第12章 靜電場中導體和電介質(zhì)

1、1一、金屬導體的靜電平衡 (electrostatic equilibrium) 當把導體放入靜電場E0中，導體中的自由電子在外電場E0的作用下定向運動，并在導體一側集結出現(xiàn)負電荷，而另一側出現(xiàn)正電荷，稱靜電感應現(xiàn)象。集結的電荷稱為感應電荷。 9-5 靜電場中的金屬導體23456當導體內(nèi)部和表面都無電荷定向移動的狀態(tài)稱為靜電平衡狀態(tài)。EEE0外電場與自由電荷移動后的附加場 之和為總場強E0E0E0EE7 3. 導體內(nèi)部不存在凈電荷，所有過剩電荷都分布在導體表面上。因為導體內(nèi)部的電場強度為零，上式積分為零，所以導體內(nèi)部必定不存在凈電荷。iisqSE01d在導體內(nèi)部任取一閉合曲面S，運用高斯定理，

2、應有 1. 整個導體是等勢體，導體的表面是等勢面。在導體內(nèi)部任取兩點P 和Q，它們之間的電勢差可以表示為QPQplEVVd 2.由于電場線與等勢面垂直，因此導體表面附近的電場強度處處與表面垂直。8910二、導體表面的電荷和電場 導體表面電荷的分布與導體本身的形狀以及附近帶電體的狀況等多種因素有關。大致的規(guī)律為：在導體表面凸起部尤其是尖端處，面電荷密度較大；表面平坦處，面電荷密度較??；表面凹陷處，面電荷密度很小，甚至為零。1112金屬針上的電荷形成的“電風”會將蠟燭的火焰吹向一邊，這就是尖端放電現(xiàn)象。 13 在帶電導體表面任取一面元S，可認為其電荷面密度 為均勻分布。包圍S作一圓柱狀閉合面，使其

3、上、下底面與導體表面平行。通過整個圓柱狀閉合面的電通量等于通過圓柱上底面的電通量。上式表示，帶電導體表面附近的電場強度大小與該處面電荷密度成正比。 S根據(jù)高斯定理，有 SESEd= =0SSE0 E靜電平衡導體，表面附近場強的大小與該處表面的電荷面密度成正比14三、空腔導體1.內(nèi)表面上不存在凈電荷，所有凈電荷都只分布在外表面。2.空腔內(nèi)部電場強度為零，即它們是等電勢。 可能有兩種情形，第一種情形是等量異號電荷宏觀上相分離，并處于內(nèi)表面的不同位置上，與靜電平衡條件相矛盾。因此只能是第二種情形，即內(nèi)表面上處處電量為零。 腔內(nèi)若存在電場，則電場線只能在腔內(nèi)空間閉合，而靜電場的環(huán)路定理已經(jīng)表明其電場線

4、不可能是閉合線，所以整個腔內(nèi)不可能存在電場，電勢梯度為零。即電勢處處相等并等于導體的電勢。15若金屬空腔導體內(nèi)部有帶電體,由高斯定理可得:qqS說明空腔內(nèi)表面所帶總電量與空腔內(nèi)帶電體的電量相等、符號相反。導體空腔是等勢體，腔內(nèi)場強不為零，不是等電勢區(qū)間。0d0isqSE在導體內(nèi)：0disqSE在空腔內(nèi)：Q16 利用導體靜電平衡的性質(zhì)，使導體空腔內(nèi)部空間不受腔外電荷和電場的影響，或者將導體空腔接地，使腔外空間免受腔內(nèi)電荷和電場影響，這類操作都稱為靜電屏蔽。無線電技術中有廣泛應用，例如，常把測量儀器或整個實驗室用金屬殼或金屬網(wǎng)罩起來，使測量免受外部電場的影響。 四、導體靜電平衡性質(zhì)的應用qq-qq

