SARS傳播的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模全國(guó)賽優(yōu)秀論文資料

1、SARS傳播的數(shù)學(xué)模型（軒轅楊杰整理）摘要本文分析了題目所提供的早期 SARS傳播模型的合理性與實(shí)用性，認(rèn)為該模 型可以預(yù)測(cè)疫情發(fā)展的大致趨勢(shì)，但是存在一定的不足 .第一，混淆了累計(jì)患病 人數(shù)與累計(jì)確診人數(shù)的概念；第二，借助其他地區(qū)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，后期預(yù)測(cè)結(jié)果 不夠準(zhǔn)確；第三，模型的參數(shù) L、K的設(shè)定缺乏依據(jù)，具有一定的主觀性.針對(duì)早期模型的不足，在系統(tǒng)分析了 SARS的傳播機(jī)理后，把SARS的傳播 過(guò)程劃分為：征兆期，爆發(fā)期，高峰期和衰退期4個(gè)階段.將每個(gè)階段影響SARS 傳播的因素參數(shù)化，在傳染病 SIR模型的基礎(chǔ)上，改進(jìn)得到 SARS傳播模型.采 用離散化的方法對(duì)本模型求數(shù)值解得到：北京S

2、ARS疫情的預(yù)測(cè)持續(xù)時(shí)間為106 天,預(yù)測(cè)SARS患者累計(jì)2514人，與實(shí)際情況比較吻合.應(yīng)用SARS傳播模型，對(duì)隔離時(shí)間及隔離措施強(qiáng)度的效果進(jìn)行分析， 得出結(jié) 論：“早發(fā)現(xiàn)，早隔離”能有效減少累計(jì)患病人數(shù)；“嚴(yán)格隔離”能有效縮短疫情 持續(xù)時(shí)間.在建立模型的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，需要認(rèn)清SARS傳播機(jī)理，獲得真實(shí)有效的數(shù)據(jù). 而題目所提供的累計(jì)確診人數(shù)并不等于同期累計(jì)患病人數(shù)，這給模型的建立帶來(lái)不小的困難.本文分析了海外來(lái)京旅游人數(shù)受 SARS的影響，建立時(shí)間序列半?yún)?shù)回歸模 型進(jìn)行了預(yù)測(cè)，估算出SARS會(huì)對(duì)北京入境旅游業(yè)造成23.22億元人民幣損失， 并預(yù)計(jì)北京海外旅游人數(shù)在10月以前能恢復(fù)正常.最后

3、給當(dāng)?shù)貓?bào)刊寫(xiě)了 一篇短文，介紹了建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性.1 .問(wèn)題的重述SARS (嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥，俗稱(chēng)：非典型肺炎)的爆發(fā)和蔓延使我們 認(rèn)識(shí)到，定量地研究傳染病的傳播規(guī)律，為預(yù)測(cè)和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件， 具 有很高的重要性 現(xiàn)需要做以下工作：(1)對(duì)題目提供的一個(gè)早期模型，評(píng)價(jià)其合理性和實(shí)用性 .(2)建立自己的模型，說(shuō)明優(yōu)于早期模型的原因；說(shuō)明怎樣才能建立一 個(gè)真正能夠預(yù)測(cè)以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠信息的模型，并指出這樣做 的困難；評(píng)價(jià)衛(wèi)生部門(mén)采取的措施，如：提前和延后5天采取嚴(yán)格的隔離措施，估計(jì)對(duì)疫情傳播的影響.(3) 根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，預(yù)測(cè)SARS

4、對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)的影響.(4)給當(dāng)?shù)貓?bào)刊寫(xiě)一篇通俗短文，說(shuō)明建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性.2 .早期模型的分析與評(píng)價(jià)題目要求建立SARS的傳播模型，整個(gè)工作的關(guān)鍵是建立真正能夠預(yù)測(cè)以及 能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型 .如何結(jié)合可靠、足夠這兩個(gè)要求 評(píng)價(jià)一個(gè)模型的合理性和實(shí)用性，首先需要明確：合理性定義要求模型的建立有根據(jù)，預(yù)測(cè)結(jié)果切合實(shí)際.實(shí)用性定義要求模型能全面模擬真實(shí)情況，以量化指標(biāo)指導(dǎo)實(shí)際 .所以合理的模型能為預(yù)防和控制提供可靠的信息；實(shí)用的模型能為預(yù)防和控制提供足夠的信息.2.1 早期模型簡(jiǎn)述早期模型是一個(gè)SARS疫情分析及疫情走勢(shì)預(yù)測(cè)的模型，該模型假定初始時(shí)刻的病例數(shù)為No,平均

5、每病人每天可傳染K個(gè)人(K一般為小數(shù))，K代表某種社會(huì)環(huán)境下一 個(gè)病人傳染他人的平均概率，與全社會(huì)的警覺(jué)程度、政府和公眾采取的各種措施 有關(guān).整個(gè)模型的K值從開(kāi)始到高峰期間保持不變，高峰期后 10天的范圍內(nèi)K 值逐步被調(diào)整到比較小的值,然后又保持不變.平均每個(gè)病人可以直接感染他人的時(shí)間為 L大.整個(gè)模型的L 一直被定為20. 則在L天之內(nèi)，病例數(shù)目的增長(zhǎng)隨時(shí)問(wèn)t(單位大)的關(guān)系是：N(t) No (1 切考慮傳染期限L的作用后，變化將顯著偏離指數(shù)律，增長(zhǎng)速度會(huì)放慢.采用半模擬循環(huán)計(jì)算的辦法，把到達(dá) L大的病例從可以引發(fā)直接傳染的基數(shù)中去掉.2.2 早期模型合理性評(píng)價(jià)根據(jù)早期模型對(duì)北京疫情的分析

