平面圖形的認識一

1、6.1線段、射線、直線知識點一1.直線和射線、線段是整體與部分的關系。射線和線段都是直線的一部分。在射線上取一點可得線段。在直線上取一點可得兩條射線，取兩點可得一條線段。2.相同點：它們都是由無數(shù)個點構成的，都是直的，都沒有粗細。3.不同點：從端點上看：線段有兩個端點，射線有一個端點，直線沒有端點；線段不能延伸，可度量；射線向一方無限延伸，直線向兩個方向無限延伸，都不可度量。具體情況如下表：線段射線直線圖例端點2個端點1個端點0個端點字母表示位置兩個端點一個端點和射線上任一點直線上任意兩點讀法線段AB或線段BA或線段a射線AB（從端點開始讀）直線AB或直線BA或直線l長度可度量長度無限長無限長

2、例1 圖中有幾條直線？有幾條射線？有幾條線段？并把能用字母表示的表示出來。知識點二 直線的基本性質(zhì)兩點確定一條直線例2 把一根木條固定在墻上，至少要釘幾個釘子？為什么？知識點三 線段的基本性質(zhì)及兩點之間的距離1.線段的基本性質(zhì)兩點之間的所有連線中，線段最短。（簡稱：兩點之間線段最短）2.兩點之間的距離兩點之間的線段的長度叫做這兩點之間的距離。例3 如圖所示，從公園甲到公園乙有、三條線路，假如你現(xiàn)在在公園甲，打算去公園乙，為了節(jié)省時間，你會選擇哪條路線？為什么？知識點四 線段大小的比較和線段的畫法1.比較線段大小的兩種方法度量法：先分別用刻度尺度量出每條線段的長度，然后按它們長度的大小進行比較。

3、疊合法：如圖所示，可先把兩條線段移到同一條直線上，使它們一端點重合，另一點在這一重合點同一側。如圖甲，點A和點C重合，另一端點B和點D也重合，則說明這兩條線段相等，可表示為AB=CD。如圖乙，點A和點C重合，另一端點D在線段AB上（不與點B重合），就說線段AB大于CD，可表示為AB>CD。如圖丙，點D在線段AB的外側，就說線段AB小于CD，可表示為ABCD。特別提醒線段大小的比較，實際上就是兩點間距離長短的比較。2.畫一條線段等于已知線段截取法：用圓規(guī)截取的方法是畫一條線段等于已知線段的常用方法，如圖所示，把圓規(guī)的兩腳分開，使一腳與線段a的一個端點重合，另一腳與線段a的另一個端點重合，這

4、樣可以用圓規(guī)量出線段a的長度，然后畫出一條射線AB，在射線AB上以A為圓心，以a為半徑畫弧，交射線AB于點C，那么就有AC=a。度量法：用刻度尺先量出線段a的長度，再畫一條等于這個長度的線段。例4 如圖，用圓規(guī)比較大?。篈B_AC,AB_BC。知識點五 線段的中點定義：把一條線段分成兩條相等線段的點叫做這條線段的中點。線段中點的特征：如圖，點M是線段AB的中點，則有AM=MB=12AB，AB=2AM=2MB。例5 已知如圖所示，B、C兩點把線段AD分成2:3:4的三部分，M是AD的中點，CD=6，求線段MC的長。知識點六 線段的和與差如圖所示，點B在線段AC上，若AB=a，BC=b，AC=c，

5、則線段AC可表示為線段AB與BC的和，即AC=AB+BC(或c=a+b)；BC可表示為線段AC與BC的差，即AB=AC-BC（或a=c-b）。例6 如圖，AB=CD，那么AC與BD的大小關系是（ ）A.AC=BD B.ACBD C.AC>BD D.無法確定典型例題分類討論1.已知平面內(nèi)有四個點A、B、C、D，過其中兩點畫直線，可以畫出幾條？與線段中點有關的計算題例2 如圖，已知AB=24cm，M為AB的中點，N為PB的中點，且NB=8cm，求PA的長。用圖形的性質(zhì)解決實際問題例3 如圖，設A、B、C、D為4個居民小區(qū)，現(xiàn)要在四個居民小區(qū)中間建造一個購物中心，試問應把購物中心建在何處，才能

