結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計大作業(yè)(北航)

1、結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計大作業(yè)報告實驗名稱： 拓撲優(yōu)化計算與分析1、引言大型的復(fù)雜結(jié)構(gòu)諸如飛機、汽車中的復(fù)雜部件及橋梁等大型工程的 設(shè)計問題，依靠傳統(tǒng)的經(jīng)驗和模擬實驗的優(yōu)化設(shè)計方法已難以勝任，拓 撲優(yōu)化方法成為解決該問題的關(guān)鍵手段。近年來拓撲優(yōu)化的研究的熱點 集中在其工程應(yīng)用上，如:用拓撲優(yōu)化方法進行微型柔性機構(gòu)的設(shè)計， 車門設(shè)計，飛機加強框設(shè)計，機翼前緣肋設(shè)計，衛(wèi)星結(jié)構(gòu)設(shè)計等。在其 具體的操作實現(xiàn)上有兩種方法，一是采用計算機語言編程計算，該方法 的優(yōu)點是能最大限度的控制優(yōu)化過程，改善優(yōu)化過程中出現(xiàn)的諸如棋盤 格現(xiàn)象等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，得到較理想的優(yōu)化結(jié)果，其缺點是計算規(guī)模 過于龐大，計算效率太低；二是借助

2、于商用有限元軟件平臺。本文基于 matlab軟件編程研究了不同邊界條件平面薄板結(jié)構(gòu)的在各種受力情況下 拓撲優(yōu)化，給出了幾種典型結(jié)構(gòu)的算例，并探討了在實際優(yōu)化中優(yōu)化效 果隨各參數(shù)的變化，有助于初學(xué)者初涉拓撲優(yōu)化的讀者對拓撲優(yōu)化有個 基礎(chǔ)的認識。2、拓撲優(yōu)化研究現(xiàn)狀結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化是近 20年來從結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究中派生出來的新分支，它 在計算結(jié)構(gòu)力學(xué)中已經(jīng)被認為是最富挑戰(zhàn)性的一類研究工作。目前有關(guān) 結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的工程應(yīng)用研究還很不成熟，在國外處在發(fā)展的初期，尤 其在國內(nèi)尚屬于起步階段。1904年Michell在桁架理論中首次提出了拓 撲優(yōu)化的概念。自1964年Dorn等人提出基結(jié)構(gòu)法，將數(shù)值方法引入拓 撲

3、優(yōu)化領(lǐng)域，拓撲優(yōu)化研究開始活躍。 20 世紀(jì) 80 年代初，程耿東和 N. Olhoff 在彈性板的最優(yōu)厚度分布研究中首次將最優(yōu)拓撲問題轉(zhuǎn)化為尺寸 優(yōu)化問題，他們開創(chuàng)性的工作引起了眾多學(xué)者的研究興趣。1988年Bendsoe和Kikuchi發(fā)表的基于均勻化理論的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計，開創(chuàng)了 連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計研究的新局面。1993年Xie.Y.M和Steven.G.P提出了漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法。1999年Ben dsoe和Sigm und證實了變密度法物理 意義的存在性。 2002 年羅鷹等提出三角網(wǎng)格進化法，該方法在優(yōu)化過 程中實現(xiàn)了退化和進化的統(tǒng)一，提高了優(yōu)化效率。目前常使用的拓撲優(yōu) 化設(shè)計方法

4、可以分為兩大類：退化法和進化法。結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計研 究，已被廣泛應(yīng)用于建筑、航天航空、機械、海洋工程、生物醫(yī)學(xué)及船 舶制造等領(lǐng)域。3、拓撲優(yōu)化建模( SIMP )結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化目前的主要研究對象是連續(xù)體結(jié)構(gòu)。優(yōu)化的基本方法 是將設(shè)計區(qū)域劃分為有限單元，依據(jù)一定的算法刪除部分區(qū)域，形成帶 孔的連續(xù)體，實現(xiàn)連續(xù)體的拓撲優(yōu)化。連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法目前比 較成熟的是均勻化方法、變密度方法和漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法。變密度法以連續(xù)變量的密度函數(shù)形式顯式地表達單元相對密度與材 料彈性模量之間的對應(yīng)關(guān)系，這種方法基于各向同性材料，不需要引入 微結(jié)構(gòu)和附加的均勻化過程，它以每個單元的相對密度作為設(shè)計變量， 人為假定相

