關(guān)于生物節(jié)律的數(shù)學(xué)模型（Word）

1、關(guān)于生物節(jié)律的數(shù)學(xué)模型摘要：為了對(duì)人體的生命節(jié)律進(jìn)行有效的解釋，通過對(duì)人體生物鐘的分析，得到生命節(jié)律的變化的實(shí)質(zhì)就是生物鐘的變化，而人體生物鐘是在多個(gè)基因及蛋白的共同作用下進(jìn)行調(diào)節(jié)的，為了將生物鐘很好地運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)，本文采用系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程模型對(duì)生物鐘進(jìn)行解釋，其中，整個(gè)生命體就是系統(tǒng)，由于節(jié)律有振幅和頻率的變化，因此，本文對(duì)其兩種情況分別建立分叉判別模型和勞思赫爾維茨判據(jù)對(duì)其分析，同時(shí)本文還描述了當(dāng)振幅和頻率都發(fā)生變化的時(shí)候的處理方法，即將分叉判別模型和勞思赫爾維茨判據(jù)共同作用即可，為了很好的檢驗(yàn)本文所建立的模型的準(zhǔn)確性及實(shí)際運(yùn)用意義，本文通過對(duì)心肌細(xì)胞進(jìn)行分析處理，得到了心臟在用內(nèi)在

2、和外在的影響的情況下的振蕩圖形，與實(shí)際振蕩基本一致，從而驗(yàn)證了該模型的準(zhǔn)確性及實(shí)際意義。關(guān)鍵字：系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、分叉、勞思赫爾維茨判據(jù)、混沌 一、問題的重述自然界的生命體或者人工智能系統(tǒng)中，可以發(fā)現(xiàn)有許多周期或者近似周期節(jié)律的現(xiàn)象存在。這些周期節(jié)律的現(xiàn)象會(huì)根據(jù)自身內(nèi)部的反饋機(jī)制以及外界的刺激或者外界輸入的變化 而變化：(A)或者節(jié)律變快了，但是振幅變化不太大；(B)或者振幅變化很大，但是節(jié)律相對(duì)穩(wěn)定；(C)亦或者兩者都會(huì)有較大的變化。例如，正常人的心跳節(jié)律在有外界刺激時(shí)就會(huì)有(A)類現(xiàn)象的出現(xiàn)；正常人和病人的體溫晝夜變化又會(huì)有(B) 類現(xiàn)象的出現(xiàn)。問：（1）請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)若干數(shù)學(xué)模型，以便能夠充分反映上述

3、描述的這些節(jié)律現(xiàn)象，并解釋模型產(chǎn)生這些現(xiàn)象的機(jī)制。（2）考慮將設(shè)計(jì)的模型具體運(yùn)用于某一個(gè)具有實(shí)際背景的系統(tǒng)中，并評(píng)價(jià)模型的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。二、模型假設(shè)1 / 15三、符號(hào)說明表示Michaelis常數(shù)表示各部分的最大速率定義：小寫（或reverb）、（或bmall）、（或clock）、表示相應(yīng)基因，而大寫的上述字母則表示相應(yīng)蛋白表示CLOCK蛋白與BMALL蛋白的異二聚體四、問題分析生物節(jié)律現(xiàn)象的各種變化，根本上是由生物鐘決定的。生物鐘是指激發(fā)生物體內(nèi)的生物節(jié)律并使之穩(wěn)定維持的內(nèi)部定時(shí)機(jī)制。生命科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，生物鐘是多種多樣的，就人體而言，已發(fā)現(xiàn)一百多種。人體的生理指標(biāo)，如體溫、血壓、脈搏；人的體力

4、、情緒、智力和婦女的月經(jīng)周期；體內(nèi)的信號(hào)，如腦電波、心電波、經(jīng)絡(luò)電位、體電磁場的變化等等，都會(huì)隨著晝夜變化作各種周期性變化。生物鐘主要是由生物體內(nèi)的一種被稱作時(shí)鐘基因的細(xì)胞核或細(xì)胞質(zhì)決定的。生物鐘基因普遍存在于生物體內(nèi)，起著調(diào)控機(jī)體生命活動(dòng)和近日節(jié)律運(yùn)轉(zhuǎn)的作用，它們及其編碼的蛋白質(zhì)產(chǎn)物構(gòu)成的自主調(diào)控的轉(zhuǎn)錄和翻譯負(fù)反饋環(huán)是生物鐘運(yùn)轉(zhuǎn)的分子機(jī)制。在生物體內(nèi)，存在著不止一個(gè)時(shí)鐘基因，同時(shí)還存在著大量對(duì)生物體的時(shí)鐘基因有影響的基因，時(shí)鐘基因之間相互耦合或彼此之間相互影響會(huì)同時(shí)對(duì)生物節(jié)律變化起作用。由于生物體內(nèi)的生物鐘存在對(duì)光或其他外界噪聲、濕度以及溫度等的敏感性，所以生物體的時(shí)鐘基因與外界環(huán)境存在著一

