耦合電感和變壓器電路分析

1、8 耦合電感和變壓器電路分析耦合電感和變壓器電路分析前幾章已學(xué)過(guò)的無(wú)源元件有：前幾章已學(xué)過(guò)的無(wú)源元件有：R、L、C。R： 耗能、靜態(tài)、無(wú)記憶；耗能、靜態(tài)、無(wú)記憶；L、C：儲(chǔ)能、動(dòng)態(tài)、有記憶；：儲(chǔ)能、動(dòng)態(tài)、有記憶；它們都是它們都是二端元件二端元件。本章介紹兩種。本章介紹兩種四端元件四端元件:1.耦合電感耦合電感：具有電感的特性；：具有電感的特性；2.理想變壓器理想變壓器：是靜態(tài)、無(wú)記憶：是靜態(tài)、無(wú)記憶,但不耗能。但不耗能。受控源也是受控源也是四端元件四端元件，它與將要介紹的耦合，它與將要介紹的耦合電感均屬電感均屬耦合元件耦合元件。81 耦合電感耦合電感耦合電感：指多個(gè)線圈耦合電感：指多個(gè)線圈(這

2、里先介紹兩個(gè)線這里先介紹兩個(gè)線圈圈)相互之間存在磁場(chǎng)的聯(lián)系。相互之間存在磁場(chǎng)的聯(lián)系。它是耦合線圈的理想化模型。它是耦合線圈的理想化模型。復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：?jiǎn)蝹€(gè)線圈單個(gè)線圈(電感、或稱自感電感、或稱自感)的的VCR：dtdiLdtduiNiLN磁鏈磁鏈=匝數(shù)乘磁通：匝數(shù)乘磁通：自感自感=磁鏈比電流：磁鏈比電流：若若v、i方向關(guān)聯(lián)，方向關(guān)聯(lián)，由電磁感應(yīng)定律：由電磁感應(yīng)定律：設(shè)兩線圈的電壓和電流參考方向均各自關(guān)聯(lián)。設(shè)兩線圈的電壓和電流參考方向均各自關(guān)聯(lián)。由圖，磁通方向與電流方向符合右手法則。由圖，磁通方向與電流方向符合右手法則。8-1-1.耦合電感的伏安關(guān)系耦合電感的伏安關(guān)系其中其中 表示線圈表示線圈1電

3、流在電流在本線圈中產(chǎn)生的磁鏈，稱本線圈中產(chǎn)生的磁鏈，稱為為自感磁鏈自感磁鏈；類此有；類此有 ； 表示線圈表示線圈2的線圈電流的線圈電流在線圈在線圈1中產(chǎn)生的磁鏈，中產(chǎn)生的磁鏈，稱為稱為互感磁鏈互感磁鏈，類此有，類此有 。 112212212122112i1i12I2121112111iMiL 1212221222iMiL圖中顯示自磁鏈與互磁鏈的參考方向一致；圖中顯示自磁鏈與互磁鏈的參考方向一致；若線圈若線圈2改變繞向，如下圖所示，則自磁鏈改變繞向，如下圖所示，則自磁鏈與互磁鏈參考方向?qū)⒉灰恢隆Ｒ虼?，穿過(guò)一與互磁鏈參考方向?qū)⒉灰恢隆Ｒ虼?，穿過(guò)一線圈的總磁鏈有兩種可能，分別表示為：線圈的總磁鏈有兩

4、種可能，分別表示為：122122112i1iI式中式中 稱為稱為自感系數(shù)自感系數(shù)，單位亨單位亨(利利)H22221111,iLiL12122121,iMiM式中式中 稱為稱為互感系數(shù)互感系數(shù)，單位亨單位亨(利利)HMMM2112且若線圈電流變化，則自磁鏈，互磁鏈也隨之變?nèi)艟€圈電流變化，則自磁鏈，互磁鏈也隨之變化。由電磁感應(yīng)定律，線圈兩端會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電化。由電磁感應(yīng)定律，線圈兩端會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電壓，若電壓與電流采取關(guān)聯(lián)參考方向，則：壓，若電壓與電流采取關(guān)聯(lián)參考方向，則：dtdiMdtdiLuudtddtddtduML21111121111dtdiMdtdiLuudtddtddtduML12222212

