d 第三章 幾種常見的概率分布律

1、第三章第三章幾種常見的幾種常見的 概率分布律概率分布律一、離散型概率分布律一、離散型概率分布律二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布泊松分布泊松分布本本 章章 內(nèi)內(nèi) 容容二、連續(xù)型概率分布律二、連續(xù)型概率分布律正態(tài)分布正態(tài)分布三、中心極限定理三、中心極限定理第一節(jié)第一節(jié) 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布（binomial distribution）一、應(yīng)用二項(xiàng)分布概率函數(shù)的條件一、應(yīng)用二項(xiàng)分布概率函數(shù)的條件隨機(jī)試驗(yàn)的每次試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)的每次試驗(yàn)有兩種不同的結(jié)果，有兩種不同的結(jié)果，它們互不相容，各自出現(xiàn)的概率恒定它們互不相容，各自出現(xiàn)的概率恒定；獨(dú)立地將此隨機(jī)試驗(yàn)重復(fù)獨(dú)立地將此隨機(jī)試驗(yàn)重復(fù)n次次，在，在n次試次試驗(yàn)中，一種結(jié)果出現(xiàn)驗(yàn)中

2、，一種結(jié)果出現(xiàn)y次的概率可以通過次的概率可以通過二項(xiàng)分布概率函數(shù)計(jì)算出來。二項(xiàng)分布概率函數(shù)計(jì)算出來。其特點(diǎn)如下：其特點(diǎn)如下：(1)每次試驗(yàn)結(jié)果，只能是兩個(gè)每次試驗(yàn)結(jié)果，只能是兩個(gè)互斥互斥的結(jié)果之的結(jié)果之一一(A或非或非A)。(2)每次試驗(yàn)的每次試驗(yàn)的條件不變條件不變。即每次試驗(yàn)中，結(jié)。即每次試驗(yàn)中，結(jié)果果A發(fā)生的概率不變，均為發(fā)生的概率不變，均為。(3)各次試驗(yàn)各次試驗(yàn)獨(dú)立獨(dú)立。即一次試驗(yàn)出現(xiàn)什么樣的。即一次試驗(yàn)出現(xiàn)什么樣的結(jié)果與前面已出現(xiàn)的結(jié)果無關(guān)結(jié)果與前面已出現(xiàn)的結(jié)果無關(guān)。二、二項(xiàng)分布概率函數(shù)表達(dá)式：二、二項(xiàng)分布概率函數(shù)表達(dá)式： n=試驗(yàn)次數(shù)（或樣本含量）試驗(yàn)次數(shù)（或樣本含量） y=在在n

3、次次試驗(yàn)中事件試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)出現(xiàn)的次數(shù)的次數(shù) =事件事件A發(fā)生的概率（每次試驗(yàn)都是恒定的）發(fā)生的概率（每次試驗(yàn)都是恒定的） 1-=事件事件A的對(duì)立事件發(fā)生的概率的對(duì)立事件發(fā)生的概率 p(y)=Y的概率函數(shù)的概率函數(shù)=P(Y=y) nyCypynyyn, 2 , 1 , 0,)1 ()(ynyynCyp)1 ()(例：例：3.1從雌雄各半的從雌雄各半的100只動(dòng)物中做一抽樣試驗(yàn)。第一次從這只動(dòng)物中做一抽樣試驗(yàn)。第一次從這100只動(dòng)只動(dòng)物中隨機(jī)抽取一只，記下性別后放回，再做第二次抽取。共物中隨機(jī)抽取一只，記下性別后放回，再做第二次抽取。共做了做了10次抽樣，計(jì)算抽中次抽樣，計(jì)算抽中3只和只和3只

4、以下雄性動(dòng)物的概率。只以下雄性動(dòng)物的概率。 n=10 10 y=3，2，1，0 =1/ /2 解：解：0009766. 02)21()21()!010( ! 0!10)0(10100p0097656. 0)2(10)21()21()!110( ! 1!10) 1 (109p0439453. 0)2(45)21()21()!210( ! 2!10)2(1082p1171876.0)2(120)21()21()!310( ! 3!10)3(1073p1718751. 0)0() 1 ()2() 3() 3(ppppF三、服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的特征數(shù)三、服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的特征數(shù) 隨著樣本含量

