不等式證明19個(gè)典型例題

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案不等式證明19個(gè)典型例題典型例題一例 1 若 0 <x <1 ,證明 log a (1 _ x) > log a(1 十x) ( a > 0 且 a #1 ).分析1用作差法來(lái)證明.需分為 a >1和0 < a <1兩種情況，去掉絕對(duì)值符號(hào) 比較法證明.解法1 (1)當(dāng)a >1時(shí)，因?yàn)?0 <1 _x <1 ,1 + x >1 ,所以 log (1 _x) - log (1 +x) aa-log a (1 -x) - log a(1 - x)= _log a(1 _x2) >0 .(2)當(dāng) 0 <a c1

2、 時(shí)，因?yàn)?0 ：； 1 -x ； 1 ,1 x . 1所以 log a (1 x) - log a (1 + x)=log a (1 - x ) log a(1 - x) aa2、= log a (1 x ) >0 .綜合(1) (2)知 log (1 -x) > log (1 + x). aa分析2直接作差，然后用對(duì)數(shù)的性質(zhì)來(lái)去絕對(duì)值符號(hào).解法2作差比較法.因?yàn)?log a(1 -x) - log a (1 +x)lg( 1 -x)lg alg( 1+x)lg a1gl-lg( 1-x)- lg( 1 +x)Llg(1 x) lg( 1 - x) j-1lg a2lg( 1 -

3、x ) >0 ,所以 log a（1 _x）| > log a （1 +x）.說(shuō)明：解法一用分類相當(dāng)于增設(shè)了已知條件，便于在變形中脫去絕對(duì)值符號(hào)；解法二 用對(duì)數(shù)性質(zhì)（換底公式）也能達(dá)到同樣的目的，且不必分而治之，其解法自然簡(jiǎn)捷、明快.典型例題二例 2 設(shè) a >b >0 ,求證：aabb >abba.分析：發(fā)現(xiàn)作差后變形、判斷符號(hào)較為困難.考慮到兩邊都是正數(shù)，可以作商，判斷比 值與1的大小關(guān)系，從而證明不等式.a ba ba b b a a a b證明：=a - b - =（） -b aa bbaa > b >0 , . >1,a b >

4、0.ba bb文檔說(shuō)明：本題考查不等式的證明方法一一比較法（作商比較法）.作商比較法證明不等式的步驟是：判斷符號(hào)、作商、變形、判斷與 1的大小.典型例題三44a - b a - b “例3對(duì)于任息頭數(shù) a、b ,求證>（）（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取等號(hào)）22分析 這個(gè)題若使用比較法來(lái)證明， 將會(huì)很麻煩，因?yàn)椋C明的不等式中有（讓b）4 ,2展開后很復(fù)雜。若使用綜合法，從重要不等式：a2 +b2 2 2ab出發(fā)，再恰當(dāng)?shù)乩貌坏仁降挠嘘P(guān)性質(zhì)及“配方”的技巧可得到證明。證明： a2 +b2之2ab （當(dāng)且僅當(dāng)a2 =b2時(shí)取等號(hào)）兩邊同加（a4 +b4）:2（a4 +b4） > （a

5、2 +b2）24422即:(1)a - b a . b 2()22又：: a2 +b2 >2ab （當(dāng)且僅當(dāng)a =b時(shí)取等號(hào)）兩邊同加(a2 - b2) : 2(a2 - b2 ) _ (a - b)222a -b a +b 2 () 2222a -b 2 a -b 4 () >()(2)2244a 一ba ：b 4由(1)和(2)可得>()(當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取等號(hào)).22說(shuō)明：此題參考用綜合法證明不等式.綜合法證明不等式主要是應(yīng)用均值不等式來(lái)證明,要注意均值不等式的變形應(yīng)用，一般式子中出現(xiàn)有平方和乘積形式后可以考慮用綜合法來(lái) 解.典型例題四111例 4 已知 a、b、c

6、 R , a+b +c=1,求證一+ + 之9. a b c111分析 顯然這個(gè)題用比較法ZE不勿證出的。右把 11通分，則會(huì)把不等式變得較a b c復(fù)雜而不易得到證明.由于右邊是一個(gè)常數(shù)，故可考慮把左邊的式子變?yōu)榫哂小暗箶?shù)”特征b a的形式，比如一+一,再利用“均值定理”就有可能找到正確的證明途徑，這也常稱為“湊 a b倒數(shù)”的技巧.證明：: a +b +c =1111 a-b-c a-b-cH Ha b c abbcacab二（1 - 一 一）一（一 - 1 - ） 一 （一 - 1） aabbccbacacb= 3- （一 一）-（一 ）一（1.一） abacbcc acb+ >2

