全國大學生數(shù)學競賽大綱（Word）

1、全國大學生數(shù)學競賽（非數(shù)學類）大綱一、函數(shù)、極限、連續(xù)1 函數(shù)的概念及表示法、簡單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系的建立.2 函數(shù)的性質(zhì)：有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性.3 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)、基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形、初等函數(shù).4 數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)、函數(shù)的左極限與右極限.5 無窮小和無窮大的概念及其關(guān)系、無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較.6 極限的四則運算、極限存在的單調(diào)有界準則和夾逼準則、兩個重要極限.7 函數(shù)的連續(xù)性（含左連續(xù)與右連續(xù)）、函數(shù)間斷點的類型.8 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性.9 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函數(shù)微

2、分學1. 導(dǎo)數(shù)和微分的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系、平面曲線的切線和法線.2. 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)和微分的四則運算、一階微分形式的不變性.3. 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法.4. 高階導(dǎo)數(shù)的概念、分段函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)、某些簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).5. 微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必達(LHospital)法則與求未定式極限.7. 函數(shù)的極值、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線(水平、鉛直和斜漸近線)、函數(shù)圖形的描繪.8. 函數(shù)最大值和最小值及其簡單應(yīng)用.9. 弧微分、曲率、曲

3、率半徑.三、一元函數(shù)積分學1. 原函數(shù)和不定積分的概念.2. 不定積分的基本性質(zhì)、基本積分公式.3. 定積分的概念和基本性質(zhì)、定積分中值定理、變上限定積分確定的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)、牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4. 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法.5. 有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分.6. 廣義積分.7. 定積分的應(yīng)用：平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力及函數(shù)的平均值四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等.2. 變量可分離的微分方程、齊次微分方

4、程、一階線性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.1 / 293. 可用簡單的變量代換求解的某些微分方程、可降階的高階微分方程： .4. 線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理.5. 二階常系數(shù)齊次線性微分方程、高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程.6. 簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積7. 歐拉(Euler)方程.8. 微分方程的簡單應(yīng)用五、向量代數(shù)和空間解析幾何1. 向量的概念、向量的線性運算、向量的數(shù)量積和向量積、向量的混合積.2. 兩向量垂直、平行的條件、兩向量的夾角.3. 向量的坐標表達式及其運算、單位向

5、量、方向數(shù)與方向余弦.4. 曲面方程和空間曲線方程的概念、平面方程、直線方程.5. 平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件、點到平面和點到直線的距離.6. 球面、母線平行于坐標軸的柱面、旋轉(zhuǎn)軸為坐標軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程、常用的二次曲面方程及其圖形.7. 空間曲線的參數(shù)方程和一般方程、空間曲線在坐標面上的投影曲線方程.六、多元函數(shù)微分學1. 多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義.2. 二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念、有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).3. 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分、全微分存在的必要條件和充分條件.4. 多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法.5. 二階偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)和梯度.6.

6、 空間曲線的切線和法平面、曲面的切平面和法線.7. 二元函數(shù)的二階泰勒公式.8. 多元函數(shù)極值和條件極值、拉格朗日乘數(shù)法、多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應(yīng)用.七、多元函數(shù)積分學1. 二重積分和三重積分的概念及性質(zhì)、二重積分的計算(直角坐標、極坐標)、三重積分的計算(直角坐標、柱面坐標、球面坐標).2. 兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計算、兩類曲線積分的關(guān)系.3. 格林(Green)公式、平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件、已知二元函數(shù)全微分求原函數(shù).4. 兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計算、兩類曲面積分的關(guān)系.5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及計算.6. 重積分

7、、曲線積分和曲面積分的應(yīng)用(平面圖形的面積、立體圖形的體積、曲面面積、弧長、質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、引力、功及流量等)八、無窮級數(shù)1. 常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級數(shù)的和、級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件.2. 幾何級數(shù)與p級數(shù)及其收斂性、正項級數(shù)收斂性的判別法、交錯級數(shù)與萊布尼茨(Leibniz)判別法.3. 任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂.4. 函數(shù)項級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念.5. 冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）、收斂域與和函數(shù).6. 冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導(dǎo)和逐項積分)、簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法.7. 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式.8. 函數(shù)的傅里葉(

8、Fourier)系數(shù)與傅里葉級數(shù)、狄利克雷(Dirichlei)定理、函數(shù)在-l，l上的傅里葉級數(shù)、函數(shù)在0,l上的正弦級數(shù)和余弦級數(shù)2009年 第一屆全國大學生高等數(shù)學競賽預(yù)賽試題及答案（非數(shù)學類）一、填空題（每小題5分，共20分）1計算_，其中區(qū)域由直線與兩坐標軸所圍成三角形區(qū)域.解 令，則， （*）令，則，2設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且滿足, 則_.解 令，則，,解得。因此3曲面平行平面的切平面方程是_.解 因平面的法向量為，而曲面在處的法向量為，故與平行，因此，由，知，即，又，于是曲面在處的切平面方程是，即曲面平行平面的切平面方程是。4設(shè)函數(shù)由方程確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且，則_.解法1 方程的兩

9、邊對求導(dǎo)，得即因，故，即，因此解法2 方程取對數(shù)，得 （1）方程（1）的兩邊對求導(dǎo)，得 （2）即 （3）方程（2）的兩邊對求導(dǎo)，得 （4）將（3）代入（4），得將左邊的第一項移到右邊，得因此二、（5分）求極限，其中是給定的正整數(shù).解法1 因故因此解法2 因故三、（15分）設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，為常數(shù)，求并討論在處的連續(xù)性.解 由和函數(shù)連續(xù)知，因，故，因此，當時，故當時，這表明在處連續(xù).四、（15分）已知平面區(qū)域，為的正向邊界，試證：（1）；（2）.證 因被積函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)在上連續(xù)，故由格林公式知（1）而關(guān)于和是對稱的，即知因此（2）因故由知即五、（10分）已知，是某二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三