5、的增加，偏斜度和峭度趨隨著樣本含量的增加，偏斜度和峭度趨向于向于0，二項(xiàng)分布逐漸接近于正態(tài)分布。，二項(xiàng)分布逐漸接近于正態(tài)分布。平均數(shù)：平均數(shù)： =n方差：方差： 2=n(1-)四、二項(xiàng)分布應(yīng)用實(shí)例四、二項(xiàng)分布應(yīng)用實(shí)例例：例：3.2例：例：3.3例：例：3.4【例例3.4】 用棕色正常毛用棕色正常毛(bbRR)的家兔和黑色短毛的家兔和黑色短毛(BBrr)兔雜交，雜種兔雜交，雜種F1為黑色正常毛長(zhǎng)的為黑色正常毛長(zhǎng)的家兔，家兔，F(xiàn)1雌、雄兔近親交配，問最少需要雌、雄兔近親交配，問最少需要多少只多少只F2代的家兔，才能以代的家兔，才能以99%的概率至的概率至少得到一只棕色短毛兔？少得到一只棕色短毛兔？

6、解：解：由題目知，在由題目知，在F2代家兔中棕色短毛兔出現(xiàn)的概率為代家兔中棕色短毛兔出現(xiàn)的概率為1/16，非非棕色短毛兔出現(xiàn)的概率為棕色短毛兔出現(xiàn)的概率為15/16。假設(shè)最少需要假設(shè)最少需要n只只F2代家兔，才能以代家兔，才能以99%的概率至少得到的概率至少得到一個(gè)棕色短毛兔。一個(gè)棕色短毛兔。 99. 01)1615()161(100nnynyynCCyp01. 0)1615(n4 .71n結(jié)論：結(jié)論： 最少需要最少需要72只只F2代家兔才能以代家兔才能以99%的概率至少的概率至少得到一只棕色短毛兔。得到一只棕色短毛兔。則在則在n只只F2代家兔中至少出現(xiàn)一只棕色短毛兔的概率為代家兔中至少出現(xiàn)一

7、只棕色短毛兔的概率為0.99，那么在那么在n只只F2代家兔中出現(xiàn)代家兔中出現(xiàn)0只棕色短毛兔的概率只棕色短毛兔的概率為為0.01。 n y=0 =1/16 第二節(jié)第二節(jié) 泊松分布泊松分布( (Poisson distribution)一、符合泊松分布的條件一、符合泊松分布的條件在二項(xiàng)分布中，當(dāng)某事件出現(xiàn)的概率特別在二項(xiàng)分布中，當(dāng)某事件出現(xiàn)的概率特別小 （小 （ 0 ） ， 而 樣 本 含 量 又 很 大） ， 而 樣 本 含 量 又 很 大（n）且）且n=時(shí)，二項(xiàng)分布就變時(shí)，二項(xiàng)分布就變成泊松分布。泊松分布實(shí)際上是二項(xiàng)分成泊松分布。泊松分布實(shí)際上是二項(xiàng)分布的極限分布。布的極限分布。二、泊松分布的

8、概率函數(shù)二、泊松分布的概率函數(shù) 2 , 1 , 0,!yeyypy三、服從泊松分布的隨機(jī)變量的特征數(shù)三、服從泊松分布的隨機(jī)變量的特征數(shù)平均數(shù)：平均數(shù)： =n方差：方差： 2=四、泊松分布的應(yīng)用四、泊松分布的應(yīng)用Poisson分布是描述在一定空間（長(zhǎng)度、面積和體分布是描述在一定空間（長(zhǎng)度、面積和體積）或一定時(shí)間間隔內(nèi)點(diǎn)子散布狀況的理想化積）或一定時(shí)間間隔內(nèi)點(diǎn)子散布狀況的理想化模型（主要用于描述在單位時(shí)間或空間中稀有模型（主要用于描述在單位時(shí)間或空間中稀有事件的發(fā)生數(shù)）。事件的發(fā)生數(shù)）。 例如：例如： 1. 放射性物質(zhì)在單位時(shí)間內(nèi)的放射次數(shù)；放射性物質(zhì)在單位時(shí)間內(nèi)的放射次數(shù)； 2. 在單位容積充分

