向量空間與線性變換

1、向量空間典型例題:1設1，： 2,川,n V線性無關，問1叫，2比3，|l，n 1是否線性無關? 解：設人I"匕2 丨11心i：s叱可i； = °即 k1 kn ：k1 k2knA kn= 0由1,2,川,n是線性無關知，Kkn -0100 11廠由A=1III1III0 1III 11 0II IIInd!=1+(1)n為奇數(shù)n為奇數(shù)<000 11 1 >knjkn =0當n為奇數(shù)時，1乜2,2比3,川,n F線性無關。，知2在n維線性空間V中，設關于基1,2ll|n的坐標為a1,a2,|lan ,a 0,試求V的一組基，使得：關于這組基的坐標為10,111,

2、0。解：由=aa2,a.«1）丨，設密2川Bn為另一組基，則Ct :r1=（1,0，,0）丨 胡,所以S八二a1 川 an則1, Jn線性無關且滿足題意。3證明：設n維向量空間V可以表示為n個一維子空間的直和。證明：設：2,川n是V的一組基，令Wj二L : ,i=1,2,ll）,n則W1 WH Wn V顯然成立，設-V,則二心J川-kn n又 kr r W1,IH,knnWn，所以：W1W2HWn，即 W1W2IWnVV =w1W2川 wn又由維數(shù)公式知維V = n =維w, i亠維W2 川維Wn所以 w, w2 T |wn 是直和，即 w,二 w2 二 | H 二 wn故 V =

3、w,二 w?：.川：.wn。證畢！4 設A2 =A,y,V2分別是n元齊次線性方程組AX =0和A-E X =0的解空 間，證明：Fn =7,二 V2。證明：顯然V, V2 Fn，下證V, V2二Fn任意 X Fn，貝卩 X 二 AX ：； AE X 己 AXXjA EXX?由 A-E Xi =A-E AX W.A2 - A X =0知 X, V2同理 X2 V,故V, V2 二 Fn綜上 Fn =V, V2。對任意的 X V,V2，有 AX = 0, A - E X = 0，所以 X = 0，故 V, ' V2 一0： 故 Fn =V,二 V2。證畢！注意：晶本題的證法是證明直和最常

4、用的方法，第一步證明"="號成立；第二步是證明直和"二"成立。晶本題的逆命題同樣成立。證明：由Fn -V V2，知維 V, 維V2 =n從而 n 秩 A秩 AE 二n,即秩 A - 秩 AE 二n 故 A2 = A。5 設V,.A Mn F | A A , Vf.A Mn F | AA，證明:Mn F二 V2。分析：（D A二亠丄上乞（2）VJV2=4證明：（略）。證畢!2 26設g . L Vn.:，證明:Im |宀i,ker . |是.的不變子空間。證明：（1）任意的醪Vn ,則-it I:- .；:-=；.:- Im ；丁故Im I、，是.的不變子

5、空間（2）任意的I二ker二,則廠一：=0又；-二.:二-=0從而i"kerj,所以kem是.的不變子空間。證畢！7設5三LVn，二在基?1, ：'2-n下的矩陣A為對角行二Vn可以表示為n個一維不變子 空間的直和。證明:斗：由條件，知 頁何見，叫=©1，吆Qn ） I'、Z-n 因此:珀 i； V j, i =1,2川 I，n，令 Wj = L :- i ，則 Vn =則二 w2 ： HI 二 wn。=:設Vn =W|二w2 ： HI : Wn，維 Wi = 1,且Wj是二的不變子空間。在W中任取非零向量«i，由于Wj是口的不變子空間，所以（碼盧

6、Wi又維 Wi =1，故；： i = i： i,i =1,2,ll）,n，故12,llln是Vn 的一組基。仏'由 b（Gi ）=3i,i =1,2,111, n 知 b（%,G2，,5 ）=（口102，,On ） I 。證IXn丿畢！8 維 L Mn F ： o!。分析：利用同構思想。9設A是n階可逆矩陣，g,B是n維列向量，求證：人A-aBT有一根為0TA°a,其 余根為零。證明：因為 A出T = All E - A，gT = A zF；TA七所以”AaBT有一根為PTAa,其余根為零。證畢！ 注意：利用如下定理： 設矩陣圈曇口即，則園。10 設 A =G+a；aa；II