7、 ,十>2 。a cbc111-1 - - - -3222 = 9.a b c說(shuō)明：此題考查了變形應(yīng)用綜合法證明不等式.題目中用到了 “湊倒數(shù)” ，這種技巧在 很多不等式證明中都可應(yīng)用， 但有時(shí)要首先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形， 以期達(dá)到可以“湊倒數(shù)” 的目的.典型例題五111例 5 已知 a > b >c ,求證：11> 0.a _.b b _c c .a分析：此題直接入手不容易， 考慮用分析法來(lái)證明，由于分析法的過(guò)程可以用綜合法來(lái)書寫，所以此題用兩種方法來(lái)書寫證明過(guò)程.證明一：（分析法書寫過(guò)程），一一 111為了證明+ > 0a - b b - c c - a111

8、只需要證明 1+ 1>1a - b b - c a - c1/ a . b . c .a _ c . a _ b , 0, b _ c , 0111A, >0a ba c b x11.+> 成立b - c a - c11一+>0成立a - b證明二：b - c c - a（綜合法書寫過(guò)程）/ a > b > c a c > a b > 0, b c >0>01 1. -> a b a c成立2 1 a - b b c a c3 11. . + +>0 成立a - b b c c a說(shuō)明：學(xué)會(huì)分析法入手，綜合法書寫證明過(guò)程，

9、但有時(shí)這兩種方法經(jīng)?；煸谝黄饝?yīng)用, 混合應(yīng)用時(shí)，應(yīng)用語(yǔ)言敘述清楚.典型例題六例 6 若 aA0,bA0,且 2c>a+b,求證:c - c2 -ab :二 a :二 c - - c2 -ab .分析這個(gè)不等式從形式上不易看出其規(guī)律性，與我們掌握的定理和重要的結(jié)論也沒(méi)有 什么直接的聯(lián)系，所以可以采用分析的方法來(lái)尋找證明途徑.但用“分析”法證不等式，要 有嚴(yán)格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分條件，直到推出的條件是明顯成立的（已知條件或某些定理等）.證明： 為要證 c lc 2 ab < a <c +4c? a b .-cf c -a b <a -c <Jc -a

10、 b ,即證 a _c < Jc_ab ,也就是(a c)2 <c2 _ab,即證 a 2 _2ac < _ab ,即證 2 ac > a (a +b ),a -.-b-c 2a >0,2c >a +b,b >0 ,> Vab ,故 c > a b 即有 c ab >0 ,又 由2ca+b可得2aca（a+b）成立,所求不等式c "x/c a b a a m c + c/c a b 戈.說(shuō)明：此題考查了用分析法證明不等式. 在題目中分析法和綜合法是綜合運(yùn)用的，要注意在書寫時(shí)，分析法的書寫過(guò)程應(yīng)該是：“欲證需證”，綜合法的書寫

11、過(guò)程是：“因?yàn)椋?）所以（.）”，即使在一個(gè)題目中是邊分析邊說(shuō)明也應(yīng)該注意不要弄混.典型例題七例 7 若 a3 +b3 =2 ,求證 a +b <2 .分析：本題結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更簡(jiǎn)、宜用反證法.證法 ':假設(shè) a +b>2 ,則 a，+b，=(a+b)(a? ab + b 2 ) > 2(a 2 ab +b?),3322而 a +b =2 ,故(a -ab +b ) <1 . 22.1+aba +b 至2ab.從而 ab <1 ,4 2,一 a + b <1 + ab < 2 .222一(a +b ) =a +b +2ab <

12、2 +2ab <4 . a +b <2 .這與假設(shè)矛盾，故a +b <2 .證法二：彳矍設(shè) a+bA2,則a>2-b,333322故 2 =a +b >(2 -b) +b ，即 2 >8 -12 b +6b ,即(b -1) <0 ,這不可能.從而a +b <2 .證法三：假設(shè) a +b>2 ,貝f (a +b)3 =a3 + b 3 + 3 ab ( a +b)>8.實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案由 a3 +b3 =2 ,得 3ab (a +b) >6 ,故 ab (a +b) >2 .又 a3 +b3 =(a +b)( a 2 _ab