5、定的關(guān)系。總而言之，生物節(jié)律是系統(tǒng)作用的結(jié)果。從系統(tǒng)科學(xué)的觀點(diǎn)考慮，它是一個(gè)負(fù)反饋控制的系統(tǒng)。因此，可以運(yùn)用系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的有關(guān)方法建立數(shù)學(xué)模型，以反映題目所描述的節(jié)律現(xiàn)象。（意義？）對(duì)于一般的生化系統(tǒng)來說，都存在著一個(gè)穩(wěn)定態(tài)。本文要判斷一個(gè)系統(tǒng)是否處于穩(wěn)定狀態(tài)，必須得進(jìn)行穩(wěn)定性分析。通過對(duì)該生命節(jié)律模型的穩(wěn)定性分析，本文可以得到該系統(tǒng)的穩(wěn)定態(tài)標(biāo)準(zhǔn)。系統(tǒng)的震蕩性是生物節(jié)律發(fā)生變化的基礎(chǔ)。要產(chǎn)生穩(wěn)定性震蕩，首先得滿足兩個(gè)條件：1.系統(tǒng)具有自我增加的元素，2系統(tǒng)是具有負(fù)反饋的部分相關(guān)臨界值則反映了生命節(jié)律的穩(wěn)定態(tài)和周期震蕩，通過求出相關(guān)臨界值，可以判斷生命節(jié)律變化處于何種狀態(tài)。五、模型建立生物節(jié)律的起

6、始點(diǎn)是一種“轉(zhuǎn)錄翻譯抑轉(zhuǎn)錄”機(jī)制構(gòu)成的反饋環(huán)。反饋環(huán)的正性因素通過PAS結(jié)構(gòu)域相互配對(duì)，結(jié)合于生物鐘基因上游的啟動(dòng)子上，啟動(dòng)基因轉(zhuǎn)錄，進(jìn)而翻譯產(chǎn)生生物鐘蛋白，參與生物鐘現(xiàn)象。而生物鐘蛋白同時(shí)作為負(fù)性因素，進(jìn)人細(xì)胞核通過與正性因素結(jié)合而抑制生物鐘基因啟動(dòng)子的活化，使mRNA水平下降，最終蛋白自身減少，反饋抑制作用逐漸減弱，完成一個(gè)循環(huán)。各生物鐘基因相互作用機(jī)制如下圖所示：per2crieclockper1cry2cry1PER1CRY2PER2CRY1CRIECLOCKBMALLREVBRBreverbbmall生物鐘基因轉(zhuǎn)錄因子主要反饋環(huán)示意圖注：-表示負(fù)反饋，+表示正反饋， 表示自身震蕩 生

7、物鐘是由依賴于CLOCKBMALL等蛋白因子的正反饋環(huán)和依賴于CRY(隱色素)等蛋白因子的負(fù)反饋環(huán)共同維持的有機(jī)系統(tǒng)。CLOCK基因生物鐘的組織中起著中心作用，Bmall是Clock基因的分子伴侶，二者的相應(yīng)蛋白相互作用形成二聚體，激活Perl，Per2，Per3，Cryl和Cry2基因的轉(zhuǎn)錄。PER1，PER2，PER3，CRY1和CRY2蛋白相互作用形成二聚體或三聚合物，將PEP1、PER2等蛋白進(jìn)入細(xì)胞核。CRY蛋白自身可以獨(dú)立進(jìn)入細(xì)胞核內(nèi)，進(jìn)行反饋?zhàn)饔谩Ｔ诩?xì)胞核內(nèi)CRY1和CRY2蛋白阻止CLOCKBMAL1復(fù)合體形成，從而抑制PER和CRY蛋白的轉(zhuǎn)錄。Rev-erb Alpha可以抑

