第三節(jié)曲面及其方程

1、1第三節(jié)第三節(jié) 曲面及其方程曲面及其方程曲面方程的概念曲面方程的概念旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面柱面柱面二次曲面二次曲面第八章第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)空間解析幾何與向量代數(shù)2問(wèn)題的提出（Introduction)Z,m n.R sinm,X Y Z曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡.3曲面方程的定義曲面方程的定義(1) 曲面曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程;(2) 不不在曲面在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不不滿足方程滿足方程;如果曲面如果曲面S0),( zyxF有下述關(guān)系有下述關(guān)系:那么那么,0),( zyxF方程方程就叫做曲

2、面就叫做曲面S的方程的方程,而曲面而曲面S就叫做方程的圖形就叫做方程的圖形.一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念與三元方程與三元方程xyzOS0),( zyxF4凡三元方程都表示空間一曲面凡三元方程都表示空間一曲面是一個(gè)三元方程是一個(gè)三元方程, 1222 zyx但不表示任何曲面但不表示任何曲面.錯(cuò)錯(cuò), ,如如5以下給出幾例常見的曲面以下給出幾例常見的曲面.解解RMM |0 202020)()()(zzyyxx2202020)()()(Rzzyyxx 所求方程為所求方程為球心在原點(diǎn)的球面方程球心在原點(diǎn)的球面方程2222Rzyx 的的、半徑為、半徑為建立球心在點(diǎn)建立球心在點(diǎn)RzyxM),(0000

3、.球球面面方方程程例例特殊特殊),(zyxM設(shè)設(shè)是球面上任一點(diǎn)是球面上任一點(diǎn),R6解解 |0MMMO 222222432zyxzyx 911634132222 zyx所求方程所求方程),(zyxM設(shè)設(shè)是曲面上任一點(diǎn)是曲面上任一點(diǎn),例例的全體所組成的曲面方程的全體所組成的曲面方程.的點(diǎn)的點(diǎn)：的距離之比為的距離之比為及及求與原點(diǎn)求與原點(diǎn)21)4 , 3 , 2(0MO21217 研究空間曲面有研究空間曲面有(1)已知曲面已知曲面,(2)已知方程已知方程,兩個(gè)基本問(wèn)題兩個(gè)基本問(wèn)題(討論旋轉(zhuǎn)曲面討論旋轉(zhuǎn)曲面)(討論柱面討論柱面, 二次曲面二次曲面)求方程求方程;研究圖形研究圖形.8二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)

4、曲面定義定義繞其平面上的一條直線繞其平面上的一條直線這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸軸. 此曲線稱此曲線稱稱為稱為旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面. .旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面, ,母線母線. . 為方便為方便,作坐標(biāo)面作坐標(biāo)面, 旋轉(zhuǎn)軸取旋轉(zhuǎn)軸取作坐標(biāo)軸作坐標(biāo)軸.(surface of revolution) 常把曲線所在平面取常把曲線所在平面取以一條以一條平面曲線平面曲線母線母線軸軸92 旋轉(zhuǎn)曲面方程的求法旋轉(zhuǎn)曲面方程的求法 ：(,)0fy z方 程把該曲線繞把該曲線繞z 軸旋轉(zhuǎn)一周，得一個(gè)以軸旋轉(zhuǎn)一周，得一個(gè)以z軸為軸軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面。的旋轉(zhuǎn)曲面。坐標(biāo)平面上有一已知曲線坐標(biāo)平面

5、上有一已知曲線C，1）設(shè)在）設(shè)在yoz10d),(zyxM設(shè)設(shè)zz 1)1(22yxd 旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的特征：旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的特征：如圖如圖將將,1zz 0),(11 zyf), 0(111zyM0),(22 zyxf得方程得方程軸的距離軸的距離到到點(diǎn)點(diǎn)zM)2(|1y 221yxy 代入代入0),(11 zyfxyzO), 0(111zyM ),(zyxM0),(: zyfC110),( yf22zx 旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程.旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)一周的即為即為0),( zyfyOz坐標(biāo)面上的已知曲線坐標(biāo)面上的已知曲線同理同理,0),( zyfyOz坐標(biāo)面上的已知曲線坐標(biāo)面上的已知曲線旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面