5、-q1.靜電屏蔽 (electrostatic shielding)17 4. 庫侖平方反比律的精確證明 由于庫侖定律是電磁理論的基本規(guī)律之一，另外，庫侖定律是否為嚴格的平方反比律，即在下式中是否嚴格等于零，是與一系列重大物理問題相聯(lián)系的 在證明高斯定理時我們已經(jīng)看到，高斯定理的成立是由于庫侖定律滿足平方反比律，即 = 0；而處于靜電平衡的金屬導體內(nèi)部不存在凈電荷的結論，是高斯定理的直接結果。試設想，庫侖平方反比律不嚴格成立，高斯定理就不存在，處于靜電平衡的金屬導體內(nèi)部就可能存在凈電荷。所以，用實驗方法測量導體內(nèi)部不存在凈電荷，可以精確地驗證庫侖平方反比律。 Fr1218例1： 兩塊導體平板平

6、行并相對放置，所帶電量分別為Q和Q ，如果兩塊導體板的面積都是S，且視為無限大平板，試求這四個面上的面電荷密度。解：設四個面的面電荷密度分別為1、2、3和4，空間任一點的場強都是由四個面的電荷共同提供的。由高斯定理，各面上的電荷所提供的場強都是i / 20。另外，由于導體內(nèi)部的合成場強為零。若取向右為正方向，則處于導體內(nèi)部的點A和點B的場強可以表示為 1432QQAEBEEA12001234()EB12001234()19根據(jù)已知條件 S ( 1 2 ) = Q S ( 3 4 ) = Q .可解得 上式表明兩塊無限大的導體平板，相對的內(nèi)側表面上面電荷密度大小相等、符號相反，相反的外側表面上面

7、電荷密度大小相等、符號相同。如果 Q = Q ，可以求出：S1432EQQ142()QQS232()QQS14230 ,QS例3. 金屬球A帶電 q1=1109C, 外有一同心金屬 球殼B帶電q2 =3 109C, 并且 R1=2cm, R2=5cm, R3=10cm求（1）若B 接地，VA、VB 各等于多少？ 2）若A 接地(地在無限遠), A、B球上電荷 分布及電勢？AB1R2R3R解：2q 1q 靜電感應（1）B接地VB = 09211 10 Cqq d0VAAVEld211204RRqrr101211()4qRR =270V1902 外外q0 外外E1204ABqEr 則BABVV 1

8、120120311()44qqqRRR dd123RABBRRErEr910.75 10Cq 20（2）若A 接地, A、B球上電荷分布及電勢？ 解：dd123RRRrr球殼B內(nèi)表面帶電球殼B外表面帶電9210.75 10Cqq 2q1q 92.25 10C 202.5V BV 0AV d3REr12034qqR d312204Rqqrr q1q20V 0ABE ?q1是否全跑掉？（2）則有q1=1109Cq2 =3 109C1?q 1204qr 12204qqr AB1R2R3R22半徑為R的不帶電導體球附近有一點電荷+q，它與球心O相距d，求(1)導體球上感應電荷在球心處產(chǎn)生的電場強度及此

9、時球心處的電勢；(2)若將導體球接地，球上的凈電荷為多少？解:(1)建立如圖所 示的坐標系設導體球表面感應出電荷q. 球心O處場強為零，是q的 電場和q的電場疊加的結果23即因為所有感應電荷在O處的電勢為而q在O處的電勢為2425262728293031電容只與導體的幾何因素和介質(zhì)有關，與導體是否帶電無關三.導體的電容 電容器1. 孤立導體的電容單位:法拉( F )Qu 孤立導體的電勢uQ孤立導體的電容C + +QuE 求半徑為R 的孤立導體球的電容.電勢為RQu04RC04電容為R反映了孤立導體儲存電荷和電能的能力。33二、電容器： 在周圍沒有其它帶電導體影響時，由兩個導體組成的導體體系，稱

10、為電容器。ABBAAUqVVQCQ-QRARB 如圖所示，用導體空腔B把導體A包圍起來，B以外的導體和電場都不會影響導體A以及 A、B之間的電場。可以證明，導體A、B之間的電勢差VAVB與導體A所帶電量成正比，而與外界因素無關。電容器的電容定義為34ESQ1. 平行板電容器平行板電容器面積為S ，板間距為d ,且SQE0002dS SQdEdlEU0BAABd三、電容的計算dSUQC0AB平行板電容器的電容與極板的面積S成正比，與兩極板之間的距離d成反比。平行板間無電介質(zhì)時,（1）平行板電容器設極板面積為S，間距為d，帶電荷q極板間任意點的電場r q q d38結論平行板間有電介質(zhì)時,0 rq