8、制BmMI表達(dá)，但對(duì)CLOCK表達(dá)無作用（圖中虛線所示）。 上述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：六、模型求解首先定義系統(tǒng)右側(cè)為零，即：顯然，不是以上方程的解首先，我們先討論生物節(jié)律振幅變化的問題。以下是對(duì)上述方程組的另外表示令 所以對(duì)以上方程求解后可得：將上述方程線性系統(tǒng)化后可得其系數(shù)的雅各比矩陣為：令，所以上式轉(zhuǎn)化為： （式*）進(jìn)而可以推出，。令,根據(jù)可知：又因?yàn)椋海陨鲜睫D(zhuǎn)化為：（式#）進(jìn)而解出，如果系統(tǒng)存在分叉，則它的實(shí)部為：（其中k為整數(shù)）。當(dāng)k=0時(shí)，有。令，如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則必須滿足條件，又根據(jù)式*和式#可以得到：因此，如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，則必須滿足，即因?yàn)?，所以，即只有?dāng)時(shí)，系統(tǒng)才會(huì)出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象

9、。我們以為標(biāo)量，振幅A作為主要觀察對(duì)象，用進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真可得如下分叉圖： 從該分叉圖可以看出，振幅A隨標(biāo)量的變化情況。當(dāng)<0.7時(shí)，振幅A與標(biāo)量無實(shí)際生理意義。當(dāng)0.7<<1.25時(shí)，表示系統(tǒng)在振幅A較為穩(wěn)定的情況下進(jìn)行變化。當(dāng)>1.25時(shí)，可以看到系統(tǒng)出現(xiàn)了分叉，進(jìn)入周期震蕩狀態(tài)。而>1.42時(shí)，系統(tǒng)將處于混沌狀態(tài)，僅在在在較窄區(qū)間內(nèi)，有一個(gè)穩(wěn)定性節(jié)律的突變。下面我們?cè)賮碛懻撓到y(tǒng)頻率變化問題。又由可知：，即即，其中， 由上式可得矩陣根據(jù)勞思赫爾維茨判據(jù)，可知系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件為>0。顯然，的值全部都是大于的，只有的值不定，因?yàn)槔锩婧袇?shù)變量。只有當(dāng)?shù)闹狄?/p>

10、是大于的時(shí)候，該系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。所以要使該系統(tǒng)穩(wěn)定，則須將相應(yīng)的參數(shù)變量帶入式后，使的值為正即可。 我們用進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真可得如下分叉圖： 從上圖不難看出，當(dāng)<0時(shí)，頻率f將處于密集的點(diǎn)分布，表示系統(tǒng)在頻率變化上處于震蕩狀態(tài)，當(dāng)密集程度達(dá)到一定程度時(shí)，系統(tǒng)將處于混沌狀態(tài)。而>0時(shí)，系統(tǒng)則處于穩(wěn)定狀態(tài)。在實(shí)際中，本文通過對(duì)心肌細(xì)胞的各參數(shù)的尋找來檢驗(yàn)該模型。通過對(duì)振幅和頻率的共同考察，來觀察心肌細(xì)胞生理節(jié)律的變化情況。心肌細(xì)胞中個(gè)參數(shù)無量綱化后的值KrevKREVKbmaKcloKPER10.97970.87570.6240.7840.84848KPER2KCRIEKCRY1KCRY2

11、0.696970.4710.5690.283K1K2K3K4K50.30930.8385-0.068-0.1627-0.5947K6K7K8K9K10-0.9607-0.241-0.182-0.71030.5681K11K12K13K14K150.37040.70270.54660.44490.6946K16K17K18K19K200.62130.79480.95680.52260.8801K21K22K23K24K25-0.6216-0.14-0.1463-0.4064-0.5034V1V2V3V4V529.156547.45327.413398.845258.6964V6V7V8V9V1042.926152.035734.061243.857823.369V11V12V13V14V1558.400976.276153.452564.412121.6979V21V22V23V24V2538.60278.549568.403746.648457.215心肌細(xì)胞中的各變量無量綱化的值 CB REV rev PER1 per1 9.71149.90187.90974.44275.0333PER2 per2 CRIE crie CRY1 2.21826.47063.26849.6057.2937cry1 CRY2 cry2 bma c