二、數(shù)字積分法插補

1、數(shù)字積分法又稱數(shù)字微分分析器（Digital Differential Analyzer,簡稱DDA)。采用該方法進行插補，具有運算速度快，邏輯功能強，脈沖分配均勻等特點，且只輸入很少的數(shù)據(jù)，就能加工出直線、圓弧等較復雜的曲線軌跡，精度也能滿足要求。因此，該方法在數(shù)控系統(tǒng)中得到廣泛的應用。（一）數(shù)字積分的基本原理如圖：從時刻t=0到t，函數(shù)Y=f(t)曲線所包圍的面積可表示為：S= f(t)dt若將0t的時間劃分成時間間隔為t的有限區(qū)間，當t足夠小時，可得公式：S= f(t)dt = Yi t即積分運算可用一系列微小矩形面積累加求和來近似。TOYY=f(t)tYo t t00 ti=0n-1若

2、t取最小基本單位“1”，則上式可簡化為：S= Yi (累加求和公式或矩形公式）這種累加求和運算，即積分運算可用數(shù)字積分器來實現(xiàn)，n-1i=0被積函數(shù)寄存器+累加器（余數(shù)寄存器）t Y存放Y值若求曲線與坐標軸所包圍的面積，求解過程如下：被積函數(shù)寄存器用以存放Y值，每當t 出現(xiàn)一次，被積函數(shù)寄存器中的Y值就與累加器中的數(shù)值相加一次，并將累加結果存于累加器中，如果累加器的容量為一個單位面積，則在累加過程中，每超過一個單位面積，累加器就有溢出。當累加次數(shù)達到累加器的容量時，所產(chǎn)生的溢出總數(shù)就是要求的總面積，即積分值。被積函數(shù)寄存器+累加器（余數(shù)寄存器）t Y存放Y值被積函數(shù)寄存器與累加器相加的計算方法

3、：例：被積函數(shù)寄存器與累加器均為3位寄存器，被積函數(shù)為5，求累加過程。 101 101 101 101+）000 +）101 +）010 +）111 101 010 111 100 101 101 101 101+） 100 +）001 +）110 +） 011 001 110 011 000經(jīng)過2 = 8次累加完成積分運算，因為有5次溢出，所以積分值等于5。3(二)數(shù)字積分直線插補如圖:直線段OA，起點位于原點，終點為A(Xe,Ye)，東電沿X、Y坐標移動的速度為Vx、Vy，則動點沿X、Y坐標移動的微小增量為： X=Vxt Y=Vyt若動點沿OA勻速移動， V、Vx、Vy均為常數(shù)，則有： V

4、 Vx Vy OA Xe Ye成立。XOYA(Xe,Ye)VxVyV= =K因而可以得到坐標微小位移增量為： X=Vxt=KXet Y=Vyt =KYet所以，可以把動點從原點走向終點的過程看作X、Y坐標每經(jīng)過一個單位時間間隔以K Xe、 K Ye進行累加的過程，則可得直線積分插補近似表達式為：X= (K Xe)tY= (K Ye)tXOYA(Xe,Ye)VxVyVi=1mi=1m由此可以得到直線插補的數(shù)字積分插補器：J Vx(K Xe)(被積函數(shù)寄存器)+J Rx(累加器)J Ry(累加器)J Vy(K Ye)(被積函數(shù)寄存器)+tXX軸溢出脈沖Y軸溢出脈沖Y設經(jīng)過m次累加，X、Y坐標分別達

5、到終點，則有：X= (K Xe)t =KmXe =XeY= (K Ye)t = KmYe = Ye由該式可知：mK = 1,即 m= 1/K這樣，經(jīng)過m次累加后，X、Y坐標分別到達終點，而溢出脈沖總數(shù)即為：X=Xe Y=YeXOYA(Xe,Ye)VxVyVmmi=1i=1確定K的取值：根據(jù)每次增量X、Y不大于1，以保證每次分配的進給脈沖不超過1，即需滿足： X=K Xe1 Y=K Ye1其中Xe、Ye的最大允許值受被積函數(shù)寄存器容量的限制。假定寄存器有n位，則Xe、Ye的最大允許值為2 1。若取K=1/2 、則必定滿足： K Xe = 2 1 / 2 1 K Ye = 2 1 / 2 1由此可

