2013年高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 利用幾何畫板探索軌跡的教學(xué)(1) 新人教版

1、利用幾何畫板探索軌跡的教學(xué)研究性學(xué)習(xí)一得 研究性學(xué)習(xí)是指學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，從學(xué)生生活和社會經(jīng)驗中，選擇和確定研究專題，仿照科學(xué)研究的方法和過程，主動地獲取知識，并應(yīng)用知識來解決問題的學(xué)習(xí)活動。研究性學(xué)習(xí)圍繞一個主題或問題，以小組學(xué)習(xí)為主要形式，學(xué)生自主進(jìn)行的探索性、實踐性、開放性課程。研究性學(xué)習(xí)是以問題的解決為主要形式的學(xué)習(xí)活動，問題是它的重要載體，整個學(xué)習(xí)活動以問題的自然形成序列。研究性學(xué)習(xí)更強(qiáng)調(diào)實踐，注重體驗，關(guān)注結(jié)果。其特點是內(nèi)容強(qiáng)調(diào)開放性、學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)主體性、注重學(xué)生之間合作學(xué)習(xí)、講求體驗式、活動化。下面通過對一個數(shù)學(xué)問題的探索，談?wù)勎业囊稽c體會。教師：求曲線的方程、通過方程研究曲線的性

2、質(zhì)是解析幾何的兩大主要問題。今天與同學(xué)們討論一個問題：怎樣探索點的軌跡。問題是數(shù)學(xué)的心臟，思維從問題開始。我們先看一個具體的例子：如圖1，過橢圓()的左焦點F1作弦AB?，F(xiàn)在來研究焦點弦AB有關(guān)的問題。軌跡1 過原點O作弦AB的垂線，垂足為M，求點M的軌跡方程。 圖1 圖2幾何畫板演示：拖動主動點A在橢圓上轉(zhuǎn)動或制作點A在橢圓上運動的動畫按鈕，跟蹤點M，得到點M的軌跡是一個小圓。如圖2“怎樣求出這個小圓的方程？”學(xué)生：按一般思路，假設(shè)弦AB所在直線的斜率為k，則AB的垂線的斜率為，列出這兩條直線的方程，聯(lián)立這兩個方程解出交點(即垂足)M的坐標(biāo)，最后消去參數(shù)k就得到點M的軌跡方程。哇！好復(fù)雜。學(xué)

3、生們埋頭進(jìn)行著復(fù)雜的運算。其中一個學(xué)生望著投影大屏幕，既不動手，也不說話。教師：“你為什么不動手做？”學(xué)生：“我在想這個軌跡是一個圓，而且是以O(shè)F1為直徑的圓，是不是有什么簡單的方法做出來。噢，我知道了。一般的解題思路很容易想出來，但運算也很復(fù)雜。我有一個很好也很簡單的方法：因為OMAB ，所以|OM|2 +|F1M|2 = |OF1|2，若設(shè)點M的坐標(biāo)為(x ，y)，點F1的坐標(biāo)為(c，0)，則x2 + y2 + (xc)2 + y2 = c2，即。這就是所求的軌跡方程?！薄鞍?！這么簡單？”同學(xué)們都驚訝起來。馬上又有一個學(xué)生說：“大家都被橢圓這個外表給迷惑住了。其實這個問題只與原點和點F1的

4、坐標(biāo)有關(guān)，而與橢圓的弦無任何聯(lián)系。就是給定兩點O與F1，過這兩點作兩條互相垂直的直線，求交點的軌跡方程。這當(dāng)然很容易解得?！苯處煟骸昂芎?。剛才同學(xué)們討論得很不錯。在探求點的軌跡時，一定要注意設(shè)法找出動點所滿足的幾何條件，尋找動點與不動點之間的幾何關(guān)系。平面幾何的有關(guān)結(jié)論對求點的軌跡很有用處。下面我們將問題改變一下：軌跡2 如圖3，求弦AB中點P的軌跡方程?！薄安虏驴?，點P的軌跡是什么？”不少學(xué)生已經(jīng)利用幾何畫板演示了出來：幾何畫板演示：拖動主動點A，得到點P的軌跡是一個小橢圓，并且這個小橢圓的長軸是線段OF1即半焦距。如圖4?！罢媸菣E圓?！睂W(xué)生的興趣被調(diào)動起來。“怎樣求這個小橢圓的方程？”教師