6、使4個居民小區(qū)到購物中心的距離之和最小？說明理由。易錯點求線段長度時考慮不周全，出現(xiàn)漏解例4 已知線段AB=10cm，直線AB上有一點C，且BC=4cm，M是線段AC的中點，求線段MB的長度。6.2 角知識點一 角的定義及表示方法角是兩條有公共端點的射線所組成的圖形，這個公共端點叫做這個角的頂點，兩條射線叫做角的邊。角也可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的圖形。角用符號“”表示，通常有以下三種表示方法：用三個大寫的英文字母表示，如圖，記作AOB或BOA，其中O是角的頂點，寫在中間，A、B分別是角的兩邊上的一點，寫在兩邊，可以交換位置。用一個大寫的英文字母表示，如圖，可記作O，用這種表示方

7、法的前提是以O為頂點的角只有一個，否則不能用這種表示方法；如圖所示的AOC就不能記作O，因為此時以O為頂點的角不止一個，容易引起混淆。用數(shù)字或希臘字母來表示，用這種方法表示角時，要在靠近頂點處加上弧線，注上阿拉伯數(shù)字或小寫的希臘字母、等。如圖中，AOB記作1，BOC記作2；如圖，AOB記作，BOC記作。例1 下列說法正確的是（ ）A.角的兩邊可以度量B.一條直線可以看成是一個平角C.有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角D.兩條射線組成的圖形是角知識點二 角的大小比較1.度量法：如下圖所示，用量角器量得1=40°，2=30°，所以1>2.2.疊合法：如圖所示，比較ABC

8、與DEF的大小，先讓頂點B、E重合，再讓邊BA和邊ED重合，使另一邊BC和EF落在BA的同側，如果EF和BC也重合，如圖所示，那么DEF等于ABC，記作DEF=ABC；如果EF落在ABC的外部，如圖所示，那么DEF大于ABC，記作DEF>ABC；如果EF落在ABC的內(nèi)部，如圖所示，那么DEF小于ABC，記作DEFABC。例2 已知=50.4°，=50°4，則與的大小關系是（ ）A.> B. C. = D.以上都不對知識點三 角的和差運算如圖所示，ABC=1+2；中，GEF=DEG-1.例3 根據(jù)下圖回答問題：AOC是哪兩個角的和？AOB是哪兩個角的差？如圖，AO

9、B=COD，那么AOC與DOB的大小關系如何？試說明理由。知識點四 角的度量單位及換算角的度量單位是度、分、秒，把一個圓周平均分成360份，每一份就是1度的角；把1度的角平均分成60份，每一份的角就是1分的角，記作1°=60'；把1分的角平均分成60份，每一份就是1秒的角，記作1'=60。特別提醒角的度、分、秒的換算和時間中小時、分鐘、秒的換算類似。例4 用度、分、秒表示47.53°.用度表示54°4'12。知識點五 角的畫法1.用量角器可以畫出0°到180°之間的任意度數(shù)的角。2.還可以用一副三角尺畫出一些特殊的角，如

10、30°，,45°，,60°，,75°，,15°，,90°等。3.可以用圓規(guī)和直尺作一個角等于已知角。如圖，已知AOB，畫一個角等于這個角。作法：以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交0A,0B于點C,D；畫一條射線O'A'，以點O'為圓心，OC長為半徑畫弧l，交O'A'于點C'；以點C'為圓心，CD長為半徑畫弧，交弧l于點D'；過點D'畫射線O'B'，則A'O'B'就是與AOB相等的角。例5 如圖，已知AOB，請你用直尺和圓

11、規(guī)作A'O'B'，使A'O'B'=2AOB.（要求保留作圖痕跡）知識點六 角平分線從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。如圖所示，OC是AOB的平分線，則AOC=BOC，AOC=12AOB，BOC=12AOB，AOB=2AOC，AOB=2BOC。注意：可以利用量角器畫角平分線，也可以利用對折的方法畫角平分線。典型例題方向角問題如圖，從A看B的方向是北偏東，那么從B看A的方向是（ ）A.南偏東60° B.南偏西60° C.南偏東30° D.南偏西30°鐘面角的問題鐘

