隨機(jī)過程簡介教學(xué)提綱

1、隨機(jī)過程簡介隨機(jī)過程簡介 然而還有另外一種過程，在空間與時間然而還有另外一種過程，在空間與時間上是高度不規(guī)則和不重復(fù)的物理現(xiàn)象，其變上是高度不規(guī)則和不重復(fù)的物理現(xiàn)象，其變化形式是預(yù)先無法確知的，但是可以對其進(jìn)化形式是預(yù)先無法確知的，但是可以對其進(jìn)行多次的測驗(yàn)，得到多個確定的結(jié)果，而這行多次的測驗(yàn)，得到多個確定的結(jié)果，而這些結(jié)果彼此是不相同的。人們想到用隨機(jī)函些結(jié)果彼此是不相同的。人們想到用隨機(jī)函數(shù)來描述這種隨機(jī)的、沒有明顯變化規(guī)律的數(shù)來描述這種隨機(jī)的、沒有明顯變化規(guī)律的過程，我們在分析某些系統(tǒng)的精確性時，必過程，我們在分析某些系統(tǒng)的精確性時，必須考慮到隨機(jī)干擾的存在，這些擾動所引起須考慮到隨機(jī)

2、干擾的存在，這些擾動所引起系統(tǒng)的反應(yīng)都是時間的隨機(jī)函數(shù)。系統(tǒng)的反應(yīng)都是時間的隨機(jī)函數(shù)。 工程技術(shù)中有很多隨機(jī)現(xiàn)象工程技術(shù)中有很多隨機(jī)現(xiàn)象, 例如例如, 地震地震波幅波幅, 結(jié)構(gòu)物承受的風(fēng)荷載結(jié)構(gòu)物承受的風(fēng)荷載, 時間間隔時間間隔(0, t內(nèi)內(nèi)船舶甲板船舶甲板“上浪上浪”的次數(shù)的次數(shù), 通訊系統(tǒng)和自控系通訊系統(tǒng)和自控系統(tǒng)中的各種噪聲和干擾統(tǒng)中的各種噪聲和干擾, 以及生物群體的生以及生物群體的生長等等變化過程都可用隨機(jī)過程這一數(shù)學(xué)模長等等變化過程都可用隨機(jī)過程這一數(shù)學(xué)模型來描繪型來描繪. 不過不過, 這些隨機(jī)過程都不能像隨機(jī)這些隨機(jī)過程都不能像隨機(jī)相位正弦波那樣相位正弦波那樣, 很方便很具體地用時

3、間和很方便很具體地用時間和隨機(jī)變量的關(guān)系式表示出來隨機(jī)變量的關(guān)系式表示出來, 其主要原因是其主要原因是自然界和社會產(chǎn)生隨機(jī)因素的機(jī)理極為復(fù)雜自然界和社會產(chǎn)生隨機(jī)因素的機(jī)理極為復(fù)雜, 甚至不可能觀察到甚至不可能觀察到, 因此只有過分析因此只有過分析樣本函樣本函數(shù)數(shù)才能掌握它們的規(guī)律性才能掌握它們的規(guī)律性. 隨機(jī)過程被認(rèn)為是概率論的隨機(jī)過程被認(rèn)為是概率論的“動力學(xué)動力學(xué)”部分（牛頓運(yùn)動定律對經(jīng)典物理學(xué)），它的部分（牛頓運(yùn)動定律對經(jīng)典物理學(xué)），它的研究對象是隨時間演變的隨機(jī)現(xiàn)象，這類現(xiàn)研究對象是隨時間演變的隨機(jī)現(xiàn)象，這類現(xiàn)象一般需要一族（同源）隨機(jī)變量來描述。象一般需要一族（同源）隨機(jī)變量來描述。

4、比如，為了得到隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征，比如，為了得到隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征，必須對其作大量的必須對其作大量的n次獨(dú)立測量。例如，在次獨(dú)立測量。例如，在同一條件的海域內(nèi)，布置同一條件的海域內(nèi)，布置n個同一類型的波個同一類型的波高儀，可同測得到高儀，可同測得到n個記錄個記錄X1(t).Xn(t),被稱為被稱為n個樣本函數(shù)。個樣本函數(shù)。在固定時刻讀得各樣本的瞬時波面高度在固定時刻讀得各樣本的瞬時波面高度tX1(t)tX2(t)tXk(t)tj 給出隨機(jī)過程的定義給出隨機(jī)過程的定義:設(shè)設(shè)T是一無限實(shí)數(shù)是一無限實(shí)數(shù)集（例如海洋中無數(shù)的波浪）集（例如海洋中無數(shù)的波浪）, 把依賴于參數(shù)把依賴于參數(shù)t T的一族的一族

