點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)期末考試練習(xí)題(含答案)

1、點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)期末考試一、單項(xiàng)選擇題每題1分1、X a,b,c,d,e,以下集族中， 丨是X上的拓?fù)? T X, ,a, a,b, a,c,e T X, ,a,b, c, a,b,d, a,b, c,e T X, ,a,a,b T X, ,a, b, c, d, e答案：2、設(shè)X a, b, c，以下集族中， 丨是X上的拓?fù)? TX,a, a,b, cTX,a, a,b, a,c TX,a, b, a,cTX,a, b, c答案：3、X a,b,c,d,以下集族中， 丨是X上的拓?fù)? TX,a, a,b, a,c,d TX,a,b,c,a,b, d TX,a, b, a,c,d TX,a, b答案

2、：4、設(shè)X a, b, c，以下集族中， 丨是X上的拓?fù)?TX,b, c, a,bTX,a, b, a,b, a,cTX,a, b, a,cTX,a, b, c答案：5、汨Xa,b,c,d,以下集:族中，:丨是X上的拓?fù)?TX,a,b, a,c,dTX, ,a,b, a,c, dTX,a, b, a,c,dTX, ,a, c, a,c答案：6、設(shè)Xa, b, c，以下集族中,丨是X上的拓?fù)?TX, ,a, b, b,cTX, ,a,b, b, cTX, ,a,a,cTX, ,a,b,c答案：7、 X a,b,c,d，拓?fù)?T X, ,a,貝Ub=©Xbb, c, d答案：8、 X a

3、,b,c,d，拓?fù)?T X, ,a,那么b,c,d=13、設(shè)X a,b,c,d,拓?fù)銽 X, ,a, b,c,d,那么X的既開(kāi)又閉的非空真子集個(gè)數(shù)1 234答案：14、設(shè) Xa,b,c，拓?fù)銽X,a, b,c,那么X的既開(kāi)又閉的非空真子集的個(gè)數(shù)為1 234 答案：15、設(shè) Xa,b,c，拓?fù)銽X,b, b,c,那么X的既開(kāi)又閉的非空真子集的個(gè)數(shù)為0 123答案：16、設(shè) Xa,b，拓?fù)銽X,b,那么X的既開(kāi)又閉的子集的個(gè)數(shù)為0 123答案：17、設(shè) Xa,b，拓?fù)銽X,a, b,那么X的既開(kāi)又閉的子集的個(gè)數(shù)為1 234答案：9、Xa,b，拓?fù)?、T X, ,a,那么a=©Xab10、X

4、a,b，拓?fù)?、T X, ,a,那么b=©Xab11、Xa,b,c, d，拓?fù)銽X, ,a,那么面=©Xa,bb, c,d答案:12、Xa,b,c, d，拓?fù)銽X, ,a,那么® =©Xa,cb,c, d答案:答案：答案：18、設(shè)X a,b,c，拓?fù)銽 X, ,a, b, a,b, b,c , X的既開(kāi)又閉的非空真子集個(gè)數(shù) 1234 答案：19、在實(shí)數(shù)空間中，有理數(shù)集Q的內(nèi)部Q是 Q R -Q R答案：20、在實(shí)數(shù)空間中，有理數(shù)集Q的邊界Q是 Q R -Q R答案：在實(shí)數(shù)空間中,整數(shù)集Z的內(nèi)部乙是R-Z R答案:ZR-ZR答案：在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間0,1的邊

5、界是0,10,1(0,1)答案：在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間2,3的邊界是2,32,3(2,3)答案：在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間0,1的內(nèi)部是0,10,1(0,1)答案：在實(shí)數(shù)空間中,整數(shù)集Z的邊界Z是23、24、25、322、26、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,A, B是X的子集,那么以下關(guān)系中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是答案：27、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,A, B是X的子集,那么以下關(guān)系中正確的選項(xiàng)是 d(A B) d(A) d(B) d(A B) d(A) d(B)答案：d(A B) d(A) d(B)d(A B) d(A) d(B)A,B是X的子集,那么以下關(guān)系中正確的選項(xiàng)是d(AB)A Bd(AB)d(A) d(B)29、X是-一