5、222耦合電感耦合電感伏安關(guān)系伏安關(guān)系(VCR)表達(dá)式：表達(dá)式：式中，式中， 為自感電壓，為自感電壓， 互感電壓，互感電壓，取正號(hào)或負(fù)號(hào)；可見(jiàn)，耦合電感是一種動(dòng)態(tài)、取正號(hào)或負(fù)號(hào)；可見(jiàn)，耦合電感是一種動(dòng)態(tài)、有記憶的四端元件。有記憶的四端元件。(與電感有類似的特性與電感有類似的特性)耦合電感的耦合電感的VCR中有三個(gè)參數(shù)中有三個(gè)參數(shù)：L1、L2和和M。21LLuu21MMuu812.耦合電感的同名端耦合電感的同名端耦合線圈自磁鏈和互磁鏈的參考方向是否耦合線圈自磁鏈和互磁鏈的參考方向是否一致，不僅與線圈電流的參考方向有關(guān)，一致，不僅與線圈電流的參考方向有關(guān)，還與線圈的繞向及相對(duì)位置有關(guān)，后者不還與線

6、圈的繞向及相對(duì)位置有關(guān)，后者不便畫(huà)出，故引入便畫(huà)出，故引入同名端同名端的概念。的概念。1.顧名思義顧名思義,指繞法相同的一對(duì)端鈕；指繞法相同的一對(duì)端鈕；a b a、b是同名端是同名端2.起的作用相同的一對(duì)端鈕；起的作用相同的一對(duì)端鈕；當(dāng)線圈電流同時(shí)流入當(dāng)線圈電流同時(shí)流入(或流出或流出)該對(duì)端鈕時(shí)，該對(duì)端鈕時(shí)，各線圈中產(chǎn)生的磁通方向一致的這對(duì)端鈕。各線圈中產(chǎn)生的磁通方向一致的這對(duì)端鈕。或者說(shuō)，或者說(shuō)，(1)同名端就是當(dāng)電流分別流入線同名端就是當(dāng)電流分別流入線圈時(shí)，能使磁場(chǎng)加強(qiáng)的一對(duì)端鈕；圈時(shí)，能使磁場(chǎng)加強(qiáng)的一對(duì)端鈕；(2)同名端就是當(dāng)電流分別流入線圈時(shí)，能同名端就是當(dāng)電流分別流入線圈時(shí)，能使電壓

7、增加的一對(duì)端鈕；使電壓增加的一對(duì)端鈕；(3)產(chǎn)生自感電壓與互感電壓極性相同的產(chǎn)生自感電壓與互感電壓極性相同的一對(duì)端鈕。一對(duì)端鈕。同名端用標(biāo)志同名端用標(biāo)志.或或*等表示。注意：同名等表示。注意：同名端不一定滿足遞推性，故當(dāng)多個(gè)線圈時(shí)有時(shí)端不一定滿足遞推性，故當(dāng)多個(gè)線圈時(shí)有時(shí)必需兩兩標(biāo)出。必需兩兩標(biāo)出。在在VCR中中 到底取正還是取負(fù)，到底取正還是取負(fù)，要根據(jù)電流參考方向和同名端來(lái)確定：要根據(jù)電流參考方向和同名端來(lái)確定：dtdiMuM21當(dāng)自磁鏈與互磁鏈的參考方向一致時(shí)取正號(hào)，當(dāng)自磁鏈與互磁鏈的參考方向一致時(shí)取正號(hào)，不一致時(shí)取負(fù)號(hào)?；蛘哒f(shuō)，根據(jù)同名端，電不一致時(shí)取負(fù)號(hào)?；蛘哒f(shuō)，根據(jù)同名端，電流在本

8、線圈中產(chǎn)生的自感電壓與該電流在另流在本線圈中產(chǎn)生的自感電壓與該電流在另一個(gè)線圈中產(chǎn)生的互感電壓極性是相同的。一個(gè)線圈中產(chǎn)生的互感電壓極性是相同的。耦合電感的電路符號(hào)：耦合電感的電路符號(hào)：VCR中互感電壓取中互感電壓取+ VCR中互感電壓取中互感電壓取(當(dāng)各線圈的電壓、電流方向關(guān)聯(lián)時(shí)只有這兩當(dāng)各線圈的電壓、電流方向關(guān)聯(lián)時(shí)只有這兩種可能。種可能。)2L1L2i1i+-1u2u+-Madbc*2L1L2i1i+-+-Madbc*1u2u在繞法無(wú)法知道的情況下，同名端的測(cè)定：在繞法無(wú)法知道的情況下，同名端的測(cè)定：(1)直流法直流法正偏，正偏，a,c同名端同名端反偏，反偏，a,d同名端同名端根據(jù)其根據(jù)其

