高等代數課件

1、高等代數課件高等代數課件隴南師范高等?？茖W校數學系隴南師范高等?？茖W校數學系20082008年制作年制作第四章第四章 多多項項式與矩陣式與矩陣4.1 帶余除法帶余除法 多項式的整除性多項式的整除性4.2 最大公因式最大公因式 4.3 多項式的因式分解多項式的因式分解4.6多項式的根多項式的根4.1 帶余除法帶余除法 多項式的整除性多項式的整除性 定義定義1 設設F是一個數域是一個數域. 所謂所謂F上關于文字上關于文字x的多項式的多項式(也叫一元多也叫一元多項式項式)是指形式表達式是指形式表達式 a0a1xa2x2a n 1 xn 1anxn, (1)這里這里n是非負整數是非負整數,并且并且a0

2、,a1, a2, ,an都是都是F中的數中的數.我們規(guī)定我們規(guī)定x0 =1，那么多項式，那么多項式(1)可以表示為可以表示為 iniixa0其中其中aixi稱為多項式稱為多項式(1)的的i次項次項, ai稱為多項式稱為多項式(1)的的i次項的系數次項的系數. 零次零次項項 a0通常也稱為通常也稱為(1)的常數項的常數項. 定義定義2 在多項式在多項式(1)中，把項按次數從低到高的順序排列中，把項按次數從低到高的順序排列, 如果如果an0, 那么我們稱那么我們稱anxn為多項式為多項式(1)的最高次項，的最高次項， n稱為多項式稱為多項式(1)的次的次數數. 多項式用f (x), g(x), 來

3、表示. 數域F上關于文字x的全體多項式所作成的集合記為Fx. 定義定義3 設f (x)與g(x)是Fx中的多項式如果f(x) 與g(x)的同次項的系數相等，那么就稱f (x)與g(x)是相等的，記為 f (x) = g(x). Fx中非零多項式f (x)的次數記為deg f (x). 各項系數都為0的多項式稱為零多項式，將其記為0從定義可以看出，零多項式是Fx中唯一沒有次數的多項式一元多項式的運算一元多項式的運算設設 f (x) = a0a1xa2x2a n 1 xn 1 anxn, g(x) = b0b1xb2x2b m 1 x m 1 bmxm 都是都是Fx中多項式中多項式.不妨設不妨設m

4、n. 多項式多項式f (x)與與g(x)的和的和f (x)+g(x)是是指多項式指多項式 (a0b0)(a1b1)x(a n 1b n 1) xn 1( an+ bn)xn, (2)這里當這里當mn時，時， bm+1=bn= 0. 多項式多項式f (x)與與g(x)的積的積f (x)g(x)是指多項式是指多項式 c0c1xc2x2ckxkcn+mxn+m,對多項式對多項式g(x) = b0b1xb2x2b m 1x m 1bmxm, 所謂所謂g(x)的負多項式的負多項式g(x) 是指多項式是指多項式 b0b1xb2x2b m 1 x m 1bmxm. 多項式多項式f (x)與與g(x)的差的差

5、f (x)g(x)是指多項式是指多項式f (x)(g(x).其中其中 ck=jkjiibak=1,2,3, ,n+m.對對Fx中任意多項式中任意多項式f (x)，g(x)，h(x),我們都有我們都有 1) f (x)g(x)=g(x)f (x); 2) (f (x)g(x)h(x)=f (x)(g(x)h(x); 3) f (x)g(x) = g(x) f (x); 4) (f (x)g(x) h(x)=f (x)(g(x) h(x); 5) f (x)(g(x)h(x)=f (x)g(x)f (x) h(x).關于多項式的和與積的次數關于多項式的和與積的次數,我們有我們有 引理引理4.1.1

6、 設設f (x)，g(x)是是Fx中非零多項式則中非零多項式則 (i) 當當f (x)g(x)0時時, deg( f (x)g(x)maxdeg f (x),deg g(x). (ii) deg( f (x)g(x) = deg f (x)deg g(x). 推論推論4.1.2 設設f (x), g(x) , h(x) Fx. (i) 如果如果f (x) g(x)=0，那么，那么f (x) =0，或者，或者 g(x)=0; (ii) 如果如果f (x) g(x) = f (x) h(x)，且，且f (x)0，那么，那么g(x) =h(x). 我們把我們把q(x)和和r(x)分別稱為用分別稱為用