5、在下面觀察學(xué)生的解法，卻發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生 圖3對這類問題無從下手。教師：“根據(jù)求軌跡方程的一般步驟，求哪一點的軌跡方程，就應(yīng)該假設(shè)該點的坐標(biāo)為(x，y)，因此先設(shè)P點坐標(biāo)為(x，y)。要建立點P的坐標(biāo)(x，y)滿足的方程，觀察圖形，這里有四個點A(x1，y1)、B(x2，y2)、P、F1，其中點F1是定點，A、B、P都是動點，但點A是主動點，引起點P運動的原因是由于點A在橢圓上運動。因此要找到點P與A、B、F這三個點的坐標(biāo)之間的關(guān)系。這是解決問題的關(guān)鍵。”“點P與A、B兩點的坐標(biāo)的關(guān)系怎樣？”學(xué)生：“根據(jù)中點坐標(biāo)公式得到，?！薄叭绾螌、B、P、F1這四點的坐標(biāo)聯(lián)系起來？”“利用直線的斜率?！薄爸?/p>

6、線AB的斜率怎樣表示？”“有，還有?！薄叭绾蔚玫?？”“”“A、B兩點在哪？滿足什么方程？” 圖4“在橢圓上。滿足，?！薄爸涝鯓忧罅藛?？”學(xué)生很快得到下列解法(經(jīng)過整理)：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，則，因為點A、B都在橢圓上，則 ，兩式相減得 ，于是有 ，化簡得 ， 此即為所求的軌跡方程。教師：“以上解法是很典型的。這里設(shè)點A、B的坐標(biāo)，但并不需要求出，只是利用A、B的坐標(biāo)進(jìn)行過渡。這是解析幾何中常用的一種求軌跡方法設(shè)而不求。尋找動點之間的關(guān)系是求軌跡問題的關(guān)鍵。還有其它解法沒有？”一學(xué)生：“因為直線AB經(jīng)過點F1，可以設(shè)直線AB的方程為y=k(x+c)，與橢圓方程聯(lián)

7、立解方程組得出A、B兩點的坐標(biāo)”另一學(xué)生：“不必解出A、B的坐標(biāo)，將直線AB的方程為y=k(x+c)代入橢圓方程得到的一元二次方程的兩根就是點A、B的橫坐標(biāo)x1，x2，正好可以利用韋達(dá)定理得到，將點A、B的橫坐標(biāo)都表示為直線AB的斜率k的函數(shù)，消去參數(shù)k就行了?！苯處煟骸昂芎谩Ｕ埻瑢W(xué)們將解法寫出來?！币韵率菍W(xué)生的另一種解法(經(jīng)整理)：解法二：假設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k(x+c)，代入橢圓方程得 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，則，=， 由得，代入y=k(x+c)得，整理得 ， 即為所求的方程。學(xué)生：“我改變原橢圓的長軸或短軸的長，所求軌跡的形狀也隨著改

8、變了，但這兩個橢圓的形狀仍然十分相似，也不知有沒有必然的聯(lián)系？”學(xué)生：“與的比例正好等于，哇！我發(fā)現(xiàn)這兩個橢圓的離心率是一樣的！因此它們的形狀相同。”教師：“很好?？磥泶蠹乙呀?jīng)掌握了求軌跡的關(guān)鍵尋找被動點與主動點之間的關(guān)系。剛才所探索的都是弦AB上特殊點的軌跡。同學(xué)們能否利用幾何畫板探索其它點的軌跡？請大家根據(jù)這個橢圓及弦AB，自行發(fā)現(xiàn)問題，提出問題和解決問題?！睂W(xué)生們立即投入到探索中。一位學(xué)生：軌跡3 “在弦AB上任意取一點Q，跟蹤點Q，動畫哇！怎么點Q的軌跡是這樣的？”不少學(xué)生也發(fā)現(xiàn)了同樣的問題。教師將這位學(xué)生計算機(jī)上的畫面切換到大屏幕，幾何畫板演示：在弦AB上任取一點Q，跟蹤點Q，拖動主

