八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽例題專(zhuān)題講解14：多邊形的邊與角

1、錄入：王云峰專(zhuān)題14多邊形的邊與角閱讀與思考主要是指多邊形的邊、內(nèi)外角、對(duì)角線、凸多邊形、凹多邊形等基本概念和多邊形內(nèi)角和定理、外角和定理，其中多邊形內(nèi)、外角和定理是解有關(guān)多邊形問(wèn)題的基礎(chǔ)多邊形的許多性質(zhì)與問(wèn)題往往可以利用三角形來(lái)說(shuō)明、解決，將多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題是解多邊形問(wèn).題的基本策略，轉(zhuǎn)化的方法是連對(duì)角線或向外補(bǔ)形多邊形的內(nèi)角和是隨著多邊形的邊數(shù)變化而變化的，但外角和卻總是不變的，所以，我們常以外角和的“不變”來(lái)制約內(nèi)角和的“變”，把內(nèi)角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為外角問(wèn)題來(lái)處理，這是解多邊形相關(guān)問(wèn)題的常用技巧例題與求解【例1】?jī)蓚€(gè)凸多邊形，它們的邊長(zhǎng)之和為12，對(duì)角線的條數(shù)之和為19，那么這兩個(gè)多

2、邊形的邊數(shù)分別是和（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：設(shè)兩個(gè)凸多邊形分別有，條邊，分別引出，條對(duì)角線，由此得，方程組【例2】凸邊形有且只有3個(gè)鈍角，那么的最大值是（）A5B6C7D8解題思路：運(yùn)用鈍角、銳角概念，建立關(guān)于的不等式，通過(guò)求解不等式逼近求解【例3】凸邊形除去一個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角和為2570°，求的值（山東省競(jìng)賽試題）解題思路：利用邊形內(nèi)角和公式，以及邊數(shù)為大于等于3的自然數(shù)這一要求，推出該角大小，進(jìn)而求出的值【例4】如圖，凸八邊形ABCDEFGH的八個(gè)內(nèi)角都相等，邊AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)G的長(zhǎng)分為7，4，2，5，6，2，求該八邊形的周長(zhǎng) （全國(guó)通訊賽試題）解題思路

3、：該八邊形每一內(nèi)角均為135°，每一外角為45°，可將八邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊三角形解決、特殊四邊形加以解決 【例5】如圖所示，小華從M點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)10米后，向左轉(zhuǎn)20°，再沿直線前進(jìn)10米后，又向左轉(zhuǎn)20°，這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地M時(shí)，行走了多少米？解題思路：試著將圖形畫(huà)完，你也許就知道答案了 能力訓(xùn)練A級(jí)1如圖，凸四邊形有個(gè)；ABCDEFG（重慶市競(jìng)賽試題）第1題第2題2 如圖，凸四邊形ABCD的四邊AB，BC，CD和DA的長(zhǎng)分別為3，4，12和13，ABC90°，則四邊形ABCD的面積為3如圖，ABCDEFG第3題第4題第7題4

4、如圖，ABCD是凸四邊形，則的取值范圍是.5一個(gè)凸多邊形的每一內(nèi)角都等于140°，那么，從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)是（）A9條B8條C7條D6條（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）6個(gè)凸邊形的內(nèi)角和小于1999°，那么的最大值是（）（全國(guó)初中聯(lián)賽試題）A11B12C13D147如圖，是一個(gè)正方形桌面，如果把桌面砍下一個(gè)角后，桌面還剩（）個(gè)角A5個(gè)B5個(gè)或3個(gè)C5個(gè)或3個(gè)或4個(gè)D4個(gè)8個(gè)凸邊形，除一個(gè)內(nèi)角外，其余個(gè)內(nèi)角的和為2400°，則的值是（）A15B16C17D不能確定9如圖，在四邊形ABCD中，ABAD8，A60°，D150°，四邊形

5、周長(zhǎng)為32，求BC和DC的長(zhǎng) 10個(gè)凸邊形的最小內(nèi)角為95°，其他內(nèi)角依次增加10°，求的值（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）11平面上有A，B，C，D四點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在一直線上，求證：在ABC，ABD，ACD，BDC中至少有個(gè)三角形的內(nèi)角不超過(guò)45°（江蘇省競(jìng)賽試題）12我們常見(jiàn)到如圖那樣圖案的地面，它們分別是全用正方形或全用正六邊形形狀的材料鋪成的，這樣形狀的材料能鋪成平整的、無(wú)空隙的地面問(wèn)：（1）像上面那樣鋪地面，能否全用正五邊形的材料，為什么？（2）你能不能另外想出一個(gè)用一種多邊形（不一定是正多邊形）的材料鋪地的方案？把你想到的方案畫(huà)成草圖（3）請(qǐng)你再畫(huà)出一個(gè)

6、用兩種不同的正多邊形材料鋪地的草圖（安徽省中考試題）B級(jí)1一個(gè)正邊形恰好被正邊形圍?。o(wú)重疊、無(wú)間隙，如圖所示是4，8的情況），若10，則第1題第2題第3題2如圖，六邊形ABCDEF中，ABCDEF，且ABBC11，F(xiàn)ACD3，則BCDE（北京市競(jìng)賽試題）3如圖，延長(zhǎng)凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊相交得到五個(gè)角：B1，B2，B3，B4，B5，它們的和等于若延長(zhǎng)凸邊形（5）的各邊相交，則得到的個(gè)角的和等于（第十二屆“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）4如圖，在四邊形ABCD中，AB，BC1，CD3，B135°，C90°，則D（）A60°B67.5°C75°

7、D不能確定（重慶市競(jìng)賽試題）第4題第5題5如圖，已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，OAOBOC，ABCADC70°，則DAODCO的大小是（）A70°B110°C140°D150°6在一個(gè)多邊形中，除了兩個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角之和為2002°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A12B12或13C14D14或15（江蘇省競(jìng)賽試題）7一個(gè)凸十一邊形由若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形或正三角形無(wú)重疊、無(wú)間隙地拼成，求此凸十一邊形各個(gè)內(nèi)角大小，并畫(huà)出這樣的凸十一邊形的草圖（全國(guó)通訊賽試題）8一塊地能被塊相同的正方形地磚所覆蓋，如果使用較小的相同正方形地磚，那么需76塊

8、這樣的地磚才能覆蓋該塊地，已知及地磚的邊長(zhǎng)都是整數(shù)，求的值（上海市競(jìng)賽試題）9 設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，記作A1如下左圖，將A1的每條邊三等分，在中間的線段上各向形外作正三角形，去掉中間的線段后得到的圖形記作A2（如下中圖）；將A2的每條邊三等分，并重復(fù)上述過(guò)程，所得到的圖形記作A3（如下右圖）；再將A3的每條邊三等分，并重復(fù)上述過(guò)程，所得到的圖形記作A4，求A4的周長(zhǎng)（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）10在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案也就是說(shuō)，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個(gè)平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊（在幾何里叫作平面鑲嵌），這顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關(guān)，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角（360°）時(shí)，就拼成了一個(gè)平面圖形（1）請(qǐng)根據(jù)下列圖形，填寫(xiě)表中空格：正多邊形邊數(shù)3456正多邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)60°90°（2）如果限