6、方程為為旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)一周的0),(22 zyxf繞繞z軸軸繞繞y軸軸12 曲線方程中與旋轉(zhuǎn)軸相同的變量不動(dòng)曲線方程中與旋轉(zhuǎn)軸相同的變量不動(dòng), 總之總之,位于位于坐標(biāo)面上坐標(biāo)面上的曲線的曲線C,繞其上的繞其上的一個(gè)一個(gè) 坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng),所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程可以所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程可以這樣得到這樣得到 :而用另兩個(gè)的變量的平方和的平方根而用另兩個(gè)的變量的平方和的平方根(加正、加正、負(fù)號(hào)負(fù)號(hào))替代曲線方程中另一個(gè)變量即可替代曲線方程中另一個(gè)變量即可.13所得旋轉(zhuǎn)曲面稱為所得旋轉(zhuǎn)曲面稱為圓錐面圓錐面. 兩直線的交點(diǎn)稱為兩直線的交點(diǎn)稱為圓錐面的圓錐面的頂點(diǎn)頂點(diǎn),兩直線的夾角兩直線的夾角圓錐面的圓錐面

7、的半頂角半頂角.)20( 稱為稱為直線直線L繞另一條與繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周相交的直線旋轉(zhuǎn)一周yxzOxyzO14 解解 cotyz 圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz 例：試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)例：試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,半頂角為半頂角為 的的 圓錐面的方程圓錐面的方程.旋轉(zhuǎn)軸為旋轉(zhuǎn)軸為z軸軸,yOz在面上面上,直線方程為直線方程為),(zyxM 1(0, , )My z yxzO15圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz 即即 圓錐面方程圓錐面方程)cot()(2222 ayxaz即即,1時(shí)時(shí) a1cot 4 222yxz (用得較多用得較多)16 cotzy 繞繞y軸軸旋轉(zhuǎn)所得

8、曲面方程及圖形旋轉(zhuǎn)所得曲面方程及圖形.)(cot2222zxy )(222zxa )cot( a cot y即即yOz面上直線方程為面上直線方程為22zx Ozxy 17 將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周,求生成求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.122 cz旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面例例xoz坐標(biāo)面上的雙曲線坐標(biāo)面上的雙曲線(1)12222 czax繞繞x軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)2c22zy 22ax1 22yx 2a18繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面

9、(2)12222 czayyOz坐標(biāo)面上的橢圓坐標(biāo)面上的橢圓繞繞y軸和軸和z軸軸;(3)pzyyOz22 坐標(biāo)面上的拋物線坐標(biāo)面上的拋物線繞繞z軸軸.19定義定義三、柱面三、柱面平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C這條定曲線這條定曲線C 稱為柱面的稱為柱面的動(dòng)直線動(dòng)直線L稱為柱面的稱為柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線,母線母線.(cylindrical surface )所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為移動(dòng)的直線移動(dòng)的直線L 柱面柱面. .LC準(zhǔn)線準(zhǔn)線母線母線20 例例 討論方程討論方程 的圖形的圖形.222Ryx 在在xOy面面上上, 222Ryx 解解現(xiàn)在現(xiàn)在空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系中討論問(wèn)題

10、中討論問(wèn)題.表一個(gè)表一個(gè)圓圓C.過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作平行作平行z軸的直線軸的直線L,)0 ,(1yxM設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) 在圓在圓C上上, 對(duì)任意對(duì)任意z,點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)也滿足方程的坐標(biāo)也滿足方程沿曲線沿曲線C, 平行于平行于z軸的一切直線所形成的曲面上的點(diǎn)軸的一切直線所形成的曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)的坐標(biāo)都滿足此方程都滿足此方程),(zyxMLxyzOC 1M M )0 ,(1yxM,222Ryx 21因此因此,該方程的圖形是以該方程的圖形是以xOy面上圓為準(zhǔn)線面上圓為準(zhǔn)線,母線平行于母線平行于z軸的軸的柱面柱面.在在空間空間, ,222Ryx 就是就是圓柱面方程圓柱面方程. .此曲面稱為此曲面稱為圓柱面圓柱面. .xyz

