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文檔簡介
1、培優(yōu)點(diǎn)十八 幾何概型1.長度類幾何概型例1:已知函數(shù),在定義域內(nèi)任取一點(diǎn),使的概率是( )ABCD 【答案】C【解析】先解出時的取值范圍:,從而在數(shù)軸上區(qū)間長度占區(qū)間長度的比例即為事件發(fā)生的概率,故選C2面積類幾何概型(1)圖形類幾何概型例2-1:如圖所示,在矩形中,圖中陰影部分是以為直徑的半圓,現(xiàn)在向矩形內(nèi)隨機(jī)撒4000粒豆子(豆子的大小忽略不計(jì)),根據(jù)你所學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)知識,下列四個選項(xiàng)中最有可能落在陰影部分內(nèi)的豆子數(shù)目是( )A1000B2000C3000D4000【答案】C【解析】在矩形中,面積為,半圓的面積為,故由幾何概型可知,半圓所占比例為,隨機(jī)撒4000粒豆子,落在陰影部分內(nèi)的豆子
2、數(shù)目大約為3000,故選C(2)線性規(guī)劃類幾何概型例2-2:甲乙兩艘輪船都要在某個泊位???小時,假定他們在一晝夜的時間段中隨機(jī)地到達(dá),試求這兩艘船中至少有一艘在停泊位時必須等待的概率( )ABCD【答案】D【解析】設(shè)甲船到達(dá)的時間為,乙船到達(dá)的時間為,則所有基本事件構(gòu)成的區(qū)域滿足,這兩艘船中至少有一艘在停泊位時必須等待包含的基本事件構(gòu)成的區(qū)域滿足,作出對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示:這兩艘船中至少有一艘在停泊位時必須等待的概率為,故選D3體積類幾何概型例3:一個多面體的直觀圖和三視圖所示,是的中點(diǎn),一只蝴蝶在幾何體內(nèi)自由飛翔,由它飛入幾何體內(nèi)的概率為( )ABCD【答案】D【解析】所求概率為棱錐的體
3、積與棱柱體積的比值由三視圖可得,且,兩兩垂直,可得,棱錐體積,而,從而故選D對點(diǎn)增分集訓(xùn)一、單選題1如圖,邊長為2的正方形中有一陰影區(qū)域,在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為則陰影區(qū)域的面積約為( )ABCD無法計(jì)算【答案】C【解析】設(shè)陰影區(qū)域的面積為,故選C2某景區(qū)在開放時間內(nèi),每個整點(diǎn)時會有一趟觀光車從景區(qū)入口發(fā)車,某人上午到達(dá)景區(qū)入口,準(zhǔn)備乘坐觀光車,則他等待時間不多于10分鐘的概率為( )ABCD【答案】B【解析】由題意,此人在50分到整點(diǎn)之間的10分鐘內(nèi)到達(dá),等待時間不多于10分鐘,概率故選B3一只螞蟻在邊長為4的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行,則它在離三個頂點(diǎn)距離都大于2的區(qū)
4、域內(nèi)的概率為( )ABCD 【答案】A【解析】滿足條件的正三角形如圖所示:其中正三角形的面積滿足到正三角形的頂點(diǎn),的距離都小于2的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,則,則使取到的點(diǎn)到三個頂點(diǎn),的距離都大于2的概率為:故選A4在區(qū)間上隨機(jī)取兩個數(shù),記為事件的概率,則( )ABCD【答案】D【解析】如圖所示,表示的平面區(qū)域?yàn)?,平面區(qū)域內(nèi)滿足的部分為陰影部分的區(qū)域,其中,結(jié)合幾何概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值為,故選D5在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù),的值介于0到之間的概率為( )ABCD【答案】A【解析】由,得,或,或,記的值介于0到之間,則構(gòu)成事件的區(qū)域長度為;全部結(jié)果的區(qū)域長度為2;,故選A6點(diǎn)在邊長為1的
5、正方形內(nèi)運(yùn)動,則動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的概率為( )ABCD【答案】C【解析】滿足條件的正方形,如圖所示:其中滿足動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,則正方形的面積,陰影部分的面積故動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的概率故選C7已知實(shí)數(shù),執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的不小于103的概率為 ( )ABCD【答案】B【解析】設(shè)實(shí)數(shù),經(jīng)過第一次循環(huán)得到,;經(jīng)過第二次循環(huán)得到,;經(jīng)過第三次循環(huán)得到,此時輸出,輸出的值為,令得,由幾何概型概率得到輸出的不小于103的概率為,故選B8九章算術(shù)中有如下問題:“今有勾五步,股一十二步,問勾中容圓,徑幾何?”其大意:“已知直角三角形兩直角邊分別為5步和12步,問其內(nèi)切圓的