7、Ia1a na； a+1+a|IIIa1a n卜+(ana1¥ana2III1+a；,求A的特征根和A。解：注意到A二1 + a；aa22IIIa£n玄2玄11 +a2IIIa£n=E +4+*I a“a1卜卜a“a2IIIbr1 +a2J+® j(ai ”an )，從而矩陣的特征多項式fA （扎）=|入E- A = A.E-E -:佝5丿an所以九=1(n 1重或 1 +a2 +11 葉a；，故 EELfRHa2。11設矩陣A = 0,但AQ, k1,kN，求證：A不能對角化kA1所以 T-1AkT =證明：若果A能對角化，則存在可逆矩陣T,使得T-1

8、AT -=Q，故入=Q,i =1,2,川,n。r. kAn丿即T-1AT=O,所以A=0。這與已知條件矛盾！從而假設不成立故A不能對角化。證畢!12設n階矩陣A有n個互異的非零特征根，且AB二BA,求證：B可對角化證明：設空川是A的n個互異的特征值，r是屬于的特征向量即A："=打i，所以A勺特征子空間Vj都是一維的,V. - : | A - = L*i由 AB =BA，知 AB .二 BA: . = .B:.當 Ba. =0時，Ba.EV】。.當Ba.式0時，Ba.EV汕因為Ba.是A的屬于入的特征向量)。故 B'= i,i =1,2J|,n，從而 Br, B2,ll|B：n

9、 二叫i, 一2,111,n故 B >1,2，,n -，>2,令 T =1,2,川,n，則TBT，故B可對角化。證畢!13設n階矩陣A有n個互異的非零特征根，證明：A的特征向量都是 B的特征向量二AB =BA。證明：=:設:i,2, IILn是A的和B的分別屬于'i,2,IH,'n 和112,川，的特征向量，由于'1, '21, 'n互不相同，所以1,2,lll,n線性無關。有 A： .J =1,2, I此n;B：.二耳 i,i =1,2川|,n所以 BA>. -)B>. -：»； AB>. = A".-

10、：打-打卡.，i =1,2,IH,n故 AB：.二 BA .,. =1,2JH,n即(AB%,ABo( 2川 A凹n )=(B如 1BA 21, BA«n )，從而 AB ：1, ： 2,llL ： n 二 BA ： 1,： 2,llL ： n，令 T =12,川,亠，貝y T可逆，故AB二BA。-:同上題證明方法。證畢！14設V是C上的一個n維向量空間，b,iEL(V),且5 =苗，證明:(1) 二的每一個特征子空間都是.的不變子空間(2) 匚和.在V中有公共特征向量。證明：(1)設二是 的屬于特征值的一個特征子空間， 對于任意的:V.，因為 二.二，所以二.:-故二 | V,。(

11、2)若V是.的一個不變子空間，貝y . |V .在V上的限制 存在 所以在C上, . |V有特征值,從而存在屬于的特征向量，即.|V. -丄 所以.1"，故是.的屬于的特征向量，又注意到V, V所以是二,的公共特征向量。15設L Vn ,Wi,W2是Vn的兩個子空間,并且Vn二Wi二W2，證明：二可逆二 Vn =二 Wr 二W2 。證明：=:設r,2,l|l,r是w的組基，亠4,亠.2,111n是w2的一組基, 因為Vn V二W2，所以1廠2,川,r，:1，r2，川，：5是V的一組基。 由二可逆，知二1 ,二2，川，二：n是Vn的一組基， 從而 Vn 二 LW (-1 , 2，川,n

12、=：，%,； 2 ，丨1| 二亠 丄宀：1，匚:r-2，11點nM "W,飛 W 又1，二2 ,川,匚r是W的一組基；-:r 1，二:r 2 ,川,二：n 是 W 一組基故 Vn _ ；w1 T c w,。=在W1中取基12,川r,在W2中取基1,*2,"ln , 因為Vn訓二W2，所以12,川n是Vn的一組基。又因為Vn * W1二二W2 ,所以",；2 ,川：n是V的一組基。故二可逆。證畢!注意：晶在必要性證明中?1-2J ：，: r小r 2,川,n是V的一組基是這樣證明的。只要說明宀宀，川"，1，*2，川，打線性無關即可，設 “1 k2： 2 川人

