有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

1、第七章 有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)（ Design of FIR Filters）7.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述7.1.1 濾波原理 濾波器，顧名思義，就是對輸入信號起到濾波的作用的系統(tǒng)。濾波器圖7.1 線性移不變系統(tǒng)這里的“波”指的是一定波長或頻率的信號，因此，所謂濾波，通常是指通過某種變換或運(yùn)算，用以改變輸入信號中所含頻率分量的相對比例，以達(dá)到將某些頻率成分的信號濾除而保留下另一些頻率成分的信號的目的。若濾波器的輸入、輸出都是離散的，則系統(tǒng)（濾波器）的沖激響應(yīng)也是離散的，這樣的濾波器器就稱之為數(shù)字濾波器（digital filter）。一個(gè)輸入序列x(n)，通過一個(gè)單位沖激響應(yīng)為h(n)的線

2、性時(shí)不變系統(tǒng)后，其輸出響應(yīng)y(n)為 （7.1）將上式兩邊經(jīng)過傅里葉變換，可得 （7.2）式中，Y(j)、X(j)分別為輸出序列和輸入序列的頻譜函數(shù)，H(j)是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。 可以看出，輸入序列的頻譜X(j)經(jīng)過濾波后，變?yōu)閄(j)H(j)。如果|H(j)|的值在某些頻率上是比較小的，則輸入信號中的這些頻率分量在輸出信號中將被抑制掉。因此，只要按照輸入信號頻譜的特點(diǎn)和處理信號的目的，適當(dāng)選擇H(j)，使得濾波后的X(j)H(j)符合人們的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。如圖7.2所示，具有圖7.2(a)的頻率成分的信號通過具有圖7.2(b)的幅頻響應(yīng)的系統(tǒng)（濾波器）后，輸出信號就只有的

3、頻率成分，而不再含有的頻率成分。0c2|X(j)|H(j)|0c20c2|Y(j)| （a）輸入信號頻譜 （b）系統(tǒng)（濾波器）的幅頻響應(yīng) （c）輸出信號的頻譜圖7.2 濾波器濾波示意圖數(shù)字濾波器是對數(shù)字信號實(shí)現(xiàn)濾波的線性時(shí)不變系統(tǒng)。它將輸入的數(shù)字序列通過特定運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列。因此， 數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一臺完成特定運(yùn)算的數(shù)字計(jì)算機(jī)。數(shù)字濾波器通常采用有限精度算法，它可以按照某種算法編寫軟件，在計(jì)算機(jī)或?qū)Ｓ脭?shù)字信號處理（DSP）芯片上實(shí)現(xiàn)，也可以按照算法選用硬件實(shí)現(xiàn)。數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的重要基礎(chǔ)，在對信號的過濾、檢測與參數(shù)的估計(jì)等處理中, 數(shù)字濾波器是使用最廣泛的線性系統(tǒng)。 與模擬濾

4、波器相比，數(shù)字濾波器具有精度高、穩(wěn)定性好、靈活性大、體積小且沒有苛刻的匹配要求等優(yōu)點(diǎn)。 隨著計(jì)算機(jī)、超大規(guī)模集成電路技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字濾波器的應(yīng)用愈加廣泛。7.1.2 濾波器的分類與模擬濾波器類似，數(shù)字濾波器按頻率特性也有四種，即低通（Low Pass）、高通（High Pass）、帶通（Band Pass）和帶阻（Band stop）濾波器，濾波器的性能指標(biāo)通常也習(xí)慣在頻域給出。常用數(shù)字濾波器的幅度特性示意圖如圖7.3所示。與模擬濾波器不同的是，由于序列的傅里葉變換具有以2為周期的周期性，因此，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)也有這種周期性。 低通濾波器的通帶處于0或2的整數(shù)倍頻率附近，高通濾波器的通帶則

5、處于的奇數(shù)倍頻率附近。 滿足奈奎斯特采樣定理時(shí)，信號的頻率特性只能限帶于|<的范圍。因此，我們只需畫出2范圍內(nèi)的頻譜即可。由圖7.3可知，理想低通濾波器選擇出輸入信號中的低頻分量，而把輸入信號頻率在c<范圍內(nèi)所有分量全部濾掉。相反地，理想高通濾波器使輸入信號中頻率在c范圍內(nèi)的所有分量不失真地通過，而濾掉低于c的低頻分量。帶通濾波器只保留介于低頻和高頻之間的頻率分量。|H(j)|H(j)|)|()圖7.3 各種數(shù)字濾波器的幅度特性濾波器的技術(shù)指標(biāo)1、理想濾波器的不可實(shí)現(xiàn)性圖7.3所示的理想濾波器的幅度特性是理想的。它有理想、陡截止的通帶和無窮大衰減的阻帶兩個(gè)范圍（即從通帶到阻帶是突變

6、的），這在物理上是無法實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)樗鼈兊膯挝粵_激響應(yīng)均是非因果和無限長的（例如，理想截止頻率為c的低通濾波器的單位沖激響應(yīng)為）。為了在物理上能夠?qū)崿F(xiàn)，在實(shí)際中，我們設(shè)計(jì)的濾波器只能是在某些準(zhǔn)則下對理想濾波器的逼近。這保證了濾波器是物理上可實(shí)現(xiàn)的（或者說是因果的）、穩(wěn)定的。2、實(shí)際設(shè)計(jì)的考慮-因果逼近理想濾波器不可實(shí)現(xiàn)的原因是它從一個(gè)頻帶（通帶Passband或阻帶Stopband）到另一個(gè)頻帶（阻帶或通帶）是突變的。為了在物理上可以實(shí)現(xiàn)，可以從一個(gè)頻帶到另一個(gè)頻帶之間設(shè)立一個(gè)過渡帶，且通帶和阻帶也不是嚴(yán)格的1或0，而是有一定的波動，這種波動應(yīng)該滿足一定的容限。也就是說，實(shí)際設(shè)計(jì)的濾波器，是用一