11、dVS 0 rSCd 0rC 0 rE （2）球形電容器的電容 球殼間電場是球?qū)ΨQ的24QEr 極板間電勢差dd221112214RRRRQVE rrr 2112()4Q RRR R 設兩個同心金屬球殼,半徑為R1,R2,中間充滿電介質(zhì), 帶電+Q，-Q； R1R2+QQ1212214R RQCVRR 40當2R 14CR 導體球的電容+LR1R2 （3） 圓柱形電容器由電荷分布可知電場具有軸對稱性兩圓柱面間的場強 兩極間電勢差d2112RRVE r 201ln2rRR 02Er 兩個半徑分別為R1、R2, 長為L的同軸導體圓柱面單位長度帶等量異號電荷 ( L R2 R1 )。 若兩圓柱面間充

12、滿電介質(zhì)r, 則Ed2102RRrrr 3902rEr 2102lnrRRL 201122lnrRRQLCV 只與結構及r 有關與 無關求電容的方法：1 假定兩極板帶等量異號電荷+q、q2 求出板間場強 （利用高斯定理）3 求出板間電勢差V （用定義法）4 根據(jù) C = Q/V 求出電容dBAVEl 41歸納dSSDSq i i內(nèi)39例 : 兩根距離為d 的平行無限長直導線帶等量異號電荷, 構成電容器，設導線半徑ad，求單位長度的電容。xdoxa 解:如圖建立坐標系，坐標軸上 x處的場強可由高斯定理求出Exdx120方向沿x軸正方向。式中是正電導線單位長度所帶電量。兩導線間的電勢差為adaad

13、axxdxxEUd )11(2d0ABadaadlnln00)/ln(0ABadUC由此可算得單位長度的電容為 在電路中一個電容器的電容量或耐壓能力不夠時,可采用多個電容連接。如增大電容，可將多個電容并聯(lián)：1C2CkCCkCCCC 21若增強耐壓，可將多個電容串聯(lián)：1U2UkUU耐壓強度KUUUU 21但是電容減?。?21111kCCCC 電容器的串、并聯(lián)45411. 并聯(lián)電容器的電容iiCCUqqqCn211C2CAVBVnCUCq11等效UCq22UCqnnBAVVU令nCCCC21CBVAV422.串聯(lián)電容器的電容iiCC11等效nUUUU21nUUUqUqC21CAVBVBAVVU令1

14、C2C3CnCAVBV11UqC 22UqCnnUqC nCCCC111121iiCC11 例三個電容器按圖連接，其電容分別為C1 、C2和C3。求當電鍵K打開時， C1將充電到U0，然后斷開電源，并閉合電鍵K。求各電容器上的電勢差。解 已知在K閉合前， C1極板上所帶電荷量為q0 =C1 U0 ， C2和C3極板上的電荷量為零。K閉合后， C1放電并對C2 、 C3充電，整個電路可看作為C2、 C3串聯(lián)再與C1并聯(lián)。設穩(wěn)定時， C1極板上的電荷量為q1， C2和C3極板上的電荷量為q2，因而有KU0+q0q0C1C2C3021qqq322211CqCqCq 0313221321102UCCC

15、CCCCCCqqq 0313221322031322132111UCCCCCCCCCqCCCCCCCCCq解兩式得因此，得C1 、C2和C3上的電勢差分別為 0313221321111UCCCCCCCCCCqU 031322131222UCCCCCCCCCqU 031322121323UCCCCCCCCCqU 45將充電后的電容器去掉電源，再插入某種介質(zhì)（如：玻璃，硬橡膠等），結果如下：0r1UU0rEEr0CC其中U0、E0、C0和U、E、C依次表示插入介質(zhì)前、后電容器的極間電壓、場強和電容。12.3 靜電場中的電介質(zhì)一.電介質(zhì)對電場的影響電介質(zhì): 絕緣體46這種在電場作用下發(fā)生變化，同時又

