[研究生入學(xué)考試]無窮級數(shù)

1、.教 案課 程 名 稱： 高 等 數(shù) 學(xué)課 程 性 質(zhì)： 公 共 必 修計(jì) 劃 學(xué) 時(shí)： 8 0 計(jì) 劃 學(xué) 分： 5 授 課 班 級： 網(wǎng) 絡(luò) 會(huì) 計(jì)，物 流授 課 學(xué) 期： 2010-2011下主 講 教 師： 職 稱： 講 師 教 研 室： 高 等 數(shù) 學(xué)第5章 無窮級數(shù)教學(xué)目的： 1理解常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2掌握幾何級數(shù)與P級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。3掌握正項(xiàng)級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法。4掌握交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茨判別法。5了解任意項(xiàng)級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關(guān)系。6了解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

2、的收斂域及和函數(shù)的概念。7理解冪級數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。8了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分），會(huì)求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和。9了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。10掌握，和的麥克勞林展開式，會(huì)用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。教學(xué)重點(diǎn) ： 1、級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。 2、正項(xiàng)級數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別； 3、交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茨判別法； 4、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域； 5、，和的麥克勞林展開式； 教學(xué)難點(diǎn)：1、 比較判別法的極限

3、形式；2、 萊布尼茨判別法；3、 任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂；4、 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域及和函數(shù)；5、 泰勒級數(shù)；6、 傅里葉級數(shù)的狄利克雷定理。教學(xué)方法：講授法，任務(wù)驅(qū)動(dòng)教學(xué)手段：黑板板書計(jì)劃學(xué)時(shí)：20學(xué)時(shí)§5. 1 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 常數(shù)項(xiàng)級數(shù): 給定一個(gè)數(shù)列 u1, u2, u3, × × ×, un, × × ×, 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 u1 + u2 + u3 + × × ×+ un + × × ×叫做(常數(shù)項(xiàng))無窮級數(shù),

4、簡稱(常數(shù)項(xiàng))級數(shù), 記為, 即 , 其中第n項(xiàng)u n 叫做級數(shù)的一般項(xiàng). 級數(shù)的部分和: 作級數(shù)的前n項(xiàng)和 稱為級數(shù)的部分和. 級數(shù)斂散性定義: 如果級數(shù)的部分和數(shù)列有極限s, 即, 則稱無窮級數(shù)收斂, 這時(shí)極限s叫做這級數(shù)的和, 并寫成 ; 如果沒有極限, 則稱無窮級數(shù)發(fā)散. 余項(xiàng): 當(dāng)級數(shù)收斂時(shí), 其部分和s n是級數(shù)的和s的近似值, 它們之間的差值 rn=s-sn=un+1+un+2+ × × ×叫做級數(shù)的余項(xiàng). 例1 討論等比級數(shù)(幾何級數(shù)) 的斂散性, 其中a¹0, q叫做級數(shù)的公比. 解 如果q¹1, 則部分和 . 當(dāng)|q|<

5、;1時(shí), 因?yàn)? 所以此時(shí)級數(shù)收斂, 其和為. 當(dāng)|q|>1時(shí), 因?yàn)? 所以此時(shí)級數(shù)發(fā)散. 如果|q|=1, 則當(dāng)q=1時(shí), sn =na®¥, 因此級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)q=-1時(shí), 級數(shù)成為 a-a+a-a+ × × ×, 時(shí)|q|=1時(shí), 因?yàn)閟n 隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零, 所以sn的極限不存在, 從而這時(shí)級數(shù)也發(fā)散. 綜上所述, 如果|q|<1, 則級數(shù)收斂, 其和為; 如果|q|³1, 則級數(shù)發(fā)散. 僅當(dāng)|q|<1時(shí), 幾何級數(shù)a¹0)收斂, 其和為. 例2 證明級數(shù) 1+2+3+×

6、× ×+n+× × × 是發(fā)散的. 證 此級數(shù)的部分和為 . 顯然, , 因此所給級數(shù)是發(fā)散的. 例3 判別無窮級數(shù) 的收斂性. 解 由于 , 因此 從而 , 所以這級數(shù)收斂, 它的和是1. 二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1 如果級數(shù)收斂于和s, 則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)k所得的級數(shù)也收斂, 且其和為ks. (如果級數(shù)收斂于和s, 則級數(shù)也收斂, 且其和為ks. ) 這是因?yàn)? 設(shè)與的部分和分別為sn與sn, 則 . 這表明級數(shù)收斂, 且和為ks. 性質(zhì)2 如果級數(shù)、分別收斂于和s、s, 則級數(shù)也收斂, 且其和為s±s. 這是因?yàn)? 如果