6、個(gè)離散拓?fù)淇臻g,d(A) d(A)d(A)A d(A)30、X是-一個(gè)平庸拓?fù)淇臻g,假設(shè)A ,那么 d(A)設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,28、 A B A BX假設(shè) A=x1,x2,那么 d(A) XX A d(d(A) A d(A)答案：A是X的子集，那么以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是答案：A是X的子集,那么以下結(jié)論中不正確的選項(xiàng)是假設(shè)A X。,那么dA X A假設(shè)A X ,那么dA X 答案：31、 X是一個(gè)平庸拓?fù)淇臻g，A是X的子集，那么以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是假設(shè)A ,那么d(A)假設(shè)A X。,那么d(A) X假設(shè)A=xX2,那么d(A) X A 假設(shè)A xX2,那么d(A) A 答案：32、設(shè) Xa,

7、b,c,d，令 Ba,b,c, c,d,那么由 B 產(chǎn)生的 X 上的拓?fù)涫?X, c, d, c, d,a,b, c X,c, d, c, d X, c, a, b,c X, d, b, c, b, d, b, c, d 答案：33、 設(shè)X是至少含有兩個(gè)元素的集合，p X , T G X |p G 是X的拓?fù)?，那?是T的基. B p,x| x X p B x| x X B p,x| x X B x| x X p答案：34、設(shè)Xa,b,c,那么以下X的拓?fù)渲幸許 X, ,a為子基X, a, a,c X, aX, a, b, a, b X,答案：35、離散空間的任一子集為()開(kāi)集閉集即開(kāi)又閉非開(kāi)

8、非閉答案：36、平庸空間的任一非空真子集為()開(kāi)集 閉集 即開(kāi)又閉非開(kāi)非閉答案：37、實(shí)數(shù)空間R中的任一單點(diǎn)集是()開(kāi)集 閉集 既開(kāi)又閉非開(kāi)非閉答案：11 1 38、實(shí)數(shù)空間R的子集A =1,-,-,那么A =234©R AU 0A 答案：39、 在實(shí)數(shù)空間R中，以下集合是閉集的是整數(shù)集 a,b 有理數(shù)集無(wú)理數(shù)集答案：40、 在實(shí)數(shù)空間R中，以下集合是開(kāi)集的是整數(shù)集Z有理數(shù)集無(wú)理數(shù)集整數(shù)集Z的補(bǔ)集Z答案：41、 X 1,2,3上的拓?fù)銽 X, ,1,那么點(diǎn)1的鄰域個(gè)數(shù)是1234答案：答案：丨個(gè)答案：44、設(shè)(X,T )為拓?fù)淇臻g，那么以下表達(dá)正確的為T(mén) X T ,TX T ,當(dāng)T T

9、時(shí)，U U T當(dāng)T T時(shí),U TU TU T45、在實(shí)數(shù)下限拓?fù)淇臻gR中，區(qū)間a, b)是開(kāi)集閉集 既是開(kāi)集又是閉集非開(kāi)非閉答案：答案：1個(gè) 2個(gè) 3個(gè) 4個(gè)43、X =a, b, c,那么X上的含有4個(gè)元素的拓?fù)溆?57946、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，代B X ,且滿足d(A) B A,那么B是開(kāi)集 閉集 既是開(kāi)集又是閉集47、設(shè) X 1,2,3 , T= ,X,1,2,1,3,1,2為 T ,2, 1,2非開(kāi)非閉答案：是X的拓?fù)洌珹 1,2,那么X的子空間A的拓?fù)?T ,X,1,2, 1,2 T ,A,1,2 T ,X,1,2答案：48、設(shè) X 1,2,3 , T= ,X,1,2,1,3,1,

10、2是 X 的拓?fù)?，A 1,3,那么 X 的子空間 A 的拓?fù)錇?T ,1,3, 1,3 T ,A,1 T ,X,1,3, 1,3 T ,X,1答案：49、設(shè) X 1,2,3, T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓?fù)?，A 2,3,那么 X 的子空間 A 的拓?fù)錇?T ,3,2,3 T ,A,2,3 T ,X,2,3,2,3 T ,X,3答案：50、設(shè)X 1,2,3, T=,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓?fù)?，A 1,那么X 的子空間 A 的拓?fù)錇?T ,1 T ,A,1,2 T ,X,1,3, 1,3 T ,X,1答案：51、設(shè) X 1,2,3 ,T= ,X,1,2,1,3,1,

