特殊行列式與行列式計(jì)算方法總結(jié)

1、.專業(yè)整理 .特殊行列式及行列式計(jì)算方法總結(jié)一、幾類特殊行列式1. 上（下）三角行列式 、對(duì)角行列式 （教材 P7 例 5、例 6）2. 以副對(duì)角線為標(biāo)準(zhǔn)的行列式a11a12La1n00L0a1n0L00La2, na2na21a22L010LMMMMMMMMM0N0an 1,2Lan 1,nan 1,nann0001an1Lan1an 2Lan ,n 1annn ( n1)(1) 2a1n a2,n 1 L an13. 分塊行列式 （教材 P14 例 10）一般化結(jié)果 ：AnCn mAn0n mAnBm0m nBmCm nBm0n mAnCn mAn( 1)mn An BmBmCm nBm0

2、m n4. 范德蒙行列式 （教材 P18 例 12）注：4 種特殊行列式的結(jié)果需牢記！以下幾種行列式的特殊解法必須熟練掌握！二、低階行列式計(jì)算0 a1na2, n 100 00 0二階、三階行列式 對(duì)角線法則（教材 P2、P3）三、高階行列式的計(jì)算【五種解題方法 】1) 利用行列式定義直接計(jì)算特殊行列式 ；2) 利用行列式的性質(zhì)將高階行列式化成已知結(jié)果的特殊行列式；. 學(xué)習(xí)幫手 .專業(yè)整理 .3) 利用行列式的行 （列）擴(kuò)展定理以及行列式的性質(zhì) ，將行列式降階進(jìn)行計(jì)算 適用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代數(shù)余子式很容易計(jì)算 ；4)遞推法或數(shù)學(xué)歸納法 ；5)升階法（又稱加

3、邊法 ）【常見(jiàn)的化簡(jiǎn)行列式的方法】1. 利用行列式定義直接計(jì)算特殊行列式例 1 （ 2001 年考研題 ）00L01000L200MMMM MMD1999L000020000L00000L002001分析：該行列式的特點(diǎn)是每行每列只有一個(gè)元素，因此很容易聯(lián)想到直接利用行列式定義進(jìn)行計(jì)算 。解法一：定義法D(1) (n 1,n 2,.,2,1, n) 2001! ( 1)0 1 2 . 1999 0 2001! 2001!解法二：行列式性質(zhì)法利用行列式性質(zhì) 2 把最后一行依次與第n-1, n-2,2,1 行交換（這里 n=2001 ），即進(jìn)行 2000 次換行以后 ，變成副對(duì)角行列式 。00L0

4、0200100L0102001 100L2002001 12001(20011)D (1)( 1)22001! 2001!MMMM M(1)M01999L00020000L000. 學(xué)習(xí)幫手 .專業(yè)整理 .解法三：分塊法00L01000L200MMMM MMD1999L000020000L00000L002001利用分塊行列式的結(jié)果可以得到00L0100L202000(2000-1)D =2001 MMMM M=2001 (-1)2！2000!=200101999L0020000L00解法四：降階定理展開(kāi)按照每一行分別逐次展開(kāi)，此處不再詳細(xì)計(jì)算 。2. 利用行列式的性質(zhì)將高階行列式化成已知結(jié)果

5、的特殊行列式例 21 a11111 a11D11 b111111 b分析：該行列式的特點(diǎn)是1 很多，可以通過(guò) r1r2 和 r3r4 來(lái)將行列式中的很多1化成 0.解：. 學(xué)習(xí)幫手 .專業(yè)整理 .aa00110011 a1111 a11D0bbab011001111 b1111 b1100r2r10a11r4r1ab00110011 b1100r4r30a112b2ab01a01000b例 3a13a12b1a1b12b13a23a22b2a2 b22b23， (ai 0)Da32b3a3 b32b33a33a43a42b4a4 b42b43分析：該類行列式特點(diǎn)是每行a 的次數(shù)遞減 ， b 的

6、次數(shù)增加 。 特點(diǎn)與范德蒙行列式相似 ，因此可以利用行列式的性質(zhì)將D 化成范德蒙行列式 。解：1( b1 )( b1 )2( b1 )3a1a1a11( b2 )( b2 )2( b2 )3D a13a23a33 a43a2a2a2( b3 ) ( b3 )2( b3 )31a3a3a31( b4 )( b4 )2( b4 )3a4a4a4a13a23a33a43 V ( b1 , b2 , b3 , b4 )a1a2a3a4333a3bibj)aa a4(123j i 4 aia j1練習(xí)：（ 11-12 年 IT 專業(yè)期末考試題 ）111若實(shí)數(shù) x, y, z 各不相等 ，則矩陣 Mxyz

7、 的行列式 M _x 2y 2z 23.利用行列式的行 （列）擴(kuò)展定理以及行列式的性質(zhì)，將行列式降階進(jìn)行計(jì). 學(xué)習(xí)幫手 .專業(yè)整理 .算例 4ab0L000abL00DnLL000Labb00L0a分析：該行列式特點(diǎn)是a 處于主對(duì)角線 ， b 在 a 后的一個(gè)位置 ，最后一行中 b 是第一個(gè)元素 ， a 是最后一個(gè)元素 。解：按第一列展開(kāi) ：ab0L00b0abL00a bD n a ( 1)1 1LL( 1)n 1b000LabO Oa b000L0aa an 1( 1)n 1b bn 1an( 1) n 1 bn練習(xí)：（ 11-12 年期中考試題 ）xy0000xy0000x00D n00

