人教版八年級數(shù)學上冊12.2.2全等三角形的判定2(邊角邊)

1、八年級八年級 上冊上冊12.2.2 三角形三角形全等的判定全等的判定 （第（第2課時）課時） 1.了解了解“SAS”公理的形成過程。公理的形成過程。 2.掌握掌握“SAS”公理的幾何意義，會用定理公理的幾何意義，會用定理進行推理證明。進行推理證明。 3.注意：掌握注意：掌握“SSA”不能保證兩個三角形不能保證兩個三角形全等的反例全等的反例圖形圖形的的幾何意義。幾何意義。自學指導自學指導 自學課本：第自學課本：第37-39頁，包括課后練習頁，包括課后練習 三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫為為“邊邊邊邊邊邊”或或“SSS”）。）。ABCDEF在在ABC和

2、和 DEF中中 ABC DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD知識回顧知識回顧: :CD 三步走：三步走：準備條件準備條件擺齊條件擺齊條件得結(jié)論得結(jié)論注重書寫格式注重書寫格式除了除了SSS外外,還有其他情況嗎？繼續(xù)探索三角形全還有其他情況嗎？繼續(xù)探索三角形全等的條件等的條件.(2) 三條邊三條邊(1) 三個角三個角(3) 兩邊一角兩邊一角(4) 兩角一邊兩角一邊 當兩個三角形滿足六個條件中的三個時，有四種當兩個三角形滿足六個條件中的三個時，有四種情況情況:SSS不能不能!?繼續(xù)探討三角形全等的條件：繼續(xù)探討三角形全等的條件： 兩邊一角兩邊一角思考：已知一個三角形的兩條邊和一個角，那么這

3、兩條邊思考：已知一個三角形的兩條邊和一個角，那么這兩條邊與這一個角的位置上有幾種可能性呢？與這一個角的位置上有幾種可能性呢？ABCABC圖一圖一圖二圖二在圖一中，在圖一中， A A是是ABAB和和ACAC的的夾角，夾角，符合圖一的條件，符合圖一的條件，它它可稱為可稱為“兩邊夾角兩邊夾角”。符合圖二的條件，符合圖二的條件， 通常通常說成說成“兩邊和其中一邊的對角兩邊和其中一邊的對角”尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法問題問題1先任意畫出一個先任意畫出一個ABC，再畫一個，再畫一個ABC，使，使AB= =AB，A= =A，CA= = CA（即兩邊和它們的夾角分別相等）把畫

4、好的（即兩邊和它們的夾角分別相等）把畫好的ABC剪下來，放到剪下來，放到ABC 上，它們?nèi)葐?？上，它們?nèi)葐幔緼 B C A B C A D E 尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法現(xiàn)象：現(xiàn)象：兩個三角形放在一起兩個三角形放在一起 能完全重合能完全重合說明：說明：這兩個三角形全等這兩個三角形全等畫法：畫法：（1） 畫畫DAE = =A；（2）在射線）在射線AD上截上截取取 AB= =AB，在射線，在射線 AE上截上截取取AC= =AC；（3）連接）連接BCB C 在在ABC與與DEF中中ABC DEF（SAS） 兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全兩邊和它們的夾角對

5、應(yīng)相等的兩個三角形全等。等。(可以簡寫成可以簡寫成“邊角邊邊角邊”或或FEDCBAAC=DFC=FBC=EF尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法編輯pptczsxcomcn12已知已知: 如圖如圖,AC=AD ,CAB=DAB. 求證求證: ACB ADB.ABCD證明證明:在在ACB 和和 ADB中中 AC = A D CAB=DAB A B = A B (公共邊）公共邊）ACB ADB（SAS）課堂練習課堂練習編輯pptczsxcomcn13CABDO在下列推理中填寫需要補充的條在下列推理中填寫需要補充的條件，使結(jié)論成立：件，使結(jié)論成立：(1)如圖，在如圖，在AOB

6、和和DOC中已知中已知AO=DO，BO=CO，求證：求證：AOB DOCAO=DO(已知已知)_=_( )BO=CO(已知已知) AOB DOC（ ） AOB DOC對頂角相等對頂角相等SAS證明：在證明：在AOBAOB和和DOCDOC中中編輯pptczsxcomcn14(2).如圖，在如圖，在AEC和和ADB中，已知中，已知AE=AD,AC=AB。求證：。求證：AEC ADB_=_(已知已知)A= A( 公共角公共角)_=_(已知已知) AEC ADB（ ）AEBDCAEADACABSAS證明：證明：在在AEC和和ADB中中編輯pptczsxcomcn15證明三角形全等的步驟：證明三角形全等