7、、的部分和分別為sn、sn、tn, 則 . 性質(zhì)3 在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng), 不會(huì)改變級數(shù)的收斂性. 比如, 級數(shù)是收斂的, 級數(shù)也是收斂的, 級數(shù)也是收斂的. 性質(zhì)4 如果級數(shù)收斂, 則對這級數(shù)的項(xiàng)任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂, 且其和不變. 應(yīng)注意的問題: 如果加括號后所成的級數(shù)收斂, 則不能斷定去括號后原來的級數(shù)也收斂. 例如, 級數(shù) (1-1)+(1-1) +× × ×收斂于零, 但級數(shù)1-1+1-1+× × ×卻是發(fā)散的. 推論: 如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散, 則原來級數(shù)也發(fā)散. 級數(shù)收斂的必要條件: 性質(zhì)5 如果收

8、斂, 則它的一般項(xiàng)un 趨于零, 即. （性質(zhì)5的等價(jià)命題：若，則級數(shù)發(fā)散 ） 證 設(shè)級數(shù)的部分和為sn, 且, 則 . 應(yīng)注意的問題: 級數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件. 例4 證明調(diào)和級數(shù) 是發(fā)散的. 證 假若級數(shù)收斂且其和為s, sn是它的部分和. 顯然有及. 于是. 但另一方面, , 故, 矛盾. 這矛盾說明級數(shù)必定發(fā)散. §5. 2 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法 一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法 正項(xiàng)級數(shù): 各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù). 定理1 正項(xiàng)級數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列sn有界. 定理2(比較審斂法)設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù), 且un£vn (n=1, 2,

9、 × × × ). 若級數(shù)收斂, 則級數(shù)收斂; 反之, 若級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)發(fā)散. 證 設(shè)級數(shù)收斂于和s, 則級數(shù)的部分和 sn=u1+u2+ × × × +un£v1+ v2+ × × × +vn£s (n=1, 2, × × ×), 即部分和數(shù)列sn有界, 由定理1知級數(shù)收斂. 反之, 設(shè)級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)必發(fā)散. 因?yàn)槿艏墧?shù)收斂, 由上已證明的結(jié)論, 將有級數(shù)也收斂, 與假設(shè)矛盾. 推論 設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù), 如果級數(shù)收斂, 且存在自然數(shù)N, 使當(dāng)n&

10、#179;N時(shí)有un£kvn(k>0)成立, 則級數(shù)收斂; 如果級數(shù)發(fā)散, 且當(dāng)n³N時(shí)有un³kvn(k>0)成立, 則級數(shù)發(fā)散. 例1 討論p-級數(shù) 的收斂性, 其中常數(shù)p>0. 解 設(shè)p£1. 這時(shí), 而調(diào)和級數(shù)發(fā)散, 由比較審斂法知, 當(dāng)p£1時(shí)級數(shù)發(fā)散. 設(shè)p>1. 此時(shí)有 (n=2, 3, × × ×). 對于級數(shù), 其部分和 . 因?yàn)? 所以級數(shù)收斂. 從而根據(jù)比較審斂法的推論1可知, 級數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂. 綜上所述, p-級數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂, 當(dāng)p£1時(shí)

11、發(fā)散. 例2 證明級數(shù)是發(fā)散的. 證 因?yàn)? 而級數(shù)是發(fā)散的, 根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是發(fā)散的. 定理3 (比較審斂法的極限形式) 設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù), (1)如果(0£l<+¥), 且級數(shù)收斂, 則級數(shù)收斂; (2)如果, 且級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)發(fā)散. 例3 判別級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級數(shù)發(fā)散, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級數(shù)發(fā)散. 例4 判別級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級數(shù)收斂, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級數(shù)收斂. 定理4(比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法)設(shè)為正項(xiàng)級數(shù), 如果, 則當(dāng)r<1時(shí)級數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r

12、=1時(shí)級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例5 證明級數(shù)是收斂的. 解 因?yàn)? 根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)收斂. 例6 判別級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)發(fā)散. 例7 判別級數(shù)的收斂性. 解 . 這時(shí)r=1, 比值審斂法失效, 必須用其它方法來判別級數(shù)的收斂性. 因?yàn)? 而級數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂. 定理5 (根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)是正項(xiàng)級數(shù), 如果它的一般項(xiàng)un的n次根的極限等于r: , 則當(dāng)r<1時(shí)級數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r=1時(shí)級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例8 證明級數(shù)是收斂的. 并估計(jì)以級數(shù)的部分和sn近似代替和s所

13、產(chǎn)生的誤差. 解 因?yàn)? 所以根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)收斂. 以這級數(shù)的部分和sn 近似代替和s所產(chǎn)生的誤差為 + . 例6判定級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)?, 所以, 根據(jù)根值審斂法知所給級數(shù)收斂. 定理6 (極限審斂法) 設(shè)為正項(xiàng)級數(shù), (1)如果, 則級數(shù)發(fā)散; (2)如果p>1, 而, 則級數(shù)收斂. 例7 判定級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 故 , 根據(jù)極限審斂法, 知所給級數(shù)收斂. 例8 判定級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)?, 根據(jù)極限審斂法, 知所給級數(shù)收斂. 二、交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法 交錯(cuò)級數(shù): 交錯(cuò)級數(shù)是這樣的級數(shù), 它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的. 交錯(cuò)級數(shù)的一般形式為, 其中. 例如, 是交

