中級(jí)奧數(shù)教程1

1、博師堂國(guó)際教育 bostedu 中級(jí)奧數(shù)教程分?jǐn)?shù)的計(jì)算一 、知識(shí)要點(diǎn)和根本方法分?jǐn)?shù)計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)競(jìng)賽的重要內(nèi)容之一。分?jǐn)?shù)計(jì)算同整數(shù)計(jì)算一樣既有知識(shí)要求又有能力要求。法那么、定律、性質(zhì)是進(jìn)行計(jì)算的依據(jù)，要使計(jì)算快速、準(zhǔn)確，關(guān)鍵是掌握運(yùn)算技巧。對(duì)算式認(rèn)真觀察，剖析算是的特點(diǎn)及個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，巧妙、靈活的運(yùn)用運(yùn)算定律，合理改變運(yùn)算順序，使計(jì)算簡(jiǎn)便易行，這對(duì)啟迪思維，培養(yǎng)綜合分析、推理能力和靈活的運(yùn)算能力，都有很大的幫助。大家都非常熟悉德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯十歲時(shí)巧算前100個(gè)自然數(shù)的故事吧！從某種意義上說(shuō)，計(jì)算方法的巧妙，在一定程度反映一個(gè)人智商的上下。就這個(gè)問(wèn)題給同學(xué)們提供些幫助，

2、愿你能較好地掌握巧算妙解的方法。二、例題精講 例1 計(jì)算： 例2 計(jì)算： 分析 可以清楚地看到分子的括號(hào)局部與分母 分析 假設(shè)按部就班計(jì)算的復(fù)雜性是可想而知，通過(guò)觀察可以通過(guò)乘法意義轉(zhuǎn)換成同一個(gè)算式，使計(jì)算簡(jiǎn)便 找到分子、分母的共同點(diǎn)變形以后計(jì)算過(guò)程就簡(jiǎn)單多了解 原式=2006× 解 原式= =2006× = × =2006× =3 =2006 例3計(jì)算：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19分析 先分別把整數(shù)局部的數(shù)、分?jǐn)?shù)局部的數(shù)合并，然后把整數(shù)局部的和加上分?jǐn)?shù)局部的和。 解 原式= 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+ =10

3、0+1 =100+ =100例4計(jì)算：1×2×3-×(4-)×(5- )×(6- )×(7-)×(8- )×(9-) 分析 把每一個(gè)括號(hào)里的結(jié)果計(jì)算出來(lái),解這道題的方法可能就產(chǎn)生了,第一個(gè)括號(hào)的差是.第二個(gè)括號(hào)的差是,第三個(gè)括號(hào)的差是. 解 原式=×××××××× =×××××××× =3×4×6×7×8×9

4、=36 288例5 計(jì)算: + 分析 先把分子分解質(zhì)因數(shù),約分后就可以獲得結(jié)果.解 原式=+ = + =1例6 解 原式= =+ = = =課后練習(xí)題1. 35×+137× 2. 18×+0.65×- ×18+×0.653. 425÷3+4×4×2-10 4. 1- - -5. 7.0875-4×0.72+÷2.85 6.84-2-0.35÷(1-)×60%×7.1992-1+2-3+4-5+1990-1991 8. ×2.96÷2&#

5、247;(1×1.48) ×49.( )+.+ )-(+ +.+ )10.1.25×88×8+8××1-125%×78×8+×3111+1+×21+×.1+×10+1+×111271×+61×+51× +41×+31×13+14. +×2+(1-)×8+1÷7 ÷3÷(3-2.4×)×2.515. +2 16.42÷(+0.4) 

6、5;60÷(3-2)17.5-3÷(1+2×)÷ 18.(9-×4)+(8-×5)+(4-×9)19.0.1÷0.001-(39×3÷39+3.6×5+0.36×33.75)20. + 21. 2×(1-)×(1-)×(1-)×.×(1-)22. 1949×(-)+47×(-)-1996×(+)+100323. (+ )2+×(+ + + )-(1+ + + )×(+ + +

7、+ )24. (96÷4-4×5) ×(3-3.875) ×49.5÷0.8÷25. 0.12 +0.23+0.34+0.45+0.56+0.67+0.78+0.8926. 1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6)÷(6÷7)÷7÷8÷8÷927. 6÷1-(1-)×-1-1-××281+ + + + + 29. +30. (+)+(+)+(+)+

8、(+)+中級(jí)奧數(shù)教程分?jǐn)?shù)的大小比擬一 、知識(shí)要點(diǎn)和根本方法比擬兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，數(shù)學(xué)課本中介紹了兩種根本方法。第一種是如果兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母相同，分子大的分?jǐn)?shù)較大；第二種是如果兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子相同，分母小的分?jǐn)?shù)較大。如果分子、分母都不相同，那么或者統(tǒng)一分母，或者統(tǒng)一分子，再進(jìn)行比擬。有時(shí)進(jìn)行比擬。有時(shí)就需要另辟蹊徑，例如相減比擬，如果差大于零，減數(shù)就??；相除比擬，假設(shè)商是真分?jǐn)?shù)，那么被除數(shù)小于除數(shù) ，假設(shè)商是假分?jǐn)?shù)，那么被除數(shù)大于除數(shù)；交叉相乘比擬，分?jǐn)?shù)和，如果adcb,那么；倒數(shù)比擬，倒數(shù)大的分?jǐn)?shù)小于倒數(shù)小的分?jǐn)?shù)；化為小數(shù)或循環(huán)小數(shù)比擬等等。在解題中必須認(rèn)真分析。要學(xué)會(huì)多角度、多側(cè)面思考問(wèn)題，靈活運(yùn)