7、的步驟：1.1.寫出在哪兩個三角形中證明全等。寫出在哪兩個三角形中證明全等。（注意把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)（注意把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上）的位置上）. .2.2.按邊、角、邊的順序列出三個條件，按邊、角、邊的順序列出三個條件，用大括號合在一起用大括號合在一起. .3.3.寫出結(jié)論寫出結(jié)論. .每步要有推理的依據(jù)每步要有推理的依據(jù). .編輯pptczsxcomcn16在應(yīng)用時，怎樣尋找已知條件：已知條件包含兩部分，在應(yīng)用時，怎樣尋找已知條件：已知條件包含兩部分，一是已知中給出的，二是圖形中隱含的（如公共邊，公一是已知中給出的，二是圖形中隱含的（如公共邊，公共角、對頂角、鄰補角、外

8、角、平角等）所以找條件歸共角、對頂角、鄰補角、外角、平角等）所以找條件歸結(jié)成兩句話：結(jié)成兩句話：已知中找，圖形中看已知中找，圖形中看. .平面幾何中常要說明角相等和線段相等，其說明常用方法：平面幾何中常要說明角相等和線段相等，其說明常用方法：角相等角相等對頂角相等；同角（或等角）的余角（或補對頂角相等；同角（或等角）的余角（或補角）相等；兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等；角角）相等；兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等；角平分線定義；等式性質(zhì)；全等三角形的對應(yīng)角相等平分線定義；等式性質(zhì)；全等三角形的對應(yīng)角相等. .線段相等的方法線段相等的方法中點定義；全等三角形的對應(yīng)邊相中點定義；全等三角形的

9、對應(yīng)邊相等；等式性質(zhì)等；等式性質(zhì). . 編輯pptczsxcomcn17如圖，在如圖，在ABC中，中，ABAC，AD平分平分BAC，求證：求證：ABD ACD 課堂練習課堂練習編輯pptczsxcomcn18 已知：如圖，已知：如圖，MANB，MCND，MN求證：求證：ABCD _NBMAM N MC ND (SAS） 全等三角形的對應(yīng)邊相等全等三角形的對應(yīng)邊相等 等量減等量差相等等量減等量差相等 AMC BNDAC=BDAC-BC=BD-BCAB=CD證明：在證明：在AMC和和BND中中課堂練習課堂練習利用今天所學利用今天所學“邊角邊邊角邊”知識，帶黑色的那塊因知識，帶黑色的那塊因為它完整地

10、保留了兩邊及其夾角，為它完整地保留了兩邊及其夾角，一個三角形兩條邊的長度和夾角的一個三角形兩條邊的長度和夾角的大小確定了，這個三角形的形狀、大小確定了，這個三角形的形狀、大小就確定下來了大小就確定下來了應(yīng)用應(yīng)用“SAS”判定方法，解決簡單實際問題判定方法，解決簡單實際問題問題問題2某同學不小心把一塊三角形的玻璃從兩個某同學不小心把一塊三角形的玻璃從兩個 頂點處打碎成兩塊（如圖），現(xiàn)要到玻璃店去配一塊完頂點處打碎成兩塊（如圖），現(xiàn)要到玻璃店去配一塊完 全一樣的玻璃請問如果只準帶一塊碎片，應(yīng)該帶哪一全一樣的玻璃請問如果只準帶一塊碎片，應(yīng)該帶哪一 塊去，能試著說明理由嗎？塊去，能試著說明理由嗎？編輯

11、pptczsxcomcn20問題問題: :如圖有一池塘。要測池塘兩端如圖有一池塘。要測池塘兩端A A、B B的距離，可無的距離，可無法直接達到，因此這兩點的距離無法直接量出。你能法直接達到，因此這兩點的距離無法直接量出。你能想出辦法來嗎？想出辦法來嗎？B例題講解，學會運用例題講解，學會運用編輯pptczsxcomcn21ABCED在平地上取一個可直接到達在平地上取一個可直接到達A A和和B B的點的點C C，連結(jié)連結(jié)ACAC并延長至并延長至D D使使CD=CACD=CA延長延長BCBC并延長至并延長至E E使使CE=CBCE=CB連結(jié)連結(jié)EDED，那么量出那么量出DEDE的長，就是的長，就是A