14、錯(cuò)級數(shù), 但不是交錯(cuò)級數(shù). 定理6（萊布尼茨定理） 如果交錯(cuò)級數(shù)滿足條件: (1)un³un+1 (n=1, 2, 3, × × ×); (2), 則級數(shù)收斂, 且其和s£u1, 其余項(xiàng)rn的絕對值|rn|£un+1. 簡要證明: 設(shè)前n項(xiàng)部分和為sn. 由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+ × × × +(u2n 1-u2n), 及 s2n=u1-(u2-u3)+(u4-u5)+ × × × +(u2n-2-u2n-1)-u2n 看出數(shù)列s2n單調(diào)增加且有界(s2n&

15、lt;u1), 所以收斂. 設(shè)s2n®s(n®¥), 則也有s2n+1=s2n+u2n+1®s(n®¥), 所以sn®s(n®¥). 從而級數(shù)是收斂的, 且sn<u1. 因?yàn)?|rn|=un+1-un+2+× × ×也是收斂的交錯(cuò)級數(shù), 所以|rn|£un+1. 例9 證明級數(shù)收斂, 并估計(jì)和及余項(xiàng). 證 這是一個(gè)交錯(cuò)級數(shù). 因?yàn)榇思墧?shù)滿足 (1)(n=1, 2,× × ×), (2), 由萊布尼茨定理, 級數(shù)是收斂的, 且其和s

16、<u1=1, 余項(xiàng). 三、絕對收斂與條件收斂: 絕對收斂與條件收斂: 若級數(shù)收斂, 則稱級數(shù)絕對收斂; 若級數(shù)收斂, 而級數(shù)發(fā)散, 則稱級條件收斂. 例10 級數(shù)是絕對收斂的, 而級數(shù)是條件收斂的. 定理7 如果級數(shù)絕對收斂, 則級數(shù)必定收斂. 值得注意的問題: 如果級數(shù)發(fā)散, 我們不能斷定級數(shù)也發(fā)散. 但是, 如果我們用比值法或根值法判定級數(shù)發(fā)散, 則我們可以斷定級數(shù)必定發(fā)散. 這是因?yàn)? 此時(shí)|un|不趨向于零, 從而un也不趨向于零, 因此級數(shù)也是發(fā)散的. 例11 判別級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)閨, 而級數(shù)是收斂的, 所以級數(shù)也收斂, 從而級數(shù)絕對收斂. 例12 判別級數(shù)的收斂性.

17、解: 由, 有, 可知, 因此級數(shù)發(fā)散. § 5. 3 冪級數(shù) 一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 函數(shù)項(xiàng)級數(shù): 給定一個(gè)定義在區(qū)間I 上的函數(shù)列un(x), 由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +un(x)+ × × ×稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項(xiàng))級數(shù), 記為. 收斂點(diǎn)與發(fā)散點(diǎn): 對于區(qū)間I內(nèi)的一定點(diǎn)x0, 若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂, 則稱點(diǎn)x0是級數(shù)的收斂點(diǎn). 若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)發(fā)散, 則稱點(diǎn)x0是級數(shù)的發(fā)散點(diǎn). 收斂域與發(fā)散域: 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域, 所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域.

18、 和函數(shù): 在收斂域上, 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù), 并寫成. un(x)是的簡便記法, 以下不再重述. 在收斂域上, 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)un(x)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)un(x)的和函數(shù), 并寫成s(x)=un(x). 這函數(shù)的定義就是級數(shù)的收斂域, 部分和: 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x), 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x), 即 sn(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +un(x). 在收斂域上有或sn(x)®s(x)(n®&#

19、165;) . 余項(xiàng): 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x)叫做函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的余項(xiàng). 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)un(x)的余項(xiàng)記為rn (x), 它是和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x). 在收斂域上有. 二、冪級數(shù)及其收斂性 冪級數(shù): 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中簡單而常見的一類級數(shù)就是各項(xiàng)都冪函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級數(shù), 這種形式的級數(shù)稱為冪級數(shù), 它的形式是 a0+a1x+a2x2+ × × × +anxn+ × × × , 其中常數(shù)a0, a1, a2, × × &

20、#215; , an , × × ×叫做冪級數(shù)的系數(shù). 冪級數(shù)的例子: 1+x+x2+x3+ × × × +xn + × × × , . 注: 冪級數(shù)的一般形式是 a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ × × × +an(x-x0)n+ × × × , 經(jīng)變換t=x-x0就得a0+a1t+a2t2+ × × × +antn+ × × × . 冪級數(shù) 1+x+x2+x3+ 

