第2講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第 2講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 (一)【 20XX年高考會(huì)這樣考】1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2由函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求參數(shù)的范圍【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】本講復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)理順導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系， 理解導(dǎo)數(shù)的意義， 體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)有關(guān)問題時(shí)的工具性作用， 重點(diǎn)解決利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間基礎(chǔ)梳理1導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù) yf ( x) 在 x x0 處的導(dǎo)數(shù) f (x0) 是曲線 yf ( x) 在點(diǎn) ( x0 ，f ( x0) 處切線 l的斜率，切線 l 的方程是 yf ( x0) f (x0 )( xx0) 2導(dǎo)數(shù)的物理意義若物體位移隨時(shí)間變化的關(guān)系為sf ( t ) ，則

2、f (t 0 ) 是物體運(yùn)動(dòng)在 t t 0 時(shí)刻的瞬時(shí)速度3函數(shù)的單調(diào)性在 ( a，b) 內(nèi)可導(dǎo)函數(shù) f ( x) ，f (x) 在 ( a，b) 任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.f (x) 0? 函數(shù) f ( x) 在( a，b) 上單調(diào)遞增；f (x) 0? 函數(shù) f ( x) 在( a，b) 上單調(diào)遞減易誤警示直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線； 反之直線是曲線的切線，但直線不一定與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)兩個(gè)條件(1) f (x) 0 在 ( a，b) 上成立是 f ( x) 在( a， b) 上單調(diào)遞增的充分條件(2) 對(duì)于可導(dǎo)函數(shù) f ( x) ，f (x0) 0 是函數(shù)

3、 f ( x) 在 x x0 處有極值的必要不充分條件三個(gè)步驟求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：(1) 確定函數(shù) f ( x) 的定義域；(2) 求導(dǎo)數(shù) f (x) ；(3) 由 f (x) 0( f (x) 0) 解出相應(yīng)的 x 的范圍當(dāng) f (x) 0 時(shí)，f ( x) 在相應(yīng)的區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)f (x) 0 時(shí)，f ( x) 在相應(yīng)的區(qū)間上是減函數(shù)，還可以列表，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間雙基自測(cè)1(2011 山東 ) 曲線 yx3 11 在點(diǎn) P(1,12) 處的切線與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是() A9 B 3C9 D 15解析由已知 y 3x2，則 y|x 1 3切線方程為 y12 3( x1) ，即 y3

4、x 9.答案C2(2012 煙臺(tái)模擬 ) 函數(shù) f ( x) x22lnx 的遞減區(qū)間是 () A(0,1 B 1 ，)C( ， 1) ， (0,1)D 1,0) ，(0,1解析 函數(shù)的定義域?yàn)?(0 ， ) ，2xx又 f (x) 2x x 2x由 f (x) 0，解得 0x1.答案A3(2012 長(zhǎng)沙一中月考 ) 若點(diǎn) P 是曲線線 yx2 的最小值為 () y x2 lnx 上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P 到直A1 B.2C.22 D.3解析由已知 y x1，令2x1 ，解得 x1.曲線 yx2lnx 在 x12xx1處的切線方程為y x ，即xy0.兩直線 xy ，x y 0之間的1102距離為

5、d2 2.2答案B4( 人教 A 版教材習(xí)題改編 ) 在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中， t s 時(shí)運(yùn)動(dòng)員相對(duì)水面的高度( 單位：是 t 1t)4.9t 26.5t ，高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在t 1 s時(shí)的瞬時(shí)速度m)(10為 _答案 3.3 m/s函數(shù) fxx3x21的遞增區(qū)間是_5( )3解析f (xx2xxx2)，)363 (由 f (x) 0 解得 x0，或 x 2.答案( ， 0) ，(2 ，)考向一求曲線切線的方程【例 1】?已知函數(shù) f ( x) x3 4x25x4.(1) 求曲線 f ( x) 在 x 2 處的切線方程；(2) 求經(jīng)過點(diǎn) A(2 ， 2) 的曲線 f ( x) 的切線方程 審題視點(diǎn) 由