13、+b2)=2 ,.22ab (a +b ) >(a +b)(a ab +b ). a 2 _ab +b 2 <ab ,即(a _b ) 2 <0 .這不可能，故a +b <2 .說(shuō)明：本題三種方法均采用反證法，有的推至與已知矛盾，有的推至與已知事實(shí)矛盾.一般說(shuō)來(lái)，結(jié)論中出現(xiàn)“至少”“至多” “唯一”等字句，或結(jié)論以否定語(yǔ)句出現(xiàn)，或結(jié)論肯定“過(guò)頭”時(shí)，都可以考慮用反證法.典型例題八例8設(shè)X、y為正數(shù)，求證/+y2 >,x3 +y3 .分析：用綜合法證明比較困難，可試用分析法.證明：要證 jx2 十 y2 A3J；X3 +y3 ,只需證(x2 + y 2 )3 >

14、;(x3 + y3 )2 ,6422466336即證 x +3x y +3x y +y > x +2x y +y ,化簡(jiǎn)得 3x4 y 2 +3x 2 y 4 >2x3y3, x 2 y 2 (3 x 2 - 2 xy +3 y 2 ) >0 .A =4y2 _4 M3 M3y 2 <0 , 22 3x 2 xy +3 y >0 ,2 2 _ 2_ 2一 . x y (3x-2xy +3y ) >0 .，原不等式成立.說(shuō)明：1.本題證明易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤證法：，x2+y2之y , Vx3 +y3 >V2x-y-,然后分(1) x > y >1

15、; (2) x <y <1 ; (3) x >1 且 0 < y <1 ； (4) y >1 且 0 <x 父1 來(lái)討論，結(jié)果 無(wú)效.2.用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題，要求相鄰兩步的關(guān)系是AU B ,前一步是后一步的必要條件，后一步是前一步的充分條件，當(dāng)然相互為充要條件也可以.典型例題九例 9 已知 1 <x2 + y2 <2 ,求證Ex2 xy + y2 <3分析：聯(lián)想三角函數(shù)知識(shí)，進(jìn)行三角換元，然后利用三角函數(shù)的值域進(jìn)行證明.證明：從條件看，可用三角代換，但需要引入半徑參數(shù)r .2. 1 ：: x，可設(shè)x二 r cos二r sin日，其中

16、 1 mwJ2, 0 <e<2n.2 , ,1sin 0cos B=r (1 _ sin 2 0).2由1 <121 sin22< r (1行12而_r2一 xy+ y2 <3 .說(shuō)明:1.三角代換是最常見的變量代換,當(dāng)條件為222222x +y =r 或 x +y < r 或文檔22、+J=1時(shí)，均可用三角代換.2.用換元法一定要注意新元的范圍，否則所證不等式的 2-2a b變量和取值的變化會(huì)影響其結(jié)果的正確性.典型例題十1111例10設(shè)n是正整數(shù)，求證 1<十+<1 2 - n +1 n - 22 n '111分析：要求一個(gè)n項(xiàng)分式

17、+ +一的范圍，它的和又求不出來(lái)， 可以采用n，1 n，22 n“化整為零”的方法，觀察每一項(xiàng)的范圍，再求整體的范圍.、r ,2111證明：由 2n 2n +k >n (k =1,2,，n),得一 <<2 n n k n當(dāng)k =1時(shí),111一 <<-；2 n n I n當(dāng)k =2時(shí),當(dāng)k =n時(shí),111M <.2 n n - n n二1說(shuō)明：1、用放縮法證明不等式，放縮要適應(yīng)，否則會(huì)走入困境.例如證明1117.111二 十一7 十。十一2-一.由 二- <-一,如果從第 3項(xiàng)開始放縮，正好可證明；如果從12n 4 k k -1 k 第2項(xiàng)放縮，可得小于

18、 2.當(dāng)放縮方式不同，結(jié)果也在變化.2、放縮法一般包括：用縮小分母，擴(kuò)大分子，分式值增大；縮小分子，擴(kuò)大分母，分式值 縮小；全量不少于部分；每一次縮小其和變小，但需大于所求，第一次擴(kuò)大其和變大，但需 小于所求，即不能放縮不夠或放縮過(guò)頭，同時(shí)放縮后便于求和.典型例題旺例1122(a _ b ) a +b (a _ b)已知a >b >0 ,求證： 工_4'ab 工分析: 證明較好.8 a欲證不等式看起來(lái)較為“復(fù)雜”8b,宜將它化為較“簡(jiǎn)單”的形式，因而用分析法證明:只須證22欲證(a -b) :：. a b _ ab (a b) 8a2'8b22(a -b) (a -