6、與預(yù)測(cè)，其先將北京的病例起點(diǎn)定在3月1 日，經(jīng)過(guò)大約59天在4月29日左右達(dá)到高峰，然后通過(guò)擬合起點(diǎn)和4月20日以后的數(shù)據(jù)定出高峰期以前的 K=0.13913.高峰期后的K值按香港情況變化， 即10大范圍內(nèi)K值逐步被調(diào)整到0.0273.L包為20.由此畫(huà)出北京3月1日至5 月7日疫情發(fā)展趨勢(shì)擬合圖像以及 5月7日以后的疫情發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè)圖像，如 圖1.從圖1可以看出，從4月20日至5月7日模型計(jì)算值與同期實(shí)際值的擬 合程度比較好，但5月7日后模型計(jì)算值(即預(yù)測(cè)值)隨著日期的增長(zhǎng)逐漸偏 離實(shí)際值.為了進(jìn)一步驗(yàn)證上述分析，對(duì)模型計(jì)算值曲線和實(shí)際值進(jìn)行殘差分析， 記yi表示第i天實(shí)際累計(jì)病例,%表示第

7、i大計(jì)算累計(jì)病例.計(jì)算*eiyi?ie - ,i 1,2, ,n其中，用？作為的估計(jì):V (v ?i)做出標(biāo)準(zhǔn)化殘差0.403ULZ0.1? i 1n 2e的分布圖，如圖2：-0.1 -0 2-a.3山4-0.5-D.G506070 eo 9010D LIO 12C(天圖2早期模型的標(biāo)準(zhǔn)化殘差分布圖可以很明顯地看出，在后期，殘差圖上出現(xiàn)明顯的單減規(guī)律性， 預(yù)測(cè)值高于 實(shí)際值，說(shuō)明預(yù)測(cè)值確實(shí)逐漸偏離實(shí)際值.通過(guò)以上分析得合理性評(píng)價(jià)：1從預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度上有失合理性，雖然早期模型在擬合前期疫情時(shí)擬合程度較 好，但對(duì)后期情況的預(yù)測(cè)出現(xiàn)較大偏差.Z盡管預(yù)測(cè)準(zhǔn)確程度不高，但是該模型確實(shí)預(yù)測(cè)出了整個(gè)疫情的發(fā)展趨

8、勢(shì).從這一點(diǎn)上看，該模型還是切合實(shí)際的.3)模型選用公布數(shù)據(jù)直接擬合，從而預(yù)測(cè)后期疫情發(fā)展趨勢(shì)，這有悖于模 型本身的含義.因?yàn)槟Ｐ椭械腘(t)實(shí)際代表的是t時(shí)刻全社會(huì)的累計(jì)SARS患者， 而公布數(shù)據(jù)僅為同期的累計(jì)確診 SARS患者，顯然前者是大于或等于后者的.如 果把公布數(shù)據(jù)當(dāng)成實(shí)際數(shù)據(jù)處理，這必然導(dǎo)致模型解出現(xiàn)偏差，且解的實(shí)際意義不明確.對(duì)于這一點(diǎn)，我們將在建立自己的模型時(shí)重點(diǎn)關(guān)注！2.3 早期模型實(shí)用性評(píng)價(jià)模型的實(shí)用性關(guān)注的是模型能否真實(shí)全面的模擬真實(shí)情況，從而用模型指導(dǎo) 實(shí)際.這里主要抓住早期模型的參數(shù)設(shè)置情況進(jìn)行實(shí)用性評(píng)價(jià)：Og模型簡(jiǎn)單地以高峰期作為分析的臨界點(diǎn)，這似乎對(duì)SARS發(fā)展的

9、階段沒(méi)有了解透徹.同時(shí)，模型沒(méi)有提出高峰期的確定方法，整個(gè)模型的建立必須有實(shí) 際高峰期附近數(shù)據(jù)的支撐.如果僅有疫情爆發(fā)初期的數(shù)據(jù)，該模型就無(wú)法預(yù)測(cè)出疫情中后期發(fā)展的趨勢(shì)，模型的實(shí)際應(yīng)用范圍受到限制2參數(shù)K代表某種社會(huì)環(huán)境下一個(gè)病人每天傳染他人的人數(shù),與全社會(huì)的警 覺(jué)程度、政府和公眾采取的各種措施有關(guān).在初期，該模型將K固定在一個(gè)比較 高的定值，在疫情高峰期過(guò)后，在10天內(nèi)逐步調(diào)整K值到比較小，然后保持不 變.但模型并沒(méi)有給出K值的具體算法，只是不斷地進(jìn)行人工調(diào)整，具有一定的 主觀性.同時(shí)沿用了香港疫情分析中的數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)北京的情況，可見(jiàn)該模型未對(duì) 北京的實(shí)際情況進(jìn)行充分的考慮.3參數(shù)L代表平均每

10、個(gè)病人在被發(fā)現(xiàn)前后可以造成直接傳染的期限，在此期 限后失去傳染作用，可能的原因是被嚴(yán)格隔離、病愈不再傳染和死去等等.該模型把L的值固定為20,而實(shí)際的L應(yīng)該隨疫情發(fā)展趨勢(shì)變化而變化，固定 L勢(shì) 必使模型只能片面模擬真實(shí)情況.綜上，早期模型的一部分分析脫離了實(shí)際，而且在整個(gè)模型的建立和求解中 人工干預(yù)過(guò)多，實(shí)際應(yīng)用范圍受到了限制，實(shí)用性不強(qiáng) .3 . SARS傳播過(guò)程的分析由于早期模型缺少對(duì)SARS傳播過(guò)程的系統(tǒng)分析，所以，要建立真正能預(yù)測(cè) 病情發(fā)展的模型，應(yīng)該首先對(duì)整個(gè)傳播過(guò)程有一個(gè)全面而詳盡的分析.SARS的傳播大致經(jīng)歷了 4個(gè)過(guò)程，相關(guān)描述可按照 Kink于1986年提出 的危機(jī)“四階段說(shuō)

