)化方法， (11010.11)2=1X 24+1 X 23+0X 22+1 X 21+0X 20+1 X 2-1 + 1X 2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=2

32、6.75。【鞏固】二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為8進(jìn)制數(shù)是多少?解析】根據(jù)二進(jìn)制與八進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)化方法推導(dǎo)出二八對照表：八進(jìn)制數(shù)01234567二進(jìn)制數(shù)000001010011100101110111從后往前取三合一進(jìn)行求解，可以得知【鞏固】將二進(jìn)制數(shù)11101001.1011轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)?！窘馕觥吭谵D(zhuǎn)換為高于9進(jìn)制的數(shù)時(shí)，遇到大于9的數(shù)用字母代替，女口： A代表10、B代表11、C代表12、 D代表13。根據(jù)取四合一法，二進(jìn)制 11101001.1011轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制為 E9.B。【鞏固】某數(shù)在三進(jìn)制中為，則將其改寫為九進(jìn)制，其從左向右數(shù)第I位數(shù)字是幾？【解析】由于32=9，所以由三進(jìn)制化為 9進(jìn)制需要

33、取二合一。從后兩個(gè)兩個(gè)的取，取至最前邊為12,用位值原理將其化為 1X 31+2X 30=5，所以化為9進(jìn)制數(shù)后第一位為 5.【例13】現(xiàn)有1克，2克，4克，8克，16克的砝碼各1枚，在天平上能稱多少種不同重量的物體？【解析】因?yàn)轫来a的克數(shù)恰好是 1 ,2,4, 8, 16,而二進(jìn)位制數(shù)從右往左數(shù)各位數(shù)字分別表示：1, 2,22=4 ,23=8 , 24=16,在砝碼盤上放1克砝碼認(rèn)為是二進(jìn)位制數(shù)第一位(從右數(shù))是1,放2克砝碼認(rèn)為是二進(jìn)位制數(shù)第二位是 1, ，放16克砝碼認(rèn)為是二進(jìn)位制數(shù)第五位是1,不放砝碼就認(rèn)為相應(yīng)位數(shù)是零，這樣所表示的數(shù)中最小的是1 ,最大的是(11111)2=24+23

34、 + 22+ 21 + 20=(31)10 ,這就是說1至31的每個(gè)整數(shù)(克)均能稱出。所以共可以稱出31種不同重量的物體?！纠?4】在6進(jìn)制中有三位數(shù)abc，化為9進(jìn)制為cba，求這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為多少？【解析】(abc)6 =ax 62+ bx 6+c=36a+6b+c; (cba)9=c x 92+b x 9+a=81c+9b+a;所以 36a+6b+c=81c+9b+a ; 于是35a=3b+80c;因?yàn)?5a是5的倍數(shù)，80c也是5的倍數(shù)所以3b也必須是5的倍數(shù)，又(3 , 5)=1 .所以，b=0 或 5. 當(dāng) b=0,則 35a=80c;則 7a=16c； (7, 16)=1

35、，并且 a、c豐 0,所以 a=16, c=7。但是在 6,9 進(jìn)制，不可以有一個(gè)數(shù)字為16. 當(dāng) b=5,貝U 35a=3x 5+80c;貝U 7a=3+16c; mod7 后，3+2c三 0。所以 c=2 或者 2+7k(k 為整數(shù)).因?yàn)橛?進(jìn)制，所以不可能有9或者9以上的數(shù)，于是c=2;35a=15+80X 2 ,a=5。所以(abc)6 =(552)6 =5X 62+5 x 6+2=212。這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為212。【鞏固】在7進(jìn)制中有三位數(shù)abc，化為9進(jìn)制為cba，求這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為多少？【解析】首先還原為十進(jìn)制：2 2(abc)7 =a 7 b 7 c =49a 7b

36、 c; (cba)9 =c 9 b 9 a = 81c 9b a .于是 49a 7b c =81c 9b a ；得到 48a =80c 2b，即 24a =40c b .因?yàn)?4a是8的倍數(shù)，40c也是8的倍數(shù)，所以b也應(yīng)該是8的倍數(shù)，于是b =0或8. 但是在7進(jìn)制下，不可能有 8這個(gè)數(shù)字.于是b=0, 24a=40c，則3a =5c .所以a為5的倍數(shù)，c為3的倍數(shù).所以，a=0或5,但是，首位不可以是0，于是a=5 , c =3 ;所以(abc)7 =(503)7 =5 493 =248 .于是，這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為248.【鞏固】一個(gè)人的年齡用十進(jìn)制數(shù)和三進(jìn)制數(shù)表示，若在十進(jìn)制數(shù)末

37、尾添個(gè)“0”就是三進(jìn)制數(shù)，求此人的年齡.【解析】設(shè)這個(gè)人為a歲，得a(10)二爲(wèi)，又喬二a 31 0 3° =3q10)，解得a = 0，不合題意，所以 這個(gè)人的年齡不可能是一位數(shù). 設(shè)這個(gè)人是ab歲，由題意得：ag0)=ab0(3).因?yàn)?ab=10ab,ab0(3)=a32b31030=9a3b ,所以 10ab =9a3b ,即 a=2b .又因?yàn)閍b0是三進(jìn)制數(shù)，a, b都小于3，所以a = 2 , b =1 .所以，這個(gè)人為 21歲. 設(shè)這個(gè)人為abc歲，由題意有，abq10)=abc0(3),因?yàn)閍bq10)=100a 10b c , abc0(3) =a 33 b 32

38、 c 3=27a 9b 3c，所以 100a 10b c = 27a 9b 3c 即 7 a b 2c 又 a、b、c都小于3，所以上述等式不成立.所以這個(gè)人的年齡不可能是三位數(shù).綜上可知這個(gè)人的年齡是21歲.【鞏固】N是整數(shù)，它的b進(jìn)制表示是777，求最小的正整數(shù) b，使得N是十進(jìn)制整數(shù)的四次方.【解析】設(shè)b是所求的最小正整數(shù)，7b2 7b x4 x N ，因?yàn)橘|(zhì)數(shù)7能整除7b2 7b 7，所以也能 整除x,不妨設(shè)x =7m, m是大于0的自然數(shù)。貝7b2 7bj/m 4 ,化簡得：b2 b 1 =73m4 ,易知，b的值隨m的增大而增大，當(dāng) m=1時(shí)，b=18。【例15】試求(2 2006-1)除以992的余數(shù)是多少？(992) 10=(1111100000)2 , (2 2006定能整除解析】我們通過左式的短除法，或者直接運(yùn)用通過2次幕來表達(dá)為2