11、2是 X 的拓?fù)?，A 2,那么 X 的子空間 A 的拓?fù)錇?T ,2, 1,2 T ,A52、設(shè) X 1,2,3 ,T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓?fù)?，A 3,那么 X 的子空間 A 的拓?fù)?T ,2, 1,2 T ,X,1,3 T ,X,3 T ,3答案：53、設(shè)R是實(shí)數(shù)空間，Z是整數(shù)集，那么R的子空間Z的拓?fù)錇?T ,Z54、設(shè) X X2單射滿的連續(xù)閉映射55、設(shè) X Xi X2 單射滿的連續(xù)閉映射56、設(shè) X Xi X2單射滿的連續(xù)閉映射57、設(shè) X Xi X2單射滿的連續(xù)閉映射58、設(shè) X Xi X2 單射滿的連續(xù)閉映射59、設(shè) X Xi X2單射滿的連續(xù)閉映射T P (

12、Z)T ZT Z 答案：X6是拓?fù)淇臻gXi,X2，,X6的積空間 R是X到Xi的投射，貝U R是連續(xù)的單射滿的連續(xù)開(kāi)映射答案：X6是拓?fù)淇臻gXi,X2，X6的積空間 P2是X到X2的投射，貝U R是連續(xù)的單射滿的連續(xù)開(kāi)映射答案：X6是拓?fù)淇臻gX1,X2，X6的積空間 F3是X到X3的投射，貝U F3是連續(xù)的單射滿的連續(xù)開(kāi)映射答案：X6是拓?fù)淇臻gX1,X2，,X6的積空間 P4是X到X4的投射，那么F4是連續(xù)的單射滿的連續(xù)開(kāi)映射答案：X6是拓?fù)淇臻gX1,X2，X6的積空間 F5是X到X5的投射，貝U F5是連續(xù)的單射滿的連續(xù)開(kāi)映射答案：X6是拓?fù)淇臻gXi,X2，X6的積空間 F6是X到X6的投射

13、，那么F6是連續(xù)的單射滿的連續(xù)開(kāi)映射,A60、設(shè)Xi和X2是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，Xi X2是它們的積空間 A B A B A B A B (AB) A B61、有理數(shù)集Q是實(shí)數(shù)空間R的一個(gè)不連通子集連通子集開(kāi)集以上都不對(duì)答案：Xi，B X2，那么有(A B) (A)(B)答案：答案：不連通子集 開(kāi)集 連通子集 以上都不對(duì)答案：63、無(wú)理數(shù)集是實(shí)數(shù)空間不連通子集 開(kāi)集R的一個(gè) 連通子集 以上都不對(duì)答案：64、設(shè)丫為拓?fù)淇臻gX的連通子集,Z為X的子集,假設(shè)Y Z Y, 那么Z為不連通子集連通子集 閉集 開(kāi)集答案：65、 設(shè)Xi,X2是平庸空間，那么積空間Xi X2是離散空間不一定是平庸空間 平庸空間不連

14、通空間答案：66、 設(shè)Xi,X2是離散空間，那么積空間Xi X2是離散空間不一定是離散空間平庸空間連通空間答案：67、 設(shè)Xi,X2是連通空間，那么積空間Xi X2是離散空間不一定是連通空間平庸空間連通空間答案：68、實(shí)數(shù)空間R中的連通子集E為開(kāi)區(qū)間 閉區(qū)間 區(qū)間 以上都不對(duì) 答案：69、實(shí)數(shù)空間R中的不少于兩點(diǎn)的連通子集E為區(qū)間)以上都不對(duì) 答案：開(kāi)區(qū)間閉區(qū)間70、實(shí)數(shù)空間R中的連通子集E為)開(kāi)區(qū)間閉區(qū)間區(qū)間區(qū)間或一點(diǎn)答案：71、以下表達(dá)中正確的個(gè)數(shù)為I單位圓周S1是連通的；nR 0是連通的川R2 (0,0)是連通的WR2和R同胚1234答案： 二、填空題每題1分1、 設(shè)X a,b,那么X的