11、”.第一階段是征兆期.在SARS傳播初期，由于SARS感染者需要經(jīng)歷一定時(shí) 間才表現(xiàn)出臨床癥狀，所以在病毒實(shí)際上已經(jīng)廣泛傳播的情況下， 政府和公眾并 未引起注意.在這個(gè)時(shí)期，攜帶病毒的傳播源沒(méi)受到控制，平均傳播期長(zhǎng)，但整 個(gè)社會(huì)的發(fā)病率還較低.第二階段是迅速爆發(fā)期和蔓延期.當(dāng)公眾發(fā)現(xiàn)感染者不斷增加時(shí)，恐慌情緒 增加，政府隨即采取多種措施，但由于對(duì)病毒傳播的特點(diǎn)不清楚， 并未收到預(yù)期 效果.在這個(gè)時(shí)期，傳播源的平均傳播期依然較長(zhǎng)，整個(gè)社會(huì)的發(fā)病率突然猛增 .第三個(gè)階段是高峰期.當(dāng)高強(qiáng)度的措施實(shí)施后，病毒擴(kuò)散速度實(shí)際已經(jīng)被控 制，發(fā)病人數(shù)保持穩(wěn)定，處在一個(gè)高平臺(tái)階段 .在這個(gè)時(shí)期，有效隔離措施的產(chǎn)

12、 生，大大縮短了平均傳染期，但由于病患基數(shù)較大，社會(huì)發(fā)病率依然很高.第四個(gè)階段是衰退期和有效控制期.在高平臺(tái)現(xiàn)象一段時(shí)間以后，控制措施 的作用開(kāi)始顯現(xiàn)，患病人數(shù)開(kāi)始下降，進(jìn)入控制時(shí)期 .在這個(gè)時(shí)期，平均感染期 最短，社會(huì)發(fā)病率低.疫情進(jìn)入了 4個(gè)階段的最后時(shí)期.有了以上的分析，建立的模型就應(yīng)該體現(xiàn) 4個(gè)不同時(shí)期下疫情的發(fā)展過(guò)程，并能夠在此基礎(chǔ)上準(zhǔn)確預(yù)測(cè)疫情變化情況，提出切實(shí)可行的控制措施 .考慮在經(jīng) 典傳染病SIR模型基礎(chǔ)上，通過(guò)機(jī)理分析，加入合理的實(shí)際因素，建立適合SARS 的分段微分方程模型，稱(chēng)為SARS傳播的SIR改進(jìn)模型.4 . SARS傳播的SIR改進(jìn)模型4.1 模型的假設(shè)1 . S

13、ARS的持續(xù)期不太長(zhǎng)，可以忽略在 SARS持續(xù)期內(nèi)的城市人口的自然出生 率和自然死亡率.2 .被SARS感染后經(jīng)治療康復(fù)的人群在 SARS流行期不會(huì)被再次感染.3 .病人被嚴(yán)格隔離、治愈或者死亡后，不再有感染作用 .4 .不考慮人口的流動(dòng)，僅僅在一個(gè)城市范圍內(nèi)研究SARS疫情的發(fā)展過(guò)程.4.2模型的符號(hào)定義S(t):易感類(lèi)人群占城市人口總數(shù)的比例.I(t)：傳染類(lèi)人群占城市人口總數(shù)的比例.R(t):排除類(lèi)人群占城市人口總數(shù)的比例.(t):SARS患者的就診率 器*f的SARSt時(shí)刻全社會(huì)SARS患者總數(shù):單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)傳染者與他人的接觸率.L :平均傳染期.4.3 傳播機(jī)理分析針對(duì)早期模型的不

14、足，需要在模型的合理性和實(shí)用性方面進(jìn)行改進(jìn) .考慮在 經(jīng)典傳染病模型SIR的基礎(chǔ)上，通過(guò)機(jī)理分析，用實(shí)際因素來(lái)描述SARS的傳播 過(guò)程.為了簡(jiǎn)化模型，這里不考慮人口的流動(dòng)帶來(lái)的影響， 僅僅在一個(gè)封閉城市中 研究SARS的傳播機(jī)理.那么，整個(gè)社會(huì)人群可以分為 3類(lèi)：S類(lèi)：稱(chēng)為易感類(lèi)，該類(lèi)成員沒(méi)有染上傳染病，但缺乏免疫能力，可以被染 上傳染病.I類(lèi)：稱(chēng)為傳染類(lèi)，該類(lèi)成員已經(jīng)染上傳染病，而且可以傳染給S類(lèi)成員.R類(lèi)：稱(chēng)為排除類(lèi)或恢復(fù)類(lèi)，R類(lèi)成員或者是I類(lèi)成員被嚴(yán)格隔離、治愈， 或者死亡等.I類(lèi)成員轉(zhuǎn)化為R類(lèi)后，立刻失去傳染能力.S(t)、I(t)、R分別表示t時(shí)刻上述3類(lèi)成員占城市人口總數(shù)的比例.對(duì)