6、導(dǎo)數(shù)幾何意義先求斜率，再求方程，注意點(diǎn)是否在曲線上，是否為切點(diǎn)解 (1) f (x) 3x2 8x 5 f (2) 1，又 f (2) 2曲線 f ( x) 在 x 2 處的切線方程為y( 2) x 2，即 xy40.(2) 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 ( x0 ，x304x205x04)2f (x0) 3x0 8x0 5則切線方程為2y( 2) (3 x08x05)( x2) ，又切線過 ( x0，x30 4x20 5x0 4) 點(diǎn)，則 x304x20 5x02(3 x20 8x0 5)( x0 2) ，整理得 ( x0 2) 2( x0 1) 0，解得 x02，或 x01，因此經(jīng)過 A(2 ， 2) 的

7、曲線 f ( x) 的切線方程為 x y 4 0，或 y20.首先要分清是求曲線 y f ( x) 在某處的切線還是求過某點(diǎn)曲線的切線 (1) 求曲線 yf ( x) 在 x x0 處的切線方程可先求 f (x0) ，利用點(diǎn)斜式寫出所求切線方程；(2) 求過某點(diǎn)的曲線的切線方程要先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)后再寫切線方程【訓(xùn)練1】 若直線ykx與曲線yx3x2x相切，試求k的值 32解 設(shè)y kx 與 y x3x2 x 相切于 P x0，y0)則32(y0 kx0，y0 x303x20 2x0，y2x ， ky|x x02 ，又x x0 x0362362由得： (3 x20 6x0 2) x0x

8、30 3x20 2x0，2即 (2 x03) x0 0.31 x0 0 或 x0 2， k2 或 k 4.考向二函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)【例 2】?已知函數(shù) f ( x) x3 ax23x.(1) 若 f ( x) 在1 ， ) 上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；(2) 若 x3 是 f ( x) 的極值點(diǎn)，求 f ( x) 的單調(diào)區(qū)間 審題視點(diǎn) 函數(shù)單調(diào)的充要條件是f (x) 0或 f (x) 0且不恒等于 0.解 (1) 對(duì) f ( x) 求導(dǎo)，得 f (x) 3x2 2ax3.3 1由 f (x) 0，得 a 2 xx .3 1記 t ( x) 2 xx ，當(dāng) x1時(shí)， t ( x) 是增函

9、數(shù)，3 t ( x) min 2(1 1) 0. a0.(2) 由題意，得 f (3) 0，即 27 6a30， a 4. f ( x) x34x23x，f (x) 3x2 8x 3.1令 f (x) 0，得 x1 3，x2 3.當(dāng) x 變化時(shí)， f (x) 、f ( x) 的變化情況如下表：x1113(3，)， 333，3f (x)00f ( x)極大值極小值1， 3 ， ) 時(shí)， f ( x) 單調(diào)遞增，當(dāng) x1時(shí)， f ( x)當(dāng) x ， ，333單調(diào)遞減函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)遞增( 減 ) ，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)大于或等于 0( 小于或等于 0) ，只要不在一段連續(xù)區(qū)間上恒等于0 即可

10、，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解 f (x) 0( 或 f (x) 0) 即可x【訓(xùn)練 2】 已知函數(shù) f ( x) e ax 1.(1) 求 f ( x) 的單調(diào)增區(qū)間；(2) 是否存在 a，使 f ( x) 在( 2,3) 上為減函數(shù)，若存在，求出 a 的取值范圍，若不存在，說明理由解 f (x) exa，(1) 若 a0，則 f (x) ex a0，即 f ( x) 在 R 上遞增，若 a0，exa0， ex a，xln a.因此 f ( x) 的遞增區(qū)間是 lna， ) (2) 由 f (x) exa0在 ( 2,3) 上恒成立x ae在 x( 2,3) 上恒成立2x 3又2x3，eee，只需3a

11、e.當(dāng) ae3 時(shí) f (x) exe3 在 x( 2,3) 上， f (x)0 ，即 f ( x) 在( 2,3) 上為減函數(shù)，3 ae.3故存在實(shí)數(shù) ae，使 f ( x) 在( 2,3) 上單調(diào)遞減考向三利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題【例 3】?設(shè) a 為實(shí)數(shù)，函數(shù) f ( x) ex 2x2a，xR.(1) 求 f ( x) 的單調(diào)區(qū)間與極值；(2) 求證：當(dāng) a ln 2 1 且 x0 時(shí)， exx22ax 1. 審題視點(diǎn) 第 (2) 問構(gòu)造函數(shù) h( x) exx2 2ax1，利用函數(shù)的單調(diào)性解決(1) 解由 f ( x) ex 2x2a，xR 知 f (x) ex2，xR.令f (x ，