9、VCR，SUK+-v2mu+ -abdcL1 L2 M(2)交流法交流法原圖電源改為正弦電源，開(kāi)關(guān)移去，原圖電源改為正弦電源，開(kāi)關(guān)移去，直流電壓表改為交流電直流電壓表改為交流電壓表，壓表，bd端連接。端連接。根據(jù)其根據(jù)其VCR的相量形式的相量形式同樣能判定其同名端同樣能判定其同名端。根據(jù)同名端標(biāo)記，根據(jù)線圈電流和電壓的參考根據(jù)同名端標(biāo)記，根據(jù)線圈電流和電壓的參考方向，就可以直接列寫(xiě)耦合電感伏安關(guān)系。其方向，就可以直接列寫(xiě)耦合電感伏安關(guān)系。其SU+- +v um2 -abdcL1 L2 M規(guī)則規(guī)則：法：法1：若耦合電感線圈電壓與電流的參：若耦合電感線圈電壓與電流的參考方向?yàn)殛P(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，自感電

10、壓前取正號(hào)，考方向?yàn)殛P(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，自感電壓前取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)；若耦合電感線圈的電壓正極性端否則取負(fù)號(hào)；若耦合電感線圈的電壓正極性端與另一線圈的電流流入端為同名端時(shí)，則該線與另一線圈的電流流入端為同名端時(shí)，則該線圈的互感電壓前取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。圈的互感電壓前取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)?；颍夯颍悍ǚ?：第一步：總認(rèn)為電壓、電流方向：第一步：總認(rèn)為電壓、電流方向關(guān)聯(lián)關(guān)聯(lián)(假設(shè)電壓或電流的參考方向假設(shè)電壓或電流的參考方向)，這時(shí)，這時(shí)，自感電壓總是正的自感電壓總是正的,互感電壓總是同一符號(hào)；互感電壓總是同一符號(hào)； 第二步：按要求第二步：按要求(消去假設(shè)的變量消去假設(shè)的變量)改變相改變相應(yīng)互感電壓的符號(hào)。

11、應(yīng)互感電壓的符號(hào)。tiMtiLuuuMLdddd211111tiMtiLuuuMLdddd122222故電路模型也可以用故電路模型也可以用受控源的形式表示：受控源的形式表示：例例1 列寫(xiě)伏安關(guān)系式，電路模型如下圖。列寫(xiě)伏安關(guān)系式，電路模型如下圖。2L1L2i1i-+-+Madbc*2i1iM2L1L-+-+adbcdtdiM1Mdidt21u2u1u2u當(dāng)兩線圈的電流、電壓參考方向關(guān)聯(lián)時(shí)，當(dāng)兩線圈的電流、電壓參考方向關(guān)聯(lián)時(shí)，相應(yīng)耦合電感的電路模型為：相應(yīng)耦合電感的電路模型為：2L1L2i1i+-+-MadbcdtdiM12L1L2i1i+-+-MadbcdtdiM1Mdidt2Mdidt22u

12、1u1u2u耦合電感的相量耦合電感的相量(模型模型)形式為形式為2111jjIMILU1222jjIMILU21j ,jLL稱為稱為自自感阻抗感阻抗Mj稱為稱為互感阻抗互感阻抗據(jù)此可畫(huà)出相應(yīng)的相量模型圖據(jù)此可畫(huà)出相應(yīng)的相量模型圖8-1-3 耦合電感的儲(chǔ)能耦合電感的儲(chǔ)能dtidtdiMdtdiLdtidtdiMdtdiLtt21221211)()(0212121222211iMiiLiL無(wú)源元件無(wú)源元件也可以用其也可以用其VCR和上式代入下式來(lái)驗(yàn)證和上式代入下式來(lái)驗(yàn)證2211)()(iuiutptdtwdtttdiudtiutw2211)(8-2 耦合電感的聯(lián)接及去耦等效耦合電感的聯(lián)接及去耦等效

13、聯(lián)接方式：串聯(lián)，并聯(lián)和三端聯(lián)接聯(lián)接方式：串聯(lián)，并聯(lián)和三端聯(lián)接去耦等效：去耦等效： 耦合電感用無(wú)耦合的等效電路去等效。耦合電感用無(wú)耦合的等效電路去等效。8-2-1 耦合電感的串聯(lián)耦合電感的串聯(lián)順串順串：異名端相接。：異名端相接。反串反串：同名端相接：同名端相接i* L1 M * L2 + u1 - + u2 -+ u -順串順串iL1 * M * L2 + u1 - + u2 -+ u -反串反串在圖示參考方向下，耦合電感的伏安關(guān)系為：在圖示參考方向下，耦合電感的伏安關(guān)系為：(下面推導(dǎo)中，順串取下面推導(dǎo)中，順串取+，反串取，反串取)tiMtiLtiMtiLuuudddddddd2121i* L1

