微分方程習(xí)題和答案

1、 微分方程習(xí)題 §1 基本概念1. 驗(yàn)證下列各題所給出的隱函數(shù)是微分方程的解.（1）（2）2.已知曲線族，求它相應(yīng)的微分方程（其中均為常數(shù)）（一般方法：對曲線簇方程求導(dǎo)，然后消去常數(shù)，方程中常數(shù)個數(shù)決定求導(dǎo)次數(shù).）（1）；（2）.3寫出下列條件確定的曲線所滿足的微分方程。（1）曲線在 處切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方。（2）曲線在點(diǎn)P處的法線x軸的交點(diǎn)為Q,，PQ為y軸平分。（3）曲線上的點(diǎn)P處的切線與y軸交點(diǎn)為Q, PQ長度為2，且曲線過點(diǎn)（2，0）。 §2可分離變量與齊次方程1.求下列微分方程的通解（1）；（2）；（3）；（4）.2求下列微分方程的特解（1）；（2）3.

2、 求下列微分方程的通解（1）；（2）.4. 求下列微分方程的特解（1）；（2）.5. 用適當(dāng)?shù)淖儞Q替換化簡方程，并求解下列方程（1）；（2）（3）（4）6. 求一曲線，使其任意一點(diǎn)的切線與過切點(diǎn)平行于軸的直線和軸所圍城三角形面積等于常數(shù).BAP(x,y)7. 設(shè)質(zhì)量為的物體自由下落，所受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)開始下落時速度為0，求物體速度與時間的函數(shù)關(guān)系.8. 有一種醫(yī)療手段，是把示蹤染色注射到胰臟里去，以檢查其功能.正常胰臟每分鐘吸收掉染色，現(xiàn)內(nèi)科醫(yī)生給某人注射了0.3g染色，30分鐘后剩下0.1g，試求注射染色后分鐘時正常胰臟中染色量隨時間變化的規(guī)律，此人胰臟是否正常？9.有一容器內(nèi)有

3、100L的鹽水，其中含鹽10kg，現(xiàn)以每分鐘3L的速度注入清水，同時又以每分鐘2L的速度將沖淡的鹽水排出，問一小時后，容器內(nèi)尚有多少鹽？ §3 一階線性方程與貝努利方程1求下列微分方程的通解（1）；（2）；（3）；（4）；（5）2求下列微分方程的特解（1）； (2)3一 曲線過原點(diǎn)，在處切線斜率為，求該曲線方程.4設(shè)可導(dǎo)函數(shù)滿足方程，求.5設(shè)有一個由電阻，電感，電流電壓串聯(lián)組成之電路，合上開關(guān)，求電路中電流和時間之關(guān)系.6求下列貝努利方程的通解 (1) （2）（3）（4） §4 可降階的高階方程1.求下列方程通解。；（2）；（2）3求的經(jīng)過且在與直線相切的積分曲線4證明曲率

4、恒為常數(shù)的曲線是圓或直線.證明：可推出是線性函數(shù)；可取正或負(fù)5槍彈垂直射穿厚度為的鋼板，入板速度為，出板速度為，設(shè)槍彈在板內(nèi)受到阻力與速度成正比，問槍彈穿過鋼板的時間是多少？ §5 高階線性微分方程1.已知是二階線性微分方程的解，試證是的解2.已知二階線性微分方程的三個特解，試求此方程滿足的特解.3驗(yàn)證是微分方程的解，并求其通解. §6 二階常系數(shù)齊次線性微分方程1.求下列微分方程的通解（1）；（2）；（3）；（4）.2求下列微分方程的特解（1）（2）（3）3.設(shè)單擺擺長為，質(zhì)量為，開始時偏移一個小角度，然后放開，開始自由擺動.在不計(jì)空氣阻力條件下，求角位移隨時間變化的規(guī)律

5、.Pmg4. 圓柱形浮筒直徑為0.5m ，鉛垂放在水中，當(dāng)稍向下壓后突然放開，浮筒周期為2s，求浮筒質(zhì)量.。O5.長為6m的鏈條自桌上無摩察地向下滑動，設(shè)運(yùn)動開始時，鏈條自桌上垂下部分長為1m，問需多少時間鏈條全部滑過桌面.O §7 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程1.求下列微分方程的通解（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.2求下列微分方程的特解（1）；（2）3.設(shè)連續(xù)函數(shù)滿足 求.4.一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)由靜止開始沉入水中，下沉?xí)r水的反作用力與速度成正比（比例系數(shù)為），求此物體之運(yùn)動規(guī)律. OP5.一鏈條懸掛在一釘子上，起動時一端離開釘子8m，另一端離開釘子12m，若不計(jì)摩擦力，求鏈條全