15、于傳播過(guò)程有3條基本假設(shè)：Ai：人口總數(shù)為常數(shù) N, N足夠大，可以把變量 S(t)、I(t)、R視為連續(xù)變量，還可進(jìn)一步假定為連續(xù)可微變量.A2：人群中3類(lèi)成員均勻分布，傳播方式為接觸性傳播.單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)傳 染者與他人的接觸率為，則一個(gè)傳播者在單位時(shí)間內(nèi)與S類(lèi)成員的接觸率為S(t),因此，單位時(shí)間內(nèi)I類(lèi)成員與S類(lèi)成員的接觸總數(shù)為 N S(t) I (t),這 就是單位時(shí)間內(nèi)I類(lèi)成員增加的數(shù)量，稱(chēng)為發(fā)病率，它是S和I(t)的雙線性函數(shù).A3：傳播者的被控制數(shù)正比于傳染者的數(shù)量NI(t),比例系數(shù)為v, v稱(chēng)為被控制率，則平均傳染期為L(zhǎng) 1/v./v為一個(gè)傳染者在其傳播期內(nèi)與其他成員的接觸總數(shù)

16、，稱(chēng)為接觸數(shù).那么SARS的傳播流程如圖3:易感類(lèi)NS(t) NSI傳染 傳染類(lèi)NI(t) vNS控制 排除類(lèi)NR(t)圖3 SARS傳播流程圖在這個(gè)模型中，排除類(lèi)NR(t)就是已確診SARS患者累計(jì)數(shù)，而N 1 S(t) 是全社會(huì)累計(jì)SARS患者數(shù)，包括已確診的和未被發(fā)現(xiàn)的兩部分.4.4 模型的建立有了以上的機(jī)理分析，建立起針對(duì) SARS的改進(jìn)SIR模型:dS dt dI dt dR dtI RSISIvISvISo0, I 00Ro0該模型中參數(shù) 和v在疫情發(fā)展的各個(gè)階段受實(shí)際因素影響，會(huì)有比較明顯 的變化，現(xiàn)分析如下：1參數(shù) 表示單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)傳染者與他人的接觸率，其與全社會(huì)的警覺(jué)程度和

17、政府、公眾采取的各種措施有關(guān)，例如，佩戴口罩，減少停留在公共場(chǎng)所的時(shí)間,噴灑消毒藥劑，提高隔離強(qiáng)度等都能有效地降低接觸率的值.一般認(rèn)為，的數(shù)值隨著SARS發(fā)展的4個(gè)階段不斷變化.在SARS初期，由于潛伏期的存在和社會(huì)對(duì)SARS病毒傳播的速度認(rèn)識(shí)不足，政府和公眾并未引 起重視，故 維持在一個(gè)較高的數(shù)值；進(jìn)入爆發(fā)期后，公眾發(fā)現(xiàn)感染者不斷增加， 恐慌情緒增加，隨即采取多種措施，使得到一定的控制，但效果不明顯，此處假設(shè) 呈線性形式緩慢衰減；在高峰期，當(dāng)高強(qiáng)度的控制措施實(shí)施后，病毒傳播 的有效接觸率明顯減少，可以認(rèn)為按天數(shù)呈指數(shù)形式衰減；此后進(jìn)入衰減期，就維持在一個(gè)較低值附近.2參數(shù)v表示傳播者的被控制

18、率.L 1/v稱(chēng)為平均傳染期，表示一個(gè)傳播者在被隔 離或者死亡之前具有傳播能力的平均時(shí)間.一般認(rèn)為，SARS患者經(jīng)過(guò)傳染期L 過(guò)后，將隔離治療或者死亡，從I類(lèi)成員變?yōu)镽類(lèi)，失去傳播能力.L與政府采取的措施密切相關(guān)，例如，盡量早地發(fā)現(xiàn)病患，對(duì)疑似病例提前 進(jìn)行隔離，“早發(fā)現(xiàn)，早隔離”；提供更廣范圍的醫(yī)療手段，使更多的人接受有 效的治療等，都可以有效地降低平均傳染期 L的長(zhǎng)度.因此這里將L直接抽象為 每一時(shí)期SARS患者的就診率（t）的函數(shù).平均傳染期L應(yīng)隨（t）的變化而變化.但是在初期，由于政府對(duì) SARS的認(rèn) 識(shí)不足，并沒(méi)有采取有效控制措施，L的變化很小可以近似看作定值，這里我們?nèi)ARS病毒

19、最長(zhǎng)潛伏期（約19天）為這個(gè)定值；在爆發(fā)期，有效控制措施 的逐步加強(qiáng)，使SARS患者的就診率 逐漸增加，而平均傳染期L會(huì)逐漸減小 并趨于一個(gè)定值，這里我們將 SARS病毒平均潛伏期（約7天）定為L(zhǎng)的最小 值；在此后的高峰期以及衰減期，由于控制措施都保持在一定水平，L的值會(huì)維持在7天左右.4.5 針對(duì)北京疫情求解模型首先采用數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方法，確定參數(shù)和v,并證明模型有唯一解.1確定和v的關(guān)系令一，方程組中（2）得： vdI/1一1 一dSSdI1在病情剛開(kāi)始時(shí)，1 ，由于S是單調(diào)減少的，且I（t）最終趨近于0,dSS0則當(dāng)S 1時(shí)，1單調(diào)減少趨近于0;當(dāng)S 1時(shí)，I（t）先單調(diào)增加達(dá)到最大值，然后

20、單調(diào)減少趨近于0.容易知道,當(dāng) S 1時(shí)，才滿足SARS的傳播規(guī)律，所以參數(shù)和V的取值必須滿足這個(gè)條件.2證明模型有唯一解在初值條件下解微分方程組：dI d 11 - dS SIo So Ro 1得到關(guān)系式：1 SI(t) 1 Ro S -ln( )So令t ,由b31 S o 1 Ro S ln() So因?yàn)镾 o ,所以令1 x f(x) 1 Ro x ln( ) So則lim f (x), f (So) 1 R So Io ox o.11 ,，當(dāng)So 時(shí)，由于f (x) o在(o,So)氾圍內(nèi)有根，因而在(o,)內(nèi)有根.,1 ,一，當(dāng)So 2時(shí)，因?yàn)閞'1 xf (x)x當(dāng) x