21、5; × × +xn + × × × 可以看成是公比為x的幾何級數(shù). 當(dāng)|x|<1時(shí)它是收斂的; 當(dāng)|x|³1時(shí), 它是發(fā)散的. 因此它的收斂域?yàn)?-1, 1), 在收斂域內(nèi)有. 定理1 (阿貝爾定理) 如果級數(shù)當(dāng)x=x0 (x0¹0)時(shí)收斂, 則適合不等式|x|<|x0|的一切x使這冪級數(shù)絕對收斂. 反之, 如果級數(shù)當(dāng)x=x0時(shí)發(fā)散, 則適合不等式|x|>|x0|的一切x使這冪級數(shù)發(fā)散. 證 先設(shè)x0是冪級數(shù)的收斂點(diǎn), 即級數(shù)收斂. 根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件, 有, 于是存在一個(gè)常數(shù)M, 使| anx0n

22、|£M(n=0, 1, 2, × × ×). 這樣級數(shù)的的一般項(xiàng)的絕對值. 因?yàn)楫?dāng)|x|<|x0|時(shí), 等比級數(shù)收斂, 所以級數(shù)收斂, 也就是級數(shù)絕對收斂. 定理的第二部分可用反證法證明. 倘若冪級數(shù)當(dāng)x=x0時(shí)發(fā)散而有一點(diǎn)x1適合|x1|>|x0|使級數(shù)收斂, 則根據(jù)本定理的第一部分, 級數(shù)當(dāng)x=x0時(shí)應(yīng)收斂, 這與所設(shè)矛盾. 定理得證. 推論 如果級數(shù)不是僅在點(diǎn)x=0一點(diǎn)收斂, 也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂, 則必有一個(gè)完全確定的正數(shù)R存在, 使得 當(dāng)|x|<R時(shí), 冪級數(shù)絕對收斂; 當(dāng)|x|>R時(shí), 冪級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)x=R與x=

23、-R時(shí), 冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 收斂半徑與收斂區(qū)間: 正數(shù)通常叫做冪級數(shù)的收斂半徑. 開區(qū)間(-R, R)叫做冪級數(shù)的收斂區(qū)間. 再由冪級數(shù)在x=±R處的收斂性就可以決定它的收斂域. 冪級數(shù)的收斂域是(-R, R)(或-R, R)、(-R, R、-R, R之一. 規(guī)定: 若冪級數(shù)只在x=0收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=0 , 若冪級數(shù)對一切x都收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=+¥, 這時(shí)收斂域?yàn)?-¥, +¥). 定理2 如果, 其中an、an+1是冪級數(shù)的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù), 則這冪級數(shù)的收斂半徑 . 簡要證明: . (1)如果0<r<+¥

24、;, 則只當(dāng)r|x|<1時(shí)冪級數(shù)收斂, 故. (2)如果r=0, 則冪級數(shù)總是收斂的, 故R=+¥. (3)如果r=+¥, 則只當(dāng)x=0時(shí)冪級數(shù)收斂, 故R=0. 例1 求冪級數(shù) 的收斂半徑與收斂域. 解 因?yàn)? 所以收斂半徑為. 當(dāng)x=1時(shí), 冪級數(shù)成為, 是收斂的; 當(dāng)x=-1時(shí), 冪級數(shù)成為, 是發(fā)散的. 因此, 收斂域?yàn)?-1, 1. 例2 求冪級數(shù)的收斂域. 解 因?yàn)? 所以收斂半徑為R=+¥, 從而收斂域?yàn)?-¥, +¥). 例3 求冪級數(shù)的收斂半徑. 解 因?yàn)?, 所以收斂半徑為R=0, 即級數(shù)僅在x=0處收斂. 例4 求冪

25、級數(shù)的收斂半徑. 解 級數(shù)缺少奇次冪的項(xiàng), 定理2不能應(yīng)用. 可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑: 冪級數(shù)的一般項(xiàng)記為. 因?yàn)?, 當(dāng)4|x|2<1即時(shí)級數(shù)收斂; 當(dāng)4|x|2>1即時(shí)級數(shù)發(fā)散, 所以收斂半徑為.提示: . 例5 求冪級數(shù)的收斂域. 解 令t=x-1, 上述級數(shù)變?yōu)? 因?yàn)?, 所以收斂半徑R=2. 當(dāng)t=2時(shí), 級數(shù)成為, 此級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)t=-2時(shí), 級數(shù)成為, 此級數(shù)收斂. 因此級數(shù)的收斂域?yàn)?2£t<2. 因?yàn)?2£x-1<2, 即-1£x<3, 所以原級數(shù)的收斂域?yàn)?1, 3). 三、冪級數(shù)的運(yùn)算 設(shè)冪級數(shù)及分別在