12、 A、B B的距離的距離. .你知道為什么嗎？你知道為什么嗎？例題講解，學會運用例題講解，學會運用按圖寫出按圖寫出“已知已知”“”“求證求證”，并加以，并加以證明證明已知：已知：AD與與BE交于點交于點C，CA=CD，CB=CE.求證：求證：AB=DE例題講解，學會運用例題講解，學會運用AC = = DC（已知），（已知），1 =2 （對頂角相等），（對頂角相等），BC = =EC（已知）（已知） ，證明：證明：在ABC 和DEC 中，ABCDE12ABC DEC（SAS）AB = =DE （全等三角形的對應(yīng)邊相等）（全等三角形的對應(yīng)邊相等）編輯pptczsxcomcn23F FA AB BD

13、 DC CE E例例2 2：點：點E E、F F在在ACAC上，上，AD/BCAD/BC，AD=CBAD=CB，AE=CFAE=CF 求證：求證：AFDAFDCEB CEB 分析分析：證三角形全等的三個條件證三角形全等的三個條件兩直線平行，兩直線平行，內(nèi)錯角相等內(nèi)錯角相等 A=CA=C邊邊 角角 邊邊AD / BCAD / BCAD = CBAD = CBAE = CFAE = CFAF = CEAF = CE？（已知）（已知）編輯pptczsxcomcn24證明：AD/BC A=C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又又AE=CF在在AFD和和CEB中中，AD=CBA=CAF

14、=CE AFDAFDCEBCEB（SASSAS）AE+EF=CF+EF即即 AF=CE 擺齊根據(jù)寫出結(jié)論F FA AB BD DC CE E指范圍準備條件(已知）已知）(已證）已證）(已證）已證）1 1、如圖，兩車從路段、如圖，兩車從路段ABAB的一端的一端A A出出發(fā)，分別向東，向西行進相同的距發(fā)，分別向東，向西行進相同的距離，到達離，到達C C、D D兩地，此時兩地，此時C C、D D到到B B的距離相等嗎？為什么？的距離相等嗎？為什么？ADCB編輯pptczsxcomcn261.1.已知：如圖，已知：如圖， AB=CB AB=CB ， ABD= CBD ABD= CBD ABD ABD

15、和和 CBD CBD 全等嗎？全等嗎？學以致用學以致用分析分析: ABD ABD CBD CBD邊邊:角角:邊邊:AB=CB(已知已知)ABD= CBD(ABD= CBD(已知已知) )？ABCD(SAS)BD=BD (公共邊）公共邊）證明：在證明：在 ABD 和和 CBD 中中 BA=BC（已知）（已知） ABD=CBD（已知）（已知） BD=BD(公共邊）公共邊） ABD CBD（SAS）追問：例追問：例1的已知條件不改變的已知條件不改變, 問問AD=CD嗎嗎? ?BD平分平分ADC嗎？嗎？ 編輯pptczsxcomcn27已知：如圖，已知：如圖， AB=CB AB=CB ， ABD= C

16、BD ABD= CBD 。問問AD=CDAD=CD， DB平分平分 ADC 嗎？嗎？例題例題推廣推廣ABCD編輯pptczsxcomcn28ABCD變式：變式： 已知已知:AD=CD:AD=CD， BD BD 平分平分 ADC ADC 。 問問A= C A= C 嗎？嗎？編輯pptczsxcomcn292.2.已知：如圖，已知：如圖， AO=BO AO=BO ，DO=CODO=CO求證：求證：ADCB歸納：歸納：判定兩條線段相等或二個角相等可以通判定兩條線段相等或二個角相等可以通過從它們所在的兩個三角形全等而得到過從它們所在的兩個三角形全等而得到。BDOAC已知：已知：AB=AD，CB=CD.