9、用解題方法，不斷開(kāi)拓解題思路，提高解題能力。二、例題精講 例1 分?jǐn)?shù)、中，哪一個(gè)最大？ 分析 先把和化簡(jiǎn)，=，=。這五個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母都不相同，如果統(tǒng)一分母，顯然計(jì)算量大，統(tǒng)一分子，可以看出分子的最小公倍數(shù)是5，15，4，10，1=60。統(tǒng)一分子后各分?jǐn)?shù)分別為： =，=、=、=、= 解 根據(jù)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，分子相同的分?jǐn)?shù)分母小的分?jǐn)?shù)大，所以這五個(gè)分?jǐn)?shù)中最大的分?jǐn)?shù)是 例 2 在內(nèi)填上相同的自然數(shù)，是不等式成立。 + ，此時(shí)內(nèi)的數(shù)的最大值是幾？ 分析 因?yàn)樵坏仁阶蠖耍?dāng)內(nèi)的數(shù)大于6時(shí)，原不等式左端，所以?xún)?nèi)的數(shù)不大于6。由枚舉知，當(dāng)=3時(shí)，左端等于。 解 使不等式成立的內(nèi)的數(shù)的最大值是2。例 3 假

10、設(shè)A=，B=，比擬A與B的大小。 分析 由于兩個(gè)數(shù)分?jǐn)?shù)的分子都是1，只要比擬這兩個(gè)分?jǐn)?shù)分母的大小就可以了，分?jǐn)?shù)B的分母為： 20062-2005×2006+20052 =20062-2005×2006-2005 =20062-2005 =20062-2006+1 與分?jǐn)?shù)A的分母相同，所以分?jǐn)?shù)A與分?jǐn)?shù)B的大小相等。解 A=B例4不求和，比擬2005+2004與2006+2003的大小。分析 不求和比擬，是否嘗試求這兩個(gè)數(shù)的差呢。這也是一個(gè)很有效的方法。解 2005+2004-2006+2003 =2005+2004+-2006+2003+ =2005+2004-2006+20

11、03- +-+ =0-0 =0所以 2005+2004=2006+2003例5 在以下內(nèi)填兩個(gè)相鄰的整數(shù)，使不等式成立：1+分析 因?yàn)?+=2，所以 1+ =2+ =2+ =2+2+ = 2+=3因此上面兩個(gè)方框內(nèi)應(yīng)分別填2和3 3 2 解 1+例 6A= ,求A的整數(shù)局部是多少？分析 先估算分母的大小，因?yàn)?+ + + + = 又 + + + + + = 所以A即120A120解 A的整數(shù)局部是120 課后練習(xí)題：1 用“和“填空 2 用“把以下分?jǐn)?shù)連接起來(lái)： ，3 比擬和的大小 4. 比擬與的大小5. 比擬和的大小 6. 將, , 這三個(gè)數(shù)按從大到小的次序排列出來(lái)7. 比擬下面四個(gè)算式的大

12、小 + + + + 8. 用“和“填空 9比擬下面三個(gè)分?jǐn)?shù)大小 ，10比擬 與 的大小11分?jǐn)?shù)、中，哪一個(gè)最大？12比擬與的大小13如果，那么，內(nèi)應(yīng)填的整數(shù)是 。14有七個(gè)數(shù)，15求 的整數(shù)局部是多少？16將以下每組三個(gè)分?jǐn)?shù)按從小到大的次序排列起來(lái)：1、和應(yīng)為： 2、和應(yīng)為 17用“把以下分?jǐn)?shù)連接起來(lái): , 18.適合下面的不等式的條件，在里可以填的自然數(shù)一共有 個(gè)，這些自然數(shù)的平均數(shù)是 219比擬與的大小。 20. 比擬和的大小21. 將,這四個(gè)數(shù)從小到大排列出來(lái)22. 比擬下面四個(gè)算式的大小: + ,+ ,+ ,+23. 用“和“填空： ， 24比擬下面五個(gè)分?jǐn)?shù)大?。?，25：A=×