16、對電場產(chǎn)生影響的物質(zhì)稱為電介質(zhì)。電介質(zhì)在外電場 作用下，其表面出現(xiàn)凈電荷的現(xiàn)象稱為電介質(zhì)的電極化，簡稱極化。極化時電介質(zhì)表面處出現(xiàn)的凈電荷稱為極化電荷或束縛電荷。0Er實驗發(fā)現(xiàn)，系數(shù)主要依賴于電介質(zhì)種類，此外還與介質(zhì)所處的環(huán)境有關，今后我們稱其為相對介電常數(shù)。r 電介質(zhì)的相對介電常數(shù)二.電介質(zhì)的極化 束縛電荷無極分子有極分子+ -lqp無外場時（熱運動）整體對外不顯電性(無極分子電介質(zhì))(有極分子電介質(zhì))0p-+有外場時(分子) 位移極化(分子) 取向極化束縛電荷束縛電荷0EEE0EEE 無極分子電介質(zhì) 有極分子電介質(zhì)1電介質(zhì)中的電子受原子核很強的束縛，即使 在外電場作用下,也只能沿電場方向相

17、對于原 子核作微觀位移,無自由電荷的宏觀運動。2 對均勻電介質(zhì)體內(nèi)無凈電荷, 極化電荷只出 現(xiàn)在表面上。3 極化電荷與自由電荷在激發(fā)電場方面, 具有 同等的地位。一般地，E外不同，則介質(zhì)的極化程度不同。23 說明24束縛電荷產(chǎn)生場 影響原來的場E E0E 0EEE外外E 內(nèi)內(nèi)E內(nèi)部：削弱場外部：改變場0EE 內(nèi)內(nèi)金屬導體和電介質(zhì)比較有大量的自由電子基本無自由電子，正負電荷只能在分子范圍內(nèi)相對運動金屬導體特征電介質(zhì)（絕緣體）模型與電場的相互作用宏觀效果“電子氣”電偶極子靜電感應有極分子電介質(zhì):無極分子電介質(zhì):轉(zhuǎn)向極化位移極化靜電平衡導體內(nèi)導體表面感應電荷0, 0EE0表面E內(nèi)部：分子偶極矩矢量和

18、不為零表面：出現(xiàn)束縛電荷 （極化電荷）0iip52平行板電容器為例求極化電荷面密度介質(zhì)內(nèi)電場0EEE00000r 0001(1)rr即00(1)0r 介質(zhì)的介電常數(shù)12.4 電介質(zhì)中的電場，電位移和高斯定理對于介質(zhì)極化的程度和方向，可以用極化強度矢量P來描述，它是某點處單位體積內(nèi)因極化而產(chǎn)生的分子電矩之和，即ViipP式中是在電介質(zhì)體元 分子電矩的矢量和。在國際單位制中，極化強度的單位是Cm-2(庫侖/米2)。如果電介質(zhì)內(nèi)各處極化強度的大小和方向都相同，就稱為均勻極化。V54極化強度與極化電荷的關系極化強度與極化電荷的關系在極化了的電介質(zhì)內(nèi)切出一個長度為l、底面積為DS的斜柱體，使極化強度P的

19、方向與斜柱體的軸線相平行，而與底面的外法線n的方向成q角，如圖9-31所示。出現(xiàn)在兩個端面上的極化電荷面密度分別用 和 表示?？梢园颜麄€斜柱體看為一個“大電偶極子”，它的電矩的大小為 ，顯然這個電矩是由斜柱體內(nèi)所有分子電矩提供。對于均勻極化的情形，極化電荷只出現(xiàn)在電介質(zhì)的表面上。ls)( (55斜柱體內(nèi)分子電矩的矢量和的大小可表示為斜柱體內(nèi)分子電矩的矢量和的大小可表示為 斜柱體的體積為斜柱體的體積為根據(jù)定義，極化強度的大小為根據(jù)定義，極化強度的大小為束縛電荷面密度束縛電荷面密度Sqdd cosPnP= Pn 56ssqSP內(nèi)d極化強度通過某封閉曲面的通量等于曲面內(nèi)極化強度通過某封閉曲面的通量等