13、：n =0，記=匕_：” k2j2 l|kr二r - -kr 忖r 彳 kr .2-S 2，111，kn-“所以圧三w,且x e w2，從而=0，故K =0,i =1,2,川,n，故:1,2,川，：r，：r 1,：2川 l,n 線性無關。另外要注意這種方法和維數(shù)公式的證明過程中所用的方法是一樣的。晶在充分性的證明中，最后二可逆的證明方法是這樣的。任意V，貝二心I： -1 - k ： 2 I I I kn二n - 心 1 k2： 2 H 丨如 n 定義.二K1 k2 ： 2 I I I kn ： n，顯然是一個線性變換，而 廠.:- K1 * k22 * 丨1心宀=匕二：1k 2 AW k :，

14、n =】所以二二ee為單位變換，故二可逆。16 設L V，二2=；丁 證明：1 ker 廠-；- WV;2 V 二 kerr，V。證明：(1)任意的kern ,貝卩廠，-0 ,所以- ：-；:- | ：£ 三 V,故 ker “ 二： - ； | 隈三 V又任意的|V，則“rr22-. - - . - . - 0 ,所以-；:- - keW,故 ker ；- P V, 故 ker ；-：-；-5 V。(2)任意的：V，有二*- c ：顯然-；? - kerV，所以 V kerij，rV 。又 顯然 V 二:ker 廠V，故 V =kem 亠-V。設任意的用ker ；V，則;:=0,且

15、存在I ZV，使得=.（-所以;-；*-；_ -，所以：.=0 ,故 kerw - V - ：0;故V =ker.一 V。證畢！17設代B,X為同階方陣，并且AX =XB,秩X訂，證明：在復數(shù)域上，A與 B至少有r個相同的特征根。因為AX二XB，所以AP廣A0、/B1 B2'S °<0°則故 PAP -,QBQ，二0B4證明：因為秩X汀，所以存在可逆矩陣P,Q，使得X二P卩乜卩仔0乍0=1QBQ，記% A -I'Er 0、乍0) =1B、10 0丿2 0丿、AA 丿（0 010 0丿3.B 4 B 丿，所以 A =Bi,B2=0,A=0，從而,島 JQ

16、B，焉 01-Pf_1_，ZAiA2仇 Er - A-A '九E - A =扎E P AP =“-<0凡廠'、一 0九 E n _t A4 丿從而fA 二=丸Er All丸巴亠-A同樣道理fB （丸戶卩疋-B =#Er AlE- B4所以fA '與fB '有相同的r次公因式，故A與 B至少有個相同的特征根。證畢！18設A是m n階矩陣，B是n S階矩陣,則秩AB 秩A 秩B -n。證明：設秩（A戶r，則存在可逆矩陣P,Q,使得PAQ="Er 0<0 0丿所以 PAB = PAQQB =繪%乍0、舊30丿<0 °lB2丿2丿從

17、而秩 AB二秩PAB二秩_秩2"Bi )_(n_ r )=秩(QB ) _n+ 秩(A) 丿丿=秩 A 秩 B ?-n故秩AB 一秩A 秩B -n。19設二是V上的線性變換，WVn是子空間 ,證明：維(<j (w)+ 維(ker(b )Dw)=維w。證明：設ker ；丁 nw的維數(shù)為r,維w=m，在ker二Cw中取基；2,，；r, 擴充為W的基；仆；2,川，;m，所以二w二L二；i，二；2 ,11點F 。又；1, ；2,11), :r ker 二，因此二；1 -； ；2；r ，所以二 w 二 L 二；r 1 ,二；r .2，川，二；m 。下證：二；i，二2，川& ；m線

18、性無關。設 kr 1 二；r 1人 2二 y -2'心二；m =。，即二匕 1 ；r« 2 ；r 2 J 心打=0，故 « 計，« 22 J Ikm ；m，ker 二故心 i ；r匕 2 ；r 2 * 丨15 ；m 二匕；k? 2 I" k ；又由；i, ；2,川，；m的線性無關性知K = 0,i =1,2,|l, m從而二；r 1，二；r 2 ,11冷；m線性無關，故命題成立。證畢！20二是Vn上的線性變換，w是二的不變子空間，證明：二|w的核二ker ；d w。證明：一方面：對任意的：；wker；|w w V，則二|w- 0，從而廠，-；|w