9、動點A，取到如下幾何圖形(如圖57所示)： 圖5 圖6 圖7“呀！這是什么圖形？”“怎么會有這樣的圖形？”“自學(xué)習(xí)解析幾何以來還從沒見過這樣的圖形。”“該給這個軌跡起個什么名字呢？”學(xué)生們發(fā)出驚嘆。拖動點Q，發(fā)現(xiàn)點Q的軌跡也發(fā)生變化。當(dāng)點Q接近中點P時，點Q的軌跡圖形接近于中點P的軌跡小橢圓(如圖6)，而當(dāng)點Q接近于點A或B時，軌跡圖形就接近于大橢圓(如圖7)。軌跡4 “老師，我發(fā)現(xiàn)，如果將弦AB的兩端A、B分別與橢圓長軸兩個端點A1、A2連起來，則這兩條直線A2A與A1B的交點C好象在橢圓的準(zhǔn)線上?！绷硪粋€學(xué)生叫起來?！袄蠋?，點Q的軌跡不是我們所熟悉的圓、橢圓、雙曲線或拋物線，其軌跡方程一定

10、很復(fù)雜。點C的軌跡這么簡單，那么應(yīng)該可以求出其方程吧?！苯處煟骸霸囋嚳窗伞！辈扇〕Ｒ?guī)方法“交軌法”求解：設(shè)直線AA2、BA1的方程分別為y = k1(xa)，y = k2(x+a)，將AA2的方程代入橢圓方程整理得,此方程的兩根是A、A2的橫坐標(biāo)x1與a，故可求得A(x1，y1)點坐標(biāo)為, 圖8同理可求得B(x2，y2)點坐標(biāo)為 。由A、F1、B三點共線可得，即 ，將A、B兩點坐標(biāo)代入并整理得a2(a+c)k12k2 + a2(c-a)k1k22 + b2(a+c)k1 + b2(c-a)k2 = 0，將，代入上式得，分解因式得 ，因為直線AA2、BA1的交點在橢圓外，所以，故 ， 即 。即為

11、直線AA2、BA1的交點的軌跡方程，而這就是橢圓的準(zhǔn)線方程?！巴瑯拥牡览?，直線A2B與A1A的交點D也在準(zhǔn)線上?！薄袄蠋煟还蹸、D兩點在左準(zhǔn)線上怎樣運動，CF1D是一個定值。如圖9所示?！庇忠粋€學(xué)生發(fā)現(xiàn)了一個結(jié)論。同學(xué)們利用上個問題的解決方法，很快證明了出來。 教師：“很高興看到你們能探索出這么多 圖9結(jié)論出來。利用幾何畫板，你們還能探索出什么結(jié)論嗎？如果是圓、橢圓等常見軌跡，請同學(xué)們課后盡量給出證明?！避壽E5 “老師，如圖10作OAB的重心G，其軌跡也是一個橢圓?！币晃粚W(xué)生說。(以下是學(xué)生課后提供的解答過程：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)，AB中點為M(x0，y0)，則

12、，由，得，此即為直線AB的斜率k， 圖10又 ， ， 整理得. 故OAB重心G的軌跡方程為：。)下面是學(xué)生們得到的幾條奇形怪狀的曲線：軌跡6 “OAB的內(nèi)心的軌跡是一條雞蛋形曲線(如圖11所示)。”軌跡7 “OAB的垂心的軌跡是一條形狀的曲線(如圖12所示)?！?圖11 圖12軌跡8 “OAB的外心的軌跡是一條反形狀的曲線(如圖13所示)?！避壽E9 “OAB中，過點A作OB的垂線，垂足的軌跡是兩葉花卉形(如圖14所示)。” 圖13 圖14軌跡10 “老師，如圖15作ABF2的重心G，其軌跡也是一個橢圓?！?以下是學(xué)生課后的解答：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)，則由F2(c，

13、0)與G(x，y)可得AB中點M的坐標(biāo)為，因為 ，所以 ，整理得 ，即 。此即為ABF2的重心G的軌跡方程。) 圖15又是幾條奇妙的曲線：軌跡11 “ABF2的內(nèi)心的軌跡是與橢圓相似的一條曲線(如圖16所示)?！避壽E12 “ABF2的垂心的軌跡是一條形狀的曲線(如圖17所示)?！避壽E13 “ABF2的外心的軌跡是一條反形狀的曲線(如圖18所示)?！避壽E14 “ABF2中，過點A作BF2的垂線，垂足的軌跡是兩葉花卉形(如圖19所示)?！?圖16 圖17 圖18 圖19軌跡1518 “延長AF2交橢圓于另一點C，聯(lián)BF2 ，ABC的重心、內(nèi)心、垂心、外心的軌跡都是一不知名的曲線(如圖2023所示)