6、直徑為多少步?”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子,則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是( )ABCD【答案】C【解析】直角三角形的斜邊長為,設(shè)內(nèi)切圓的半徑為,則,解得,內(nèi)切圓的面積為,豆子落在其內(nèi)切圓外部的概率是,故選C9把不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)記為,則函數(shù)稱作取整函數(shù),又叫高斯函數(shù),在上任取,則的概率為( )ABCD【答案】D【解析】當(dāng)時,則,滿足;當(dāng)時,則,滿足;當(dāng)時,則不滿足;當(dāng)時,則,不滿足綜上,滿足的,則的概率為,故選D10關(guān)于圓周率,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多有創(chuàng)意的求法,如著名的普豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)受其啟發(fā),我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)的值:先請120名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個,都小于1的正實(shí)
7、數(shù)對,再統(tǒng)計(jì)其中x,y能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù),最后根據(jù)統(tǒng)計(jì)個數(shù)估計(jì)的值如果統(tǒng)計(jì)結(jié)果是,那么可以估計(jì)的值為( )ABCD【答案】B【解析】 由題意,120對都小于1的正實(shí)數(shù),滿足,面積為1,兩個數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形的三邊的數(shù)對,滿足且,面積為,統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù)為,則,故選B11為了節(jié)省材料,某市下水道井蓋的形狀如圖1所示,其外圍是由以正三角形的頂點(diǎn)為圓心,正三角形的邊長為半徑的三段圓弧組成的曲邊三角形,這個曲邊三角形稱作“菜洛三角形”現(xiàn)有一顆質(zhì)量均勻的彈珠落在如圖2所示的萊洛三角形內(nèi),則彈珠恰好落在三角形內(nèi)的概率為( )ABCD【答案】A【解析】彈珠落
8、在萊洛三角形內(nèi)的每一個位置是等可能的,由幾何概型的概率計(jì)算公式可知所求概率:,(為萊洛三角形的面積),故選A12下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形此圖由三個半圓構(gòu)成,三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊,直角邊,的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為II,其余部分記為III在整個圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自I,II,III的概率分別記為,則( )ABCD【答案】A【解析】設(shè),則有,從而可以求得的面積為,黑色部分的面積為,其余部分的面積為,有,根據(jù)面積型幾何概型的概率公式,可以得到,故選A二、填空題13在區(qū)間內(nèi)任取一個實(shí)數(shù),則使函數(shù)在上為減函數(shù)的概率是_【答案】【解析】函數(shù)在上為減函數(shù)
9、,因此所求概率為14記集合,集合表示的平面區(qū)域分別為,若在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn),則點(diǎn)落在區(qū)域中的概率為_【答案】【解析】畫出表示的區(qū)域,即圖中以原點(diǎn)為圓心,半徑為2的圓;集合表示的區(qū)域,即圖中的陰影部分由題意可得,根據(jù)幾何概型概率公式可得所求概率為15任取兩個小于1的正數(shù)、,若、1能作為三角形的三條邊長,則它們能構(gòu)成鈍角三角形三條邊長的概率是_【答案】【解析】根據(jù)題意可得,三邊可以構(gòu)成三角形的條件為:這三個邊正好是鈍角三角形的三個邊,應(yīng)滿足以下條件:,對應(yīng)的區(qū)域如圖,由圓面積的為,直線和區(qū)域圍成的三角形面積是,則、1能作為三角形的三條邊長,則它們能構(gòu)成鈍角三角形三條邊長的概率故答案為16父親節(jié)小明給爸爸從網(wǎng)上購買了一雙運(yùn)動鞋,就在父親節(jié)的當(dāng)天,快遞公司給小明打電話話說鞋子已經(jīng)到達(dá)快遞公司了,馬上可以送到小明家,到達(dá)時間為晚上6點(diǎn)到7點(diǎn)之間,小明的爸爸晚上5點(diǎn)下班之后需要坐公共汽車回家,到家的時間在晚上5點(diǎn)半到6點(diǎn)半之間求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率(快遞員把鞋子送到小明家的時候,會把鞋子放在小明家門口的“豐巢”中)為_【答案】【解析】設(shè)爸爸到家時間為,快遞員到達(dá)時間為,以橫
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