現(xiàn)代控制理論試卷答案與解析

1、現(xiàn)代控制理論試卷作業(yè)一圖為R-L-C電路，設(shè)為控制量，電感上的支路電流和電容C上的電壓為狀態(tài)變量，電容C上的電壓為輸出量，試求：網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程和輸出方程（注意指明參考方向）。解：此電路沒有純電容回路，也沒有純電感電路，因有兩個儲能元件，故有獨立變量。以電感上的電流和電容兩端的電壓為狀態(tài)變量，即令：，由基爾霍夫電壓定律可得電壓方程為： 從上述兩式可解出，即可得到狀態(tài)空間表達式如下： =+二、考慮下列系統(tǒng)：（a）給出這個系統(tǒng)狀態(tài)變量的實現(xiàn)；（b）可以選出參數(shù)（或）的某個值，使得這個實現(xiàn)或者喪失能控性，或者喪失能觀性，或者同時消失。解：（a）模擬結(jié)構(gòu)圖如下：則可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式： （b） 因為

2、 所以：當時，該系統(tǒng)不能控；當時，該系統(tǒng)能控。又因為： 所以：當或時，該系統(tǒng)不能觀；當且時，該系統(tǒng)能觀。綜上可知：當時或且時，該系統(tǒng)既不能控也不能觀。三、已知系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：（1）試確定矩陣，并驗證確為上式。（2）已知求，以下采用三種方法計算，并對計算結(jié)果進行討論。解：（1）利用書上P53狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)四：對于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，有 即 當t=0時 驗證：（利用P59的公式（2-24）來驗證） 解得：，有一對復(fù)根，重根部分按公式（2-24）處理，非重根部分的仍按公式（2-23）計算。且所以：四、有兩個能控能觀的單輸入單輸出系統(tǒng)： ： ： （1）按圖把、串聯(lián)，針對推導狀態(tài)方程。（2）判斷以上

3、系統(tǒng)的能控性和能觀性。（3）把串聯(lián)系統(tǒng)的連接順序顛倒過來，再推算系統(tǒng)的狀態(tài)方程及能控、能觀性。（4）求、及串聯(lián)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣，并對（2）和（3）討論。解：（1） 所以 因而 得狀態(tài)方程: （2） A= b= 所以 所以該系統(tǒng)不能控。 所以 所以 該系統(tǒng)是能觀的。（3） 所以所以 所以此時該系統(tǒng)能控。 而 所以此時該系統(tǒng)不能觀。（4） = 當、按照（2）的連接方式串聯(lián)時，當、按照（2）的連接方式串聯(lián)時，由上邊的傳遞函數(shù)結(jié)果可知，當子系統(tǒng)串聯(lián)時，顛倒其先后次序，雖然傳遞函數(shù)相同，但系統(tǒng)的能控性、能觀性則不一定相同。五、試求下列系統(tǒng)的能控性分解及能觀性分解： 解：（a）能控性分解：，所以 ，故該

4、系統(tǒng)不能控。構(gòu)造非奇異矩陣，所以 （b）能觀性分解：所以 所以該系統(tǒng)不能觀。構(gòu)造非奇異矩陣：，所以 六、試用李雅普諾夫第二法，判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（1）（2）系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，對結(jié)果進行討論，采取什么措施可使系統(tǒng)穩(wěn)定？解： 原點=0是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。選取標準二次型函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù)，即 當，時， ；當，時，因此為負半定。根據(jù)判斷，可知該系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的。另選一個李雅普諾夫函數(shù)，例如： = 為正定，而為負定的，且當，有。即該系統(tǒng)在原點處是大范圍漸進穩(wěn)定。（2） 閉（3） 環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 其齊次方程為 顯然，原點為系統(tǒng)的唯一的平衡狀態(tài)，選李雅普夫函數(shù) 可見，在任意的值均保持