26、區(qū)間(-R, R)及(-R¢, R¢)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R¢, R¢)中較小的區(qū)間內(nèi)有加法: , 減法: , 設(shè)冪級數(shù)anxn及bnxn分別在區(qū)間(-R, R)及(-R¢, R¢)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R¢, R¢)中較小的區(qū)間內(nèi)有加法: anxn+bnxn =(an+bn)xn , 減法: anxn-bnxn =(an-bn)xn . 乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+ × × × +(a0bn+a1bn-

27、1+ × × × +anb0)xn+ × × × 性質(zhì)1 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù). 如果冪級數(shù)在x=R (或x=-R)也收斂, 則和函數(shù)s(x)在(-R, R(或-R, R)連續(xù). 性質(zhì)2 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積, 并且有逐項(xiàng)積分公式 (xÎI ), 逐項(xiàng)積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑. 性質(zhì)3 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(-R, R)內(nèi)可導(dǎo), 并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式 (|x|<R), 逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑. 例6 求冪級數(shù)的和函數(shù). 解

28、 求得冪級數(shù)的收斂域?yàn)?1, 1). 設(shè)和函數(shù)為s(x), 即, xÎ-1, 1). 顯然s(0)=1. 在的兩邊求導(dǎo)得 . 對上式從0到x積分, 得 . 于是, 當(dāng)x ¹0時(shí), 有. 從而. 因?yàn)?, 所以, 當(dāng)x¹0時(shí), 有, 從而 . 例7 求級數(shù)的和. 解 考慮冪級數(shù), 此級數(shù)在-1, 1)上收斂, 設(shè)其和函數(shù)為s(x), 則. 在例6中已得到xs(x)=ln(1-x), 于是-s(-1)=ln2, , 即. §5. 4 函數(shù)展開成冪級數(shù) 一、泰勒級數(shù) 要解決的問題: 給定函數(shù)f(x), 要考慮它是否能在某個(gè)區(qū)間內(nèi)“展開成冪級數(shù)”, 就是說, 是

29、否能找到這樣一個(gè)冪級數(shù), 它在某區(qū)間內(nèi)收斂, 且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x). 如果能找到這樣的冪級數(shù), 我們就說, 函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù), 或簡單地說函數(shù)f(x)能展開成冪級數(shù), 而該級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù)f(x). 泰勒多項(xiàng)式: 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于 , 其中(x介于x與x0之間). 泰勒級數(shù): 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f¢(x), f¢¢(x), × × × , f (n)(x), × × × , 則當(dāng)n

30、®¥時(shí), f(x)在點(diǎn)x0的泰勒多項(xiàng)式 成為冪級數(shù) 這一冪級數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù). 顯然, 當(dāng)x=x0時(shí), f(x)的泰勒級數(shù)收斂于f(x0). 需回答的問題: 除了x=x0外, f(x)的泰勒級數(shù)是否收斂? 如果收斂, 它是否一定收斂于f(x)? 定理 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)n®0時(shí)的極限為零, 即 . 證明 先證必要性. 設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)能展開為泰勒級數(shù), 即 , 又設(shè)sn+1(x)是f(x)的泰勒級數(shù)的前n+1項(xiàng)的和

31、, 則在U(x0)內(nèi)sn+1(x)® f(x)(n®¥). 而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=sn+1(x)+Rn(x), 于是R n(x)=f(x)-sn+1(x)®0(n®¥). 再證充分性. 設(shè)Rn(x)®0(n®¥)對一切xÎU(x0)成立. 因?yàn)閒(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=sn+1(x)+R n(x), 于是sn+1(x)=f(x)-R n(x)®f(x), 即f(x)的泰勒級數(shù)在U(x0)內(nèi)收斂, 并且收斂于f(x). 麥克勞林級數(shù): 在泰勒級數(shù)中取x0=0

32、, 得 , 此級數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級數(shù). 展開式的唯一性: 如果f(x)能展開成x的冪級數(shù), 那么這種展式是唯一的, 它一定與f(x)的麥克勞林級數(shù)一致. 這是因?yàn)? 如果f(x)在點(diǎn)x0=0的某鄰域(-R, R)內(nèi)能展開成x的冪級數(shù), 即 f(x)=a0+a1x+a2x2+ × × × +anxn + × × × , 那么根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo), 有f ¢(x)=a1+2a2x+3a3x2+ × × ×+nanxn-1+ × × × , f &#

33、162;¢(x)=2!a2+3×2a3x+ × × × + n×(n-1)anxn-2 + × × × , f ¢¢¢(x)=3!a3+ × × ×+n×(n-1)(n-2)anxn-3 + × × × , × × × × × × × × × × × × × × 