12、表在整點時，時針與分針的夾角會出現(xiàn)5種度數(shù)相等的情況，請你分別寫出它們的度數(shù)_。有關角平分線的探究題如圖，AOB是直角，BOC=30°，OM平分AOC，ON平分BOC，求MON的度數(shù)；若中的AOB=，其他條件不變，求MON的度數(shù)；你從、的結果中能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？易錯點在解沒有圖形的問題時，分析要全面，以免造成漏解。已知：AOB=2BOC，是判斷OC是否為AOB的平分線。6.3 余角、補角、對頂角知識點一 互為余角和互為補角1.互余：如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角互為余角，簡稱互余，其中的一個角叫做另一個角的余角。2.互補：如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角互為補角，簡稱互補

13、。其中的一個角叫做另一個角的補角。拓展延伸若+=90°，則與互余；反之，若與互余，則+=90°，或=90°-，或=90°-。若+=180°,則與互補：反之，若與互補，則+=180°，或=180°-，或=180°-?；ビ唷⒒パa均指的是兩個角之間的關系，不存在“是余角”之類的說法；互余、互補是指兩角之間在數(shù)量（度數(shù)）上的特殊關系，與它們之間的位置無關。例1 如果一個角是36°，那么（ ）A.它的余角是64° B.它的補角是64° C.它的余角是144° D.它的補角是144

14、76;知識點二 互余、互補的性質(zhì)互為余角和互為補角的性質(zhì)：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的補角相等。例2 如圖，AB、CD相交于點O，OEAB,那么下列結論錯誤的是（ ）A.AOC與COE互為余角 B.BOD與COE互為余角C.COE與BOE互為補角 D.AOC與BOD互為補角知識點三 對頂角1.對頂角的概念如圖，直線AB、CD相交于點O，我們把其中的1和2叫做對頂角，3與4也是對頂角。對頂角是由兩條直線相交所得，屬于隱含條件，只要已知兩條直線相交，就等于告訴存在對頂角。注意：對頂角是具有特殊位置關系的兩個角，必然是成對出現(xiàn)的；互為對頂角的兩個角有公共頂點，一個角的兩邊是另一個角兩邊的反

15、向延長線。2.對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。對頂角性質(zhì)的證明：如圖所示，直線AB、CD相交于點O，試說明：1=2.證明：因為1+3=180°，2+3=180°，所以1、/2都是3的補角，所以1=2（同角的補角相等）例3 如圖所示，OC平分AOB，反向延長OC到D，反向延長OA到E，3=25°，求BOE的度數(shù)。典型例題題型一 互余、互補性質(zhì)的綜合運用一個角的補角比它的余角的32還多60°，求這個角。題型二 圖形中對頂角、互余的角、互補的角的識別如圖，已知直線AB、CD、EF相交于點O，指出圖中所有的對頂角，并指出其中有哪些角相等，哪些角互補。題型三 計算與圖形

16、有關的角度問題如圖，已知直線AB、DE相交于點O，AOC=160°，OC平分EOB，求AOD的度數(shù)。易錯點 互余、互補的概念理解不清互余、互補是針對兩個角而言的，而不是三個或更多的角之間的關系，有的學生誤認為多個角也可以互余、互補。若1+2+3=90°，則1、2、3互為余角。這種說法正確嗎？為什么？6.4 平行知識點一 平行線的概念1.平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。2.平行線的表示：下圖中的兩條直線互相平行，記作ab，也可以記作ABCD（或CDAB）。注意：對平行線概念的理解注意以下三個方面：“在同一平面內(nèi)”是定義的前提條件，是相對于空間而言的；“

17、不相交”是平行線的特征；平行線是指兩條直線平行，而不是射線或線段，兩條射線或兩條線段平行，是指它們所在的直線平行。兩條直線的位置關系：在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關系有兩種：相交、平行。例1 下列說法正確的是（ ）A.在同一平面內(nèi)，兩條不平行的線段必相交B.在同一平面內(nèi)，兩條不相交的射線必平行C.兩條直線不平行就相交D.兩條射線或線段平行，是指它們所在的直線平行知識點二 平行線的性質(zhì)平行線的基本事實：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行。補充：“有且只有”的含義：“有”表示存在性；“只有”表示唯一性。例2 如圖，ab,a與c相交于點O，那么b與c相交嗎？為什么？知識點三 平行線的畫法1.