19、.b)<a +b _2 Jab <.4a4b即要證即要證a .ba .b即要證即要證：二2 :二即要證b. a1 +<2 <、+1 ,即> abb- -1 ：:a即要證:1 :-*)a >b >0 ,( *)顯然成立,2(a _b) a - b故：:8a2(a - b) 2ab :說(shuō)明：分析法證明不等式，證一一只要證一一即證一一已知”8b實(shí)質(zhì)上是尋求結(jié)論成立的一個(gè)充分條件. 的格式.分析法通常采用“欲典型例題十二888233,求證： x - y . z 二 x y z而右邊卻結(jié)合在一起,分析：注意到不等式左邊各字母在項(xiàng)中的分布處于分離狀態(tài),而要尋求個(gè)熟

20、知的不等式具有這種轉(zhuǎn)換功能（保持兩邊項(xiàng)數(shù)相同）， (a 一b)2十(b -c)2+(c-a)2 >0，易得a 2 +b2+c2 >ab +bc +ca ,此式的外形特征符合要求, 因此，我們用如下的結(jié)合法證明.888424242證明：x +y +z =(x) +(y) +(z)22222 2222二(x y ) (y z ) (z x )2222222222:x y .y z - y z z x - z x=(xy z) (yz x) (zx y)_ xy z .yz x - yz x .zx y - zx y22.x y2.xy z233233233=x y z +y z x +

21、z x y888233233233x +y +z >x y z +y z x +z x y .說(shuō)明：分析時(shí)也可以認(rèn)為是連續(xù)應(yīng)用基本不等式a4A + 一 + 一 +b222ab而得到的.左右兩邊都是三項(xiàng)，實(shí)質(zhì)上是a2 b2+c2 >ab +bc +ca公式的連續(xù)使用.如果原題限定x , y,z w R +,則不等式可作如下變形：x88833 3 1ff>3. (1 一a)b ,-.：(1 -b )c - . (1 -c) a ''21jy -z _xyz(_)xyz5進(jìn)一步可彳#到：一工y333- x z x y x y z z355y z 111因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)思路還

22、要有一個(gè)轉(zhuǎn)化顯然其證明過(guò)程仍然可套用原題的思路，但比原題要難,的過(guò)程.典型例題十三例 13 已知 0 <a <1 , 0 <b <1 , 0 <c <1 ,求證：在(1 _a)b,(1 _b)c,(1 _c)a 三數(shù)中，1不可能都大于-.4分析：此命題的形式為否定式，宜采用反證法證明.假設(shè)命題不成立，則1(1 -a)b,(1 b)c,(1 c)a三數(shù)都大于 ，從這個(gè)結(jié)論出發(fā)，進(jìn)一步去導(dǎo)出矛盾.41證明： 假設(shè)(1 _a)b , (1 _b)c, (1 _c)a二數(shù)都大于 一， 4(1 -b )c >- , (1 -c)a >.又< 0 &l

23、t;a <1 , 0 <b <1 , 0 <c <1 ,111:- v (1 -a)b > , 4(1 -b) c > , (J (1 -c) a '2'2'i . .1 -a -b 1 _ b，c 1 _c -a乂 ；(1 _a)b < , J(1 b)c < , v(1 c)a <.222以上三式相加，即得：J(1 _a) b + 3(1 b) ,c +，(1 _c) .a <-3顯然與相矛盾，假設(shè)不成立，故命題獲證.說(shuō)明：一般情況下，如果命題中有“至多”、“至少”、“都”等字樣，通常情況下要用反 證

24、法，反證法的關(guān)鍵在于“歸謬”，同時(shí)，在反證法的證明過(guò)程中，也貫穿了分析法和綜合 法的解題思想.典型例題十四a a b b ''a + b + c 一 ；、例14 已知a、b、c都是正數(shù)，求證： 2 - a' ab |< 3 _ J abc .< 2333)分析：用分析法去找一找證題的突破口.要證原不等式，只需證 2而£©BOQ ,即只需證c +2十a(chǎn)b >3''abc .把2“'ab變?yōu)?lt;ab +Jab，問(wèn)題就解決了.或有分析法的途徑， 也很容易用綜合法的形式寫出證明過(guò)程.證法要1E 2 高<3