7、種因果可實(shí)現(xiàn)的濾波器去對理想濾波器的逼近，濾波器的性能要求往往以頻率響應(yīng)的幅度特性的允許誤差來表征，也就是說，這種逼近應(yīng)滿足給定的誤差容限。一個(gè)實(shí)際濾波器的幅度特性在通帶中允許有一定的波動，阻帶衰減則應(yīng)大于給定的衰減要求，且在通帶與阻帶之間允許有一定寬度的過渡帶(Transition band)，過渡帶寬也要滿足一定的要求。 圖7.4示出了一個(gè)實(shí)際低通濾波器的幅度特性，特性曲線中有通帶、過渡帶和阻帶三個(gè)區(qū)間。通帶范圍是0p，在通帶內(nèi)，幅度特性以誤差1逼近于1，即 （7.3）p稱為通帶截止頻率。阻帶范圍是s，s則稱為阻帶截止頻率。在阻帶內(nèi)，幅度特性以最大誤差2逼近于零，即 （7.4）在通帶與阻帶

8、之間的區(qū)域：p<<s，則稱為過渡帶，一般要求幅度特性在過渡帶內(nèi)單調(diào)下降。 H(j)0.5c圖7.4 實(shí)際低通濾波器的幅度特性 通帶內(nèi)衰減（波動）和阻帶衰減（波動）通常用分貝表示， 對于圖7.4， 我們令 （7.5）p和s分別稱為通帶最大衰減和阻帶最小衰減。如果， 則稱c為3dB截止頻率。（注意，這里的指標(biāo)都是和|H(j0)|）比較得出，而不是與最大幅度值比較得出的）。7.1.4 濾波器的相位特性要求濾波器的頻率特性除了幅度特性外，還有相位特性。 一般對并無過多要求，只要保證濾波器穩(wěn)定就可以了。 但在有些場合要求具有一定的性質(zhì)，如線性相位特性。如果濾波器的相位響應(yīng)是非線性的，那么，信

9、號通過濾波器后會發(fā)生波形失真，這在許多應(yīng)用中是不允許的。例如，在通信應(yīng)用中，調(diào)幅信號總是在包絡(luò)中攜帶信息，不允許包絡(luò)波形在通過濾波器后發(fā)生任何失真；在電視信號中，視頻圖像的邊緣將因?yàn)V波器的非線性相位而變得模糊；在雷達(dá)應(yīng)用中，脈沖信號的陡峭上升邊緣將因?yàn)V波器的非線性相位而變得平緩，導(dǎo)致雷達(dá)的目標(biāo)探測和測距精度下降。因此，許多應(yīng)用中要求數(shù)字濾波器具有線性相位特性。下面，我們分析濾波器相位特性對信號的影響。設(shè)濾波器的頻率響應(yīng)為設(shè)輸入信號為，其頻譜為則輸入信號為通過濾波器后的輸出信號的頻譜為其中分別是輸出信號的幅度譜和相位譜。上式說明，對于任一給定頻率，輸出信號的幅度等于輸入信號的幅度與濾波器增益的乘

10、積；而輸出信號的相位等于輸入信號的相位與濾波器相位響應(yīng)的和。1、相位特性對正弦信號的影響對于一個(gè)單頻信號，即正弦信號濾波器的輸出信號仍為頻率為0的正弦信號：可見，正弦信號通過濾波器后，輸出信號的幅度和相位均發(fā)生了變化。幅度被加權(quán)，而相位則產(chǎn)生了滯后。將上式改寫如下則可看出，相位滯后使輸出信號較輸入信號產(chǎn)生了延時(shí)： （7.6）負(fù)號表示相位滯后。則稱為濾波器在數(shù)字頻率0上的相位延時(shí)（the phase delay）簡稱相延時(shí)。因此，輸出信號可寫為2、相位失真、相延時(shí)由于濾波器的相位滯后是頻率的函數(shù)，所以相延時(shí)也是頻率的函數(shù)。一般情況下，輸入信號是包含許多頻率成分的復(fù)雜信號，如果不同頻率分量通過濾波

11、器的相延時(shí)不同，那么，輸出信號相對于輸入信號就會產(chǎn)生失真，稱為相位失真。為確保不產(chǎn)生相位失真，則需要系統(tǒng)對不同的頻率分量產(chǎn)生的相延時(shí)相同。這只有兩種情況：1）沒有延時(shí)，即，但這不可能。因?yàn)樾盘柾ㄟ^任何實(shí)際的物理系統(tǒng)都會有延時(shí)。2）延時(shí)是常數(shù)，即。對于后一種情況，對于任何頻率成分的信號，延時(shí)都相同，也就是說，輸入信號的所有頻率分量通過系統(tǒng)后將同時(shí)出現(xiàn)在輸出端。在這種情況下，由式（7.6）可見，濾波器的相位特性必須是線性的，即：因此，為了使信號通過濾波器后不產(chǎn)生相位失真，要求濾波器的相位特性是線性的。（實(shí)際設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，可能難以做到總是線性的相位特性，但如果能得到近似的線性相位，也能使相位失真很小

12、）。3、群延時(shí)（group phase delay）群延時(shí)定義為相位響應(yīng)對頻率的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值，即 （7.7） 引入群延時(shí)的概念有助于對解釋濾波器相位特性非線性的含義。由上式可見，若要求群延時(shí)是常數(shù)，則 （7.8）（這與相延時(shí)相同，相位響應(yīng)是通過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線）或 （7.9）即：相位響應(yīng)可以不通過坐標(biāo)原點(diǎn)。(在載波印制調(diào)幅波或調(diào)幅波通過濾波器時(shí)，相延時(shí)指的是載波的延時(shí)，而群延時(shí)指的是包絡(luò)延時(shí)，因此，常常稱群延時(shí)為包絡(luò)延時(shí))。 例7.1：設(shè)輸入信號為可見，它是由4個(gè)頻率分量組成的，數(shù)字角頻率分別為。若信號分別通過如下濾波器（1）低通濾波器，頻率響應(yīng)為的幅度特性為，而相位特性是線性的，即。（2）幅