5、對密度和材料彈性模量之間的某種對應(yīng)關(guān)系，程序?qū)崿F(xiàn)簡 單，計算效率高。變密度法中常用的插值模型主要有:固體各向同性懲罰微結(jié)構(gòu)模型 (solidisotropic microstructures with penalization ，簡稱 SIMP) 和材料屬性的合理近似模型 (rational approximation ofmaterial properties ， 簡稱RAMP)。而本文所用即為SIMP插值模型。SIMP 法基于最小柔度的優(yōu)化模型如下 :設(shè)材料模型為 : 則拓撲優(yōu)化模型為 :式中：和 分別是均質(zhì)實體的密度和彈性矩陣單元的相對密度懲罰因子和 分別是位移矢量、力矢量總體剛度矩陣

6、單位位移矢量單位剛度矩陣 單元總數(shù) 體積分?jǐn)?shù) 優(yōu)化時以單元的相對密度為拓撲設(shè)計變量，這樣結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題 被轉(zhuǎn)換為材料的最優(yōu)分布問題。4、優(yōu)化算法(OC)目前在拓撲優(yōu)化中應(yīng)用較多的求解方法主要有: 優(yōu)化準(zhǔn)則法(OCoptimalitycriteria)和序列線性規(guī)劃法(SL Psequentiallinearprogramming)，本文所參考的99行代碼所引用的即為OC法。這一方法是 根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)劃理論中的Kuh n2tucker條件導(dǎo)出優(yōu)化準(zhǔn)則，并通過數(shù)值迭 代求解最優(yōu)解。該法收斂速度快，迭代次數(shù)少且與結(jié)構(gòu)大小及復(fù)雜程度 關(guān)系不大，缺點是對于多約束優(yōu)化的處理不太方便。5、數(shù)值算例這一部分主要

7、通過若干簡單的算例來研究各個輸入?yún)?shù)、載荷施加 方式以及邊界約束條件對拓撲優(yōu)化結(jié)果的影響，進而對拓撲優(yōu)化問題加 深理解和認識。受力模型采用長寬比為 6:2的外伸梁，在梁的上表面施 加豎直向下的均布載荷。模型如下圖所示：圖5-16、影響因素分析6.1 nelx和nely對結(jié)果的影響先設(shè)置體積分?jǐn)?shù)volfrac=0.5，懲罰因子為penal=3.過濾半徑rmin=1.2 , 不斷變化劃分單元數(shù)，尋求劃分單元數(shù)對于優(yōu)化結(jié)果的影響。nelx*nely =60x 20nelx*nely =84x 28nelx*nely =120x 40圖6-1由圖6-1可以看出，隨著劃分單元數(shù)的增多，圖像的細節(jié)越加清晰

8、。 圖像所顯示的鋸齒現(xiàn)象有所緩解。雖然拓撲優(yōu)化結(jié)果有一些局部的改 變，總體的趨勢還是一致的。采用更多的網(wǎng)格劃分密度，可以得到更加 清晰的優(yōu)化結(jié)果，但是拓撲優(yōu)化結(jié)果中過多的孔洞使結(jié)果集合復(fù)雜性增 加，結(jié)構(gòu)的制造成本提高，制造難度加大，并且降低了結(jié)構(gòu)的局部強度 和剛度。所以，從實際應(yīng)用的角度出發(fā)，需要限制結(jié)構(gòu)的集合復(fù)雜性，來抑制拓撲優(yōu)化算法的網(wǎng)格依賴性。6.2材料體積保留分?jǐn)?shù)volfrac的影響設(shè)置劃分單元為60*20，懲罰因子為penal=3.過濾半徑rmin=1.2;不斷變 化體積分?jǐn)?shù)，尋求體積分?jǐn)?shù)對于優(yōu)化結(jié)果的影響。volfrac=0.3volfrac =0.5volfrac =0.7圖6-

9、2由圖6-2的優(yōu)化結(jié)果可以看出，隨著體積保留分?jǐn)?shù)的增大，優(yōu)化結(jié)果 中保留的材料也逐漸增多。這說明在基本的傳力路線的基礎(chǔ)上增加了一些額外的材料。另一方面，體積分?jǐn)?shù)越小，可能造成改變結(jié)構(gòu)傳力的路 線，導(dǎo)致迭代多次收斂速度較慢。6.3懲罰因子P對結(jié)果的影響設(shè)置劃分單元為60*20，體積分?jǐn)?shù)volfrac=0.5，過濾半徑rmin=1.2;不 斷變化懲罰因子，尋求懲罰因子對于優(yōu)化結(jié)果的影響。P=1.5P=2.5P=3.圖6-3由優(yōu)化結(jié)果圖6-3可以看到：隨著懲罰因子取值的增大，呈現(xiàn)出的拓撲結(jié)果呈現(xiàn)日趨清晰的趨勢，這是因為在 SIMP材料插值模型中，參數(shù)p 較小時，對中間密度的懲罰程度較小，或者說懲罰效