19、=0，所以"三 ker ；丁 Clw，故二 |w的核 ker ；丁 Dw。另一方面：對任意的ker ；： Clw，貝卩:-w且;- 0。所以二 |w：；-0，從而keri-i，因此二 |w的核二 ker；丁 Dw。故二| w的核=ker ；：.- Qw。證畢！21設二與.是V的兩個線性變換，如果秩-廣秩 n ,貝卩；與.有 公共特征向量。證明：因為秩2亠秩 ： n，及維ker r |廣秩“ j: n，維keri廣秩丁 - n，所以維kerwn亠維ker廣in，故維 ker "亠ker “ 廣維 ker ；：.- Piker -心 n，故 ker ；Pker .。這樣，存在二

20、心0且二三ker ；丁 nker從而；-.-0 = 0 故匚與有公共特征向量：。證畢！22設代B為n階方陣，且A B A0，貝卩(1) A與B的特征向量是公共的。(2) A相似于對角形=B相似于對角形。(3) 秩 A 二秩 B。證明：(1)設:是B的特征向量,相應的特征值為，即B =:-,由A B A 0知，A 亠 BjAB= 0，即亠1 A =-、；當一-1時，:=0,矛盾！此時-1不是A的特征值。當一1時,A =-,即：是A的特征向量。人+1反之，因為A B A 0，所以E A - B AB = E，從而E A E B i=E，故 E B E A =E，即 A B BA = 0同樣道理，A

21、的特征向量也是B的特征向量。(2)=:若A相似于對角形，則存在可逆矩陣T,使得TAT =|,其中gi =1,2,，n)是A的特征值。即 AT=T ，令 丁=(8,°2,川,£ )，從而'<打丿A(%c(2,5 )=(。1,5,， )，即 A(i =Mi,i =1,2,|H,n。<n由(1)知，：廿川，n也是B的特征向量，設分別為亠2,川n的特征向量，即B： i十i，i =1,2川|,n，從而,B(C(1,Ot2，,Ctn)=(Cf1，C(2，C(n )h q<瞪丿，即 BT =Tk4< 宀丿故TBT =故B也相似于對角形叫丿二：同必要性證明方

22、法(略)(3)由A B A 0，知A二-E - A B，所以秩A乞秩B同樣道理秩A 秩B，故秩A二秩B。證畢!23設口是n維線性空間V的線性變換，并且 (V )=ker® )，證明(1) n為偶數(shù)。0 En ”(2)存在一組基坷,為,III, %使口關于該基的矩陣為2。10 0丿 證明：(1)由維數(shù)公式知，2維二V二n,故n為偶數(shù)。(2)設 e,e2,lll©為V的一組基，則 (v )=L("e1),|IW(q)不妨設二e，二e2，山盧e是二e1 ,二e ,川,二弓的一組基，其中，2取 (e 2 (曳),Il2(er ),eJILer設k e 亠k僉 11kvi亠

23、tei 川 te= 0，兩邊二作用注意到匚e莊keu, i = 1,2J H，n，得£匚e）亠上2色 11丨tr匚e =0。由口（e 2（e2）, lH,o（e的線性無關性,知i =t2 =川=tr =o則 k© © i亠k2；e2 HI k二 ei=0，從而 匕 寸2 = |l 二 k=0故仃（e 2佗）,|2G e,川,e線性無關，即存在v的一組基色,®,川,® ,0 En使得口關于該基的矩陣為2。證畢！I。0丿24 令V =CX ln ,； L V ,；f X = f' X（1）寫出二關于基1,1 x,ih,i x ii xn，的

24、矩陣。（2）求A的若當標準型解：（1）1,XJH,Xnd 是 cxln 的一組基，則二 1,X,|l|,Xn=1,Xn,XnB,010川0"其中 B= 0 0 2 川0，又(1,1 + X,川,1 + X+|" + xnJL )=(1,X,川,xn)x +d+*fr(00000丿11川廠其中X=|° 1川1，故關于基1,1 + X,|,1 + X+ll|+Xn的矩陣+ 11+ 1<0 0川1A=X BX。（2）因為，E -B 二所以B的行列式因子為1,1,川1,創(chuàng)，B的不變因子1,1川1,盯0 1 1 B的初等因子為r，故A的若當標準型為，*。1°