8、0xyy000x4. 行（列）和相等的行列式例 5abLbD nbaLbM MMMbbLa分析 ：該行列式的特點(diǎn)是主對(duì)角線上元素為a ，其余位置上都是b 。 可將第. 學(xué)習(xí)幫手 .專業(yè)整理 .2,3，n 列加到第 1 列上 。（ 類似題型 ：教材 P12 例 8，P27 8(2) ）解：1bLb1bLbDn1aLb1a bL0 a ( n 1)bM M a ( n 1)bMMMM MM1bLa10La b a(n 1)b( a b)n 15. 箭頭形（爪行）行列式例 6011L1120L0D 103L0LL100Ln分析：該類行列式特點(diǎn)是第一行、第一列及主對(duì)角上元素不為0，其余位置都為 0.解

9、此類行列式方法 ，是將行列式化成上三角行列式。解：分別從第 2,3,n 列提出因子 2,3，n ，然后將第 2,3,n 列分別乘以 -1 ，再加到第 1 列上 。011L1n111L1i23n123Lni2L11000100nD n! 101L0n!001L0n! i 2(i )LLLL100L1000L1注：爪形行列式非常重要 ，很多看似復(fù)雜的行列式通過(guò)簡(jiǎn)單變化以后都可以化成爪形行列式進(jìn)行計(jì)算 ！練習(xí)：1) 教材習(xí)題 P28: 8(6)2) （11-12 年期末考試題 ）. 學(xué)習(xí)幫手 .專業(yè)整理 .a23L(n 1)n2a0L0030aL00AnLLn 100La0n00L0a3)（11-1

10、2 年 IT 期末考試題 ）xa1a 2a n 1a nx1000x0200D n 1x00n 10x000n例 7x1a2a3Lana1x2a3LanD a1a2x3LanLLa1a2a3Lxn分析：該類行列式特點(diǎn)是每一行只有主對(duì)角線上的元素與第一個(gè)元素不同。解：. 學(xué)習(xí)幫手 .專業(yè)整理 .x1a2a3Lana1x1x2 a20L0D a1x10x3 a3L0LLa1x100Lxn anx1a2a3Lanx1a1x2a2xn anx3 a3( x1a1) ( x2a2 ) L ( xnan )110L0101L0MMMMM100L1naia2an1Li 1 xiaix2a2anxn( x1a

11、1) ( x2a2 ) L( xnan )01L0MMMM00L1nnai( xi ai )1i 1 xiaii 16. 遞推法或數(shù)學(xué)歸納法該方法用于行列式結(jié)構(gòu)具有一定的對(duì)稱性，教材 P15 例 11 就是遞推法的經(jīng)典例題 。利用同樣的方法可以計(jì)算教材P27 8(4) 。7. 升階法通常計(jì)算行列式都采用降階的方法，是行列式從高階降到低階，但是對(duì)于某些行列式，可以通過(guò)加上一行或一列使得行列式變成特殊行列式，再進(jìn)行計(jì)算 。例 8 （教材 P28 8(6)）1+a11L111+a2L1Dn =MM, (ai 0)MM11L1+an分析：該題有很多解法 ，這里重點(diǎn)介紹升階法。因?yàn)樾辛惺街杏泻芏?，因此

12、可以增加一行1，使得行列式變成比較特殊或者好處理的行列式。注意：行列. 學(xué)習(xí)幫手 .專業(yè)整理 .式是方形的 ，因此在增加一行以后還要增加一列，以保持行列式的形狀。為了使行列式的值不改變 ，因此增加的列為 1,0,0,0.111L1111L101+a11L1-1a10L0nD定理 311+aL1ri -r10aL0 =a a .a (1+1 )n= 0= -1221 2ni =1aiMMMMMMMMMM011L1+an-100Lan例 9 （教材 P27 6(4)）1111abcdD=b2c2d 2a2a4b4c4d 4分析：此行列式可以應(yīng)用性質(zhì)6 將行列式化為上三角行列式，也可以對(duì)比范德蒙行列

13、式的形式 ，通過(guò)添加一行和一列把行列式變成范德蒙行列式以后再進(jìn)行計(jì)算。解法一：ra2 r1111430b ac ad ar3 ar2D0b(ba)c(ca)d (da)r2ar10 b2 (b2a2 ) c2 (c2a2 ) d 2 (d 2a2 )按第一111=(ba)( ca)( da)bcd列展開(kāi)b2 (bc2 (c a)d 2 (da)a)c2c1100c3(ba)(ca)(da)bcbd bc1b2 (b a) c2 ( c a) b2 (b a) d 2 (d a) b2 (b a)按第一cbd b(ba)( ca)( da)行展開(kāi)2222c (c a) b (b a) d (d