15、平庸拓?fù)錇?； 答案：T X, 2、設(shè)X a,b,那么X的離散拓?fù)錇椋?答案：T X, ,a, b3、同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì)叫 ; 答案：拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)4、在實(shí)數(shù)空間R中，有理數(shù)集Q的導(dǎo)集是.答案：R5、 x d(A)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于x的每一鄰域U有 答案：U (A x)6設(shè)A是有限補(bǔ)空間X中的一個(gè)無(wú)限子集，那么d(A)=; 答案：X7、設(shè)A是有限補(bǔ)空間X中的一個(gè)無(wú)限子集，貝U A=; 答案：X8、設(shè)A是可數(shù)補(bǔ)空間X中的一個(gè)不可數(shù)子集，那么d(A)=; 答案：X9、設(shè)A是可數(shù)補(bǔ)空間X中的一個(gè)不可數(shù)子集，那么 A=; 答案：X10、為設(shè)X1,2,31,X的拓?fù)銽答案：X,2,2,2,3,那么X的子

16、集A 1,2的內(nèi)部11、設(shè)X1,2,3,X的拓?fù)銽X,1,2,3,那么X的子集A 1,3的內(nèi)部為J答案：112、設(shè)X1,2,3,X的拓?fù)銽X,1,2,3,，那么X的子集A 1,2的內(nèi)部為答案:113、設(shè)X1,2,3,X的拓?fù)銽X,2,2,3,那么X的子集A 1,3的內(nèi)部為;答案：14、設(shè)X a,b,c,那么X的平庸拓?fù)錇?; 答案：T X, 15、設(shè)X a,b,c,那么X的離散拓?fù)錇榇鸢福篢X, ,a, b, c, a,b, a,c, b,c,那么X的子集A 1,3的內(nèi)部16、設(shè) X 1,2,3 , X 的拓?fù)?T X, ,2 ,3 ,2,3為;答案：317、設(shè) X 1,2,3 , X 的拓?fù)?/p>

17、 T X, ,1, 3, 1,3,那么 X 的子集 A 1,2 的內(nèi)部為;答案：118、f : X Y是拓?fù)淇臻gX到丫的一個(gè)映射，假設(shè)它是一個(gè)單射，并且是從X到它的象集f(X)的一個(gè)同胚，那么稱(chēng)映射f是一個(gè)答案：嵌入19、 f ：X Y是拓?fù)淇臻gX到丫的一個(gè)映射，如果它是一個(gè)滿射，并且丫的拓?fù)涫菍?duì)于映射f而言的商拓?fù)?，那么稱(chēng)f是一個(gè)；答案：商映射20、 設(shè)X ,丫是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f : X Y是一個(gè)映射，假設(shè)X中任何一個(gè)開(kāi)集U的象集f (U )是丫中的一個(gè)開(kāi)集，那么稱(chēng)映射f是一個(gè) 答案：開(kāi)映射21、 設(shè)X,Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f :X Y是一個(gè)映射，假設(shè)X中任何一個(gè)閉集U的象集f(U)是丫中的一

18、個(gè)閉集，那么稱(chēng)映射f是一個(gè)答案：閉映射22、假設(shè)拓?fù)淇臻gX存在兩個(gè)非空的閉子集A,B ,使得A B,AB X ,那么X是一個(gè);答案：不連通空間23、假設(shè)拓?fù)淇臻gX存在兩個(gè)非空的開(kāi)子集A,B ,使得A B,AB X ,那么X是一個(gè);答案：不連通空間24、假設(shè)拓?fù)淇臻gX存在著一個(gè)既開(kāi)又閉的非空真子集，那么 X是一個(gè)答案：不連通空間25、設(shè)丫是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)連通子集，Z X滿足丫 Z 丫，那么Z也是X的一個(gè)；答案：連通子集26、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有也必然為它在任何一個(gè)連續(xù)映射下的象所具有，那么稱(chēng)這個(gè)性質(zhì)是一個(gè) ；答案：在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)27、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果