20、于曲面內(nèi)極化電荷代數(shù)和的負值極化電荷代數(shù)和的負值, nP極化面電荷密度等于極化強度的外法線分量極化面電荷密度等于極化強度的外法線分量對于任一閉合曲面就有對于任一閉合曲面就有 qdSP這表明，穿出任意閉合曲面的電極化強度的通量，這表明，穿出任意閉合曲面的電極化強度的通量，等于這個閉合曲面所包圍的極化等于這個閉合曲面所包圍的極化( (束縛束縛) )電荷電荷。 57介質(zhì)中的高斯定理介質(zhì)中的高斯定理0EEE總場總場= 外場外場+ 極化電荷附加電場極化電荷附加電場：靜電場高斯定理靜電場高斯定理 內(nèi)內(nèi)內(nèi)ssssSPqqqqSE)d(1)(11d00000自由電荷自由電荷極化電荷極化電荷凈自由電荷凈自由電荷

21、ssqSPE內(nèi)00d)(定義：電位移矢量定義：電位移矢量PED058ssqSD內(nèi)0d 電介質(zhì)中的高斯定理：電介質(zhì)中的高斯定理：電位移矢量通過靜電場中任意封閉曲面的通量等于曲面內(nèi)自由電荷的代數(shù)和與一切與一切 均有關均有關:0PED 0 , qq電位移矢量電位移矢量sSD:d穿過閉合曲面的穿過閉合曲面的 通量僅與通量僅與 D內(nèi)sq0有關有關.特例：特例：真空真空特別介質(zhì)特別介質(zhì). 0 . 0PqEPED00)(001d內(nèi)SsqSE回到：回到：59各向同性電介質(zhì)：EEEPED)1 (0000令r1介質(zhì)的相對電容率EP0為常數(shù)rDDE0EEDr 0得真空電容率介質(zhì)電容率:00r式中，總場Sr+-+-

22、- - - - - - - - - - - - - - - - - - -00S兩平行金屬板之間充滿相對介電常數(shù)為r 的各向同性均勻電介質(zhì),金屬板上的自由電荷面密度為0 。兩金屬板之間的電場強度和介質(zhì)表面的束縛電荷面密度.解SSD0iiSqSD內(nèi),0d0DrDE00SSES) (1d00) (100E0)11 (r求 解解: :（1 1 ）設場強分別為）設場強分別為E E1 1 和和E E2 2 ，電位移分別為，電位移分別為D D1 1 和和D D2 2 ，E E1 1和和E E2 2 與板極面垂直，都屬均勻場。先在兩層與板極面垂直，都屬均勻場。先在兩層電介質(zhì)交界面處作一高斯閉合面電介質(zhì)交界面

23、處作一高斯閉合面S S1 1，在此高斯面內(nèi)的，在此高斯面內(nèi)的自由電荷為零。由電介質(zhì)時的高斯定理得自由電荷為零。由電介質(zhì)時的高斯定理得 例題例題4 4 平行板電容器兩板極平行板電容器兩板極的面積為的面積為S S，如圖所示，兩板極，如圖所示，兩板極之間充有兩層電介質(zhì)，電容率分之間充有兩層電介質(zhì)，電容率分別為別為1 1 和和2 2 ，厚度分別為，厚度分別為d d1 1 和和d d2 2 ，電容器兩板極上自由電，電容器兩板極上自由電荷面密度為荷面密度為。求（。求（1 1）在各）在各層電介質(zhì)的電位移和場強，（層電介質(zhì)的電位移和場強，（2 2）電容器的電容電容器的電容. .+ E1E2D1D2S2S1d1

24、d2AB 1E2 2所以所以21DD 1D2D即在兩電介質(zhì)內(nèi)，電位移即在兩電介質(zhì)內(nèi)，電位移 和和 的量值相等。由于的量值相等。由于0d211SDSDS SD222111,EDED所以所以121221rrEE 可見在這兩層電介質(zhì)中場強并不相等，而是和可見在這兩層電介質(zhì)中場強并不相等，而是和電容率（或相對電容率）成反比。電容率（或相對電容率）成反比。 為了求出電介質(zhì)中電位移和場強的大小，我們可另作一為了求出電介質(zhì)中電位移和場強的大小，我們可另作一個高斯閉合面?zhèn)€高斯閉合面S S2 2 ，如圖中左邊虛線所示，這一閉合面內(nèi)的自，如圖中左邊虛線所示，這一閉合面內(nèi)的自由電荷等于正極板上的電荷，按有電介質(zhì)時的