6、定，動點從原點到達終點的累加次數(shù)為： m = 1 / K = 2nnnnnnn例：插補第一象限直線OA，起點為O( 0 , 0 ) ，終點為A ( 5 , 3 )。取被積函數(shù)寄存器分別為JVx， JVy，余數(shù)寄存器分別為JRx 、JRy ，終點計數(shù)器為 JE，且都是三位二進制寄存器。試寫出插補計算過程并繪制軌跡。XOY12345123A( 5 , 3 )插補計算過程如下累加次數(shù)(t）X積分器 JVxJRx 溢出XY積分器 JVyJRy溢出Y終點計數(shù)器 JE備注012345678101 000011000初始狀態(tài)101 10100010110110110110110110101101101101

7、1011011011011011111第一次累加010 1110JRx有進位， X溢出1101110011101 JRy有進位， Y溢出1001100100X溢出001 1111011X溢出1100101010Y溢出011 1101001X溢出00010001000X,Y同時溢出JE=0，插補結束加工軌跡如下：XOY12345123A( 5 , 3 )作業(yè)：插補第一象限直線OA，起點為O( 0 , 0 ) ，終點為A ( 2 , 6 )。取被積函數(shù)寄存器分別為JVx， JVy，余數(shù)寄存器分別為JRx 、JRy ，終點計數(shù)器為 JE，且都是三位二進制寄存器。試寫出插補計算過程并繪制軌跡。XOY1

8、2345A( 2 , 6 )612l插補計算過程如下：累加次數(shù)(t）X積分器 JVxJRx 溢出XY積分器 JVyJRy溢出Y終點計數(shù)器 JE備注012345678010 000110000初始狀態(tài)010 010000010010010010010010010110110110110110110110110110111第一次累加100100JRy有進位， Y溢出1101100101101 JRy有進位， Y溢出0001000100X,Y同時溢出010110011X,Y同時無溢出1001001010Y溢出110010001Y溢出00010001000X,Y同時溢出JE=0，插補結束111加工軌跡

9、如下：XOY12345A( 2 , 6 )612(三)數(shù)字積分圓弧插補如圖所示，設加工半徑為R的第一象限逆時針圓弧AB，坐標原點定在圓心上，A(Xo,Yo)為圓弧起點，B(Xe,Ye)為圓弧終點，Pi(Xi,Yi)為加工動點。XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)Pi(Xi,Yi)如圖所示，可以得到：V Vx Vy R Yi Xi 即Vx=K Yi，Vy=K Xi 因而可以得到坐標微小位移增量為： X=Vxt=KYit Y=Vyt =KXit 設t=1，K=1/2 則有： XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)Pi(Xi,Yi)RVVxVy= = KnX = 1/2i=1mYiY = 1/2i

10、=1mXinn由可看出，用DDA法進行圓弧插補時，是對加工 動點的坐標Xi和Yi的值分別進行累加，若積分累加器有溢出，則相應坐標軸進給一步，則圓弧積分插補器如圖所示：X = 1/2i=1mYiY = 1/2i=1mXinn圓弧積分插補器：J Vx(Y)(被積函數(shù)寄存器)+J Ry(累加器)J Rx(累加器)J Vy(X)(被積函數(shù)寄存器)+tXX軸溢出脈沖Y軸溢出脈沖Y例：設圓弧AB為第一象限逆圓弧，起點A（，0）,終點為B（0,），用DDA法加工圓弧AB。XOY1234512345l插補計算過程如下：累加次數(shù)(t）X積分器 JVx（Yi)JRy 溢出XY積分器 Jvy (Xi)JRx溢出YX

11、終點計數(shù)器 備注012345000 000101101初始狀態(tài)000 000000000001001001010010011101101101101101101101第一次累加000010Y溢出,修正Yi100001101111100X,Y無溢出010100011Y溢出修正Yi100001010Y溢出修正Yi11Y終點計數(shù)器 1011011011011101插補計算過程如下：累加次數(shù)(t）X積分器 JVx（Yi)JRy 溢出XY積分器 Jvy (Xi)JRx溢出YX終點計數(shù)器 備注67911011 111101010無溢出011 010110100100100101101101010101100100011011011001XY同時溢出,修正Xi,Yi010011011000XY同時溢出,Y到終點停止迭代100X溢出修正XiY終點計數(shù)器 101100010118110100