18、用三角板畫平行線過直線外一點畫已知直線的平行線，可按“落、靠、推、畫”四步操作：一落：用三角板的一邊落在已知直線上，如圖；二靠：用直尺靠緊三角板的另一邊，如圖；三移：沿直尺移動三角板，使三角板中與已知直線重合的邊過已知點，如圖；四畫：沿過已知點的三角板的邊畫直線，如圖；2.利用方格紙畫平行線在方格紙中，所有橫線互相平行，所有豎線也互相平行，可用“描線法”來畫；也可以連接長方形的對角線斜著畫。如圖，AB,EFGH，試著在上面畫幾組互相平行的線。例3 如圖，方格紙中僅用直尺過點P畫線段PQ，使PQAB。典型例題題型一 平行線的概念下列說法正確的是（ ）A.沒有公共點的兩直線一定平行B.一條直線的平

19、行線只有一條C.在同一平面內(nèi)，沒有公共點的線段必平行D.在同一平面內(nèi)，不平行的兩條直線必相交題型二 動手操作，探索結論畫一畫：在圖中，以P為頂點畫P，（P為銳角），使P的兩邊分別和1的兩邊平行；再在圖中，以P為頂點畫P（P為鈍角），使P的兩邊分別和1的兩邊平行；量一量：量出1和P的度數(shù)，它們之間的關系是_；猜一猜：如果一個角的兩邊分別與另一個角的兩邊平行，那么這兩個角的關系是_;做一做：如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，且這個角為30°，求另一個角的度數(shù)。易錯點 忽略平行線定義中的條件兩條不相交的直線平行的前提條件是在同一平面內(nèi)。判斷正誤：永不相交的兩條直線是平行線。（ ）6

20、.5 垂直知識點一 垂直的概念1.如果兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，那么這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂直，它們的交點叫做垂足。2.圖中的兩條直線互相垂直，記作ab或ABCS，其中點O是垂足。3.根據(jù)垂直的定義，如果直線AB、CD相交于點O，AOC=90°（或其他3個角中的任一個角等于），那么ABCD.推理過程：因為AOC=90°，所以ABCD.反之，如果ABCD，那么相交所得的4個角中的任意一個角都是直角，推理過程可以寫成：因為ABCD，所以AOC=90°（或其他3個角中的任一個角等于90°）.整理歸納：兩線段垂直、兩射

21、線垂直、線段與射線垂直、線段或射線與直線垂直，其中的線段、射線都是指它們所在的直線。垂直用符號“”表示，如ab讀作“a垂直于b”，ABCD讀作“AB垂直于CD”。垂直于垂線是兩個不同的概念，垂直是指兩條直線的一種特殊位置關系；而垂線是這種特殊位置關系下的一條直線，它是指圖形本身。例1 如圖，1=53°，2=37°，則CD與CE的位置關系是_。知識點二 垂線的畫法1.量角器畫法經(jīng)過直線上一點畫已知直線的垂線先讓量角器的底線落在已知直線上，并使量角器底線的中心點與直線上已知的點O重合，再在量角器90度所對的位置處標出一點C，拿走量角器，過O、C兩點作直線OC即可。經(jīng)過直線外一點

22、畫已知直線的垂線先讓量角器的底線落在已知直線上，并使量角器90度所對的直線經(jīng)過直線外的點P，再在量角器90度所對的位置處標出一點C，過P、C兩點作直線PC即可。2.三角板畫法落：使三角板的一條直角邊落在已知直線上；過：移動三角板，使三角板的另一直角邊經(jīng)過已知點；畫：沿過已知點的直角邊畫直線。例2 如圖，為鈍角，過點C畫AB的垂線；過點A畫BC的垂線；過點B畫AC的垂線。知識點三 垂線的性質(zhì)1.垂線的基本事實：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。注意：“有且只有”包含兩層含義：“有”表示存在性；“只有”表示唯一性；“過一點”的點可以是直線外的點，也可以是直線上的點。2.垂線段的重要性質(zhì)：直線外

23、一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，也可以簡單的說成：垂線段最短。如圖，點P是直線l外一點，POl于點O。因為過點P只能有一條直線與已知直線垂直，所以直線PA、PB、PC都與直線l不垂直，我們把線段PO叫做點P到直線l的垂線段，線段PA、PB、PC叫做點P到直線l的斜線段。顯然，垂線段最短，即POPA（或PB PC、）例3 如圖，位于公路l旁的一個小村莊A，想修一條路與公路相連，問怎樣修路程最短？請畫出示意圖，并說明理由。知識點四 點到直線的距離直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離。如圖，POl于點O，垂線段PO的長度就是點P到直線l的距離。若PO=3cm，則可以說點