10、果不夠明顯，因此 呈現(xiàn)的結(jié)果會有模糊的灰色區(qū)域。隨著參數(shù) p取值增大，對中間密度的 懲罰程度也越大，單元等效彈性模量逼近 0或者Emax的趨勢也更明顯， 因此，優(yōu)化結(jié)果也愈加清晰。另一方面，取值越大，迭代次數(shù)也越多， 計算量增大，可能導(dǎo)致無限循環(huán)（例如，在該算例中，取p=3.5時，程序?qū)M入無限循環(huán)導(dǎo)致無解）。從總體的優(yōu)化趨勢來看，各個取值情 況下的優(yōu)化結(jié)構(gòu)大致相似。因此，在實際的拓撲優(yōu)化中，要注意選擇適宜的懲罰因子，達到平 衡迭代時間和較優(yōu)的優(yōu)化效果。6.4過濾半徑rmin對拓撲結(jié)果的影響設(shè)置劃分單元為60*20，體積分?jǐn)?shù)volfrac=0.5，懲罰因子為penal=3. 不斷變化過濾半徑

11、，尋求過濾半徑對于優(yōu)化結(jié)果的影響。rmi n=0.8rmi n=1.2rmi n=1.6圖6-4網(wǎng)格過濾半徑rmin的選取如果小于1的話，被過濾的目標(biāo)函數(shù)變化率 將會和原始的變化率相等，使得過濾無效。在結(jié)果上表現(xiàn)出來的是棋盤 格現(xiàn)象如圖6-4中rmin=0.8所示，這在工程上不可能實現(xiàn)的，對工程實踐 是沒有意義的。從上面的優(yōu)化結(jié)果分析，隨著rmin取值的增大，過濾效果隨著其增大而增強，在局部出現(xiàn)模糊的灰色區(qū)域。在實際的操作中， 要綜合考慮結(jié)果的精度要求以及迭代時間因素來確定合理的過濾半徑。6.5邊界約束條件和加載方式對拓撲結(jié)果的影響6.5.1兩端固支的梁模型如下圖所示，梁上面受到均布載荷的作用

12、設(shè)置輸入為top（60，20，0.5，3，1.2）可得到優(yōu)化結(jié)果為:6.5.2兩端鉸支的梁在兩端鉸支的梁的1/3和2/3處分別開了兩個圓孔，在梁的中間施加豎 直向下的單位力。所得到的優(yōu)化結(jié)果為6.5.3多重載荷情況如下圖所示，模型為懸臂梁，在中間開了一個圓孔，分別在梁的右 端上下各施加了一單位力。所得到的優(yōu)化結(jié)果如下圖所示:7、拓展應(yīng)用7.1橋梁普通的橋梁可以簡化為兩端鉸支的梁，梁的上方受到均布載荷，所 簡化的結(jié)構(gòu)如下圖所示：采用拓撲優(yōu)化進行運算之后得到的結(jié)果如下圖所示:上圖為現(xiàn)實中的趙州橋，對比兩幅圖可以發(fā)現(xiàn)，拓撲優(yōu)化的結(jié)果與 工程上的橋梁完全的吻合。7.2外伸梁在生活中有很多結(jié)構(gòu)可以簡化成

13、一個對稱的外伸梁，梁上受到均布 載荷。進行拓撲優(yōu)化可以得到優(yōu)化結(jié)果:而下圖的乒乓球臺采用的就是類似的結(jié)構(gòu)，而生活中還有很多物體 比如雙杠和車棚都可以采用此結(jié)構(gòu)。8總結(jié)與心得研究分析了程序輸入?yún)?shù)nelx，nely，volfrac，p，rmin對優(yōu)化結(jié)果 的影響，通過改變加載矩陣F和邊界約束條件，實現(xiàn)了對不同加載方式 和不同邊界約束下的簡單結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的優(yōu)化。結(jié)果看到，輸入?yún)?shù) 的變化對優(yōu)化結(jié)果影響顯著，但是不同的輸入?yún)?shù)變化對結(jié)果影響也不同。在實際的應(yīng)用中應(yīng)綜合考慮，選取適宜的優(yōu)化參數(shù)。通過對 A 99 line topology optimization code written in Matlab 一 文的學(xué)習(xí)，一方面對拓撲優(yōu)化的理論原理以及實際的計算機方法實現(xiàn)都 有了一定的認識，了解了拓撲優(yōu)化的一般步驟，拓撲優(yōu)化問題中的理論 基礎(chǔ)等。通過對 99行程序的學(xué)習(xí)，結(jié)合實際的上機操作，得到了一些簡 單的結(jié)構(gòu)問題的拓撲優(yōu)化求解結(jié)果，并且分析對比了該程序主要輸入?yún)?數(shù)的變化對拓撲優(yōu)化結(jié)果的影響。另一方面，由于文章僅是用于教學(xué)目