9、搖勻的水中的細(xì)菌數(shù)；在單位容積充分搖勻的水中的細(xì)菌數(shù)； 3. 野外單位空間中的某種昆蟲數(shù)等。野外單位空間中的某種昆蟲數(shù)等。 麥田內(nèi)平均每麥田內(nèi)平均每10m2有有1株雜草，現(xiàn)在要問每株雜草，現(xiàn)在要問每100m2麥田中，麥田中，有有0株雜草，株雜草，1株雜草，株雜草，2株雜草，株雜草，的的概率是多少？概率是多少？【例例3.5】解：解：10!10)(eyypy每每100m2麥田中，平均雜草數(shù)為：麥田中，平均雜草數(shù)為：)(10101株每每100m2麥田中，有麥田中，有y株雜草的概率為：株雜草的概率為：雜草數(shù)雜草數(shù)（y）概率概率 p(y) 第三節(jié)第三節(jié) 另外幾種離散型概率分布另外幾種離散型概率分布 超幾

10、何分布超幾何分布 負(fù)二項(xiàng)分布負(fù)二項(xiàng)分布第四節(jié)第四節(jié) 正態(tài)分布正態(tài)分布 normal distribution隨機(jī)變量數(shù)據(jù)大部分集中在平均數(shù)附近，隨機(jī)變量數(shù)據(jù)大部分集中在平均數(shù)附近，在平均數(shù)兩側(cè)呈對(duì)稱分布，即兩頭少，在平均數(shù)兩側(cè)呈對(duì)稱分布，即兩頭少，中間多，兩側(cè)對(duì)稱，數(shù)據(jù)的這種分布規(guī)中間多，兩側(cè)對(duì)稱，數(shù)據(jù)的這種分布規(guī)律稱為律稱為正態(tài)分布正態(tài)分布。正態(tài)分布密度函數(shù)的圖正態(tài)分布密度函數(shù)的圖 像，稱為像，稱為正態(tài)曲線正態(tài)曲線。一、正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)一、正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)1. 正態(tài)分布的密度函數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)yeyfy,21)(222)(：總體平均數(shù)：總體平均數(shù) ：總體標(biāo)準(zhǔn)差：總

11、體標(biāo)準(zhǔn)差以以N(, 2)表示平均數(shù)為表示平均數(shù)為，標(biāo)，標(biāo)準(zhǔn)差為準(zhǔn)差為的正態(tài)分布。的正態(tài)分布。u正態(tài)分布由參數(shù)正態(tài)分布由參數(shù)和和確定。確定。是位置參數(shù)是位置參數(shù)，當(dāng)，當(dāng)不不變時(shí)，變時(shí)，越大，則曲線沿橫軸越向右移動(dòng)；反之，越大，則曲線沿橫軸越向右移動(dòng)；反之，越小，曲線沿橫軸越向左移動(dòng)。越小，曲線沿橫軸越向左移動(dòng)。是變異度參數(shù)是變異度參數(shù)，當(dāng)，當(dāng)不變時(shí)，不變時(shí)，越大，表示數(shù)據(jù)越分散，曲線越平坦；越大，表示數(shù)據(jù)越分散，曲線越平坦；越小，表示數(shù)據(jù)越集中，曲線越陡峭。越小，表示數(shù)據(jù)越集中，曲線越陡峭。u以以N(, 2)表示平均數(shù)為表示平均數(shù)為， 標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布。的正態(tài)分布。2. 正態(tài)分布的累積