34、15;f (n)(x)=n!an+(n+1)n(n-1) × × × 2an+1x + × × × , 于是得 a0=f(0), a1=f ¢(0), , × × ×, , × × ×. 應(yīng)注意的問題: 如果f(x)能展開成x的冪級數(shù), 那么這個(gè)冪級數(shù)就是f(x)的麥克勞林級數(shù). 但是, 反過來如果f(x)的麥克勞林級數(shù)在點(diǎn)x0=0的某鄰域內(nèi)收斂, 它卻不一定收斂于f(x). 因此, 如果f(x)在點(diǎn)x0=0處具有各階導(dǎo)數(shù), 則f(x)的麥克勞林級數(shù)雖然能作出來,

35、但這個(gè)級數(shù)是否在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂, 以及是否收斂于f(x)卻需要進(jìn)一步考察. 二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 展開步驟: 第一步 求出f (x)的各階導(dǎo)數(shù): f ¢(x), f ¢¢(x), × × × , f (n)(x), × × × . 第二步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0 處的值: f(0), f ¢(0), f ¢¢(0), × × × , f (n)( 0), × × × . 第三步 寫出冪級數(shù) , 并求出收斂半徑R.

36、 第四步 考察在區(qū)間(-R, R)內(nèi)時(shí)是否Rn(x)®0(n®¥). 是否為零. 如果Rn(x)®0(n®¥), 則f(x)在(-R, R)內(nèi)有展開式 (-R<x<R). 例1 將函數(shù)f(x)=ex展開成x的冪級數(shù). 解 所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為f (n)(x)=ex(n=1, 2, × × ×), 因此f (n)(0)=1(n=1, 2, × × ×). 于是得級數(shù) , 它的收斂半徑R=+¥. 對于任何有限的數(shù)x、x (x介于0與x之間), 有 , 而,

37、所以, 從而有展開式 . 例2 將函數(shù)f(x)=sin x 展開成x的冪級數(shù). 解 因?yàn)?n=1, 2, × × ×), 所以f (n)(0)順序循環(huán)地取0, 1, 0, -1, × × × (n=0, 1, 2, 3, × × ×), 于是得級數(shù) , 它的收斂半徑為R=+¥. 對于任何有限的數(shù)x、x (x介于0與x之間), 有 ®0 (n ®¥). 因此得展開式 . . 例3 將函數(shù)f(x)=(1+ x)m展開成x的冪級數(shù), 其中m為任意常數(shù). 解: f(x)的各

38、階導(dǎo)數(shù)為 f ¢(x)=m(1+x)m-1, f ¢¢(x)=m(m-1)(1+x)m-2, × × × × × × × × ×, f (n)(x)=m(m-1)(m-2)× × ×(m-n+1)(1+x)m-n, × × × × × × × × ×, 所以 f(0)=1, f ¢(0)=m, f ¢¢(0)=m(m-1), &

39、#215; × ×, f (n)(0)=m(m-1)(m-2)× × ×(m-n+1), × × ×于是得冪級數(shù) . 可以證明 . 間接展開法: 例4 將函數(shù)f(x)=cos x展開成x的冪級數(shù). 解 已知 (-¥<x<+¥). 對上式兩邊求導(dǎo)得 . 例5 將函數(shù)展開成x的冪級數(shù). 解 因?yàn)? 把x換成-x2, 得 (-1<x<1).注: 收斂半徑的確定: 由-1<-x2<1得-1<x<1. 例6 將函數(shù)f(x)=ln(1+x) 展開成x的冪級數(shù).

40、 解 因?yàn)? 而是收斂的等比級數(shù)(-1<x<1)的和函數(shù): . 所以將上式從0到x逐項(xiàng)積分, 得 . 解: f(x)=ln(1+x) (-1<x£1). 上述展開式對x=1也成立, 這是因?yàn)樯鲜接叶说膬缂墧?shù)當(dāng)x=1時(shí)收斂, 而ln(1+x)在x=1處有定義且連續(xù). 例7 將函數(shù)f(x)=sin x展開成的冪級數(shù). 解 因?yàn)?, 并且有 , , 所以 . 例8 將函數(shù)展開成(x-1)的冪級數(shù). 解 因?yàn)?. 提示: ,. , , 收斂域的確定: 由和得. 展開式小結(jié): , , , , .§5. 5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用 一、近似計(jì)算 例1 計(jì)算的近似值,

41、 要求誤差不超過0.0001. 解 因?yàn)? 所以在二項(xiàng)展開式中取, , 即得 . 這個(gè)級數(shù)收斂很快. 取前兩項(xiàng)的和作為的近似值, 其誤差(也叫做截?cái)嗾`差)為 . 于是取近似式為, 為了使“四舍五入”引起的誤差(叫做舍入誤差)與截?cái)嗾`差之和不超過10-4, 計(jì)算時(shí)應(yīng)取五位小數(shù), 然后四舍五入. 因此最后得 . 例2 計(jì)算ln 2的近似值, 要求誤差不超過0.0001. 解 在上節(jié)例5中, 令 x=1可得 . 如果取這級數(shù)前n項(xiàng)和作為ln2的近似值, 其誤差為 .為了保證誤差不超過, 就需要取級數(shù)的前10000項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算. 這樣做計(jì)算量太大了, 我們必需用收斂較快的級數(shù)來代替它.把展開式 中的x換