13、度特性同（1），但相位特性是試分析各自的輸出信號。 （3）同（1），但解：（1）濾波器的通帶截至頻率是，而信號的最高頻率是。因此，信號的所有分量均通過該濾波器，幅度增益是1。而濾波器的相位特性是線性相位的，其群延時(shí)是因此，輸出信號為輸出信號除了有一時(shí)延外，沒有失真，如圖7.5所示。 （2）同（1）信號的所有分量均通過該濾波器，幅度增益是1。但濾波器的相位特性是固定的（非線性）。此時(shí)如圖7.5所示，輸出信號相比于輸入信號很不相同，有較大失真。但這種失真是可以通過技術(shù)手段去掉（3）根據(jù)可求得如圖7.5所示，輸出信號相比于輸入信號很不相同，有較大失真。這種失真難以消除。延時(shí)4圖7.5 例7.1的波形

14、7.1.5 濾波器的實(shí)現(xiàn)-FIR型濾波器和IIR型濾波器數(shù)字濾波器按單位沖激響應(yīng)h(n)的時(shí)域特性可分為無限沖激響應(yīng)IIR（Infinite Impulse Response）濾波器和有限沖激響應(yīng)FIR（Finite Impulse Response）濾波器。IIR濾波器一般采用遞歸型的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。其N階遞歸型數(shù)字濾波器的差分方程為 （7.10）相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為： （7.11）上式中若ak0(k=1, ,N)，該濾波器為IIR濾波器，是遞歸型濾波器。其差分方程及系統(tǒng)函數(shù)即為式（7.10）和式（7.11）。若ak=0(k=1,N)， 該濾波器為FIR濾波器，是非遞歸型濾波器。此時(shí)，其差分方程及系統(tǒng)

15、函數(shù)分別為：差分方程: （7.12）系統(tǒng)函數(shù)： （7.13） 濾波器的設(shè)計(jì)的基本步驟綜上述，濾波器的設(shè)計(jì)的基本步驟如下：1) 按照實(shí)際任務(wù)要求，確定濾波器的性能指標(biāo)。2) 根據(jù)不同要求確定采用IIR系統(tǒng)函數(shù)，還是用FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近。3) 用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求。即確定式（7.7）或（7.8）中的階數(shù)M、N及系數(shù)。4) 利用有限精度算法來實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)。這里包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)（如第4章中的各種基本結(jié)構(gòu)），選擇合適的字長（包括系數(shù)量化及輸入變量、中間變量和輸出變量的量化）以及有效數(shù)字的處理方法（舍入、截尾）等。 5) 驗(yàn)證：驗(yàn)證設(shè)計(jì)的濾波器是否滿足給定的

16、性能指標(biāo)，如果不滿足則重復(fù)2）4）。§7.2 FIR濾波器設(shè)計(jì)概述及結(jié)構(gòu)7.2.1 FIR濾波器的特點(diǎn)FIR在數(shù)字濾波器處理中有及其重要的作用，因?yàn)樗哂腥缦聝?yōu)點(diǎn)：1) 很容易獲得嚴(yán)格的線性相位特性，避免被處理的信號產(chǎn)生相位失真。在有些場合，如圖像處理和數(shù)據(jù)傳輸，要求信道具有線性相位。（第8章所介紹的IIR濾波器則很難做到系統(tǒng)的相頻特性的線性性，一般而言，IIR濾波器的相位特性是非線性的，如果需要IIR濾波器的相位特性具有線性性，則需加一全通網(wǎng)絡(luò)對相位特性加以校正）。2) FIR濾波器是穩(wěn)定的，因?yàn)檫@樣的系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的長度是有限長的，易證其單位沖激響應(yīng)滿足絕對可和的條件。在有限

17、Z平面上，系統(tǒng)函數(shù)只有零點(diǎn)，而極點(diǎn)僅在z=0處。3) 經(jīng)過適當(dāng)?shù)难舆t，一個(gè)非因果的FIR濾波器都能變成因果的FIR濾波器，因?yàn)橐粋€(gè)非因果的有限長序列經(jīng)過適當(dāng)延遲可以變成因果的有限長序列。而這種延遲（位移）不影響設(shè)計(jì)的系統(tǒng)的幅度特性，在相位特性上，也僅是加了一個(gè)線性相位而已，因此，不影響系統(tǒng)的性能。4) FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)是有限長的，因而可以采用FFT算法來實(shí)現(xiàn)，從而可大大提高運(yùn)算效率。5) 但是，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的優(yōu)點(diǎn)是用較高的階數(shù)的代價(jià)換來的（相對于IIR濾波器）。因此，在保證相同性能的前提下，降低FIR數(shù)字濾波器的階數(shù)是設(shè)計(jì)中的重要問題。7.2.2 FIR濾波器的主要設(shè)計(jì)方法目前，

18、設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的方法主要有（1）窗口法；（2）頻率抽樣法；（3）等波紋優(yōu)化設(shè)計(jì)法，其中包括Remez方法和線性規(guī)劃設(shè)計(jì)方法。根據(jù)FIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)形式，又稱其為卷積濾波器，滑動平移濾波器，橫向?yàn)V波器和非遞歸型濾波器等。因?yàn)樽罡信d趣的是線性相位的FIR濾波器，非線性相位的濾波器一般可采用IIR結(jié)構(gòu)，因此，本章中，我們主要討論線性相位FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法。本章中，所采用的設(shè)計(jì)方法也適合于非線性FIR濾波器，只不過非線性FIR濾波器無需滿足線性相位要求而已。在本章中，首先討論FIR濾波器實(shí)現(xiàn)線性相位特性的條件以及線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)，然后討論窗口法和頻率抽樣設(shè)計(jì)法，最后簡單介紹一下

19、優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。 FIR濾波器的結(jié)構(gòu)FIR濾波器的差分方程及系統(tǒng)函數(shù)分別為：這種系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中無反饋環(huán)節(jié)，因此稱為非遞歸系統(tǒng)；又因?yàn)樵撓到y(tǒng)的沖激響應(yīng)h(n)是有限長序列，所以又稱為有限沖激響應(yīng)（Finite Impulse Response-FIR）系統(tǒng)。 這種類型的濾波器有如下特點(diǎn)：1、系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(n)是有限長序列，即h(n)僅在有限個(gè)n值處不為零。2、結(jié)構(gòu)上上是非遞歸的。3、極點(diǎn)僅在Z=0處，在有限|z|>0處只有零點(diǎn)。FIR主要有5種基本結(jié)構(gòu)：直接型結(jié)構(gòu)、級聯(lián)型結(jié)構(gòu)、頻率抽樣型結(jié)構(gòu)、卷積型結(jié)構(gòu)及線性相位結(jié)構(gòu)。7.2.3.1 直接型結(jié)構(gòu) 設(shè)FIR數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)的長度