12、分布函數(shù)正態(tài)分布的累積分布函數(shù) zedzzfyYPyFzyyd21)()(222二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布： =0=0，=1=1 時(shí)的正態(tài)分布時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，以稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，以N(0, 1)表示標(biāo)準(zhǔn)正表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布態(tài)分布(standard normal distribution)。1. 概念概念2. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)ueuu,21)(223. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)veuUPuvud21)()(22（2）當(dāng)）當(dāng)u不論向哪個(gè)方向遠(yuǎn)離不論向哪個(gè)方向遠(yuǎn)離0時(shí)，時(shí)，e的指數(shù)都的指數(shù)都 變成一個(gè)

13、絕對(duì)值愈來愈大的負(fù)數(shù)，因此變成一個(gè)絕對(duì)值愈來愈大的負(fù)數(shù)，因此 (u)的值都減小。的值都減小。4.4.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布特征標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布特征 （1）在）在u=0時(shí)，時(shí)，(u)達(dá)到最大值達(dá)到最大值0.399。（3）曲線在縱坐標(biāo)軸兩側(cè)對(duì)）曲線在縱坐標(biāo)軸兩側(cè)對(duì) 稱，即稱，即(u)=(-u)。（4）曲線在）曲線在u= -1和和u=1處處 有兩個(gè)拐點(diǎn)。有兩個(gè)拐點(diǎn)。2221)(ueu（5）曲線和）曲線和X坐標(biāo)軸所夾的面積等于坐標(biāo)軸所夾的面積等于1。（6）正態(tài)分布表查出的）正態(tài)分布表查出的(u)的值表示隨機(jī)變量的值表示隨機(jī)變量 U落入?yún)^(qū)間（落入?yún)^(qū)間（-, u）的概率。）的概率。（7）累積分布函數(shù)圖形的特點(diǎn)是圍繞點(diǎn)）

14、累積分布函數(shù)圖形的特點(diǎn)是圍繞點(diǎn) （0, 0.5）對(duì)稱。）對(duì)稱。（8）正態(tài)分布的偏斜度）正態(tài)分布的偏斜度1=0 ，峭度，峭度2=0。5. 一些重要值一些重要值0-11-1.961.96-2.582.5868.27%95.00%99.00%-+-1.96+1.96-2.58+2.5868.27%95.00%99.00%正正態(tài)態(tài)分分布布 面面積積或或概概率率 68.27% 1.96 95.00% 2.58 99.00% 正態(tài)分布概率密度曲線在正態(tài)分布概率密度曲線在-1+1的區(qū)間內(nèi)占總面積的區(qū)間內(nèi)占總面積的的68.27%，在，在-1.960+1.960的區(qū)間內(nèi)占總面積的區(qū)間內(nèi)占總面積的的95%；在；在

15、-2.576 +2.576的區(qū)間內(nèi)占總面積的區(qū)間內(nèi)占總面積的的99%。三、正態(tài)分布表三、正態(tài)分布表 1、正態(tài)分布表、正態(tài)分布表（附表（附表2）：是根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積分布函數(shù)）：是根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積分布函數(shù)編制的，全稱標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積分布函數(shù)表，表中數(shù)值是由編制的，全稱標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積分布函數(shù)表，表中數(shù)值是由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積分布函數(shù)公式計(jì)算出來的。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積分布函數(shù)公式計(jì)算出來的。2、正態(tài)分布表中數(shù)值的含義：、正態(tài)分布表中數(shù)值的含義：表示隨機(jī)變量表示隨機(jī)變量U的取值落在區(qū)的取值落在區(qū)間（間（，u）內(nèi)的概率。）內(nèi)的概率。veuUPuvud21)()(223、正態(tài)分布表的作用：用它可、正態(tài)