7、g(x)去除去除f(x)所得的商和余式。所得的商和余式。定理定理 帶余除法定理帶余除法定理 設設( ), ( ) ,( )0f xg xF xf x，則存在唯一的 ( ), ( ) q x r xF x( )( ) ( )( ),g xq x f xr x，使使( )0r x deg ( )deg( )r xf x其中其中或( ) ,f xF xaF設那么存在唯一的q(x)Fx,rF,( )() ( )f xxa q xr使得推論推論4.14 定理4.1.6 在F x中 (i) 如果g(x)f (x),那么對F中任意非零常數c,總有 c g(x)f (x) , 并且 g(x)cf (x). (

8、ii) 如果h(x)g(x) , 并且g(x)f (x), 那么h(x)f (x). (iii) 如果g(x)f (x), g(x)h (x),那么g(x)(f (x) h (x). (iv) 如果g(x)f (x), 那么對Fx中的任意多項式h (x),總有 g(x)f (x) h (x).定義定義4 設設f (x), g(x)Fx如果存在如果存在u(x)Fx，使得，使得 f (x)=u(x) g(x),那么就稱那么就稱g(x)整除整除f (x)，或者說，或者說f (x)能夠被能夠被g(x)所整除，記作所整除，記作 g(x)f (x)同時同時g(x)叫做叫做f (x)的因式，的因式，f (x

9、)叫做叫做g(x)的倍式的倍式.推論推論4.1.5 設設f (x), g(x)Fx，且，且g(x) 0那么那么g(x)整除整除f (x)的充分的充分必要條件是用必要條件是用g(x)去除去除f (x)所得的余式為所得的余式為0. 零多項式只能整除零多項式零多項式只能整除零多項式.4.2 最大公因式 1 1）d d( (x x) )是是f f( (x x) )和和g g( (x x) )的因式的因式 ，即，即d d( (x x) ) f f( (x x) )， d d( (x x) ) g g( (x x) ) 2) 2) f f( (x x) )與與g g( (x x) )的因式都是的因式都是

10、d d( (x x) )的因式，即一旦的因式，即一旦h h( (x x) ) f f( (x x) ), , h h( (x x) ) g g( (x x) ) , ,就有就有h h( (x x) ) d d( (x x).).( )x( )f x( )g x1 1、公因式：如果多項式公因式：如果多項式即是即是的因式，又是的因式，又是的因式，的因式，( )x( )f x( )g x則稱則稱為為 和和的公因式。的公因式。 ( )f x( )g x2 2、最大公因式：設、最大公因式：設、是是PxPx 中的多項式，中的多項式， 如果在如果在PPx x 中中( )d x，滿足條件：，滿足條件：存在的多

11、項式存在的多項式( )d x( )f x( )g x我們就稱我們就稱為為與與的最大公因式。的最大公因式。最大公因式的性質：最大公因式的性質： 1）如果）如果f(x)與與g(x)都等于都等于0，那么，那么0就是就是f(x)和和g(x)的一個最大公因的一個最大公因式；式； 2）如果）如果g(x) f(x)，那么，那么g(x)就是就是f(x)與與g(x)的一個最大公因式；的一個最大公因式；一、最大公因式的概念一、最大公因式的概念 3）對任一多項式來說，）對任一多項式來說，f(x)總是零多項式與總是零多項式與f(x)的最大公因式；的最大公因式； 4）如果）如果c是是F中的非零常數，中的非零常數，f(x

12、)是是Fx中任一多項式，那么中任一多項式，那么F中中任一非零常數任一非零常數a都是都是c與與f(x)的最大公因式。的最大公因式。 定理定理4.2.1 如果如果Fx中的多項式中的多項式f(x)與與g(x)有一個最大公因式有一個最大公因式d(x)，那么那么cd(x) cF，c0就是就是f(x)與與g(x)的全部最大公因式的全部最大公因式. 定理定理4.2.2 設設f(x)，g(x) Fx， 1）f(x)與與g(x)的最大公因式總是存在的；的最大公因式總是存在的； 2）若）若d(x)是是f(x)與與g(x)的一個最大公因式，則存在的一個最大公因式，則存在Fx中的多項中的多項式式u(x)，v(x)使得

13、使得 u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x). 定理定理4.2.3 設設f(x),g(x),q(x),r(x) Fx.如果如果 f(x)=g(x)q(x)+r(x)，那么，那么， 1）h(x)是是f(x)與與g(x)的公因式當且僅當的公因式當且僅當h(x)是是g(x)與與r(x)的公因的公因式式. 2）d(x)是是f(x)與與g(x)的最大公因式當且僅當的最大公因式當且僅當d(x)是是g(x)與與r(x)的的最大公因式最大公因式. 三、最大公因式的求法：輾轉相除法三、最大公因式的求法：輾轉相除法 設設f(x)與與g(x)是是Fx的兩個多項式，如果的兩個多項式，如果 f(x)與與g(x)中