24、P到直線l的距離是3cm。注意：點到直線的距離是指“垂線段的長度”，是指一個數(shù)量，而垂線或垂線段是一個圖形，故不能說“垂線段是點到直線的距離”。點到直線的距離實質(zhì)上是直線外一點與垂足之間的距離，可以理解成兩點間的距離。點到線段或點到射線的距離，是指點到線段或射線所在直線的距離，有時要將線段延長或?qū)⑸渚€反向延長。例4 已知，如圖，ODBC,D是垂足，連接OB，下列說法中：線段OB是O、B兩點間的距離；線段OB的長度是O、B兩點間的距離；線段OD是O點到直線BC的距離；線段OD的長度是O點到直線BC的距離。正確的個數(shù)是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4典型例題題型一 利用垂線段最短解決生活問題如

25、圖，某人在公路的左側A處，要到公路的右側，怎樣走最近？為什么？若他要到公路對面的B處，怎樣走最近？為什么？題型二 利用垂直定義判斷兩條直線垂直如圖，已知A，O，B三點在同一條直線上，OC為任意一條射線，OD平分BOC，OE平分AOC，試判斷OD和OE的位置關系，并說明理由。題型三 利用垂直定義求角的度數(shù)如圖，已知AB與CD相交于點O，OMCD，OA平分MOE，且BOD=30°，求AOM、COE、BOE的度數(shù)。易錯點 點到直線的距離的概念與垂線段的概念相混淆點到直線的距離的概念與垂線段的概念相混淆點到直線的距離是指垂線段的長度，而不是指垂線段，垂線段是一個幾何圖形，而距離是一個數(shù)值。把

26、握好“點到直線的距離”這個概念，一要看是否為垂線段，二要看是否為垂線段的長度。如圖，CDOB于點D，EFOA于點F，那么O到CD的距離是_，O到EF的距離是_，C到OB的距離是_，E到OA的距離是_。6.1 線段、射線、直線知識點一 線段、射線、直線的概念1.下列語句正確的是（ ）A.畫直線AB=10cmB.畫射線OB=3cmC.延長射線OAD.延長線段AB到點C，使得BC=AB2.對于直線AB，線段CD，射線EF,在下列各圖中能相交的是（ ）3.某條直線上有4個點，那么（ ）A.有3條線段，2條射線B.有6條線段，8條射線C.有3條線段，8條射線D.有4條線段，2條射線4.如圖，水平的直線可

27、以表示為_，也可以表示為_；豎直的直線可以表示為_，也可以表示為_。5.如圖，射線有_條，線段有_條。知識點二 直線的基本性質(zhì)6.建筑工人在砌墻時，總是在墻角的地方立兩根標志桿，并在兩根桿之間拉一根準線，這樣做的道理是_。知識點三 線段的基本性質(zhì)及兩點之間的距離7.下列說法中錯誤的是（ ）A.A、B兩點間的距離為5kmB.A、B兩點間的距離是線段AB的長度C.A、B兩點間的距離就是線段ABD.線段AB的中點M到A、B的距離相等8.下列四個生活、生產(chǎn)現(xiàn)象：用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；從A地到B地架設電線，總是盡可能沿著線段AB架設；

28、把彎曲的公路改直，就能縮短路程。其中可用“兩點之間線段最短”來解釋的現(xiàn)象有（ ）A. B. C. D.知識點四 線段大小的比較和線段的畫法畫直線9.下列關于作圖的語句：AB=10厘米；畫射線OB=10厘米；已知A、B、C三點，過這三點畫一條直線；畫線段OB=10厘米。其中正確的是_。（填序號）知識點五 線段的中點10.已知線段AB=8cm，點C在線段AB上，點M、N分別為AC和BC的中點，則線段MN的長為_。11.已知點B在直線AC上，線段AB=8cm，AC=18cm,P、Q分別是線段AB、AC的中點，則線段PQ=_。知識點六 線段的和與差12.如圖，長度為12cm的線段AB的中點為M，且MC：CB=1:2，則線段AC的長度為_cm。能力提高1