5、(無限多個無限多個)隨機(jī)變量隨機(jī)變量稱為稱為隨機(jī)過程隨機(jī)過程, 記為記為X(t), t T, 這里對每一個這里對每一個t T, X(t)是一是一隨機(jī)變量隨機(jī)變量. 例例 1考慮考慮X(t)=a a cos(w wt+Q Q), t (- - , ), 式中式中a a和和w w是正的常數(shù)是正的常數(shù), Q Q是在是在(0,2p p)上服從均勻分布上服從均勻分布的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量.（連續(xù)型隨機(jī)過程）（連續(xù)型隨機(jī)過程）tOx(t)x1(t),q1=0 x2(t), q2=3p/2 顯然顯然, 對于每一個固定的時刻對于每一個固定的時刻t=t1, X(t1)=a a cos(w wt1+Q Q)是一個隨

6、機(jī)變量是一個隨機(jī)變量, 因而因而X(t)是一個隨機(jī)過程是一個隨機(jī)過程, 通常稱它為通常稱它為隨機(jī)相位隨機(jī)相位(w wt+Q Q )正弦波正弦波. 它的變化空間在它的變化空間在- -a a, a a. 在在(0,2p p)內(nèi)隨內(nèi)隨機(jī)地取一數(shù)機(jī)地取一數(shù)q qi, 相應(yīng)地得到這個隨機(jī)過程的一相應(yīng)地得到這個隨機(jī)過程的一個樣本函數(shù)：個樣本函數(shù)： xi(t)=a a cos(w wt+q qi), q qi (0,2p p).例例2 在測量運(yùn)動目標(biāo)的距離時存在隨機(jī)誤差在測量運(yùn)動目標(biāo)的距離時存在隨機(jī)誤差, 若以若以e e(t)表示在時刻表示在時刻t的測量誤差的測量誤差, 則它是一個則它是一個隨機(jī)變量隨機(jī)變量

7、. 當(dāng)目標(biāo)隨時間當(dāng)目標(biāo)隨時間t按一定規(guī)律運(yùn)動時按一定規(guī)律運(yùn)動時, 測量誤差測量誤差e e(t)也隨時間也隨時間t而變化而變化, 換句話說換句話說, e e(t)是依賴于時間是依賴于時間t的一族隨機(jī)變量的一族隨機(jī)變量, 亦即亦即e e(t), t 0是一隨機(jī)過程是一隨機(jī)過程. 且它們的狀態(tài)空間是且它們的狀態(tài)空間是(- - , + ).（連續(xù)型隨機(jī)過程）（連續(xù)型隨機(jī)過程）例例3設(shè)某城市的設(shè)某城市的120急救電話臺遲早會接到用急救電話臺遲早會接到用戶的呼叫戶的呼叫, 以以X(t)表示時間間隔表示時間間隔(0,t內(nèi)接到的內(nèi)接到的呼叫次數(shù)呼叫次數(shù), 它是一個隨機(jī)變量它是一個隨機(jī)變量, 且對于不同的且對于不同的t 0, X(t)是不同的隨機(jī)變量是不同的隨機(jī)變量. 于是于是, X(t),t 0是是一隨機(jī)過程一隨機(jī)過程. 且它的狀態(tài)空間是且它的狀態(tài)空間是0,1,2,.（離散型隨機(jī)過程）（離散型隨機(jī)過程） 隨機(jī)過程的不同描述方式在本質(zhì)上是一隨機(jī)過程的不同描述方式在本質(zhì)上是一致的致的. 在在理論分析理論分析時往往以時往往以隨機(jī)變量族隨機(jī)變量族的描述的描述方式作為出發(fā)點(diǎn)方式作為出發(fā)點(diǎn), 而在而在實(shí)際測量和數(shù)據(jù)處理實(shí)際測量和數(shù)據(jù)處理中中往往采用往往采用樣本函數(shù)族樣本函數(shù)族的