21、工時(shí)，f'(x) o,所以 f(1) f(So) Io o,因而 f(x) o 在(o) 內(nèi)也有根.11注意到當(dāng)o x 一時(shí)，f (x) o,故f(x) o在(o,一)內(nèi)有唯一根.一一,1所以，S在(o,一)內(nèi)有唯一解.3a分SARS傳播的4個(gè)階段由于SARS的傳播經(jīng)歷了 4個(gè)階段，所以，要以具體的指標(biāo)劃分這4個(gè)階段.因?yàn)樵?個(gè)階段中，日發(fā)病率(t) N S(t) I(t)是一個(gè)區(qū)分每個(gè)階段特點(diǎn)的 關(guān)鍵特征，所以以日發(fā)病率作為劃分的指標(biāo).從第一個(gè)患者出現(xiàn)日開(kāi)始： 征兆期：日發(fā)病率在10 (人/天)以下.北京疫情期的前40天.爆發(fā)期：從日發(fā)病率10 (人/天)到日發(fā)病率最大，即 0時(shí).北

22、京疫情期的 dt第40天到第74天.高峰期：從日發(fā)病率最大到患者數(shù)量最大，即5 0時(shí).北京疫情期的第74天到dt第79天.衰退期：患者數(shù)量最大點(diǎn)以后.北京疫情期第79天以后.4定和v根據(jù)北京最終SARS患者總數(shù)2521人以及北京人口總數(shù)（約14000000人）， 得 S 125210.9998 1 ,所以1 -1.14000000 1因?yàn)槠骄鶄魅酒贚 -,而L是SARS患者就診率（t）的函數(shù)，且L 7,19,v所以，這里設(shè)計(jì)L函數(shù)為：L 7e1 （t）由政府的控制措施決定，它的變化反映了政府控制措施的力度.根據(jù)實(shí)際情況，推導(dǎo)出：00 t 40t 40（t） log10（- 1）40 t 743

23、.781t 74而接觸率與全社會(huì)的警覺(jué)程度和公眾采取的各種措施有關(guān)，根據(jù)實(shí)際情況 確定為：0.1260 t 400.12640t7434000.116 74t79330.0672t79確定出所有的參數(shù)后，做出北京各時(shí)期累計(jì)全社會(huì)SARS患者數(shù)和各時(shí)期累 計(jì)確診SARS患者數(shù)預(yù)測(cè)圖（圖4）以及北京市預(yù)測(cè)確診SARS患者累計(jì)和實(shí)際 確診SARS患者累計(jì)對(duì)比圖（圖5）.同時(shí)得到：北京SARS疫情的預(yù)測(cè)持續(xù)時(shí)間 為106天,預(yù)測(cè)SARS患者累計(jì)2514人.（計(jì)算程序見(jiàn)附件1: SIR模型程序）(X)10001ODn累計(jì)患者瓢累計(jì)他修熟o 日增患者數(shù) 日增碉曲獨(dú)zRyH 3月1日4月111日5月劉日E月

24、2yH圖4北京市預(yù)測(cè)非典病人累計(jì)總數(shù)和預(yù)測(cè)非典病人確診病例累計(jì)對(duì)比圖圖5北京市預(yù)測(cè)確診病例累計(jì)和實(shí)際確診病例累計(jì)對(duì)比圖5 .改進(jìn)SIR模型的分析與評(píng)價(jià)5.1 合理性評(píng)價(jià)從圖5可以看出，本模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合程度非常高，完全克服了早期模型對(duì) 后期數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)不準(zhǔn)的缺陷.做出標(biāo)準(zhǔn)化殘差分析圖，如圖6:k!|：* ,* : : :f ；一 _ ；_ * *-*H*.；pf.一Xj d %.1* I;*： * E：魁：¥ r;iiiOS 04 12 0 0?-105060706090100 IL。 120g圖6 改進(jìn)SIR模型的標(biāo)準(zhǔn)化殘差分布圖（實(shí)際值一預(yù)測(cè)值）可以看出，殘差分布比較均勻，殘差平方和

25、為2.0361，低于初期模型的5.510.通過(guò)以上分析得出結(jié)論：改進(jìn) SIR模型不僅在預(yù)測(cè)前期病情的時(shí)候非常準(zhǔn) 確，而且在預(yù)測(cè)后期病情的時(shí)候也沒(méi)有出現(xiàn)明顯偏差， 預(yù)測(cè)值與實(shí)際值非常吻合 該模型能對(duì)整個(gè)病情的發(fā)展做出準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，這是該模型優(yōu)于早期模型的方面之5.2 實(shí)用性評(píng)價(jià)對(duì)比早期模型實(shí)用性方面的不足，對(duì)改進(jìn) SIR模型分析如下：1星期模型在沒(méi)有對(duì)SARS的傳播過(guò)程進(jìn)行系統(tǒng)分析的情況下就簡(jiǎn)單地以高 峰期作為分析的臨界點(diǎn)，同時(shí)，模型并沒(méi)有提出高峰期的確定方法， 模型的實(shí)際 應(yīng)用范圍受到限制.而改進(jìn)SIR模型在分析SARS傳播過(guò)程的前提下，依據(jù)日發(fā) 病率把整個(gè)傳播過(guò)程細(xì)分為征兆期， 爆發(fā)期，高峰期和