16、分布表的作用：用它可以查出隨機(jī)變量落在任一區(qū)以查出隨機(jī)變量落在任一區(qū)間內(nèi)的概率。間內(nèi)的概率。4、正態(tài)分布表的查法：、正態(tài)分布表的查法：5、常用關(guān)系式、常用關(guān)系式 P(0Uu)=(u)-1/2=1/2-(-u)=(-u)=1-(u)5、常用關(guān)系式、常用關(guān)系式 P(|U|u) P(|U|u)=2(-u)=1-2(-u)5、常用關(guān)系式、常用關(guān)系式 P(u1Uu2)=( u2)-( u1) 利用正態(tài)分布表，查利用正態(tài)分布表，查u= - 0.82及及u=1.15時(shí)的時(shí)的(u)的值。的值?！纠?.7】解：解： 查正態(tài)分布表知，查正態(tài)分布表知，u=-0.82時(shí)，時(shí)，(u)=0.20611。 u=1.15時(shí)

17、，時(shí)，(u)=0.87493?！纠?.8】 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量U的值落在的值落在(0,1.21)間的概率是多少？間的概率是多少？P(0Uu)=(u)-1/2=0.88686-0.5=0.38686解：解：【例例3.9】 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量U的值落在的值落在1.96間的概率是多少？間的概率是多少？解：解：P(|U|u)=1-2(-u)=1-0.05000=0.950006、普通正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化普通正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化 隨機(jī)變量隨機(jī)變量Y服從服從N(,2)，計(jì)算，計(jì)算Y落在特定區(qū)間內(nèi)的概落在特定區(qū)間內(nèi)的概率很困難，可以先把率很困難，

18、可以先把N(,2)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，再從正態(tài)分布表中查出相應(yīng)的概率，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。再從正態(tài)分布表中查出相應(yīng)的概率，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。 u=(y -) /（此標(biāo)準(zhǔn)化實(shí)質(zhì)上是作了一個(gè)坐標(biāo)軸的平移和尺度變換）（此標(biāo)準(zhǔn)化實(shí)質(zhì)上是作了一個(gè)坐標(biāo)軸的平移和尺度變換） 普通正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化的原因普通正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化的原因 標(biāo)準(zhǔn)化公式標(biāo)準(zhǔn)化公式 已知高粱品種已知高粱品種“三尺三三尺三”的株高的株高Y服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N(156.2, 4.822)，求：，求：Y164cm的概率；的概率；Y在在152162cm間的概率。間的概率。【例例3.10】解：解：84134. 0) 1 ()82. 42

19、.156161()161(YP05262. 0)62. 1()82. 42 .156164()164(YP69278. 019215. 088493. 0)87. 0()2 . 1 ()82. 42 .156152()82. 42 .156162()162152(YP1、正態(tài)分布的上側(cè)臨界值、正態(tài)分布的上側(cè)臨界值：正態(tài)曲線右側(cè)尾區(qū)：正態(tài)曲線右側(cè)尾區(qū)面面積下所對(duì)應(yīng)的積下所對(duì)應(yīng)的u值值u滿足滿足 P（U u） u稱為稱為的正態(tài)分布的正態(tài)分布 上側(cè)臨界值。上側(cè)臨界值。2、正態(tài)分布的下側(cè)臨界值、正態(tài)分布的下側(cè)臨界值：正態(tài)曲線左側(cè)尾區(qū)：正態(tài)曲線左側(cè)尾區(qū)面面積下所對(duì)應(yīng)的積下所對(duì)應(yīng)的u值值-u滿足滿足 P（U u/ 2） 時(shí)的時(shí)的u/ 2稱為稱為正態(tài)分布雙側(cè)臨界值。正態(tài)分布雙側(cè)臨界值。利用正態(tài)分布上側(cè)臨界值表利用正態(tài)分布上側(cè)臨界值表(附表附表3)可以查出可以查出某某些些的上、下側(cè)及雙側(cè)臨界值的上、下側(cè)及雙側(cè)臨界值u、-u和和u/2。例例 某地調(diào)查正常成年男子某地調(diào)查正常成年男子144144人，其紅細(xì)胞數(shù)近人，其紅細(xì)胞數(shù)近似服從正態(tài)分布，獲得均數(shù)似服從正態(tài)分布，獲得均數(shù) ，標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 ，試估計(jì)該地成年男，試估計(jì)該