14、有一個是零中有一個是零多項式多項式 ，那么另一個就是他們的最大公因式；，那么另一個就是他們的最大公因式； 現在我們總假設現在我們總假設f(x)與與g(x) 都不是零多項式，且都不是零多項式，且degg(x) degf(x).做帶余除法，用做帶余除法，用f(x)去除去除g(x)，得到商，得到商q1(x)，余式為，余式為r1(x) ；如果；如果r1(x)0，那么再用，那么再用r1(x)去除去除g(x)，得到商，得到商q2(x)，余式為，余式為r2(x) ；如果；如果r2(x)0，那么再用，那么再用r2(x)去除去除r1(x)，得到商，得到商q3(x)，余式為，余式為r3(x) ；如此輾；如此輾轉轉

15、 相除下去，顯然所得余式的次數不斷降低，因此，在有限次之后，相除下去，顯然所得余式的次數不斷降低，因此，在有限次之后，必然有一個余式為零必然有一個余式為零.于是得到一串帶余除法算式：于是得到一串帶余除法算式： f(x)=q1(x)g(x)+r1(x), g(x)=q2(x)r1(x)+r2(x), r1(x)=q3(x)r2(x)+r3(x), () rs-2(x)=qs(x)rs-1(x)+rs(x), rs-1(x)=qs+1(x)rs(x)+0.于是，由定理于是，由定理4.2.3知，知， rs(x)就是就是f(x)與與g(x) 的最大公因式的最大公因式. 進一步，我們還能利用進一步，我們

16、還能利用()求出求出u(x),v(x)，使得，使得 rs(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)4.3 多項式的因式分解多項式的因式分解 一、不可約多項式的概念一、不可約多項式的概念 定義：設定義：設p(x)是是Fx中次數大于零的多項式，如果中次數大于零的多項式，如果p(x)不能表示不能表示成數域成數域Fx中兩個次數都大于零的多項式的乘積，就稱中兩個次數都大于零的多項式的乘積，就稱p(x)是數域是數域F上的不可約多項式。如果上的不可約多項式。如果p(x)能表示成數域能表示成數域Fx中兩個次數都大于中兩個次數都大于零的多項式的乘積，就稱零的多項式的乘積，就稱p(x)是數域是數域F上的可約多項式

17、。上的可約多項式。 注：（注：（1）F上的一次多項式就是數域上的一次多項式就是數域F上的不可約多項式。上的不可約多項式。 （2）多項式是否可約依賴于系數域。）多項式是否可約依賴于系數域。 （3）p(x)不可約不可約當且僅當當且僅當p(x)的因式只有非零常數的因式只有非零常數c和和c與與它它自身的非零常數倍自身的非零常數倍cp(x).二、不可約多項式的性質二、不可約多項式的性質 定理定理4.3.1 設設p(x) Fx, p(x)的次數大于零，則的次數大于零，則p(x)是是F上的不可上的不可約多項式當且僅當約多項式當且僅當p(x)不能表示成不能表示成Fx中兩個次數都小于中兩個次數都小于degp(x

18、)的的多項式的乘積多項式的乘積. 定理定理4.3.2 設設p(x) Fx，且，且p(x) 是是F上不可約多項式，那么對任上不可約多項式，那么對任意的意的f(x) Fx，要么，要么(p(x)，f(x)=1,要么要么p(x) f(x). 定理定理4.3.3 設設p(x),f(x),g(x) F x,且且p(x)是是F上的不可約多項式，上的不可約多項式，如果如果p(x) f(x)g(x)，那么，那么p(x) f(x),或者或者p(x) g(x).三、因式分解及唯一性定理三、因式分解及唯一性定理 定理定理4.3.5 設設f(x) Fx ，且，且f(x)的次數大于零的次數大于零. (1) f(x)可分解為若干個可分解為若干個F上的不可約多項式的乘積；上的不可約多項式的乘積； (2) 如果如果 f(x)=p1(x)p2(x)pr(x) ， 且且 f(x)=q1(x)q2(x)qs(x) ,這里這里pi(x)和和qj(x) (i=1,2, ,r; j=1,2, ,s)都是都是F上的不可約多項式，上的不可約多項式，那么那么r=s，且適當地給，且適當地給q1(x),q2(x),qr(x)重新編號，可使重新編號，可使 pi(x)=ci