5、為0，而保持為常數(shù) 這表示系統(tǒng)運動的相軌跡是一系列以原點為圓心，為半徑的圓。這時系統(tǒng)為李雅普諾夫的穩(wěn)定，但在經(jīng)典控制理論中，這種情況屬于不穩(wěn)定，這的自由解是一個等幅的正弦振蕩，要想使這個系統(tǒng)不穩(wěn)定，必須改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。七、圖示的控制系統(tǒng)，試設(shè)計狀態(tài)反饋矩陣，使閉環(huán)系統(tǒng)輸出超調(diào)量和峰值時間。解：傳遞函數(shù)又因為二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)中：根據(jù)題意要求和通過上式解答： 因此設(shè)計后的極點分別為： 因為傳遞函數(shù)沒有零極點對消現(xiàn)象，所以原系統(tǒng)能控而且能觀?？芍苯訉懗鏊哪芸貥藴蔍型實現(xiàn)。 其閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下： 加入狀態(tài)反饋陣，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖： 而閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為 根據(jù)極點值，得期望特征多項式： 比較和

6、各對應(yīng)項系數(shù)，可得： 即 八、系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：，性能指標泛函分兩種情況求最優(yōu)控制：。（1） 對沒有約束（2）解：（1） 原問題為自由終端狀態(tài)，因而。由哈密爾頓函數(shù) 又因為=0 所以又沿最優(yōu)軌跡線滿足正則方程： 邊界條件 通過上式聯(lián)合解答： （2） 由極小值原理，與符號有關(guān)，取 表示的符號， 取 在區(qū)間，取。下圖表示求解結(jié)果。九、試綜述最有控制理論的內(nèi)容及方法，分析比較二次型性能指標泛函與經(jīng)典控制理論的性能指標。1 內(nèi)容：現(xiàn)代控制理論研究的對象不再局限于單變量的，線性的，常定的，連續(xù)的系統(tǒng)，而擴展為多變量的，非線性的，時變的，離散的系統(tǒng)?，F(xiàn)代控制理論以線性代數(shù)和微分方程為主要數(shù)學工具，以狀態(tài)

7、空間法為基礎(chǔ)，分析和設(shè)計控制系統(tǒng)。所謂狀態(tài)空間法，本質(zhì)上是一種時域分析方法，它不僅描述了系統(tǒng)的外部特性，而且揭示了系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)和性能。現(xiàn)代控制理論分析和綜合系統(tǒng)的目標是在揭示其內(nèi)在規(guī)律的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)系統(tǒng)在某種意義上的最優(yōu)化，同時使控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不再限于單純的閉環(huán)形式，現(xiàn)代控制理論的主要內(nèi)容包括如下五個分支：線性系統(tǒng)理論、建模和系統(tǒng)辨識、最憂濾波理論、最優(yōu)控制、自適應(yīng)控制。2方法：現(xiàn)代控制理論的方法本質(zhì)是一種時域方法，它是建立在狀態(tài)變量描述方法基礎(chǔ)上的，它著眼于系統(tǒng)的狀態(tài)，能更完全的表達系統(tǒng)的動力學性質(zhì)，在解決最優(yōu)控制問題中，極大值原理和貝爾曼動態(tài)規(guī)劃是最重要的兩種方法。3分析比較指標泛函與經(jīng)典控制理論的性能指標：性能指標在數(shù)學上成為泛函，經(jīng)典控制理論中的性能指標一般為最大超調(diào)量、阻尼比、幅值裕度和相位裕度等?，F(xiàn)代控制理論的二次型指標泛函的意義：花費盡量少的控制能量，使系統(tǒng)的輸出盡可能地跟隨期望輸出變化。常見的二次型性能指標分兩類：線性調(diào)節(jié)器和線性伺服器。假定狀態(tài)方程：，尋求最優(yōu)控制，使性能指標達到極小值 （9-1） 這是二次型指標泛函，要求S，是對稱陣，且S和是非負定或正定的，應(yīng)是正定的。式（9-1）右端第一項是對終端狀態(tài)提出一個符合需要的要