25、25設二為數(shù)域P上的n維線性空間V上的一個線性變換,且二2二二，證明：1 ker ；-： -；： V;2 V = ker ；一-二；V ;3如果.是V上的線性變換,且ker和匚V都是.的不變子間，則；.證明：（1）（2）問同16題。（3）任意： V，由（2）知：八1 ：2, r kem,F；2 三：V所以；-；二 “ 5'2 -；二 X 1 亠2因為 + ker二，k er是的不變子空間。故 U kerz，所以二：1 =0，故;二- -2又三'"V，二V是.的不變子空間，知.j盧V所以；. - - -2 = . ：2。反之，- - - .；亠-.>2，因為 十

26、keritI，所以 J ，訂 i； = 0。二-2 ，由匚V，知匚空計為所以；- -2，所以任意的二二1。綜上：；二。證畢！26設V是有限維線性空間，是V的非零子空間，證明：存在唯一的V的子空間 V2，使 V 二V,二 V2= V1 二V。證明：=:設m =v，v2只能是0，否則直和不成立。=:（反證）若V1 =V，則0維V = r < n，在u中取基1,2,川八擴充成 V的基12,llld1,HIn，令 V2 二 L :1,：2,川n則有 V=V1 二 V2，令 V2 =L - 1 八.2,IH,n ，則有12,川rr -1 *1,l"n仍為V的基，故V = V V；。但是V

27、2=V2，這與題意矛盾，所以假設不正確，從而命題成立。證畢！511'27設A= X 4 Y，已知A有3個線性無關的特征向量，九=2是 -35 jA的二重特征根，試求可逆矩陣B，使B JAB為對角形。解：因為A有3個線性無關的特征向量，所以A可以對角化。又，=2是A的二重特征根，所以 秩2E-A =1廣11-1、r-X-2-Y<33一3注意至U 2E-A二1-X01 -10-Y0 0，知2X28用J表示元素全為的n階矩陣,n_2,設f X = a bX是有理數(shù)域上的多項式，b=0，令A二f J , （ 1）求A的所有特征值。（2）求A的所有 特征子空間。（3） A是否可以對角化。若

28、可以，求可逆矩陣 P，使得PAP為對角行。b解：（1）由 fA（扎）= #E A =|九E aE bJ = （& a ）E ； （1 1 川 12丿二瀘 -aia - nb知A的特征值為a n -1重,a nb。（2）當，a時,解 aE -A X =0,即 aE -aE -bJ X =0,即卩-bJX =0,即JX = 0所以 x1 x2 1 x 0，故 1 =1000+，n 2 =1<，川，q 2 =0b+<0 J<0 JF<1丿o當=a nb時，解 a nb E - A X = 0,即*(n -1 P+-b(n _1 p*IIIIIItX =0，解方程組得1

29、1.-b-bIII(n -嘰+n-1故A特征向量為V ki i和k n ,所以A的特征子空間為Va =L 1, 2,11）, n1及 Va.nb 二 L n。（3）易知i, 2，川，n線性無關，所以A可對角化。取P二1, 2,川，n，易知P是可逆矩陣，且滿足P'AP為對角行。29設V為n維線性空間，二為V上的可逆線性變換，匚一1為匚的逆變換，Iv表示恒等變換，證明：（1） ker 二 ker-Iv ， （ 2）；- Iv V =1二-Iv V。證明：（1）任取很三ker ；- J，則-1> =0，所以，從而- - 'V-,即二'Tv- 0，故二'- Iv

30、=0，所以：ker- Iv，從而 ker ；- Iv ker ；- g ， 同理 ker ；- Iv 二 ker ；二- g，故 ker ；- g 二 ker 二'- g。（2）因為二可逆，所以匚V =V=：'V，從而匚-J ViuL-lvi'V =二“7仝亠7 = Iv-o，V =；：'-lv V，故結論成立。證畢！ 注意：在有限維線性空間中，二可逆，則二為雙射。但在無限維線性 空間中結論不一定成立。另外，還有 V=-V。30設A是數(shù)域P上的n階方陣，R A =AX IX Mn P 1,N A二X Mn P |AX 4，貝S R A PIN Ai；0：= N