6、部滑下所需時間.OP 6.大炮以仰角、初速發(fā)射炮彈，若不計(jì)空氣阻力，求彈道曲線. §8 歐拉方程及常系數(shù)線性微分方程組 1.求下列微分方程的通解 （1）；（2）.2求下列微分方程組的通解（1）（2） 自測題1.求下列微分方程的解。（1）；（2）；（3）；（4）.2求連續(xù)函數(shù)，使得時有.3求以為通解的二階微分方程.4某個三階常系數(shù)微分方程 有兩個解和，求.5設(shè)有一個解為，對應(yīng)齊次方程有一特解，試求：（1）的表達(dá)式；（2）該微分方程的通解.6已知可導(dǎo)函數(shù)滿足關(guān)系式： 求.7已知曲線上原點(diǎn)處的切線垂直于直線，且滿足微分方程，求此曲線方程. 微分方程習(xí)題答案 §1 基本概念1驗(yàn)證下

7、列各題所給出的隱函數(shù)是微分方程的解.（1）故所給出的隱函數(shù)是微分方程的解（2）.解：隱函數(shù)方程兩邊對x求導(dǎo)方程兩邊再對x求導(dǎo)指數(shù)函數(shù)非零，即有故所給出的隱函數(shù)是微分方程的解2已知曲線族，求它相應(yīng)的微分方程（其中均為常數(shù)）（一般方法：對曲線簇方程求導(dǎo)，然后消去常數(shù)，方程中常數(shù)個數(shù)決定求導(dǎo)次數(shù).）（1）；（2）.3寫出下列條件確定的曲線所滿足的微分方程。（1）曲線在 處切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方。解：設(shè)曲線為 y = y ( x )則曲線上的點(diǎn)處的切線斜率為，由題意知所求方程為（2）曲線在點(diǎn)P處的法線x軸的交點(diǎn)為Q,，PQ為y軸平分。解：曲線上的點(diǎn)處法線方程：。故法線x軸的交點(diǎn)為Q坐標(biāo)應(yīng)為，又

8、PQ為y軸平分，故，便得曲線所滿足的微分方程：（3）曲線上的點(diǎn)P處的切線與y軸交點(diǎn)為Q, PQ長度為2，且曲線過點(diǎn)（2，0）。解：點(diǎn)P處切線方程： 故Q坐標(biāo)為，則有則得初值問題為： §2可分離變量與齊次方程1求下列微分方程的通解（1）；解:分離變量（2）；解:分離變量其中（3）；解: 分離變量得其中（4）.解：分離變量得其中2求下列微分方程的特解（1）；（2）解：分離變量得 ，其中，由得，故特解為3求下列微分方程的通解（1）；解：方程變形為齊次方程，則，故原方程變?yōu)椋蛛x變量得，兩邊積分，即，故，得，其中（2）.解：方程變形為齊次方程，令則，故原方程變?yōu)?，分離變量得，兩邊積分，即，即

9、，得其中4 求下列微分方程的特解（1）；解：原方程化為，令則，故原方程變?yōu)?，分離變量得兩邊積分，即，得其中，由得，故特解為（2）.解：原方程可化為令則，故原方程變?yōu)榉蛛x變量得兩邊積分，即得即得，即，又得特解為5 用適當(dāng)?shù)淖儞Q替換化簡方程，并求解下列方程（1）；解：令則，原方程變?yōu)?，分離變量并積分得故方程通解為（2）解：則，原方程變?yōu)椋蛛x變量并積分，即得，得，即，其中故方程通解為（，其中）（3）解：，則，原方程變?yōu)椋蛛x變量并積分得故方程通解為（4）解：則，原方程變?yōu)?，分離變量并積分，得，即其中（分析原方程可變形為，故令）（，其中）6 求一曲線，使其任意一點(diǎn)的切線與過切點(diǎn)平行于軸的直線和軸所圍