14、?！?圖20 圖21 圖22 圖23“老師，橢圓與雙曲線、拋物線都是圓錐曲線，它們有很多相似的性質(zhì)。以上問題在雙曲線與拋物線中是不是也具有相似的結(jié)論？”“問得好。同學(xué)們探討一下這位同學(xué)提出的問題?！币韵率菍W(xué)生經(jīng)過探索得出下面的結(jié)論(限于篇幅，本文略去解題過程)：軌跡19 如圖24，過雙曲線的右焦點F2作弦AB，則弦AB的中點M的軌 圖24跡是以O(shè)F2為實軸即實半軸長為的雙曲線，其方程為，其解答過程與橢圓相似，這里略去。并且此雙曲線與原雙曲線的離心率相同。若在弦AB上任取一點P，則點P的軌跡圖形如圖2526，并且當(dāng)點P 圖25接近中點M時，P點軌跡接近中點M的軌跡雙曲線；當(dāng)點P接近點A或B時，P

15、點軌跡接近原雙曲線。軌跡20 如圖27，OAB的重心G的軌跡是一雙曲線，其方程為 。軌跡21 如圖28，ABF1的重心的軌跡是一雙曲線，其方程為 圖26 圖27 圖28軌跡21 如圖28，ABF1的重心的軌跡是一雙曲線，其方程為 。軌跡22 如圖29，過拋物線的焦點F作弦AB， 則弦AB的中點M的軌跡是以F為頂點的拋物線，其方程為.圖29 圖30 圖31如圖3031，若在弦AB上任取一點P，則點P的軌跡并且當(dāng)點P接近中點M時，P點軌跡接近中點M的軌跡拋物線，當(dāng)點P接近點A或B時，P點軌跡接近原拋物線軌跡23 如圖32，OAB的重心G的軌跡是一條拋物線，其方程為 。軌跡24 如圖33，K是拋物線

16、的準(zhǔn)線與x軸的交點，KAB的重心的軌跡是一條拋物圖32 圖33 圖34線，其方程為 。如圖34，通過探索還可得到拋物線有關(guān)的一些性質(zhì)： 如 以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切； 連接OA、OB兩條直線，分別交拋物線的準(zhǔn)線于M、N兩點，則MFN=,并且AM、BN都垂直于準(zhǔn)線。教師：“今天的問題同學(xué)們研究得很好。幾何畫板可以稱這數(shù)學(xué)實驗室。通過這個實驗室，同學(xué)們可以學(xué)會怎樣去探索、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題。象上面的軌跡問題，找到了主動點與被動點之間的關(guān)系，問題就不難解。下面的這個問題，同學(xué)們課后去加以研究，下周將你們研究的結(jié)果展示出來：問題 如圖35所示，過橢圓的左頂點A1作兩條互相垂直的弦A1A、A1B。對于

17、弦AB提出一些問題并加以解決。例如：弦AB是否經(jīng)過一個定點；弦AB上中點的軌跡問題；過A1或O點作弦AB的垂線，垂足的軌跡問題；A1AB的重心、外心、內(nèi)心、垂心等的軌跡問題；A2AB的重心、外心、內(nèi)心、垂心等的軌跡問題更一般的問題：如果在橢圓上取其它點M，過點M作兩條互相垂直的弦MA、MB。對弦AB提出一些問題并加以解決。同樣，對雙曲線、拋物線也提出類似的問題。有關(guān)結(jié)果在下周展示出來?！闭n后對學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查。以下是一些學(xué)生的感受：“今天這堂課收獲很大。以往很多想不通的知其然而不知其所以然問題，通過幾何畫板的動態(tài)顯示，現(xiàn)在弄清楚了?！薄敖裉爝@堂課真有意思。通過幾何畫板這個工具，不僅掌握了如何研究問題， 圖35同時也知道了如何去發(fā)現(xiàn)問題。”“通過這堂課，我想我們平時做的很多數(shù)學(xué)題大概就是這樣被發(fā)現(xiàn)的?！薄拔矣X得老師要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)問題、提出問題這種教學(xué)方式對我們很有益處。這比題海戰(zhàn)術(shù)、高強(qiáng)度訓(xùn)練的教學(xué)方式要好得多。不僅掌握了數(shù)學(xué)知識，而且讓我們知道了知識的產(chǎn)生過程?！?記得我國著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙教授說過，在