20、為N，其傳遞函數(shù)和差分方程分別為: 根據(jù)上面兩式可直接畫出如圖7.6所示的FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)。由式可見，該結(jié)構(gòu)利用輸入信號x(n)和濾波器單位沖激響應(yīng)h(n)的線性卷積來描述輸出信號y(n)，所以FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)又稱為卷積型結(jié)構(gòu)，有時(shí)也稱為橫截型結(jié)構(gòu)。圖 7.6 FIR的直接型結(jié)構(gòu)由圖可見，這種結(jié)構(gòu)所需的乘法次數(shù)為N次，加法次數(shù)為N-1次，需要的系數(shù)存儲器個(gè)數(shù)及移位寄存器數(shù)目均為N個(gè)。7.2.3.2 級聯(lián)型結(jié)構(gòu) 當(dāng)需要控制系統(tǒng)傳輸零點(diǎn)時(shí)，將傳遞函數(shù)H(z)分解成二階實(shí)系數(shù)因子的形式： (7.14) 式中，。 表示取整運(yùn)算。 由式（7.16）可見，有N-1個(gè)零點(diǎn)。若N為奇數(shù)，則有偶

21、數(shù)個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7.7所示。若N為偶數(shù)，則有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，上式中必有一個(gè)，也就是說有一個(gè)二階系統(tǒng)退化為一個(gè)一階系統(tǒng)。圖 7.7 FIR的級聯(lián)型結(jié)構(gòu) 這種結(jié)構(gòu)的每一節(jié)控制一對零點(diǎn)，當(dāng)需要控制系統(tǒng)的傳輸零點(diǎn)時(shí)，可采用這種結(jié)構(gòu)，但這種結(jié)構(gòu)需要的系數(shù)約為個(gè)，比直接型結(jié)構(gòu)多約50%，所需乘法次數(shù)也多約50%。7.2.3.3 頻率抽樣型結(jié)構(gòu)一、基本結(jié)構(gòu) 由頻域抽樣定理可知，對有限長序列h(n)的Z變換H(z)在單位圓上做N點(diǎn)的等間隔采樣，N個(gè)頻率采樣值的離散傅里葉逆變換所對應(yīng)的時(shí)域信號是原序列h(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓的結(jié)果，當(dāng)N大于等于原序列h(n)長度M時(shí)，不會發(fā)生信號失真，此時(shí)H(z)

22、可以用頻域抽樣序列H(k)內(nèi)插得到。內(nèi)插公式如下： （7.15）式中： ，k=0, 1, 2, , N-1 式(7.15)為實(shí)現(xiàn)FIR系統(tǒng)提供了另一種結(jié)構(gòu)。H(z)也可以重寫為 （7.16）式中： 可見，這種結(jié)構(gòu)由梳狀濾波器和N個(gè)并聯(lián)的諧振器級聯(lián)形成。1、梳狀濾波器部分顯然，的第一部分是一個(gè)由N階延時(shí)單元組成的梳狀濾波器，其結(jié)構(gòu)及幅頻特性如圖7.8所示。圖 7.8 梳狀濾波器結(jié)構(gòu)及其幅頻特性它在單位圓上有N個(gè)等間隔的零點(diǎn)：，i=0, 1，2, , N-1其頻率響應(yīng)為因此，幅頻響應(yīng)為相頻響應(yīng)為， ， 表示取整運(yùn)算2、諧振器部分第二部分是由N個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)組成的并聯(lián)結(jié)構(gòu)，每個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)在單位圓上有一個(gè)極

23、點(diǎn)：這等效為一個(gè)無損耗的諧振器，諧振頻率為：因此，H(z)的第二部分是一個(gè)有N個(gè)極點(diǎn)的諧振網(wǎng)絡(luò)。這些極點(diǎn)正好與第一部分梳狀濾波器的N個(gè)零點(diǎn)相抵消，從而使H(z)在這些諧振頻率上的響應(yīng)等于H(k)。把這兩部分級聯(lián)起來就可以構(gòu)成FIR濾波器的頻率抽樣型結(jié)構(gòu)，如圖7.9所示。 圖 7.9 FIR濾波器的頻率抽樣型結(jié)構(gòu)3、FIR濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu)的主要特點(diǎn)（1）優(yōu)點(diǎn)首先，它的系數(shù)H(k)直接就是濾波器在處的響應(yīng)值，因此可以直接控制濾波器的響應(yīng)，只要調(diào)整該系數(shù)，就可以直接有效地調(diào)整頻率特性。此外，對于具有不同頻率特性的系統(tǒng)，只要單位沖激響應(yīng)的長度N相同，其梳狀濾波器部分以及N個(gè)一階并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)部分完全相

24、同，不同的僅是各支路的增益H(k)不同，因此頻率采樣型結(jié)構(gòu)便于標(biāo)準(zhǔn)化、模塊化。（2）缺點(diǎn)首先，該濾波器所有的系數(shù)H(k)和一般為復(fù)數(shù)，要求使用復(fù)數(shù)乘法器，硬件實(shí)現(xiàn)困難。其次，系統(tǒng)穩(wěn)定是靠位于單位圓上的N個(gè)零極點(diǎn)對消來保證的，如果濾波器的系數(shù)稍有誤差，極點(diǎn)就可能移到單位圓外，造成零極點(diǎn)不能完全對消，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因?yàn)闃O點(diǎn)在單位圓上，當(dāng)系數(shù)量化時(shí)，這些極點(diǎn)會變化，可能落在單位圓外；而零點(diǎn)位置由延時(shí)單元決定，就在單位圓上，不受量化影響；因此，零極點(diǎn)不能完全對消。 為了克服上述缺點(diǎn)，對頻率采樣結(jié)構(gòu)作修正。 二、修正結(jié)構(gòu)1、穩(wěn)定性為了克服系數(shù)量化后可能造成系統(tǒng)不穩(wěn)定的缺點(diǎn)，可以將抽樣點(diǎn)選擇在單位圓內(nèi)