31、A1= N A。證明：=：設R A n N A產(chǎn)，由AX = 0,易知A2X = 0，顯然有NA N A2。對于任意x N A，即A2X =0,所以A AX =0,從而AX N A ,又AX R A ,故由條件知AX =0 ,所以NA二NA2，故NA NA 2。 =:設 N A i=N A2，對任意的 X RAnNA，由 X NA，知 AX 二 0 由X R A ,知存在丫，使X二AY,則AX二A2Y,所以A2丫 = 0，由條件知AY -0，所以 X -0，故 R A "N A。證畢！31設二，是n維線性空間V上的兩個線性變換，fi X , f2 X分別表示二和. 的特征多項式，如果

32、£ X與f2 X互素，則ker： ker f2 ；- O。 證明：因為fi X ,f2 X =1，所以存在多項式X ,v X，使得1 X fi X v X f2 X =1，從而fi vf2=1注意到f2 X是.的特征多項式，知f2 =0，所以 fi = I任意的：ker £ .,則fi :- =0，所以-=1fi :- -.=fi 廠 J 很 ii： 0，故 ker fu：。同理ker f2 -心。證畢！32 設 Wi,W2是n纟隹線性空間V的兩個子空間，維 w 汕，維w二門2 , ni rt = n，則存在V的線性變換二,使ker ；丁二Wi,；V二w?。 證明：設12川

33、1，飛是Wi的一組基，i,- 2,|, n2 是 W2的一組基， 將i, 2JH ni擴充成V的一組基12,111,飛，i,llh -即n2 定義二：二=0,i=i2Mni；二j j, j =i,2,川,匕，顯然這是一個線性變 換，并且ker ；丁二w,；V = w?，事實上：(i)顯然 Wiker 二，任意的kerz ,則二=0,由-=ki VIII kni ：n1 liln2 n2，兩邊二作用，則0 - 十 1 71|程匚n2十1訂11%，又：1川n2線性無關，知li =0,所以？ =« i | k® 飛 w，從而 ken二 w，故 ker ；：- w。（2）二 Vi；

34、 = L）i，匚'-2 JIL" F ,二 1 川1,二 n2 二 L >1,2l= W2 故匚V i=w2。證畢！33設V是數(shù)域F上的所有n階對稱矩陣形成的Mn F的子空間，令二 AV|trA=0?，w =氐 E| F?，（1）求證：w為 V 的子空間。（2）分 別求出-和w的一組基。（3）證明：VWw。證明：（1）只要證明.,w非空，并且對加法，乘法封閉。（證明略）-1（2）取G j （i式j畑=a» =1,其余為零 及知=0，卻2 =0丿1 、100-1fa，11，*1n =04，則角1,%2,111忌,Wj是屮的一41 0b< -1>組基。

35、顯然E為w的一組基。（3）任意的 A V,則 AY0E A-'0E ,其中=a11 a22 川 ann，n則0 w, A- '0 E -.，所以V w，又V二、w顯然成立，故V “ w。對任意的Aw，則由B w，知B = E ；由B .，知tr B二 n，=0，所以，=0,故B = 0，即、D w - O，綜上 V f w。證畢！34設二，是n維線性空間V的兩個線性變換，且匚2 =-：；， kerpi=ker ， 證明：二:二。證明：任意的:V,因為二2 =；丁，所以匚2=匚，即二2v- 0從而- - - 0，故;- > - ker ；= ker ，所以 ；- - - 0

36、即- 0，故 y :=.:-。由的任意性知，二。證畢!35寫出向量空間 V的ss_2個有限維子空間W|,w2,川,ws的相應維數(shù) 公 式并證明。/ s 、 S解：公式為： 維比 Wj =遲維(Wj )一 維(w, r)W2 維(W, + w2 )仃 w3 )維 Wi W2Wsj Dws證明：(數(shù)學歸納法)1) 當s = 2時，顯然結論成立。2) 假設s-1時結論成立，下證當s時結論成立：、F S )、維IZ Wi 1=維！送 Wi +Ws 1 =維正 Wi 1+維(Ws 維(W1 +W2 + + Ws們 Ws )= Jy 丿ly 丿ly 丿Si送維(W )-維(Wi Wj 維(W 飩十&quo