11、OC 1M M L22xyzOxyzOxy 平面平面表示母線平行于表示母線平行于zxy22 .22xy xy 表示母線平行于表示母線平行于z軸軸.xy xy22 拋物柱面拋物柱面柱面舉例柱面舉例 其準(zhǔn)線是其準(zhǔn)線是xOy面面上的拋物線上的拋物線軸的柱面軸的柱面, 的柱面的柱面,其準(zhǔn)線是其準(zhǔn)線是xOy面上面上的直線的直線23從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征：（其他類推）（其他類推）, 0),(, yxFzyx的方程的方程而缺而缺只含只含直角坐標(biāo)系中表示平行于直角坐標(biāo)系中表示平行于z軸的柱面軸的柱面,在空間在空間為為xOy面上的曲線面上的曲線C.其準(zhǔn)線其準(zhǔn)線24四、二次曲面四、二次曲面

12、1. 二次曲面的定義二次曲面的定義 相應(yīng)地平面被稱為相應(yīng)地平面被稱為三元二次方程三元二次方程所表示的曲面稱為所表示的曲面稱為球面、球面、二次曲面二次曲面.如如: :雙曲柱面等雙曲柱面等)某些柱面某些柱面(圓柱面、拋物柱面、圓柱面、拋物柱面、一次曲面一次曲面.都是二次曲面都是二次曲面.25實(shí)實(shí) 例例12222 czby橢圓橢圓柱面柱面12222 byax雙曲雙曲柱面柱面 pzx22 拋物拋物柱面柱面 母線平行于母線平行于x軸軸母線平行于母線平行于z軸軸母線平行于母線平行于y軸軸26現(xiàn)只研究幾種常見的二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程現(xiàn)只研究幾種常見的二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程.1222222 czbyaxzqypx 2

13、2221222222 czbyaxzqypx 22221222222 czbyax稱為稱為二次曲面二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程的標(biāo)準(zhǔn)方程.272、二次曲面的研究方法：、二次曲面的研究方法：(不能用描點(diǎn)法，而用截面法不能用描點(diǎn)法，而用截面法)1）對(duì)稱性：關(guān)于坐標(biāo)面，坐標(biāo)軸）對(duì)稱性：關(guān)于坐標(biāo)面，坐標(biāo)軸2）存在范圍）存在范圍3）曲面與坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面的關(guān)系）曲面與坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面的關(guān)系4）曲面彎曲狀況。）曲面彎曲狀況。用平行于坐標(biāo)面的平面去截曲面由所得截痕來(lái)用平行于坐標(biāo)面的平面去截曲面由所得截痕來(lái)勾畫曲面的大體形狀。勾畫曲面的大體形狀。 以下用以下用截面法截面法討論上面幾種特殊的二次曲面討論上面幾種特殊的二次曲面

14、.28(1) 橢球面橢球面(橢圓面橢圓面)1222222 czbyax(ellipsoid)0, 0, 0( cba由方程可知由方程可知, 1, 1, 1222222 czbyax即即,|,|,|czbyax 這說(shuō)明橢球面包含在由平面這說(shuō)明橢球面包含在由平面圍成的長(zhǎng)方體內(nèi)圍成的長(zhǎng)方體內(nèi).czbyax ,29先考慮橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的截痕：先考慮橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的截痕： 012222yczax 012222zbyax去截這個(gè)曲面去截這個(gè)曲面,所得截痕的方程是所得截痕的方程是)|0(11czzz 012222xczby這些截痕都是這些截痕都是橢圓橢圓.再用平行于再用平行于xOy面的平面面的平面

15、122122221zzczbyax這些截痕也都是這些截痕也都是橢圓橢圓.1222222 czbyax30橢圓截面的大小橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化隨平面位置的變化而變化.與平面與平面 ,1xx 1yy 橢圓橢圓.同理同理,的截痕也是的截痕也是1222222 czbyaxzxyOxyzO31橢球面的幾種特殊情況橢球面的幾種特殊情況:)1(1222222 czayax旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)橢球面橢球面12222 czax由橢圓由橢圓122222 czayx方程可寫為方程可寫為ba 1222222 czbyax繞繞z軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成.32cba )2(1222222 azayax球面球面2222azy