26、衰退期4個(gè)階段，并且考 慮了每個(gè)階段影響SARS傳播的實(shí)際因素，能夠更好地反映實(shí)際因素對(duì) SARS傳 播的影響.2：星期模型預(yù)測(cè)的僅僅是已確診累計(jì) SARS患者數(shù)，不包括未被發(fā)現(xiàn)的患者 人數(shù)，這樣的做法不能對(duì)防治工作提供真正有用的數(shù)據(jù).而改進(jìn)SIR模型不僅能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)已確診累計(jì)病例，而且能夠預(yù)測(cè)未被發(fā)現(xiàn)的患者人數(shù)，可以對(duì)防治工作 提供更有用的數(shù)據(jù).卻期模型用參數(shù)K代表一個(gè)病人每天傳染他人的人數(shù).模型沒(méi)有給出K值的具體算法，只是不斷地進(jìn)行人工調(diào)整，同時(shí)沿用了香港疫情分析中的數(shù)據(jù)來(lái)預(yù) 測(cè)北京的情況，未對(duì)北京的實(shí)際情況進(jìn)行充分的考慮.而改進(jìn)SIR模型用參數(shù) 表 示單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)傳染者與他人的接觸率，并

27、且考慮了4個(gè)階段內(nèi) 的變化情況，給出了 的函數(shù)表達(dá)式.4具期模型用參數(shù)L代表平均每個(gè)病人在被發(fā)現(xiàn)前后可以造成直接傳染的期 限，并且把L的值固定在20天,就造成了后期預(yù)測(cè)值明顯偏離實(shí)際值的結(jié)果. 而改進(jìn)SIR模型中建立了 L的分段函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)各個(gè)階段的具體影響因素控 制L的大小.這樣，在后期的預(yù)測(cè)上，也與實(shí)際值相當(dāng)吻合.綜上，改進(jìn)SIR模型彌補(bǔ)了早期模型的不足，實(shí)際應(yīng)用范圍得到擴(kuò)大，實(shí)用 性強(qiáng).5.3 建立可靠、優(yōu)良模型的困難要建立一個(gè)真正能夠預(yù)測(cè)以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模 型，存在著許多的困難，還有許多努力的方向.1缺乏詳盡白1反映SARS疫情的實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，以及數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上

28、的模型參 數(shù)的具體取值.本文的模型計(jì)算與分析研究，主要依據(jù)關(guān)于北京市的SARS疫情通告的數(shù)據(jù).這些數(shù)據(jù)不包括未被發(fā)現(xiàn)的患者人數(shù)的統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)的形式不能滿足 模型求解的要求.2需要與流行病學(xué)家密切合作，更加合理地設(shè)計(jì)模型結(jié)構(gòu)與調(diào)整參數(shù)，以及 估計(jì)并設(shè)定比較符合實(shí)際的參數(shù)取值，從而完善模型以及模擬結(jié)果.3需要研究SARS在不同自然條件和社會(huì)條件下的差異性，總結(jié) SARS傳播 與控制的典型地域性模式.6 .分析具體措施對(duì)SARS傳播的影響在SARS傳播的實(shí)際過(guò)程中，有關(guān)部門(mén)采取了一些控制疫情的措施， 在所有 措施中，隔離開(kāi)始的時(shí)間和隔離的強(qiáng)度是兩個(gè)比較關(guān)鍵的因素， 究竟這些因素對(duì) 疫情傳播能造成怎樣的

29、影響，現(xiàn)分析如下.改變隔離開(kāi)始的時(shí)間通過(guò)對(duì)L調(diào)整實(shí)現(xiàn)，減小L的數(shù)值就提前了隔離時(shí)間； 而改變隔離的強(qiáng)度通過(guò)對(duì) 調(diào)整實(shí)現(xiàn)，減小 的數(shù)值就提高了隔離的強(qiáng)度.以北京的隔離強(qiáng)度為100% ,分別在100%和80%強(qiáng)度下用改進(jìn)SIR模型 預(yù)測(cè)不同控制措施下累計(jì)病例總數(shù)（人）和疫情持續(xù)總時(shí)間（大）.結(jié)果如表1 : 開(kāi)丁、 始隔、時(shí)離、工間強(qiáng)L度提前5天延后5天提前20天隔離強(qiáng)度100%1458 人/90 天4170 人/112 天304人/69天隔離強(qiáng)度80%2057 人/167 天5807 人/205 天446 天/125 天表1不同控制措施下的結(jié)果分析表1,得出結(jié)論：1在相同隔離強(qiáng)度下，發(fā)現(xiàn)隔離開(kāi)始的

30、時(shí)間越早，累計(jì)病例總數(shù)就越小.2在相同隔離開(kāi)始時(shí)間下，隔離強(qiáng)度越大，疫情持續(xù)的時(shí)間就越短.3綜上，累計(jì)病例總數(shù)的大小主要由隔離開(kāi)始時(shí)間的早晚決定；疫情持續(xù)時(shí)間的長(zhǎng)短主要由隔離強(qiáng)度的大小決定.所以，有關(guān)部門(mén)采取的措施確實(shí)對(duì)疫情的控制起到了很大的作用：“早發(fā)現(xiàn),早隔離”能有效減少累計(jì)病例總數(shù)；“嚴(yán)格隔離”能有效縮短疫情持續(xù)時(shí)間.7. SARS對(duì)旅游業(yè)的影響SARS的流行會(huì)對(duì)國(guó)民經(jīng)濟(jì)帶來(lái)一定的影響.現(xiàn)在題目提供了北京市接待海 外旅游人數(shù)的數(shù)據(jù)，要求根據(jù)這些數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)SARS對(duì)北京市的旅游業(yè)所產(chǎn)生的 影響.7.1 預(yù)測(cè)正常情況下2003年的旅游人數(shù)旅游業(yè)隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，會(huì)有一個(gè)逐年提高的趨勢(shì).如果