37、t;+WS屮叫丄片維(WS)-維&W +W2知 +叫胡 W )=i 1s' 維 Wi ?-維 WiW2 -，一維 I) Wi 亠 W2 Ws2 PlWs一維 l)Wi 亠 W2 Ws 丄 n Wsi 土由歸納原理知，結論成立。證畢！36設二是n維歐式空間V上的線性變換，且匚2 =i,求證：；是V上的正交變換 二二是V上的對稱變換。證明：在V中取一組標準正交基1，2,川，設二：1,：2川幾 八1,：2川,n A 因為二2二i,所以A2=E，即A = A=:設匚是正交變換，所以AAT = E，從而A* = At，所以A = At，故二是V上 的對稱變換。二：設二是V上的對稱變換，則

38、A = AT，即A = AT，從而A為正交矩陣， 所以二為正交變換。37設J 是n維線性空間上的線性變換，且 二-匚 若二有k個 互異的特征值，.有s個互異的特征值，則二與.至少有max k,s個公共的不變子空間證明：設k _s,則max k,s=k，令、，2,川，“是二的k個互異的特征值- p ?,i =1,2J）|,k，因為；.-.；，所以 Vq是.的不變子空間，又V是CT的不變子空間，所以V=1,2,|n，k ）是6 E的k個公共的不變子空間。38設V是數(shù)域P上的n維線性空間,cci,ct2,川，召為V的一組基，V=L（M|q），= O,kP ，（ 1）證明:V2是V的子空間(2) V二

39、 V2。（3）設二是V上的線性變換，二在V的基:j,2,川，n下的矩陣是一個置換 矩陣A，則MM是的二不變子空間。（2）任意的打=V,則B =1% +02+ HI + ln=l1r/n、/n、/n、無li無liZ lili 二£ +l7色+m+l y«nl1 _nI2 _nln _ 'n<J<J< 丿)n證明：（1）證明略。" n 、 瓦li則b ：< ：-2 - : n Vnn 瓦li11亠nn' li1n亠n對任意的：v1 Av2，由圧u，知=k r L n，由v2，知nk =0,所以 k = 0，即：=0。故 V 二

40、V1 二 V2。廣T1（3）1.任意的0 “1，則廬=k（%+冬+川+叫）*（%02，山,叫）+由1, ： 2,川,：n 二1,2,川，亠 A，知:二:：心，二2,IH-nT1）:/（GiS'lHen+J丿11）A ：=1,02,川,Gn4J丿所以，.三V，故v1是二的不變子空間%、zkki1hr=（旳,0（2，,5 ）Ab r=（。1,。2,Gn ）i4lknJ<kn J&in丿2.任意的 0 “2 , P =語樸2口2 + knOn =（。1,。2,£ ）:，所以 <kn .丿廠-廠1,2,n6：川* kn * V2，即飛，故V2是二的不變子空間。證畢

41、!39設n階方陣A,B滿足AB二A-B，證明：(1) 一1不是B的特征值(2)若B相似于對角形，則存在可逆矩陣P,使得PBP為對角形。 證明：(1)若，"是B的特征值，則存在，是B的屬于，"的特征向 量，二=0，即 B、* ：= ：- o又因為 AB 二 A 一 B，所以 A B二 A - B：，即卩 A二 A一 ：，故:=0，這 與:-0相矛盾，從而假設不成立，故=1不是B的特征值(2)因為B相似于對角形，所以存在可逆矩陣P,使得 PBP =即 PAPPBP-E 二-P'BP，從而 PAP仏-1、h44<人-1<人n /，又因為 AB = A - B，

42、所以 P4APP1BP4AP4BP因為1=1，所以可逆，從而"一越51、1-1>n j，-n 1PAP =1 - '1,故結論成立。證畢!40設V是n維線性空間，匚是V上的線性變換，證明：存在V的另一線性變換.，使得c. -0，并且維宀VI亠維.V滬維V=n。證明：設GGIlLer是ker ；的一組基，擴充成V的一組基©,今|1,編，貝S (V)=L(<T(ey )|Q(en )且維(<i(V)=n_r，任取 aV,a = Ke “2：卅 1)+匕£ 定義二Ke kzd III k©，顯然是線性變換。所以 E (V )=L(e,