25、高斯定理，得由電荷等于正極板上的電荷，按有電介質(zhì)時的高斯定理，得 SSDSDS11 再利用再利用222111,EDED可求得可求得0111rE 0222rE 方向都是由左指向右。方向都是由左指向右。 221122112211ddSqdddEdEVVBA2211 ddSVVqCBA q=S是每一極板上的電荷，這個電容器的電容為是每一極板上的電荷，這個電容器的電容為 可見電容電介質(zhì)的放置次序無關。上述結果可以推廣到可見電容電介質(zhì)的放置次序無關。上述結果可以推廣到兩極板間有任意多層電介質(zhì)的情況（每一層的厚度可以不同，兩極板間有任意多層電介質(zhì)的情況（每一層的厚度可以不同，但其相互疊合的兩表面必須都和電

26、容器兩極板的表面相平行）。但其相互疊合的兩表面必須都和電容器兩極板的表面相平行）。（2）正、負兩極板）正、負兩極板A、B間的電勢差為間的電勢差為例例 平行板電容器，其中充有兩種均勻電介質(zhì)。平行板電容器，其中充有兩種均勻電介質(zhì)。AB1d2d求求(1) 各電介質(zhì)層中的場強各電介質(zhì)層中的場強(2) 極板間電勢差極板間電勢差1S解解 做一個圓柱形高斯面做一個圓柱形高斯面1S內(nèi)）1(d1SqSDiS111SSD1D2S同理，做一個圓柱形高斯面同理，做一個圓柱形高斯面2S內(nèi)）2(d2SqSDiS2D21DD 21EE 1266 例例 圖中是由半徑為圖中是由半徑為R1的長直圓柱導體和的長直圓柱導體和同軸的半

27、徑為同軸的半徑為R2的薄導體圓筒組成，其的薄導體圓筒組成，其間充以相對電容率為間充以相對電容率為r的電介質(zhì)的電介質(zhì). 設直導設直導體和圓筒單位長度上的電荷分別為體和圓筒單位長度上的電荷分別為+和和- . 求求(1)電介質(zhì)中的電場強度、電位移和電介質(zhì)中的電場強度、電位移和極化強度；極化強度； (2)電介質(zhì)內(nèi)外表面的極化電電介質(zhì)內(nèi)外表面的極化電荷面密度荷面密度.（3）此圓柱形電容器的電容）此圓柱形電容器的電容1R2R 解解 (1)lrlD2rD2rDEr0r02rEPrr0r21) 1(672r022RE)(2Rr 1r012RE)(1Rr (2)rEr021R2R r2rr20r22) 1()

28、1(RE1rr10r12) 1() 1(RE真空圓柱形真空圓柱形電容器電容電容器電容由（）可知由（）可知0r2Er 12()RrR210rdd2 RRrUErr 201ln2rRR 20r12lnRlR QCUr0 C20r12lnCRRl 單位長度電容單位長度電容3）此圓柱形電容器的電容）此圓柱形電容器的電容12-5 12-5 電場的能量電場的能量Kab開關倒向開關倒向a a, ,電容器充電。電容器充電。開關倒向開關倒向b b, ,電容器放電。電容器放電。燈泡發(fā)光燈泡發(fā)光電容器釋放能量電容器釋放能量電源提供電源提供 計算電容器帶有電量計算電容器帶有電量Q Q，相應電勢差為，相應電勢差為U U時時所具有的能量。所具有的能量。一、帶電系統(tǒng)的能量一、帶電系統(tǒng)的能量12-5 靜電場的能量 能量密度以平行板電容器為例一、電容器的電能 設一個電容為C的電容器正在充電 充電過程：通過電源內(nèi)部非靜電力做功，使得正電荷 的電勢能增大，也是把其他形式的能量轉(zhuǎn)化為了電能。dq非靜電Fdqdq任任一一時時刻刻qqAuBu終終了了時時刻刻QQAUBUABquuuCBdqA外力做功外力做功qdWdAudqdqC202QqQAdqCC電容器的電能電容器的電能2221212CUQUCQW 非靜電力克服靜電力做功，把非靜電能轉(zhuǎn)化為電容器的電能，即： 放電過程