42、成-x , 得 ,兩式相減, 得到不含有偶次冪的展開式: .令, 解出. 以代入最后一個(gè)展開式, 得 .如果取前四項(xiàng)作為ln2的近似值, 則誤差為 .于是取 .同樣地, 考慮到舍入誤差, 計(jì)算時(shí)應(yīng)取五位小數(shù): , , , .因此得 ln 2»0.6931. 例3 利用 求sin9°的近似值, 并估計(jì)誤差. 解 首先把角度化成弧度, (弧度)(弧度),從而 .其次, 估計(jì)這個(gè)近似值的精確度. 在sin x 的冪級數(shù)展開式中令, 得 .等式右端是一個(gè)收斂的交錯(cuò)級數(shù), 且各項(xiàng)的絕對值單調(diào)減少. 取它的前兩項(xiàng)之和作為的近似值, 起誤差為 .因此取 , 于是得 sin9°&

43、#187;0.15643.這時(shí)誤差不超過10-5. 例4 計(jì)算定積分 的近似值, 要求誤差不超過0.0001（?。? 解 將ex的冪級數(shù)展開式中的x換成-x2, 得到被積函數(shù)的冪級數(shù)展開式 .于是, 根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)可積, 得 .前四項(xiàng)的和作為近似值, 其誤差為 ,所以 . 例5 計(jì)算積分 的近似值, 要求誤差不超過0.0001. 解 由于, 因此所給積分不是反常積分. 如果定義被積函數(shù)在x=0處的值為1, 則它在積分區(qū)間0, 1上連續(xù). 展開被積函數(shù), 有 . 在區(qū)間0, 1上逐項(xiàng)積分, 得 . 因?yàn)榈谒捻?xiàng) , 所以取前三項(xiàng)的和作為積分的近似值: . 二、歐拉公式 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù): 設(shè)

44、有復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù) (u1+iv1)+(u2+iv2)+ × × ×+(un+ivn)+ × × ×其中un , vn (n=1, 2, 3, × × ×)為實(shí)常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù). 如果實(shí)部所成的級數(shù) u1+u2 + × × × +un+ × × ×收斂于和u, 并且虛部所成的級數(shù). v1+v2+ × × × +vn+ × × ×收斂于和v, 就說復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂且和為u+iv. 絕對收斂: 如果級的

45、各項(xiàng)的模所構(gòu)成的級數(shù)收斂, 則稱級數(shù)絕對收斂. 復(fù)變量指數(shù)函數(shù): 考察復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù) . 可以證明此級數(shù)在復(fù)平面上是絕對收斂的, 在x軸上它表示指數(shù)函數(shù)ex , 在復(fù)平面上我們用它來定義復(fù)變量指數(shù)函數(shù), 記為ez . 即 . 歐拉公式: 當(dāng)x=0時(shí), z=iy , 于是 =cos y+isin y. 把y定成x得 eix=cos x+i sin x, 這就是歐拉公式. 復(fù)數(shù)的指數(shù)形式: 復(fù)數(shù)z可以表示為 z=r(cosq +isinq)=reiq , 其中r=|z|是z的模, q =arg z是z的輻角. 三角函數(shù)與復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系: 因?yàn)閑ix=cos x+i sin x, e-ix=c

46、os x-i sin x, 所以 eix+e-ix=2cos x, ex-e-ix=2isin x. , . 這兩個(gè)式子也叫做歐拉公式. 復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的性質(zhì): .特殊地, 有ex+iy =ex ei y =ex (cos y+ isin y). 第七章 空間解析幾何與向量代數(shù) 教學(xué)目的： 1、理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），掌握兩個(gè)向量垂直和平行的條件。3、理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，熟練掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。4、掌握平面方程和直線方程及其求法。5、會(huì)求平面與平面、平面與直線、直線與直線

47、之間的夾角，并會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題。6、點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離。7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。8、了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。9、了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求其方程。教學(xué)重點(diǎn)： 1、向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積的概念、向量運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算； 2、兩個(gè)向量垂直和平行的條件； 3、平面方程和直線方程； 4、平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的相互位置關(guān)系的判定條件； 5、點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離； 6、常用二次曲面的方程及其圖形； 7、旋轉(zhuǎn)曲面及母

48、線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程； 8、空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。教學(xué)難點(diǎn)： 1、向量積的向量運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算； 2、平面方程和直線方程及其求法； 3、點(diǎn)到直線的距離； 4、二次曲面圖形； 5、旋轉(zhuǎn)曲面的方程；§7. 1 向量及其線性運(yùn)算 一、向量概念 向量: 在研究力學(xué)、物理學(xué)以及其他應(yīng)用科學(xué)時(shí), 常會(huì)遇到這樣一類量, 它們既有大小, 又有方向. 例如力、力矩、位移、速度、加速度等, 這一類量叫做向量. 在數(shù)學(xué)上, 用一條有方向的線段(稱為有向線段)來表示向量. 有向線段的長度表示向量的大小, 有向線段的方向表示向量的方向. 向量的符號: 以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量記作.

