2018年高考秘籍－破解導(dǎo)數(shù)壓軸題策略：5導(dǎo)數(shù)不等式的證明－多元不等式策略（2）

1、導(dǎo)數(shù)中的不等式證明【考點(diǎn)點(diǎn)睛】放縮法證明不等式在歷年高考數(shù)學(xué)中是永恒的話題，但它?？汲Ｐ拢瑢W(xué)生卻?？汲Ｅ隆２坏仁降膽?yīng)用體現(xiàn)了一定的綜合性，靈活多樣性，多出現(xiàn)在壓軸題的位置。數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)是應(yīng)用的廣泛性、理論的抽象性和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，而不等關(guān)系是深刻體現(xiàn)數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)。盡管如此，只要我們深入去探索，總有方法規(guī)律可循，總會(huì)有“撥得云開見日出”的時(shí)刻！ 放縮法的合理運(yùn)用，往往能起到事半功倍的效果，有時(shí)能令人拍案叫絕；但其缺點(diǎn)也是顯而易見，如果使用放縮法證題時(shí)沒有注意放和縮的“度”，容易造成不能同向傳遞，即放縮時(shí)必須時(shí)刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及，所以要熟練地駕馭它是件不容易的事。

2、命題角度1 構(gòu)造函數(shù)命題角度2 放縮法命題角度3 切線法命題角度4 二元或多元不等式的證明思路命題角度5 函數(shù)凹凸性的應(yīng)用在求解過程中，力求“腦中有形，心中有數(shù)”.依托端點(diǎn)效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合，尋找臨界.命題角度4 二元或多元不等式的解證思路【典例7】（2018年安慶市二模）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)分別是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.【解析】（1）；（2），因?yàn)榉謩e是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以， 找到結(jié)構(gòu)對(duì)等式兩式相減，得， 含時(shí)兩式相減，含時(shí)兩式相比，要證明，只需證. 運(yùn)用分析法，將待證式變形思路一：因?yàn)?，只需證.令，即證. 運(yùn)用換元法，構(gòu)造函數(shù)令，則，所以函

3、數(shù)在上單調(diào)遞減，即證.由上述分析可知.【規(guī)律總結(jié)】這是極值點(diǎn)偏移問題，此類問題往往利用換元把轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，常把的關(guān)系變形為齊次式，設(shè)等，構(gòu)造函數(shù)來解決，可稱之為構(gòu)造比較函數(shù)法.思路二：因?yàn)?，只需證，設(shè)，則 變多元為一元，構(gòu)造函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，即證.由上述分析可知.【規(guī)律總結(jié)】極值點(diǎn)偏移問題中，由于兩個(gè)變量的地位相同，將待證不等式進(jìn)行變形，可以構(gòu)造關(guān)于（或）的一元函數(shù)來處理應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，并借助于單調(diào)性，達(dá)到待證不等式的證明此乃主元法.思路三：要證明，只需證.即證，由對(duì)數(shù)平均數(shù)易得. 【規(guī)律總結(jié)】極值點(diǎn)偏移問題中，如果等式含有參數(shù)，則消參，有指數(shù)的則兩邊取對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式，通過

4、恒等變換轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)平均問題，利用對(duì)數(shù)平均不等式求解，此乃對(duì)數(shù)平均法.【知識(shí)拓展】對(duì)于，則，其中稱之為對(duì)數(shù)平均數(shù).簡證如下：不妨設(shè)，只需證明即可，即（下略）.【典例8】（A10聯(lián)盟2018年高考最后一卷）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)是函數(shù)兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，證明：.【解析】（1）因?yàn)?，所以，即，設(shè)，則， 變量分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)性質(zhì)的研究所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，要使方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則，解得，故的取值范圍是；【一題多解】本題也可以變形為，轉(zhuǎn)化為過原點(diǎn)的直線與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)問題，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想求解，直線與曲線相

5、切對(duì)應(yīng)所求范圍的界點(diǎn).（2）由題意，因?yàn)槭呛瘮?shù)兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，不妨設(shè)，即，兩式相減得. 剖析結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活變形要證，即證明， 分析法是證明問題的重要方法只需證，即，亦即.令，只需證當(dāng)時(shí)，不等式恒成立， 設(shè)，則 靈活換元，構(gòu)造函數(shù)，易證，所以，所以在上單調(diào)遞減，即.綜上所述，成立.【審題點(diǎn)津】函數(shù)的拐點(diǎn)偏移問題的證明思路可以根據(jù)類似的結(jié)構(gòu)特征，適當(dāng)變形為兩個(gè)變量之差（或比值）的關(guān)系，整體換元，構(gòu)造函數(shù)，借助于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解決問題.【典例9】（2018屆合肥三模）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn) (為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：.解析：（1）由于，則，設(shè)，則.令，解得.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.1所以.當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，則，所以函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是；【答案速得】函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)實(shí)質(zhì)上就是其導(dǎo)數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，亦即函數(shù)與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，顯然實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知，為的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，在上單調(diào)遞減.下面先證，只需證. 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，挖掘拐點(diǎn)不等關(guān)系由于，得，所以.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以.由于函數(shù)在上也單調(diào)遞減，所以.要證，只需證，即證. 利用單調(diào)性放縮，化多元為一元設(shè)函數(shù)，則.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，即.所以在上單調(diào)遞增，.故當(dāng)時(shí)，則，1所以，亦即.【規(guī)律總結(jié)