10、城三角形面積等于常數(shù).BAP(x,y)解：曲線點(diǎn)P（x, y）的切線方程為： 該曲線與x軸交點(diǎn)記為B，則B坐標(biāo)為，過點(diǎn)P（x, y）平行于軸的直線和軸交點(diǎn)記為A，則A坐標(biāo)為故三角形面積為即有微分方程當(dāng)時用分離變量法解得當(dāng)時用分離變量法解得7 設(shè)質(zhì)量為的物體自由下落，所受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)開始下落時速度為0，求物體速度與時間的函數(shù)關(guān)系.8 有一種醫(yī)療手段，是把示蹤染色注射到胰臟里去，以檢查其功能.正常胰臟每分鐘吸收掉染色，現(xiàn)內(nèi)科醫(yī)生給某人注射了0.3g染色，30分鐘后剩下0.1g，試求注射染色后分鐘時正常胰臟中染色量隨時間變化的規(guī)律，此人胰臟是否正常？解: t以分為單位,因此,每分鐘正常

11、胰臟吸收40%染色可得通解為: 加以初始 p(0)=0.3,便可求出 p(t)=0.3e及p(30)=0.3e然后與實(shí)測比較知,此人胰臟不正常.9.有一容器內(nèi)有100L的鹽水，其中含鹽10kg，現(xiàn)以每分鐘3L的速度注入清水，同時又以每分鐘2L的速度將沖淡的鹽水排出，問一小時后，容器內(nèi)尚有多少鹽？解：設(shè)時刻容器內(nèi)含鹽，由于時刻容器內(nèi)液體為：100+，因此時刻容器內(nèi)濃度為：.于是在時刻鹽的流失速度為：，從而有滿足的方程為：初始化條件為: §3 一階線性方程與貝努利方程1求下列微分方程的通解（1）；解：法一：常系數(shù)變易法：解齊次方程，分離變量得，積分得，即，其中（注：在常系數(shù)變易法時求解齊

12、次方程通解時寫成顯式解；其中。設(shè)非齊次方程有解，代入非齊次方程有，即，故，非齊次微分方程的通解法二（公式法）（2）；故（3）；解：方程變形為故即，其中（4）；解：方程變形為，故即（分部積分法：）（5）解：兩邊同乘得，即，故令，則原方程變?yōu)楣剩吹眉丛匠掏ń鉃椋ㄓ梅植糠e分法積分）2求下列微分方程的特解（1）；解： (2)解：3一 曲線過原點(diǎn)，在處切線斜率為，求該曲線方程.解：由題意可得：于是：由得，故曲線方程為4設(shè)可導(dǎo)函數(shù)滿足方程，求.解：問題為初值問題該微分方程為線性微分方程故又得，故5設(shè)有一個由電阻，電感，電流電壓串聯(lián)組成之電路，合上開關(guān)，求電路中電流和時間之關(guān)系.解：由及可得：問題為初值

13、問題該微分方程為線性微分方程故又得，故（分部積分法積）6求下列貝努利方程的通解 (1) 解：原方程變形為，令，則，故原方程變?yōu)榫€性微分方程故貝努利方程的通解為（2）原方程變形為，令，則故原方程變?yōu)榫€性微分方程故貝努利方程的通解為（3）解：方程變形為，令，則故原方程變?yōu)榫€性微分方程故貝努利方程的通解為，即（4）解：方程變形為，令，則故原方程變?yōu)榫€性微分方程故貝努利方程的通解為 §4 可降階的高階方程 1 求下列方程通解。2解：令，則，原方程變?yōu)榫€性微分方程故故即（2）；解：令，則，原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程，分離變量積分得，得故，即解：令，則，原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程若，即，

14、故若，分離變量積分，得，即，分離變量積分，得解：令，則，原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程分離變量積分，得，即，變形得，分離變量積分即得，即即解：令，則，原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程由，知分離變量積分得，得即，分離變量積分得，由得故特解（2）解：令，則，原方程變?yōu)榫€性微分方程故由得，即故，由得，故特解為3求的經(jīng)過且在與直線相切的積分曲線.解：由題意，原方程可化為：4證明曲率恒為常數(shù)的曲線是圓或直線.證明：可推出是線性函數(shù)；可取正或負(fù)）用作自變量，令得： ， ，從而 ，再積分： ，.5槍彈垂直射穿厚度為的鋼板，入板速度為，出板速度為，設(shè)槍彈在板內(nèi)受到阻力與速度成正比，問槍彈穿過鋼板的時間是多少？解