14、 M * L2 + u1 - + u2 -+ u -順串順串()LLMdidtLdidteq122+ u -i串聯(lián)等效串聯(lián)等效eqL順串等效順串等效:MLLLeq221反串等效反串等效:MLLLeq221由耦合電感為由耦合電感為儲(chǔ)能儲(chǔ)能公式公式)(21022121LLMMLL算術(shù)平均值算術(shù)平均值w tLLM iL ieq( )()1221201222得：得：8-2-2 耦合電感的并聯(lián)耦合電感的并聯(lián)同側(cè)并聯(lián)同側(cè)并聯(lián):(順并順并)同名端兩兩相接。同名端兩兩相接。異側(cè)并聯(lián)異側(cè)并聯(lián):(反并反并)異名端兩兩相接。異名端兩兩相接。MLLMLLLeq221221M+u-* L2i2同側(cè)并聯(lián)同側(cè)并聯(lián) * L1

15、i1i+u-i圖示電壓，電流參考方向下，由耦合電圖示電壓，電流參考方向下，由耦合電感的伏安關(guān)系：感的伏安關(guān)系：MLLMLLLeq221221M+u-L2* i2異側(cè)并聯(lián)異側(cè)并聯(lián) * L1i1i+u-iuMLLMLtiuMLLMLtitiLtiMutiMtiLu2211222121221211ddddddddddddtiLtiMLLMLLueqdddd221221uMLLMLLtiiti22121212d)(ddd21LLM幾何平均值幾何平均值)(212121LLLLMLLMLLLeq221221021)(2iLtweq2212122102MLLMLLMLL21maxLLM21LLMk定義：耦合

16、系數(shù)定義：耦合系數(shù)k=1 全耦合全耦合, 緊耦合，緊耦合，k較小，松耦合，較小，松耦合，k=0無(wú)耦合。無(wú)耦合。1k10k8-2-3 耦合電感的三端聯(lián)接耦合電感的三端聯(lián)接將耦合電感的兩個(gè)線圈各取一端聯(lián)接起來(lái)就成將耦合電感的兩個(gè)線圈各取一端聯(lián)接起來(lái)就成了耦合電感的三端聯(lián)接電路。了耦合電感的三端聯(lián)接電路。(1)同名端相聯(lián)同名端相聯(lián); (2)異名端相聯(lián)異名端相聯(lián).M+u-* L2(1) 同名端相聯(lián)同名端相聯(lián) * L1i1i1 + i2i2ML 1+-+-1i2iML 2M1u2utiiMtiMLtiMtiLud)(ddd)(dddd21112111(2)異名端相聯(lián)異名端相聯(lián)tiiMtiMLtiMtiL

17、ud)(ddd)(dddd21221222M+u-L2 * * L1i1i1 + i2i2ML 1+-+-1i22iML M1u2u例例2 已知已知080,6,12,4,121,6,62121UMLLCRR求求:開(kāi)關(guān)打開(kāi)和閉合時(shí)的電流開(kāi)關(guān)打開(kāi)和閉合時(shí)的電流。+-1R2RCj1K1jLMj*2LjUI解解：這種互感線圈常稱：這種互感線圈常稱自耦變壓器。自耦變壓器。)(j2ML +-1R2RCj1K)(j1ML MjIU+-1R2RCj1K1j LMj*2j LIUCMLLRRZj1)2(j21211612jA1 .5341 .532008016j12080ZUI開(kāi)關(guān)打開(kāi)時(shí)開(kāi)關(guān)打開(kāi)時(shí))(j2ML

18、+-1R2RCj1K)(j1ML MjIUA4 .181024 .18104080ZUICMLRMCMLRMMLRZj1)(jjj1)(jj)2(j222211開(kāi)關(guān)閉合時(shí)開(kāi)關(guān)閉合時(shí))(j2ML +-1R2RCj1K)(j1ML MjIULeq=8+1.6=9.6 H* 621348Leq 6 +314+38-3 2Leq 6+3 +1-24+3 -1+28-3-1-2Leq例例：求等效電感：求等效電感Leq。解解：兩兩去耦：兩兩去耦例例：的讀數(shù)求電壓表已知21S,F2,mH2,5000cos2)(VVCMtti 10,1001,01MCXICssi1L2LM * *M3Labcv1v2解解：V