17、求證：求證：ACBD.分析：欲證ACBD，只需證AOB= AOD，這就要證明 ABO ADO，它已經(jīng)具備了兩個條件： AB=AD，OA=AO,所以只需證BAO= DAO，為了證明這一點，還需證明ABC ADC.證明：證明： 在在ABC 和和ADC中，中，AB = AD (已知），已知）， CB = CD（已知），（已知），AC = AC (公共邊）公共邊） ABC ADC（SSS），）， BAO = DAO (全等三角形的對應(yīng)角相等）全等三角形的對應(yīng)角相等）在在ABO 和和ADO中，中，AB = AD (已知），已知）， BAO = DAO (已證），已證），AO= AO (公共邊）公共邊）

18、ABO ADO（SAS），）， AOB = AOD (全等三角形的對應(yīng)角相等）全等三角形的對應(yīng)角相等） AOB = AOD= 90. ACBD(垂直定義）垂直定義）. 又又AOB + AOD =180(鄰補角定義）鄰補角定義）如右圖，如右圖，如圖，在如圖，在ABC 和和ABD 中，中， AB = =AB，AC = = AD，B = =B，但但ABC 和和ABD 不全等不全等探索探索“SSA”能否識別兩三角形全等能否識別兩三角形全等問題問題3 兩邊一角分別相等包括兩邊一角分別相等包括“兩邊夾角兩邊夾角”和和“兩邊及其中一邊的對角兩邊及其中一邊的對角”分別相等兩種情況，前面已分別相等兩種情況，前面

19、已探索出探索出“SAS”判定三角形全等的方法，那么由判定三角形全等的方法，那么由“SSA”的條件能判定兩個三角形全等嗎？的條件能判定兩個三角形全等嗎？A B C D 畫畫ABC 和和DEF，使，使B = =E = =30， AB = =DE= =5 cm ，AC = =DF = =3 cm 觀察所得的兩個三角形是否全觀察所得的兩個三角形是否全 等？等？ 兩邊和其中一邊的對角這三個條件無法唯一確定三兩邊和其中一邊的對角這三個條件無法唯一確定三角形的形狀，所以不能保證兩個三角形全等因此，角形的形狀，所以不能保證兩個三角形全等因此，ABC 和和DEF 不一定全等不一定全等探索探索“SSA”能否識別兩

20、三角形全等能否識別兩三角形全等編輯pptczsxcomcn33課堂練習課堂練習1 1、已知：如圖，、已知：如圖，ABAD，ACAE，112. 2. 求證：求證：ABCADE. .122、已知：如圖，、已知：如圖，AE是是ABC的中的中線，線，D是是 BC延長線上一點，且延長線上一點，且CDAB，BCABAC.求證：求證：AD2AE. ABCDE【點評點評】這里這里1和和2不是所證三角形中的角，不是所證三角形中的角，BAC和和DAE才是三角形的內(nèi)角才是三角形的內(nèi)角.所以須證所以須證BACDAE，才能滿足、三個條件，才能滿足、三個條件. 【分析分析】通過添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是通過添加輔助線，

21、構(gòu)造全等三角形是一種常用的思考方法一種常用的思考方法.若已知條件中有中線，若已知條件中有中線，常延長中線成兩倍關(guān)系，構(gòu)成全等三角形常延長中線成兩倍關(guān)系，構(gòu)成全等三角形. F證明題：證明題：3已知已知:如圖，如圖，ADBC，ADCB. 求證求證:ABCD. 【提示提示】連結(jié)連結(jié)AC， 由由 ABC CDA，故故 ABCD. 4已知已知: 如圖，如圖，12，BDCA. 求證求證:AD. 【提示提示】 先證先證ABC ADC求證求證:(1)AECF； (2)AECF； (3)AFECEF. 5已知已知: 如圖，如圖，B、F、E、D在一條直線上，在一條直線上， ABCD，BFED，BD. 【提示提示】

22、 先證先證ABE DCF6已知：如圖，已知：如圖，ABC為直線，為直線，EBAC， BDBC，ABBE. 求證：求證：AFEC. 【提示提示】求證求證ABD EBC， 得得AE， 因為因為ADBEDF， AADB90， 所以所以EEDF90， AFEC. 已知：如圖，點已知：如圖，點A A、B B、C C、D D在同一條直線上，在同一條直線上，AC=DBAC=DB，AE=DFAE=DF，EAADEAAD，F(xiàn)DADFDAD，垂足分別是，垂足分別是A A，D D。 求證：求證：EABEABFDCFDCA AE EB BC CD DF F90已知：如圖，已知：如圖，AB=ACAB=AC，AD=AEAD=AE，1=21=2，求證：求證：ABDABDACEACE證明：證明： 1=21=2， 1+ EAB = 2+ EAB1+ EAB = 2+ EAB 即即 DAB = EACDAB = EAC 在在ABDABD和和ACEACE中，中， AB = ACAB = AC DAB = EACDAB = EAC AD = AEAD = AE ABD