15、：由方程，可得 ，再從 ，得到 ，根據(jù) ，可得 ， §5 高階線性微分方程 1已知是二階線性微分方程的解，試證是的解3 已知二階線性微分方程的三個特解，試求此方程滿足的特解.解：；是齊次微分方程的解，且常數(shù)，故原方程通解為由得，即特解為3驗(yàn)證是微分方程的解，并求其通解. §6 二階常系數(shù)齊次線性微分方程1 求下列微分方程的通解（1）；（2）；（3）；（4）.解：特征方程為，即得即特征方程為有二重共軛復(fù)根故方程通解為2求下列微分方程的特解（1）（2）（3）3.設(shè)單擺擺長為，質(zhì)量為，開始時偏移一個小角度，然后放開，開始自由擺動.在不計(jì)空氣阻力條件下，求角位移隨時間變化的規(guī)律.解

16、：在時刻，P點(diǎn)受力中垂直于擺的分量為： ，如圖：Pmg此為造成運(yùn)動之力.而此時線加速度為，故有.從而方程為：，初始條件：，解得通解為：特解為：4. 圓柱形浮筒直徑為0.5m ，鉛垂放在水中，當(dāng)稍向下壓后突然放開，浮筒在水中上下震動，周期為2s，求浮筒質(zhì)量.解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，O取圓筒在平衡時（此時重力與浮力相等）筒上一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)筒在上下振動時該點(diǎn)位移為，則有.其中為由于筒離開平衡位置后產(chǎn)生的浮力：.由此可得振動方程：該方程的通解為根據(jù)周期為，獲得解出 .5.長為6m的鏈條自桌上無摩察地向下滑動，設(shè)運(yùn)動開始時，鏈條自桌上垂下部分長為1m，問需多少時間鏈條全部滑過桌面.解：坐標(biāo)系如圖，

17、原點(diǎn)于鏈尾點(diǎn)，鏈條滑過的方向?yàn)閤軸的正方向建立坐標(biāo)系，O于是,由 ， 觀察得一特解：，于是通解為：求，由，得： §7 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程1 求下列微分方程的通解（1）；解：特征方程為，特征根為，故對應(yīng)齊次方程通解為本題中是特征方程的單根，故可設(shè)原方程有特解代入原方程有得故原方程通解為（2）；解：特征方程為，特征根為，故對應(yīng)齊次方程通解為本題中不是特征方程的根，故可設(shè)原方程有特解代入原方程有得故原方程通解為（3）；解：特征方程為，特征根為，故對應(yīng)齊次方程通解為構(gòu)造復(fù)方程復(fù)方程中不是特征方程的根，故可設(shè)復(fù)方程有特解代入復(fù)方程得得故復(fù)方程有特解故復(fù)方程特解的實(shí)部為原方程的一個特解

18、，故原方程的通解為（4）；解：原方程即為 特征方程為，特征根為，故對應(yīng)齊次方程通解為顯然有特解對構(gòu)造復(fù)方程設(shè)復(fù)方程有特解，代入復(fù)方程有得，即復(fù)方程有特解故有特解，所以原方程有特解故原方程有通解（5）.解：特征方程為，特征根為故對應(yīng)齊次方程通解為對，是特征方程的單根，可設(shè)有特解解得對，是特征方程的單根，可設(shè)有特解解得故是原方程的一個特解故原方程通解為2求下列微分方程的特解（1）；（2）解法一：原方程即為特征方程為，特征根為，故對應(yīng)齊次方程通解為構(gòu)造復(fù)方程復(fù)方程中不是特征方程的根，故可設(shè)復(fù)方程有特解代入復(fù)方程得得故復(fù)方程有特解故復(fù)方程特解的虛部為原方程的一個特解，故原方程的通解為由得特解2 設(shè)連續(xù)函數(shù)滿足 求.解:由題意有特征方程為，特征根為故對應(yīng)齊次方程通解為不是特征方程的根，故可設(shè)原方程有特解解得故原方程的通解為由得本題解為（注4.一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)由靜止開始沉入水中，下沉?xí)r水的反作用力與速度成正比（比例系數(shù)為），求此物體之運(yùn)動規(guī)律