13、;9.86, B= ×8.75 .A與B較大的是 。26在，和中，最小的一個(gè)數(shù)是 。27A=,B=,A與B 比擬， 比 大28比擬與的大小。292001年是中國(guó)共產(chǎn)黨建黨80周年，是個(gè)有特殊意義的分?jǐn)?shù)如果下式大于，那么n最小是多少?+ + + 30. 有一些最簡(jiǎn)單真分?jǐn)?shù)，滿(mǎn)足以下條件：(1)分子與分母都是兩位的質(zhì)數(shù)；2分母正好是分子這個(gè)質(zhì)數(shù)逆序排列所成的質(zhì)數(shù)，如。請(qǐng)找出所有滿(mǎn)足條件的最簡(jiǎn)單真分?jǐn)?shù)，并按從小到大的順序?qū)⑺麄兣帕谐鰜?lái)。中級(jí)奧數(shù)教程分?jǐn)?shù)數(shù)列求和一、 知識(shí)要點(diǎn)和根本方法異分母分?jǐn)?shù)相加減，通常先通分，把異分母分?jǐn)?shù)變成同分母分?jǐn)?shù)后在相加減。有一些分?jǐn)?shù)計(jì)算題如果按照常規(guī)方法計(jì)算就會(huì)

14、十分復(fù)雜，必須運(yùn)用某些技巧，尋找簡(jiǎn)單計(jì)算的方法。當(dāng)分母之間存在某種特殊規(guī)律時(shí)，運(yùn)用這些規(guī)律，就能使計(jì)算簡(jiǎn)化。如果分母是相鄰的兩個(gè)自然數(shù)的乘積，可以通過(guò)拆向的方法 ，使得其中一局部分?jǐn)?shù)可以相互抵消，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。一般的，可利用下面的等式，巧妙的計(jì)算一些分?jǐn)?shù)求和的問(wèn)題。=- , = +二、；例題精講 例 1 計(jì)算：+ + + + 解 原式=- +- + +(- ) = - + - + - + - =1- = 例 2 計(jì)算: + + + 解 原式=(- )+ (- )+ (- )+ (- ) = (- + - + - + - ) = (- ) = × = 例3 計(jì)算：+ + + 解 因

15、為 = ×(- ), = ×(- ),=×(- ) 所以 原式= (- + - + - ) = (- ) = 例 4計(jì)算: 1+ + + + 解 原式=1+ + + + = 1+ + + + = 2×(+ + + + ) = 2×(1- + - + - + - + - ) = 2×(1-) = 1例 5 計(jì)算: + + + + 解 原式= + + + + = + + + + = + 2×(+ + + ) = + ×(- + - + - + - ) = + ×(+ + + )-(+ + + ) = + &#

16、215;(+ + - - - ) = + ×(+ + ) = 1例6 + + + 解 原式= + + + = + + + = 2×(+ + + ) = 2×(-+ - + - + - ) = 2×(- ) = 課后練習(xí)題：1. 計(jì)算: + + + + + + 2. 計(jì)算：+ + + 3. 計(jì)算: + + + + 4. 計(jì)算: “!表示以一種運(yùn)算符號(hào)它的含義是2!= 2×1；3!= 3×2×1;求 ×2!+ ×3!+ ×4!+ ×9的值5. 計(jì)算: + + + + + + 6. 計(jì)算:

17、(-)+(-)+(-)+(-)+(-)7. 計(jì)算: + + + 8. 計(jì)算: 1+ + + 9. 在()中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使等式成立：- + - + - +- + =23×(+)10. 計(jì)算: + + + + + + 11. 計(jì)算: 1+2+3+4+5+6+712. 計(jì)算:1- - - - - - 13.計(jì)算: + + + + + + 14. 計(jì)算: + + + + + + + 15. 計(jì)算: 1- - - - - - - - - 16. 計(jì)算: (+ + + + + + )×6417計(jì)算：1+3+5+7+9+11 18. 計(jì)算：+ + + + + 19計(jì)算：1+ + + +

18、 + + + + + + + + + 20. 計(jì)算：+ + + + + + + 21計(jì)算：+ + + + + + 22計(jì)算：+ + + + 23. 計(jì)算: + + + + + 24. (1-)(1-)(1-)(1-)25. (1-)×(2-)×(3-)×(4-)×(5-)×(6-)×(7-)×(8-)×(9-)26. + + + + + 27. + + + + + 28. + + + + 29. 試求+ + + 誤差小于0.006的近似值.30. 計(jì)算 : + + + + + + 中級(jí)奧數(shù)教程繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算一、 知識(shí)要

19、點(diǎn)和根本方法分子和分母中還含有分?jǐn)?shù)或四那么混合運(yùn)算的分?jǐn)?shù)叫做繁分?jǐn)?shù)，通常無(wú)法應(yīng)用運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，因此繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算過(guò)程就是簡(jiǎn)化的過(guò)程，要分別對(duì)分子和分母逐步進(jìn)行運(yùn)算，其間需要扎實(shí)的根本功：概念清楚，運(yùn)算迅速正確，而且還需要探索和掌握一些靈活的解題方法，化“繁為“簡(jiǎn)二、例題精講例 1 ÷ 解 原式= ÷ = ÷ = ÷1 = 例 2 計(jì)算： 解 原式 = = = = =例3 規(guī)定表示選擇兩數(shù)中比擬大的數(shù)的運(yùn)算，表示選擇兩數(shù)中比擬小的數(shù)的運(yùn)算，例如21=2，35=3。計(jì)算下式： 解 原式= 0.25例 4 1+ = 1.619 047,那么= ? 解 用倒推的方法.由于1.619 047=1