25、的圓上，其半徑為。此時(shí)H(z)為 （7.17）式中，是在半徑為的圓上對的N點(diǎn)等間隔采樣之值。由于一般已知的是或其抽樣，而并不知道，為此，可取r1， 此時(shí)，可認(rèn)為。 因此 （7.18）2、系數(shù)的實(shí)數(shù)化 由式（7.18）可見，系數(shù)仍然是復(fù)數(shù)，實(shí)現(xiàn)起來麻煩，為解決此問題，可利用對稱性將一些項(xiàng)合并。根據(jù)DFT的共軛對稱性，如果h(n)是實(shí)序列，則其離散傅里葉變換H(k)關(guān)于N/2點(diǎn)共軛對稱，即。又因?yàn)?，為了得到?shí)系數(shù)，我們將和合并為一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)， 記為 （7.19）式中: 該二階網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)諧振頻率為的有限Q值的諧振器，其結(jié)構(gòu)如圖7.10所示。 圖7.10 二階諧振器 除了共軛復(fù)根外，還有實(shí)根

26、。當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)（如圖所示），有一對實(shí)根z=±r， 因此，除二階網(wǎng)絡(luò)外尚有兩個(gè)對應(yīng)的一階網(wǎng)絡(luò):這時(shí)的如式(7.20)，其結(jié)構(gòu)如圖7.11所示。圖中, z=1, 2, , N/2-1 的結(jié)構(gòu)如圖7.10 所示。 （7.20）圖7.11 頻率采樣修正結(jié)構(gòu)當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)（如圖所示），只有一個(gè)實(shí)根z=r，對應(yīng)于一個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)。這時(shí)的為 （7.21）顯然，N等于奇數(shù)時(shí)的頻率采樣修正結(jié)構(gòu)由一個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和(N-1)/2個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)組成。 一般來說，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)N較大時(shí)，頻率采樣結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，所需的乘法器和延時(shí)器比較多。但在以下兩種情況下，使用頻率采樣結(jié)構(gòu)比較經(jīng)濟(jì)。 （1）對于窄帶濾波器，其多數(shù)采樣值

27、H(k)為零，諧振器柜中只剩下幾個(gè)所需要的諧振器。這時(shí)采用頻率采樣結(jié)構(gòu)比直接型結(jié)構(gòu)所用的乘法器少，當(dāng)然存儲器還是要比直接型用得多一些。 （2）在需要同時(shí)使用很多并列的濾波器的情況下，這些并列的濾波器可以采用頻率采樣結(jié)構(gòu)，并且可以共用梳狀濾波器和諧振柜，只要將各諧振器的輸出適當(dāng)加權(quán)組合就能組成各個(gè)并列的濾波器。7.2.3.4 快速卷積型結(jié)構(gòu)根據(jù)循環(huán)卷積和線性卷積的關(guān)系可知，兩個(gè)長度分別為和的序列的線性卷積，可以用這兩個(gè)序列的L（）點(diǎn)的循環(huán)卷積來實(shí)現(xiàn)。 由FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)：濾波器的輸出信號是輸入信號和濾波器單位沖激響應(yīng)的線性卷積。所以，對有限長序列x(n), 我們可以通過補(bǔ)零的方法延長和序

28、列，然后計(jì)算它們的循環(huán)卷積，從而得到FIR系統(tǒng)的輸出。實(shí)際上，循環(huán)卷積通常不在時(shí)域上實(shí)現(xiàn)，而是利用循環(huán)卷積定理，采用DFT或FFT實(shí)現(xiàn)有限長序列x(n)和h(n)的線性卷積，如圖7.12所示。圖中。若采用FFT來實(shí)現(xiàn)，L還需滿足一定條件，如基2FFT則需，M是整數(shù)。顯然，由于采用FFT的方法來實(shí)現(xiàn)卷積，因此當(dāng)和足夠長時(shí)，處理速度將大大提高，因此，稱為快速卷積結(jié)構(gòu)。對x(n)為無限長的一般情況，可用重疊相加法或重疊保留法實(shí)現(xiàn)FIR濾波器的快速卷積結(jié)構(gòu)。 圖 7.12 FIR的快速卷積型結(jié)構(gòu)具體過程如下：1、將和補(bǔ)零變成長為L的序列， 2、將和分別做L點(diǎn)DFT（或FFT）得3、將和相乘得4、 對做

29、L點(diǎn)IDFT（或IFFT）得7.2.3.5 線性相位FIR濾波器結(jié)構(gòu)FIR結(jié)構(gòu)可設(shè)計(jì)線性相位的數(shù)字濾波器，這種濾波器在數(shù)據(jù)傳輸、圖像處理等系統(tǒng)中是重要的，對于這種形式的濾波器，由于對濾波器系數(shù)有特殊要求，因此結(jié)構(gòu)上也有所不同。詳見下節(jié)。§7.3線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件、特點(diǎn)及結(jié)構(gòu)一、 常用FIR濾波器的特點(diǎn)及線性相位條件的引出在討論線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件之前，我們先討論幾種常用FIR濾波器的特點(diǎn)。這些濾波器既包括了一般意義下的高通、低通、帶通等數(shù)字濾波器，也包括希爾波特（Hilbert）變換器和微分器。 1、低通濾波器的時(shí)域特性理想低通濾波器的幅度特性如圖7.13所示圖

30、7.13 理想低通濾波器的幅度特性不妨假設(shè)相位特性是，則，理想濾波器的頻率特性是 （7.22）可求得其單位沖激響應(yīng)為 （7.23）如圖7.14所示。圖7.14 理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)（）顯然，理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為，是偶對稱的，無限長的。同樣，理想高通、帶通等一般濾波器的沖激響應(yīng)也是偶對稱的。將延遲后，以為中心對稱截取N點(diǎn)而得h(n)。則滿足關(guān)系式h(n)=h(N-1-n)，既是h(n)關(guān)于對稱中心是偶對稱的。（為什么要位移（N-1）/2 ？請思考。因?yàn)镕IR的單位沖激響應(yīng)是有限長的，假設(shè)是N點(diǎn)，則FIR系數(shù)的一種選取方法是從h（n）中選取N點(diǎn)。而h（n）的較大值一般在n=0附近，故