19、為一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有也必然為它的任何一個(gè)商空間所具有，那么稱(chēng)這個(gè)性質(zhì)是一個(gè) ;答案：可商性質(zhì)28、假設(shè)任意n 1個(gè)拓?fù)淇臻gXi,X2，,Xn,都具有性質(zhì)P,那么積空間Xi X2Xn也具有性質(zhì)P，那么性質(zhì)P稱(chēng)為；答案：有限可積性質(zhì)29、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果X中有兩個(gè)非空的隔離子集 A,B,使得A B X ,那么稱(chēng)X是一個(gè) ;答案：不連通空間三判斷每題4分，判斷1分，理由3分1、從離散空間到拓?fù)淇臻g的任何映射都是連續(xù)映射 ()答案:V理由：設(shè)X是離散空間，丫是拓?fù)淇臻g，f : X Y是連續(xù)映射，因?yàn)閷?duì)任意 A 丫，都有f(A) X ,由于X中的任何一個(gè)子集都是開(kāi)集，從而f 1(A)是 中的開(kāi)集

20、，所以f : X Y是連續(xù)的2、設(shè)Ti,T2是集合X的兩個(gè)拓?fù)?，貝U Ti T2不一定是集合X的拓?fù)?)答案：X理由：因?yàn)?Ti,T2是X的拓?fù)?，故X,Ti, X, T2,從而X,Ti T2 ；2對(duì)任意的 A,B Ti T 2 ,那么有A,B Ti且A,B T 2 ,由于 Ti, T2是X的拓?fù)?，故A B Ti 且 A B T2，從而 A B Ti T 2;3對(duì)任意的TTi T2，那么TTi,TT2，由于Ti, T2是X的拓?fù)洌瑥亩?u tU Ti,u tU T2,故 u t'U Ti T 2 ;綜上有Ti T2也是X的拓?fù)?3、從拓?fù)淇臻gX到平庸空間丫的任何映射都是連續(xù)映射 丨答案:

21、V理由：設(shè)f :XY是任一滿足條件的映射，由于丫是平庸空間，它中的開(kāi)集只有Y,易知它們?cè)趂下的原象分別是X,均為X中的開(kāi)集，從而f :X Y連續(xù).4、設(shè)A為離散拓?fù)淇臻gX的任意子集，那么d A 丨答案:V理由：設(shè)p為X中的任何一點(diǎn)，因?yàn)殡x散空間中每個(gè)子集都是開(kāi)集，所以 p是X的開(kāi)子集，且有 pClA p ，即pdA ,從而d(A).5、設(shè)A為平庸空間X X多于一點(diǎn)的一個(gè)單點(diǎn)集，貝U d A 答案：X理由：設(shè)A y,那么對(duì)于任意x X,x y ,x有唯一的一個(gè)鄰域 X，且有y X (A x),從而 X (A x)，因此x是A的一個(gè)凝聚點(diǎn)，但對(duì)于y的唯一的鄰域X，有X (A y)，所 以有d AX

22、A.6設(shè)A為平庸空間X的任何一個(gè)多于兩點(diǎn)的子集，貝U d A X 答案：V理由：對(duì)于任意x X,因?yàn)锳包含多于一點(diǎn)，從而對(duì)于x的唯一的鄰域X，且有X (A x)， 因此x是A的一個(gè)凝聚點(diǎn)，即x d(A)，所以有d A X .7、設(shè)X是一個(gè)不連通空間，那么 X中存在兩個(gè)非空的閉子集 A,B,使得A B ,A B X答案：V理由：設(shè)X是一個(gè)不連通空間，設(shè) A, B是X的兩個(gè)非空的隔離子集使得A B X ,顯然a rm，并且這時(shí)有：B B X (B A) (B B) B從而B(niǎo)是X的一個(gè)閉子集，同理可證A是X的一個(gè)閉子集，這就證明了代B滿足A B , A B X .8、假設(shè)拓?fù)淇臻gX中存在一個(gè)既開(kāi)又閉

23、的非空真子集，那么 X是一個(gè)不連通空間() V 理由：這是因?yàn)榧僭O(shè)設(shè)A是X中的一個(gè)既開(kāi)又閉的非空真子集，令 B A，那么A,B都是X中的非空閉子集，它們滿足A B X，易見(jiàn)代B是隔離子集，所以拓?fù)淇臻gX是一個(gè)不連通空 五簡(jiǎn)答題每題4分1、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，代B是X的子集，且A B .試說(shuō)明d(A) d(B).答案：對(duì)于任意x d(A),設(shè)U是x的任何一個(gè)鄰域，那么有U (A x),由于A B，從而U (B x) U (A x) ，因此 x d(B)，故 d(A) d(B).2、 設(shè)X,Y,Z都是拓?fù)淇臻g.f:X Y, g:YZ都是連續(xù)映射，試說(shuō)明gf：XZ也是連續(xù)映射答案：設(shè)W是Z的任意一個(gè)