31、沒(méi)有SARS的 流行，那么，海外旅游人數(shù)會(huì)以一定的規(guī)律保持增長(zhǎng)的趨勢(shì).現(xiàn)在需要預(yù)測(cè)正常情況下2003年的旅游人數(shù)，采用季節(jié)性時(shí)間序列的半?yún)?數(shù)回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè).一般的半?yún)?shù)回歸模型是指： ( Y g(T )(3)其中(X,T) RP R1為隨機(jī)向量或設(shè)計(jì)點(diǎn)列，T的支撐集為有界閉集，為P 1的未知參數(shù)向量，g()是定義于一有界閉集上的未知函數(shù)，E為隨機(jī)誤 差,E( ) 0,E( 2)2 (未知)，且 與X,T相互獨(dú)立.對(duì)季節(jié)性時(shí)間序列資料Xj (i 1,2, ,n;j 1,2, ,l),其中n為年份長(zhǎng)度，l為 季節(jié)長(zhǎng)度.根據(jù)時(shí)間序列資料的加法原理有如下半?yún)?shù)回歸模型Xj bi g(j) j(4)

32、其中b為模型參數(shù)，主要反應(yīng)時(shí)間序列在年度上的增長(zhǎng)趨勢(shì).g(j)為未知函數(shù)， 主要反應(yīng)時(shí)間序列在季節(jié)上的效應(yīng)，E( j) 0,E(i2) 2且j相互獨(dú)立.顯然模 型中不應(yīng)包含常數(shù)項(xiàng)，因?yàn)槌?shù)項(xiàng)可包含在季節(jié)效應(yīng)中.在對(duì)旅游人數(shù)的估計(jì)時(shí)，因?yàn)椴捎昧?19972002年的數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)， 所以年份長(zhǎng)度n 6,而季節(jié)上的效應(yīng)實(shí)際上就是每個(gè)月的效應(yīng)， 季節(jié)長(zhǎng)度l 12. 參數(shù)估計(jì)如下：(O巴b看為已知時(shí)g( j)的最小二乘估計(jì)為使(Xj bi g(j)2最小的解，即n 1乳)Xj b -(5)2其中，XjXj/n,即為所有數(shù)據(jù)在季節(jié)點(diǎn)j上的均數(shù).顯然g(j)也是g(j)的一個(gè)臨近估計(jì).2> (5)

33、代入(4)后b的最小二乘估計(jì)為使 (Xj bi (Xj b4)2最小i j jj 2一 n 1 一.的解.作變換XijXj Xj,i i 2-則 i XjgT(6)2估計(jì)為n l:(XjI i 1 j 1b)2l i 2在小樣本條件下，誤差的總體方差?21nl l將北京海外旅游人數(shù)19972002年的數(shù)據(jù)代入式(5)、(6)、(7),得至U： b? 1.82452 ?0.0044?(j) (4.5642,13.2808,12.5142,17.2142,17.9975,16.3975,16.0808,21.0808,20.7475,21.5808,18,1642,12.4642)根據(jù)這些參數(shù)，預(yù)

34、測(cè)正常情況下2003年的旅游人數(shù)(計(jì)算程序見(jiàn)附件2:時(shí)間序 列程序)，結(jié)果如表2 (單位：萬(wàn)人)：月123456789101112份人數(shù)15.417.125.330.030.829.228.933.933.634.431.025.3表2正常情況下2003旅游人數(shù)預(yù)測(cè)1997-2003年旅游人數(shù)的變化如圖7所示：19971998 1S9S ZDQO 2Q0I ?UUZ 2QO3 （年 j圖71997-2003年旅游人數(shù)的變化7.2季節(jié)性時(shí)間序列半?yún)?shù)模型的檢驗(yàn)我們利用時(shí)間序列模型對(duì)19972002年的旅游人數(shù)進(jìn)行擬合，再與實(shí)際值對(duì)照，畫(huà)出殘差圖（圖8）:圖819972002年各月旅游人數(shù)估計(jì)值的

35、標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖中，標(biāo)準(zhǔn)化殘差隨機(jī)均勻分布在x軸周?chē)?，說(shuō)明時(shí)間序列模型對(duì)1997-2002年旅游人數(shù)的擬合程度比較高，能夠?qū)?003年各個(gè)月份的旅游人數(shù)做出比較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè).7.3預(yù)測(cè)2003年實(shí)際旅游人數(shù)實(shí)際旅游人數(shù)受到SARS的影響，從3月開(kāi)始下降，在5月達(dá)到最低點(diǎn)后開(kāi)始回升.做出實(shí)際方游人數(shù)yi占預(yù)測(cè)旅游人數(shù)%的百分比圖，如圖9:圖9實(shí)際旅游人數(shù)占預(yù)測(cè)旅游人數(shù)的百分比圖對(duì)5月以后旅游人數(shù)的回升用對(duì)數(shù)函數(shù)進(jìn)行擬合：(t 10)V(1.8e i)?i , t 5根據(jù)這個(gè)函數(shù)預(yù)測(cè)出2003年實(shí)際旅游人數(shù)，如表3 (單位：萬(wàn)人)：月份123456789101112人數(shù)15.417.123.511.61

36、.782.618.831.025.3表32003年實(shí)際旅游人數(shù)預(yù)測(cè)旅游人數(shù)在9月1日時(shí)回復(fù)到正常水平的92.6%，在9月4日左右恢復(fù)正 常水平.2003年的旅游總?cè)藬?shù)比預(yù)期減少116.11萬(wàn)人.若平均每位旅游者花銷(xiāo)2000元人民幣，則累計(jì)經(jīng)濟(jì)損失達(dá)到23.22億元人民幣，比預(yù)計(jì)經(jīng)濟(jì)收入減少 了 34.67%.可以看出，SARS對(duì)旅游業(yè)的影響還是比較大的，使整個(gè)旅游業(yè)收入減少了 3 成左右.8 .模型的改進(jìn)方向本文在傳染病SIR模型的基礎(chǔ)上，改進(jìn)得到了 SARS傳播模型.模型能夠比較 準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出累計(jì)病例數(shù)，還能隔離時(shí)間及隔離措施強(qiáng)度的效果進(jìn)行分析， 具有 很好的合理性和