31、應(yīng)在n=0附近截取N點(diǎn)。為保證對稱性及因果性，則要位移（N-1）/2點(diǎn)）位移后，濾波器的的頻率相應(yīng)近似為 （7.24）可見，其相位特性是線性的。同理，可以證明具有線性相位特性的理想高通、理想帶通濾波器的時(shí)域相應(yīng)也滿足：h(n)=h(N-1-n)。2、希爾波特變換器的時(shí)域特性理想希爾波特變換器的頻率特性為： (7.25)其幅頻特性及相頻特性如圖7.15所示|H(j)|1- -/2 (j)/2- （a）幅頻特性 （b）相頻特性圖7.15 希爾伯特變換器的頻率特性其沖激響應(yīng)為 (7.26)顯然它是奇對稱的。將其右移后，頻率特性為 （7.27）相應(yīng)的沖激響應(yīng)為 (7.28)以為中心，對稱截取N點(diǎn)得 (

32、7.29)滿足關(guān)系式，即是奇對稱的。相應(yīng)的頻率特性如式（7.27）所示，可見，其相頻特性為 （7.30）顯然是線性的。3、理想微分器理想微分器的頻率特性如圖7.16所示，-|H(j)|- 0 (j)/2- （a）幅頻特性 （b）相頻特性圖7.16 理想微分器的頻率特性理想微分器的沖激響應(yīng)位移為后的頻率特性為 (7.31)其相位特性是線性的： （7.32）沖激響應(yīng)為 (7.33)顯然它是奇對稱序列。以為中心，將其對稱截取N點(diǎn)得 (7.34)滿足關(guān)系式，既是奇對稱。由上分析可見，對一般意義下的具有線性相位的濾波器，它們的單位沖激相應(yīng)滿足： （7.35）或 （7.36）但是這是在幾種特殊情況下導(dǎo)出的

33、結(jié)論。下面，我們證明這個(gè)結(jié)論對于任何線性相位FIR濾波器都是成立的，或者說，若FIR濾波器滿足式（7.35）或（7.36），則FIR濾波器的相頻特性一定是線性的。即式（7.35）或（7.36）稱為FIR濾波器的線性相位條件。三、線性相位條件的證明及線性相位特點(diǎn)根據(jù)N的奇偶性及h(n)的對稱性，我們分4種情況討論。第一種情況：當(dāng)其沖激響應(yīng)h(n)為偶對稱，即，且N為奇數(shù)時(shí)此時(shí)，其頻率響應(yīng)為上式等號后面第三項(xiàng)用n=N-1-m作變量代換得根據(jù)式（7.35）的對稱條件得令代入上式，得令，其中n=1,2,（N-1）/2，代入上式得 (7.37)式中 (7.38)稱為幅度標(biāo)量函數(shù) (7.39)稱為相位函數(shù)

34、，顯然，它是頻率的線性函數(shù)。由于式中cos(n)項(xiàng)對=0, 2皆為偶對稱，因此幅度函數(shù)H()對于=0, ，2也呈偶對稱。第二種情況：h(n)偶對稱，且長度N為偶數(shù)時(shí)其頻率響應(yīng)為令n=N-1-m,代入上式右側(cè)第二項(xiàng)得根據(jù)（7.26）的偶對稱條件得令，代入上式得再令，其中n=1,2,N/2，則 (7.40)其中幅度標(biāo)量函數(shù)為 (7.41)相位函數(shù)為 (7.42)由式（7.42）可見，第二鐘情況下，濾波器也具有線性相位特性。由式（7.41）可知，當(dāng)=時(shí)，因此H()=0，即H(z)在z= -1 處必然有一個(gè)零點(diǎn)。如果數(shù)字濾波器在=處不為零，例如高通濾波器、帶阻濾波器，則不能用這類數(shù)字濾波器來設(shè)計(jì)。所以

35、設(shè)計(jì)高通濾波器時(shí)，N不能取偶數(shù)。由于余弦項(xiàng)對=呈奇對稱，因此H()關(guān)于=呈奇對稱。由于對=0, 2為偶對稱，故H()對于=0, 2也呈偶對稱。第三種情況：h(n)為奇對稱，且N為奇數(shù)此時(shí)，頻率響應(yīng)為根據(jù)式（7.27）的奇對稱條件得仿照第一種情況的推導(dǎo)過程得 （7.43）其幅度標(biāo)量函數(shù)為 （7.44）其中： （7.45）其相應(yīng)函數(shù)為 （7.46）由于sin(n)在=0, , 2處都為零，并對這些點(diǎn)呈奇對稱，因此幅度函數(shù)H()在=0, , 2處為零，即H(z)在z=±1上都有零點(diǎn)，且H()對于=0, , 2也呈奇對稱。因此，如果數(shù)字濾波器在=0, , 2處不為零，例如低通濾波器、 高通濾

36、波器、帶阻濾波器，則不能用這類數(shù)字濾波器來設(shè)計(jì)， 除非不考慮這些頻率點(diǎn)上的值。其相位函數(shù)是的“準(zhǔn)線性”函數(shù)，因它包含了相位的固定值 ，這種情況適于做希爾伯特變換器和微分器。第四種情況：h(n)奇對稱，N為偶數(shù)仿照第二種情況的推導(dǎo)，得其頻率響應(yīng)為 幅度標(biāo)量函數(shù)為 （7.47）其中 （7.48）相位函數(shù) （7.49）與第三種情況相同，可以看出相位函數(shù)也包含有常數(shù)項(xiàng)。這種情況最適于設(shè)計(jì)微分器和希爾伯特變換器。H()在=0, 2處為零，即H(z)在z=1處有一個(gè)零點(diǎn)，因此，如果數(shù)字濾波器在=0, 2處不為零，例如低通濾波器、帶阻濾波器，則不能用這類數(shù)字濾波器來設(shè)計(jì)。由于對=0, 2呈奇對稱，對于=呈偶