10、個解，試求此微分方程.解 設(shè)，是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個解，則和都是二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解，因此的特征多項式是，而的特征多項式是因此二階常系數(shù)線性齊次微分方程為，由和，知，二階常系數(shù)線性非齊次微分方程為六、（10分）設(shè)拋物線過原點.當時,又已知該拋物線與軸及直線所圍圖形的面積為.試確定,使此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.解 因拋物線過原點，故，于是即而此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為即令，得即因此,.七、（15分）已知滿足, 且, 求函數(shù)項級數(shù)之和.解 ，即由一階線性非齊次微分方程公式知即因此由知，于是下面求級數(shù)的和：令則即由一階線性非齊次微分方程公式知令，得

11、，因此級數(shù)的和八、（10分）求時, 與等價的無窮大量.解 令，則因當，時，故在上嚴格單調(diào)減。因此即又，所以，當時, 與等價的無窮大量是。第二屆(2010年)全國大學生數(shù)學競賽預(yù)賽試卷及參考答案（非數(shù)學類）(150分鐘)一、（25分，每小題5分）（1）設(shè)其中求（2）求。（3）設(shè)，求。（4）設(shè)函數(shù)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求。（5）求直線與直線的距離。解：（1）=(2) 令x=1/t,則原式=（3）（4）略（不難，難得寫）（5）用參數(shù)方程求解。答案好像是二、（15分）設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，并且且存在一點，使得。證明：方程在恰有兩個實根。解：（簡要過程）二階導(dǎo)數(shù)為正，則一階導(dǎo)數(shù)單增，f(x)先減后增，因為f

12、(x)有小于0的值，所以只需在兩邊找兩大于0的值。將f(x)二階泰勒展開因為二階倒數(shù)大于0，所以，證明完成。三、（15分）設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，曲線與在出相切，求函數(shù)。解：（這兒少了一個條件）由與在出相切得，=。上式可以得到一個微分方程，求解即可。四、（15分）設(shè)證明：（1）當時，級數(shù)收斂；（2）當且時，級數(shù)發(fā)散。解：（1）>0, 單調(diào)遞增當收斂時，而收斂，所以收斂；當發(fā)散時，所以，而，收斂于k。所以，收斂。（2）所以發(fā)散，所以存在，使得于是，依此類推，可得存在使得成立所以當時，所以發(fā)散五、（15分）設(shè)是過原點、方向為，（其中的直線，均勻橢球，其中（密度為1）繞旋轉(zhuǎn)。

13、（1）求其轉(zhuǎn)動慣量；（2）求其轉(zhuǎn)動慣量關(guān)于方向的最大值和最小值。解：（1）橢球上一點P(x,y,z)到直線的距離由輪換對稱性，（2）當時，當時，六、(15分)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點的任意光滑的簡單閉曲線上，曲線積分的值為常數(shù)。（1）設(shè)為正向閉曲線證明（2）求函數(shù)；（3）設(shè)是圍繞原點的光滑簡單正向閉曲線，求。解：（1） L不繞原點，在L上取兩點A，B，將L分為兩段，再從A，B作一曲線，使之包圍原點。則有（2） 令由（1）知，代入可得上式將兩邊看做y的多項式，整理得由此可得解得：（3） 取為，方向為順時針（最后一步曲線積分略去，不知答案對不對）2011年 第三屆全國大學生高等數(shù)學競賽預(yù)賽

14、試題及答案（非數(shù)學類）一計算下列各題（本題共3小題，每小題各5分，共15分，要求寫出重要步驟。）（1）.求；解：方法一（用兩個重要極限）：方法二（取對數(shù)）：（2）.求；解：方法一（用歐拉公式）令其中，表示時的無窮小量，方法二（用定積分的定義）（3）已知，求。解：二（本題10分）求方程的通解。解：設(shè)，則是一個全微分方程，設(shè)方法一：由得由得方法二：該曲線積分與路徑無關(guān)三（本題15分）設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且均不為0，證明：存在唯一一組實數(shù)，使得。證明：由極限的存在性：即，又，由洛比達法則得由極限的存在性得即，又，再次使用洛比達法則得由得是齊次線性方程組的解設(shè)，則，增廣矩

15、陣，則所以，方程有唯一解，即存在唯一一組實數(shù)滿足題意，且。四（本題17分）設(shè)，其中，為與的交線，求橢球面在上各點的切平面到原點距離的最大值和最小值。解：設(shè)上任一點，令，則橢球面在上點M處的法向量為：在點M處的切平面為：原點到平面的距離為，令 則，現(xiàn)在求在條件，下的條件極值，令則由拉格朗日乘數(shù)法得：，解得或，對應(yīng)此時的或此時的或又因為，則所以，橢球面在上各點的切平面到原點距離的最大值和最小值分別為： ，五（本題16分）已知S是空間曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的橢球面的上半部分（）取上側(cè)，是S在點處的切平面，是原點到切平面的距離，表示S的正法向的方向余弦。計算：（1）；（2）解：（1）由題意得：橢球面S的方程為令則，切平面的法向量為，的方程為，原點到切平面的距離將一型曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分得：記(2)方法一： 方法二（將一型曲面積分轉(zhuǎn)化為二型）：記，取面向下，向外，由高斯公式得：，求該三重積分的方法很多，現(xiàn)給出如下幾種常見方法： 先一后二：先二后一：廣義極坐標代換：六（本題12分）設(shè)f(x)是在內(nèi)的可微函數(shù)，且，其中，任取實數(shù)，定義證明：絕對收斂。證明：由拉格朗日中值定理得：