12、得 x，于是當(dāng) x 變化時(shí)， f (x，fx的變化情況如下表.)0ln 2)( )x( ， ln 2)ln 2(ln 2，)f (x)0f ( x)單調(diào)遞減2(1 ln 2 a)單調(diào)遞增故 f ( x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是 ( ， ln 2，單調(diào)遞增區(qū)間是 ln2 ，)，f ( x) 在 x ln 2 處取得極小值，極小值為f (ln 2) eln 22ln22a2(1 ln 2 a) (2) 證明設(shè) g( x) exx22ax 1， x R，于是 g(x) ex 2x2a，xR.由 (1) 知當(dāng) aln 2 1 時(shí)， g(x) 的最小值為g(ln 2) 2(1 ln 2 a) 0.于是對(duì)任意

13、xR，都有 g(x) 0，所以 g( x) 在 R 內(nèi)單調(diào)遞增于是當(dāng) a ln 2 1 時(shí)，對(duì)任意 x(0 ， ) ，都有 g( x) g(0) 而 g(0) 0，從而對(duì)任意 x (0 ， ) ， g( x) 0.即 exx2 2ax 1 0，故 ex x22ax1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式要考慮構(gòu)造新的函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性或最值解決不等式的證明問題 比如要證明對(duì) ? x a，b 都有 f ( x) g( x) ，可設(shè) h( x) f ( x) g( x) 只要利用導(dǎo)數(shù)說明h( x) 在 a， b 上的最小值為 0 即可【訓(xùn)練 3】 已知 mR，函數(shù) f ( x) ( x2mxm)e x(1)

14、若函數(shù)沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m的取值范圍；(2) 當(dāng) m0 時(shí)，求證 f ( x) x2 x3 .(1) 解 由已知條件 f ( x) 0 無解，即 x2mx m 0 無實(shí)根，2m ，實(shí)數(shù) m的取值范圍是則m m ，解得(0,4)4 00 4(2) 證明當(dāng) m 0 時(shí)， f ( x) x2ex設(shè) g( x) exx1， g(x) ex 1，g( x) ，g(x) 隨 x 變化情況如下：x( ， 0)0(0 ，)g(x)0g( x)0由此可知對(duì)于 xR，g( x) g(0)即 exx10，因此 x2(e x x1) 0，整理得x2ex x3 x2，即 f ( x) x3x2.閱卷報(bào)告 2書寫不規(guī)范失

15、分【問題診斷】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，這類問題求解并不難，即只需由fx 0 或 fx0，求其解即得 . 但在求解時(shí)會(huì)因書寫不規(guī)范而導(dǎo)致失分 .【防范措施】對(duì)于含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間，中間用“，”或“和”連接，而不能用符號(hào)“”連接.【示例】 ?設(shè)函數(shù)x1 2f ( x) x(e 1) 2x ，求函數(shù)f ( x) 的單調(diào)增區(qū)間錯(cuò)因結(jié)論書寫不正確，也就是說不能用符號(hào)“”連接，應(yīng)為( ，1) 和(0 ， ) 實(shí)錄 f (x) ex 1 xex x(e x1) (x 1) ，令 f (x) 0 得，x 1 或 x0.所以函數(shù) f ( x) 的單調(diào)增區(qū)間為 ( ， 1) (0 ， ) 正解因?yàn)閒 ( x)x1 2x(e 1) 2x ，所以 f (x) ex 1 xex x (e x1) (x 1) 令 f (x) 0，即 (e x1)( x1) 0，得 x 1 或 x0.所以函數(shù) f ( x) 的單調(diào)增區(qū)間為 ( ， 1) 和(0 ， ) 【試一試】設(shè)函數(shù) f ( x) ax3 3x2， ( aR) ，且 x 2 是 yf ( x) 的極值點(diǎn)，求函數(shù)g x xfx的單調(diào)區(qū)間( )e( )