25、'三匕.嬴< 2)3 <3)只需證 a +b 2 yab a a +b +c 3?abc ,即2 Jab <c 3 V abc ,移項(xiàng)，得 c + 2 Jab >3Vabc .由 a、b、c 為正數(shù)，得 c +2 Jab =c ab ab > 33/abc .，原不等式成立.證法二：.a、b、c為正數(shù)，, c +Jab ab 23tpe Jabab =33/abc .即 c +2 Jab >33Jabc ,故 2 Jab <c _33/abc ., a +b 2 Jab < a +b +c 3-abc ,、，一 一，”,一 a -b a

26、-b -c 說(shuō)明：題中給出的 不一，Jab , -一，七abc ,只因?yàn)閍、b、c都是正數(shù)，形 式同算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理一樣，不加分析就用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理來(lái)求 證，問(wèn)題就不好解決了.原不等式中是用“不大于”連結(jié)，應(yīng)該知道取等號(hào)的條件，本題當(dāng)且僅當(dāng)c=jab時(shí)取"=號(hào).證明不等式不論采用何種方法，僅僅是一個(gè)手段或形式問(wèn)題，我們必須掌握證題的關(guān)鍵.本題的關(guān)鍵是證明 c +2向之33面丁.典型例題十五例 15 已知 a >0 , b>0,且 a_b=1.求證：0(JT _2)(和 +-L) <1 .a. ab11-1分析：記m =0<_(ja_)(j

27、b+=),欲證o<m <1,聯(lián)想到正、余弦函數(shù)的值 a. a. b域，本題采用三角換元， 借助三角函數(shù)的變換手段將很方便,由條件a _b =1 , a、b W r+可換元，圍繞公式sec 2 Q _tan 26=1來(lái)進(jìn)行.證明：令 a =sec2 0, b=tan 2 0, JeL 0 <0<, 2貝U( . a . )( b ) =2- (secaa. b sec r11 ) -(tansec 12 _/1=cos Xcos 22 . sin二cos 1-sin rcos -i-cos 力(-)cos sin cos u sin cos u1- 0 <0 <

28、; ,0 <sin 0 <1 ,即 0 <一(Va" -f-)( i/b + -) <1 成乂. -ab說(shuō)明：換元的思想隨處可見，這里用的是三角代換法，這種代換如能將其幾何意義挖掘出來(lái)，對(duì)代換實(shí)質(zhì)的認(rèn)識(shí)將會(huì)深刻得多,常用的換元法有：(1)若x <1，可設(shè)x =sin a,aW R ;(2)若 x2 +y2 =1 ,可設(shè) x =cos a , y =sin u , ot W R ； (3)若 x2 + y 2 W1 ,可設(shè) x = r cos a ,y =r sin o(，且 r <1 ,典型例題十六例16已知x是不等于1的正數(shù)，n是正整數(shù)，求證(1

29、 +xn)(1 +x)n A 2xn .分析：從求證的不等式看，左邊是兩項(xiàng)式的積，且各項(xiàng)均為正，右邊有 2的因子，因此 可考慮使用均值不等式.證明： x是不等于1的正數(shù)，1 +x >2 網(wǎng) >0 ,(1 +x)n >2n v'xn .又 1 +xn >2vGV>0 .將式，兩邊分別相乘得nn- n n / n(1 +x )(1 +x) >2qx .2x ,nnn -1n (1 +x )(1 +x) >2 十 x .說(shuō)明：本題看起來(lái)很復(fù)雜，但根據(jù)題中特點(diǎn)，選擇綜合法求證非常順利.由特點(diǎn)選方法是解題的關(guān)鍵，這里因?yàn)閤 *1 ,所以等號(hào)不成立，又因?yàn)椋瑑蓚€(gè)不等式兩邊均為正，所以可利用不等式的同向乘性證得結(jié)果.這也是今后解題中要注意的問(wèn)題.典型例題十七例 17 已知，x , y, z R +,且 x+y+z=1,求證 Jx + J7+ JZ wJ3 .分析：從本題結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)看，使用比較法和綜合法都難以奏效.為找出使不等式成立的充分條件不妨先用分析法一試，待思路清晰后，再?zèng)Q定證題方法.證明：要證 x'x +J7 + <，fz- < J3 ,只需證 x + y +z + 2(x-'xy- +Jxz +yz) <3 ,只需證.xy + Vxz +yz <1 .x , y , z W R +,