37、對稱，因此，H()對=0, 2呈奇對稱，H()對于=也呈偶對稱。以上四種情況的示于圖7.17中。由上述討論可知，上述四種FIR濾波器的相位特性只取決于h(n)的對稱性，而與h(n)的值無關(guān)。它們的幅度標(biāo)量特性取決于h(n)，故在設(shè)計(jì)這類濾波器時(shí)，在保證h(n)對稱的條件下，只考慮幅度的逼近即可。第一，二種情況的濾波器可以做一般意義下的FIR濾波器而第三，四種情況的濾波器不適于做一般的濾波器，適于做希爾伯特變換器，微分器和正交網(wǎng)絡(luò)。從式（7.29）和（7.34）可以看出，h(n)不但均為奇對稱（對于點(diǎn)），而且在的主瓣區(qū)內(nèi)（時(shí)域）的h(n)為負(fù)值，其對應(yīng)的c(n)，d(n)也為負(fù)值。如果對取絕對值

38、，便得幅頻特性，即，與相比，至少在的范圍內(nèi)差一負(fù)號，致使相位特性變?yōu)?圖7.17 四種線性相位濾波器 四、零點(diǎn)位置最后討論沖激響應(yīng)對稱時(shí)FIR濾波器的零、極點(diǎn)分布問題。對式（7.35）和（7.36）兩邊進(jìn)行Z變換，分別得 (7.50) (7.51) 由上兩式可知，若是零點(diǎn)，則也是零點(diǎn)。因?yàn)閔(n)一般是實(shí)序列。所以當(dāng)零點(diǎn)為復(fù)數(shù)時(shí)，一定成共軛對出現(xiàn)，即 和。因此，零點(diǎn)分布的可能情況有三種： （1）第一種情況：零點(diǎn)既不在實(shí)軸上，又不在單位圓上，則必有兩對零點(diǎn)，如圖7.18(a)所示。 （2）第二種情況：零點(diǎn)在單位圓上或?qū)嵼S上。若在單位圓上，因所以只形成一對零點(diǎn)；若在實(shí)軸上，因，所以也只形成一對零點(diǎn)

39、，如圖7.18(b),(c)所示。（3）第三種情況：零點(diǎn)既在單位圓上，又在實(shí)軸上，則零點(diǎn)成單個(gè)出現(xiàn)，即只有z=1或z=-1為零點(diǎn)，如圖7.18（d）（e）所示。 當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，有N-1奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，其中必有一個(gè)為z=1或z=-1。當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，則有N-1偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)。另外，從式（7.36）和（7.37）可以看出，在z=0處有N-1重極點(diǎn)。由幅度響應(yīng)的討論可知，第二種類型的線性相位濾波器由于H()=0， 因此必然有單根z=-1。第四種類型的線性相位濾波器由于H(0)=0, 因此必然有單根z=1。而第三種類型的線性相位濾波器由于H(0)=H(）=0， 因此這兩種單根z=±1 都必須有。 了解

40、了線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)，便可根據(jù)實(shí)際需要選擇合適類型的FIR濾波器，同時(shí)設(shè)計(jì)時(shí)需遵循有關(guān)的約束條件。下面討論線性相位FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法時(shí)，都要用到這些特點(diǎn)。 圖7.18 線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)位置五、線性相位FIR濾波器的結(jié)構(gòu)FIR濾波器的線性相位特性是非常重要的。線性相位FIR數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)h(n)具有對稱性。當(dāng)h(n)為偶對稱，即h(n)=h(N-1-n)時(shí)，N為偶數(shù)和奇數(shù)時(shí)的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖7.19(a)(b)所示。 根據(jù)轉(zhuǎn)置定理，圖7.19(b)的轉(zhuǎn)置型結(jié)構(gòu)如圖7.20所示。同理也可畫出h(n)奇對稱時(shí)濾波器的直接型結(jié)構(gòu)及其轉(zhuǎn)置型結(jié)構(gòu)。Z-1Z-1Z-1Z-1Z-

41、1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1 （a）N為偶數(shù) （b）N為奇數(shù) 圖7.19 h(n)偶對稱線性相位FIR濾波器直接型結(jié)構(gòu) 圖7.20 圖7.19（b）的轉(zhuǎn)置型結(jié)構(gòu)根據(jù)對稱沖激響應(yīng)FIR濾波器零點(diǎn)分布的特點(diǎn)，可以將系統(tǒng)函數(shù)H(z)進(jìn)行因式分解，分解后的因式通常包括一，二階和四階因子，這些因子都是具有對稱系數(shù)的多項(xiàng)式即每個(gè)因子都為線型相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)而成，如圖7.21所示。對應(yīng)于z=1或z=-1零點(diǎn)的一階因子的形式為，所以一階網(wǎng)絡(luò)不需乘法（省去一次乘法）。對應(yīng)于單位圓或?qū)嵼S上零點(diǎn)的二階因子形式為 ，所以二階網(wǎng)絡(luò)只需一次乘法（也省去一次乘法）。對應(yīng)于不在單位圓

42、或?qū)嵼S上而成對出現(xiàn)的零點(diǎn)的四階因子的形式為 所以其四階網(wǎng)絡(luò)只需兩次乘法（省去兩次乘法）。由上述可見，這種濾波器用級聯(lián)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)較直接型省乘法運(yùn)算次數(shù)。Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1 圖7.21 線性相位FIR濾波器級聯(lián)結(jié)構(gòu) §7.3窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位FIR數(shù)字濾波器一、設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器最簡單的方法是窗函數(shù)法。這種方法一般是先給定所要求的理想濾波器的頻率響應(yīng)，要求設(shè)計(jì)一個(gè)FIR濾波器，也就是尋找一有限長h(n)，使所得的去逼近理想的頻率響應(yīng)，使設(shè)計(jì)的濾波器滿足給定的濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)（阻帶衰減、帶內(nèi)波動和過渡帶寬）。然而，窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器是在時(shí)域進(jìn)行的