49、 向量可用粗體字母表示, 也可用上加箭頭書寫體字母表示, 例如, a、r、v、F或、. 自由向量: 由于一切向量的共性是它們都有大小和方向, 所以在數(shù)學(xué)上我們只研究與起點(diǎn)無關(guān)的向量, 并稱這種向量為自由向量, 簡稱向量. 因此, 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 則說向量a和b是相等的, 記為a = b. 相等的向量經(jīng)過平移后可以完全重合. 向量的模: 向量的大小叫做向量的模. 向量a、的模分別記為|a|、. 單位向量: 模等于1的向量叫做單位向量. 零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 記作0或. 零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合, 它的方向可以看作是任意的. 向量的平行: 兩個(gè)非零向量如果它

50、們的方向相同或相反, 就稱這兩個(gè)向量平行. 向量a與b平行, 記作a / b. 零向量認(rèn)為是與任何向量都平行. 當(dāng)兩個(gè)平行向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí), 它們的終點(diǎn)和公共的起點(diǎn)在一條直線上. 因此, 兩向量平行又稱兩向量共線. 類似還有共面的概念. 設(shè)有k(k³3)個(gè)向量, 當(dāng)把它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí), 如果k個(gè)終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上, 就稱這k個(gè)向量共面. 二、向量的線性運(yùn)算 1向量的加法 向量的加法: 設(shè)有兩個(gè)向量a與b, 平移向量使b的起點(diǎn)與a的終點(diǎn)重合, 此時(shí)從a的起點(diǎn)到b的終點(diǎn)的向量c稱為向量a與b的和, 記作a+b, 即c=a+b . 三角形法則: 上述作出兩向量之和的方法

51、叫做向量加法的三角形法則. 平行四邊形法則: A B C A B C D 當(dāng)向量a與b不平行時(shí), 平移向量使a與b的起點(diǎn)重合, 以a、b為鄰邊作一平行四邊形, 從公共起點(diǎn)到對角的向量等于向量a與b的和a+b. 向量的加法的運(yùn)算規(guī)律: (1)交換律a+b=b+a; (2)結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c). 由于向量的加法符合交換律與結(jié)合律, 故n個(gè)向量a1, a2, × × ×, an(n ³3)相加可寫成 a1+a2+ × × ×+an, 并按向量相加的三角形法則, 可得n個(gè)向量相加的法則如下: 使前一向量的終點(diǎn)作為次一

52、向量的起點(diǎn), 相繼作向量a1, a2, × × ×, an, 再以第一向量的起點(diǎn)為起點(diǎn), 最后一向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)作一向量, 這個(gè)向量即為所求的和. 負(fù)向量: 設(shè)a為一向量, 與a的模相同而方向相反的向量叫做a的負(fù)向量, 記為-a. 向量的減法: 我們規(guī)定兩個(gè)向量b與a的差為b-a=b+(-a). 即把向量-a加到向量b上, 便得b與a的差b-a. 特別地, 當(dāng)b=a時(shí), 有 a-a=a+(-a)=0. 顯然, 任給向量及點(diǎn)O, 有 , 因此, 若把向量a與b移到同一起點(diǎn)O, 則從a的終點(diǎn)A向b的終點(diǎn)B所引向量便是向量b與a的差b-a . 三角不等式: 由三角形兩邊

53、之和大于第三邊的原理, 有|a+b|£|a|+|b|及|a-b|£|a|+|b|, 其中等號在b與a同向或反向時(shí)成立. 2向量與數(shù)的乘法 向量與數(shù)的乘法的定義: 向量a與實(shí)數(shù)l的乘積記作la, 規(guī)定la是一個(gè)向量, 它的模|la|=|l|a|, 它的方向當(dāng)l>0時(shí)與a相同, 當(dāng)l<0時(shí)與a相反. 當(dāng)l=0時(shí), |la|=0, 即la為零向量, 這時(shí)它的方向可以是任意的. 特別地, 當(dāng)l=±1時(shí), 有1a=a, (-1)a=-a. 運(yùn)算規(guī)律: (1)結(jié)合律 l(ma)=m(la)=(lm)a； (2)分配律 (l+m)a=la+ma； l(a+b)=la+lb. 例1. 在平行四邊形ABCD中, 設(shè)=a, =b. 試用a和b表示向量、, 其中M是平行四邊形對角線的交點(diǎn). 解 由于平行四邊形的對角線互相平分, 所以A B C D M a+b, 即 -(a+b),