24、開(kāi)集，由于g：Y Z是一個(gè)連續(xù)映射，從而g 1(W)是丫的一個(gè)開(kāi) 集，由f : X Y是連續(xù)映射，故f IW)是X的一開(kāi)集，因此( f) 1(W) f 1(g 1(W) 是X的開(kāi)集，所以g：f : X Z是連續(xù)映射.3、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A X .試說(shuō)明：假設(shè)A是一個(gè)閉集，那么A的補(bǔ)集A是一個(gè)開(kāi)集.答案：對(duì)于x A ,那么x A，由于A是一個(gè)閉集，從而x有一個(gè)鄰域U使得U (A x),因此U A ，即U A,所以對(duì)任何x A, A是x的一個(gè)鄰域，這說(shuō)明A是一個(gè)開(kāi)集.4、 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A X .試說(shuō)明：假設(shè)A的補(bǔ)集A是一個(gè)開(kāi)集，那么A是一個(gè)閉集. 答案：設(shè)x A,那么x A,由于A是一

25、個(gè)開(kāi)集，所以A是x的一個(gè)鄰域，且滿足A A ,因此x A,從而A A,即有A A，這說(shuō)明A是一個(gè)閉集.5、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系：xy x, y (,1)或者 x,y 1,2)或者 x, y 2,)設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集 丫 0,1,2,試寫(xiě)出丫的商拓?fù)銽.答案：T ，丫,0,0,16、在實(shí)數(shù)空間 R 中給定如下等價(jià)關(guān)系 :x y x, y (,1或者 x, y (1,2或者 x, y (2,)設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集丫 1, 2, 3,試寫(xiě)出丫的商拓?fù)銽 .答案： T ,丫,3,2,37、在實(shí)數(shù)空間 R 中給定如下等價(jià)關(guān)系：x y x,y ( ,1) 或者 x,y 1,2)

26、 或者 x,y 2, ) 設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集 丫 1,1,2 ,試寫(xiě)出 丫的商拓?fù)?T.答案： T ,丫, 1, 1,18、在實(shí)數(shù)空間 R 中給定如下等價(jià)關(guān)系：x y x,y ( ,1) 或者 x,y 1,2) 或者 x,y 2, )設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集 丫 2,1,2 ,試寫(xiě)出 丫 的商拓?fù)?T.答案： T ,丫, 2, 2,19、在實(shí)數(shù)空間 R 中給定如下等價(jià)關(guān)系 :x y x,y (,1 或者 x, y (1,2 或者 x, y (2,)設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集 丫 0,2,3 ,試寫(xiě)出 丫的商拓?fù)?T .答案： T ,丫,3,2,310、在實(shí)數(shù)空間 R 中給定如下

27、等價(jià)關(guān)系 :x y x,y (,1 或者 x, y (1,2 或者 x, y (2,)設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集 丫 0,2,4,試寫(xiě)出 丫的商拓?fù)?T .答案： T ,丫,4,2,411、在實(shí)數(shù)空間 R 中給定如下等價(jià)關(guān)系 :x y x,y (,1 或者 x, y (1,2 或者 x, y (2,)設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集丫 1,2,4，試寫(xiě)出丫的商拓?fù)銽 .答案：T ,丫,4,2,4六、證明題每題8分1、設(shè)f : X 丫是從連通空間X到拓?fù)淇臻gY f(X)是Y的一個(gè)連通子集.證明：如果f(X)是丫的一個(gè)不連通子集，那么存在丫的非空隔離子集A,B使得f(X) A B 3分于是f 1(A), f 1(B)是X的非空子集，并且：111 1(f 1(A) f 1(B) (f 1(B) f 1(A)(f 1(A) f 1(B) (f 1(B) f 1(A)f 1(A B) (A B)所以 f 1(A), f 1(B) 是 X 的非空隔離子集 此外，f 1(A) f 1(B) f 1(A B) f 1(f(X) X ,這說(shuō)明 X f (X)是 Y 的一個(gè)連通子集 8分2、 設(shè)丫是拓