43、，因此，必須首先由理想頻率響應(yīng)的傅里葉反變換推導(dǎo)出對應(yīng)的單位沖激響應(yīng) (7.52)（若具有簡單的特性，可以用解析法求解式（7.43）的積分；否則可先將抽樣，由于無限長，為減少混疊失真，抽樣點(diǎn)數(shù)應(yīng)足夠多，然后用快速傅立葉變換法求出的數(shù)值解。）由于許多理想化的系統(tǒng)均用分段恒定的或分段函數(shù)表示的頻率響應(yīng)來定義，因此這種系統(tǒng)具有非因果的和無限長的沖激響應(yīng)，即一定是無限長的序列，且是非因果的。而我們要設(shè)計(jì)的是FIR濾波器，其必定是有限長的，所以要用有限長的h(n)來逼近無限長的hd(n)，最簡單且最有效的方法是截?cái)鄅d (n) 。通常，我們可以把h(n)表示為所需單位沖激響應(yīng)與一個(gè)有限長的窗口函數(shù)序列w

44、(n)的乘積，即 (7.53)最簡單的截取是： （7.54）此時(shí) （7.55）一般情況下，為無限長非因果序列，為了得到對稱的有限長（長度為N）序列h(n)，需將右移后再截取得h(n)。直接截取存在的問題：會存在吉布斯(Gibbs)效應(yīng)，即：通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)波動。產(chǎn)生的原因是由于截?cái)?，因此，又稱截?cái)嘈?yīng)。二、Gibbs現(xiàn)象為了說明所選用的窗口w(n)對逼近程度的影響，需要分析與窗口w(n)、的關(guān)系，以便明確如何正確的選擇窗口序列w(n)?，F(xiàn)以一矩形窗口來截取。為保證截取的h(n)偶對稱，需保證其位移滿足條件，位移并不影響的幅度函數(shù)，只影響其相位位移。根據(jù)卷積定理，時(shí)域乘積相當(dāng)于頻域卷積，即的傅立葉

45、變換為 (7.56)式中 (7.57)上式中 (7.58)幅度函數(shù)是周期的偶對稱函數(shù)，在范圍內(nèi)形成主瓣，主瓣寬度為4/N，兩側(cè)形成許多衰減振蕩的旁瓣，如圖7.22所示。通常主瓣定義為原點(diǎn)兩邊第一個(gè)過零點(diǎn)之間的區(qū)域。Wr()-2/N-2/N主瓣 旁瓣 -0.22410圖7.22 矩形窗的頻譜若將理想濾波器的頻率響應(yīng)也寫成 （7.59）其中為濾波器的幅度特性。將和代入（7.56）得 （7.60）可見相位函數(shù)是線性的，幅度函數(shù)為與的卷積。 （7.61）當(dāng)為 時(shí)，對實(shí)際FIR濾波器的幅頻特性H()有影響的只是窗函數(shù)的幅頻特性WR()。實(shí)際FIR濾波器的幅頻特性是理想低通濾波器的幅頻特性與窗函數(shù)的幅頻特

46、性的復(fù)卷積。 （7.62）和的卷積過程如圖7.23所示。 由圖7.23可以看出，卷積所得的H()有起伏波紋。（1）時(shí)，。為圖7.23（a）與（c）兩函數(shù)乘積的積分，即等于在區(qū)間的積分，通常c0>>2/N，H(0)實(shí)際上近似等于在全部積分區(qū)域內(nèi)的積分（=-到=+）。（2）當(dāng)時(shí)。（3）當(dāng)時(shí)，WR(-)的全部主瓣都在Hd()的通帶（|c）之內(nèi)，如圖7.23（d）。因此卷積結(jié)果有最大值，即H(c-2/N)為最大值，頻響=H(c-2/N)達(dá)到最大正肩峰值。（4）當(dāng)時(shí)，WR(-)的全部主瓣都在Hd()的通帶（|c）之外，如圖7.23（e）。而通帶內(nèi)的旁瓣負(fù)的面積大于正的面積，因而卷積結(jié)果達(dá)到最

47、負(fù)值，頻響=H(c+2/N)達(dá)到最大負(fù)肩峰值。（5）當(dāng)>c+2/N 時(shí)，隨著的繼續(xù)增大，卷積值將隨著WR(-)的旁瓣在Hd()的通帶內(nèi)面積的變化而變化，H()將圍繞著零值波動。 （6）當(dāng)<c-2/N時(shí)，隨著的減小，WR(-)的右旁瓣進(jìn)入Hd()的通帶，使得H()值圍繞H(0)值而波動。 （7）而在正負(fù)兩肩峰之間，c-2/N<<c+2/N, H()則形成一過渡帶，其寬度為，即等于的主瓣寬度。圖7.11 卷積過程圖7.23 矩形窗對理想低通幅頻特性的影響 綜上所述，加窗處理對理想頻率響應(yīng)產(chǎn)生以下幾點(diǎn)影響（如圖7.23（f）所示）： （1）H()將Hd()在截止頻率處的間斷點(diǎn)

48、變成了連續(xù)曲線， 使理想頻率特性不連續(xù)點(diǎn)處邊沿加寬，形成一個(gè)過渡帶，過渡帶的寬度等于窗的頻率響應(yīng)WR()的主瓣寬度=4/N，即正肩峰與負(fù)肩峰的間隔為 4/N。窗函數(shù)的主瓣越寬，過渡帶也越寬。 （2）在截止頻率c的兩邊即=c±(2/N)的地方，H()出現(xiàn)最大的肩峰值，肩峰的兩側(cè)（過渡帶兩側(cè)的通帶和阻帶內(nèi)）形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度，而振蕩的形狀和大小，則取決于窗口序列頻譜的主瓣和旁瓣的多少。肩峰值的大小直接影響通帶特性和阻帶衰減，對濾波器的性能影響較大。在矩形窗情況下，最大相對肩峰值為8.95%，N增加時(shí)，2/N減小，起伏振蕩變密，最大相對肩峰值則總是8.95%，這種現(xiàn)象稱為吉布斯效應(yīng)。三、減小Gibbs效應(yīng)的措施由上節(jié)的討論可見，在矩形窗的情況下，起決定作用的就是窗口的長度N。由于N增大，窗函數(shù)頻譜主瓣寬度減小。那么增大N是否可減小Gibbs效應(yīng)？若不能，是否有其他方法呢？實(shí)際上，答案是否定的。改變N值，可以改變窗口頻譜的主瓣寬度，改變的坐標(biāo)比例以及改變WR()的絕對值大小，但不能改變其主瓣與旁瓣電平的比值。因?yàn)?，此時(shí)， （