43、e2,|,er )，則維 t； (V)=r，從而維(仃(V )+ 維(兀(V )= n 任意的：；eV.- . k1e1 - k2e2 krer 二 n，所以二二 0。證畢！41設A為n階實方陣，證明：若對于任何n維實向量二0,都有TA < 0則A 的特征值的實部小于零。證明：設a bi是A的特征值，壽巧 :£，卩f Rn是A的屬于a bi的特征向量， 所以 a bi I很亠i ：二 Ai* 亠i ：，從而 A 'A - = a-bj亠b i 則 A= a_：i b ：; A ： = b二：，所以：T A Ta，丁 ； 1T八-：=iT-?Ta'- 故+BtaB

44、二玄庖口+pT0)，所以玄"。證畢！42設A Mn P ,w=f A I f X百P I.X卜，求w的一組基及維數(shù)。證明：設mA X是A勺最小多項式，：mA X二m，則E,A,A2,川,Am，是w的 一組基，事實上：首先證明E,A,A2,|,Am線性無關，若E,A,A2,川,Am_線性相關，則存在 一組不全為零的實數(shù)ko,K,IH，km，使k°E KA川kmAm=O假設從右邊數(shù)第一個不為零的實數(shù)為ki，令g X i=k0 &X川kjX, 則:：g X : m ,但是g A =0，這與mA X是最小多項式矛盾，從而 假設不成立，故E,A,A2,川,Am線性無關。再證明

45、w中任意元素都可由E,A,A2,IH,Am線性表出，對任意的 f X 盧 P X1，那么 mA X 除 f X P X 1 有 f X 二 mA X q X r X ， 其中 r X =0或:：r X ： ? mA X所以f A汀A是E,A,A2,川,Am的線性組合，即W中任意元素都可由E, A,A2JH, AmJ 線性表出。綜上：E,A,A2,IH,Am，為W的一組基，并且維數(shù)為m。43設RlX 是次數(shù)不大于n的多項式空間(n釘)，w=f(X )| f=0,f (Xf P X，求證：w是一個線性空間并求其一組基。證明：(證明w是一個線性空間略)，下面求其一組基：取X -1,X2 -11, X

46、n -1，則這就是w的一組基，事實上：首先證明 X-1,X2-1|l|,Xn-1 的線性無關性，設 K X-1 飛 X2-1 III kn Xn-1=0 即 k1X "2X2 III knXn- k2 -11|-心=0，所以 =0，故 X-1X2-1 |X 1是線性無關的。再證明w中任意元素都可由 X-1,X2-1(l|,Xn-1線性表出，對于任意的f X w，設 f X 二30X11丨 anXn =30 a X-1 川 an Xn-1 2 山 an=31 Xan Xn -1 a| 3n，因為 f 1 =0，所以 a。0 川 3n =0即f X p X -1 III *n Xn -1

47、，故w中任意元素都可由xtx2t川,XnT線性表示。綜上：X-1, X2-1,|l,Xn-1是w的一組基。44已知Mn R中線性變換T:TX =X XT,-X M. R ,求T的值域和X12X21IIIX1n 一 Xn10+IIIX2n 一 Xn2+Xn2+- X2 nIII+00解：設 X = ( Xj ),則 TX = X _ X T = X21hFlxni Xin廣01、送送(xj Xjj )gj，其中剤=/,(i式j )L0丿故所有的反對稱矩陣充滿T的值域，所有的對稱矩陣充滿T的核44設Wi,W2是Vn的兩個子空間，滿足維 Wi W2二維WiCW2 1，證明：有w_ w2或嗎二：叫。證

48、明：因為維(W| )+維(w2 )=維(W| +w2 )+維(W| Aw2 )，且維(W啟F纟維1 W?中1 所以 維w, 維w2二2維w, Plw2 1，因為維(wDwJ乞維(w )；維(W|p|w2戶維(W )所以上面兩式中"蘭"至少有一個"="成立。(否則，有維3門罐片1蘭維(W )；維(w,riw2 )+1蘭維(W2 )，貝卩2隹(Wp|w2 )+2蘭維(W )+維(W )，從而2蘭1，矛盾。) 所以維(wwJ二維(W 或維(wriw2 )=維(W )，即w, u w2或w w2。證畢！45設T是歐式空間Vn的一個正交變換，構造子空間M -匸0|0=飛,任意的 0V,V2 = : -T 嚴三 Vn /,證明：V 二 V2。證明：任意的r M,則0八0，任意的八-TV2，則：0, -T：二0,：. 口0,二10,二 n=0，所以 >01由-的任意性，知：0 V2-，所以V V2-。任意的卅三