16、x 方程可寫為方程可寫為spherical surfacexyzO33(2) 拋物面拋物面zqypx 2222（ 與與 同號(hào)）同號(hào)）pq橢圓拋物面橢圓拋物面用截痕法討論：用截痕法討論：用平面用平面)0( zxOy設(shè)設(shè)0, 0 qp原點(diǎn)叫做橢圓拋物面的原點(diǎn)叫做橢圓拋物面的(paraboloid)去截這曲面去截這曲面,頂點(diǎn)頂點(diǎn).(1)截痕為截痕為原點(diǎn)原點(diǎn).用平面用平面1zz 11212122zzqzypzx)0(1 z去截這曲面去截這曲面, 截痕為截痕為橢圓橢圓.,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)z截痕退縮為原點(diǎn)截痕退縮為原點(diǎn);34用坐標(biāo)面用坐標(biāo)面)0( yxOz 022ypzx截痕為截痕為拋物線拋物線.zqypx

17、2222(2)去截這曲面去截這曲面,用平面用平面1yy 121222yyqyzpx它的軸平行于它的軸平行于 軸軸z頂點(diǎn)頂點(diǎn) qyy2, 0211去截這曲面去截這曲面,截痕為截痕為拋物線拋物線.35用坐標(biāo)面用坐標(biāo)面)0( xyOz1xx zqypx 2222(3)去截這曲面去截這曲面,及平面及平面截痕為截痕為拋物線拋物線.0, 0 qp0, 0 qp橢圓拋物面的圖形如下：橢圓拋物面的圖形如下：zxyOOzxyxyzO36,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)qp zpypx 2222旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面)0( p(由由 面上的拋物線面上的拋物線xOzpzx22 11222zzpzyx用平面用平面1zz )0(1 z當(dāng)當(dāng) 變

18、動(dòng)時(shí)，這種圓變動(dòng)時(shí)，這種圓的的中心中心都在都在 軸上軸上.1zz特殊地特殊地方程變?yōu)榉匠套優(yōu)閦qypx 2222而成的而成的)去截這曲面去截這曲面,截痕為截痕為圓圓.繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)37zqypx 2222（ 與與 同號(hào)）同號(hào)）pq雙曲拋物面雙曲拋物面用截痕法討論：用截痕法討論：設(shè)設(shè)0, 0 qp圖形如下：圖形如下： 有兩個(gè)異號(hào)的平方項(xiàng)有兩個(gè)異號(hào)的平方項(xiàng),另一變量另一變量特點(diǎn)是特點(diǎn)是:是一次項(xiàng)是一次項(xiàng), 無(wú)常數(shù)項(xiàng)無(wú)常數(shù)項(xiàng).(馬鞍面馬鞍面)xyzO38(4) 雙曲面雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax特點(diǎn)是特點(diǎn)是:(hyperboloid)平方項(xiàng)有一個(gè)取負(fù)號(hào)平方項(xiàng)有一個(gè)取負(fù)號(hào),另兩個(gè)取正號(hào)另兩個(gè)取正號(hào).0OxyzxyzO39類似地類似地,1222222 czbyax1222222 czbyax亦表示亦表示想一想想一想單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax單葉雙曲面單葉雙曲面.方程方程以上兩方程的圖形是與以上兩方程的圖形是與此圖形此圖形 一樣嗎一樣嗎?Oxyz40雙葉雙曲面雙葉雙曲面1222222 czbyax1222222 czbyax 或或 特點(diǎn)是特點(diǎn)是:平方項(xiàng)有一個(gè)取平方項(xiàng)有一個(gè)取正號(hào)正號(hào),另兩個(gè)取負(fù)號(hào)另兩個(gè)取負(fù)號(hào).(biparted hyperboloid)它分成上、下兩個(gè)曲面它分成上、下兩個(gè)曲面.注注x