37、實(shí)用性.但本模型還有一些可以完善的地方：O模型不考慮人口的流動(dòng)，僅僅在一個(gè)城市范圍內(nèi)研究SARS的傳播機(jī)理.可以增加參數(shù)j表示第i個(gè)城市向第j個(gè)城市的人口流動(dòng)率，定量地研究相鄰的 N個(gè) 城市之間人口的流動(dòng).這樣，就需要有關(guān)方面提供城市間人口流動(dòng)數(shù)據(jù)來(lái)確定 參數(shù)ij .tSARS最新研究表明，該病毒對(duì)小孩的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于成年人.因此，可以將模型中S(t)、I(t)、R(t)改變?yōu)镾(a,t)、I(a,t)、R(a, t),分別表示t時(shí)刻時(shí)易感類(lèi)、傳 染類(lèi)、恢復(fù)類(lèi)按年齡分布的密度函數(shù).這樣，模型就能研究不同年齡層次的病 情發(fā)展情況.9 .寫(xiě)給報(bào)刊的短文小小“抗非典英雄”2003年初，春意昂然，萬(wàn)物復(fù)

38、蘇.沒(méi)有人預(yù)料到，在一片安靜祥和之中，一 場(chǎng)災(zāi)難卻悄悄地籠罩在人類(lèi)社會(huì)的上空.不起眼的咳嗽、發(fā)燒，竟然導(dǎo)致了大范圍的快速傳播，甚至引起死亡，專(zhuān)家 們似乎都對(duì)這個(gè)叫做“非典”的病魔束手無(wú)策 .一時(shí)間，人心惶惶，謠言四起， 大家都到了 “談非典色變”的地步.但是，我們豈會(huì)輕易服輸？在這個(gè)關(guān)鍵時(shí)刻，科研工作者聚到一起，運(yùn)用科 學(xué)這一有力的武器，向“非典”病魔做出有力的反擊.在黨中央和國(guó)務(wù)院的領(lǐng)導(dǎo)下，全國(guó)人民齊心協(xié)力，同舟共濟(jì).終于，在科學(xué)和團(tuán)結(jié)面前，囂張一時(shí)的“非 典”病魔低下了頭.春回大地，舉國(guó)歡慶.親愛(ài)的讀者朋友，你是否知道，在這場(chǎng)“非典”攻堅(jiān)戰(zhàn)中，一個(gè)叫做“傳染 病數(shù)學(xué)模型”的工具，發(fā)揮了不可

39、磨滅的作用嗎？讓我來(lái)介紹一下這位小小“抗非典英雄”吧.傳染病數(shù)學(xué)模型，是科技工作者分析了這次非典爆發(fā)的部分?jǐn)?shù)據(jù)后，建立的 一種研究病情傳播規(guī)律的工具.這些模型使我們能夠?qū)σ咔榈陌l(fā)展情況做出預(yù) 測(cè)，并估計(jì)疫情發(fā)展所處的階段.首先，傳染病模型揭示了非典傳播的規(guī)律，預(yù)測(cè)了病情發(fā)展的趨勢(shì).在那個(gè)謠 言四起的時(shí)期，數(shù)學(xué)模型肯定地告訴我們，非典是可以戰(zhàn)勝的 .這顆定心丸的出 現(xiàn)，克服了人們的恐懼心理，維持了社會(huì)的安定 .其次，通過(guò)對(duì)模型的分析，我們發(fā)現(xiàn)，在病情蔓延時(shí)期，對(duì)傳播源及早的發(fā) 現(xiàn)、嚴(yán)格隔離，對(duì)整個(gè)病情發(fā)展的控制起到了至關(guān)重要的作用.于是，我們提出了 “早發(fā)現(xiàn)，早隔離”，“加大控制力度”這些措施.

40、事實(shí)證明，這是行之有效 的.數(shù)學(xué)模型對(duì)實(shí)際工作的指導(dǎo)意義也就顯現(xiàn)出來(lái).數(shù)學(xué)模型還能預(yù)測(cè)出“非典”對(duì)經(jīng)濟(jì)的影響，估計(jì)經(jīng)濟(jì)的恢復(fù)速度.看，名不見(jiàn)經(jīng)傳的傳染病數(shù)學(xué)模型，竟然有如此重要的作用，讓大家刮目相看 了吧.相信隨著研究的繼續(xù)深入，這位小英雄還會(huì)發(fā)揮出它更大的本領(lǐng).10 .參考書(shū)目1壽紀(jì)麟，數(shù)學(xué)建模方法與范例http:2003年9月23日2胡鞍鋼，正確認(rèn)識(shí)SARS危機(jī)，民主與科學(xué)，第3期：第58頁(yè)，20033王文昌等，季節(jié)性時(shí)間序列資料預(yù)測(cè)的半?yún)?shù)回歸模型，中國(guó)衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)， 14卷第6期：第46頁(yè)，1997附件附件1 : SIR模型程序function f=sorS(1)=14000000;I(1

41、)=1;R(1)=0;na=0.126;F=19;L=19;JU=19;M(1)=1;for i=2:74%初期與爆發(fā)期if i>=40&i<74 JU=JU-0.25; end if i>=40na=na-0.01/35;%爆發(fā)期緩慢減少end S(i)=S(i-1)-na*S(i-1)*I(i-1)/14000000;%求解S, I, Rif i>L+2 R(i)=S(i-L-2)-S(i-L-1); else R(i)=0; end if i>=51 F=F-0.5;L=fix(F); if F=L R(i)=S(i-L-3)-S(i-L-1); end end I(i)=I(i-1)+na*S(i-1)*I(i-1)/1