19、90j)( jjjSSSIMXIMIXUCCbcV902bcUVV110)( j)j (jSSSjIMXIMIXUCCacV1101acUVsi1L2LM * *M3Labcv1v2解解：安培表讀數(shù)為零時(shí)，：安培表讀數(shù)為零時(shí)，CD間開(kāi)路電壓為零間開(kāi)路電壓為零即即CMj1jCM12例例：已知：已知 也已知。也已知。求：在什么條件下，安培表讀數(shù)為零，標(biāo)出同求：在什么條件下，安培表讀數(shù)為零，標(biāo)出同名端。名端。MCtUtu,cos)(mS顯然上式只能取正號(hào)顯然上式只能取正號(hào),即即A,C為同為同名端，且名端，且CM10jj11CIIMUCDoC+-AM1L2LDBA 1ISUA)302cos(5)(,1

20、,H5 . 0, F5 . 0,H2,H1S21ttiRMCLL已知求：求：uab解解：先作出其向量模型，并去耦等效：先作出其向量模型，并去耦等效*bMsi02u0u2L1LRa例例1 j3 j 1R 1 ja3025oIb02U0U1 j對(duì)右網(wǎng)孔列寫(xiě)網(wǎng)孔方程對(duì)右網(wǎng)孔列寫(xiě)網(wǎng)孔方程ooosoIUUII1 j21 j)4 j1 j1 (S1 j) 5 j1 (IIo6 .327 . 0oI3 .8795. 01 j4 jSIIUoabV)3 .872cos(295. 0tuab1 j3 j 1R 1 ja3025oIb02U0U1 j8-3 空芯變壓器空芯變壓器 變壓器是利用耦合線圈間的磁耦合來(lái)傳

21、輸能變壓器是利用耦合線圈間的磁耦合來(lái)傳輸能量或信號(hào)的器件。通常有兩個(gè)線圈。與電源相量或信號(hào)的器件。通常有兩個(gè)線圈。與電源相接的為初級(jí)接的為初級(jí)(原邊原邊)線圈，與負(fù)載相接的為次級(jí)線圈，與負(fù)載相接的為次級(jí)(副邊副邊)線圈。線圈。 習(xí)慣上，線圈繞在鐵芯上，構(gòu)成鐵芯變壓器，習(xí)慣上，線圈繞在鐵芯上，構(gòu)成鐵芯變壓器，芯子是非鐵磁材料，構(gòu)成空芯變壓器。鐵芯變芯子是非鐵磁材料，構(gòu)成空芯變壓器。鐵芯變壓器一般耦合系數(shù)接近壓器一般耦合系數(shù)接近1，屬緊耦合，用于輸，屬緊耦合，用于輸配電設(shè)備，空芯變壓器耦合系數(shù)一般較小，屬配電設(shè)備，空芯變壓器耦合系數(shù)一般較小，屬松耦合，用于高頻電路和測(cè)量?jī)x器。松耦合，用于高頻電路和

22、測(cè)量?jī)x器。必須指出：必須指出：空芯變壓器的分析是以互感的空芯變壓器的分析是以互感的VCR作為基礎(chǔ)；作為基礎(chǔ)；鐵芯變壓器的分析是以理想變壓器作為基礎(chǔ)。鐵芯變壓器的分析是以理想變壓器作為基礎(chǔ)。是兩種不同的分析方法。是兩種不同的分析方法。 沒(méi)有嚴(yán)格的限制，這兩種方法可以統(tǒng)一。沒(méi)有嚴(yán)格的限制，這兩種方法可以統(tǒng)一。正弦穩(wěn)態(tài)分析正弦穩(wěn)態(tài)分析: 初、次級(jí)線圈的電阻初、次級(jí)線圈的電阻21,RR空芯變壓器電路向量模型空芯變壓器電路向量模型用受控源表示互用受控源表示互感電壓感電壓Mj+-LZ1j L2j L*2R1RI1I2SU+-+-1R+-LZ2RI1I21jIM2jIMSU1j L2j L兩回路的兩回路的K

23、VL方程為方程為L(zhǎng)ZLRZLRZ22221111j,j分別是初、次級(jí)回路的自阻抗。分別是初、次級(jí)回路的自阻抗。法法2：初、次級(jí)等效電路法：初、次級(jí)等效電路法法法1：列寫(xiě)回路方程：列寫(xiě)回路方程0jjjj2221S2111IZLRIMUIMILRL聯(lián)立求得聯(lián)立求得從初級(jí)線圈兩端看入的等效阻抗從初級(jí)線圈兩端看入的等效阻抗(初級(jí)輸入阻抗初級(jí)輸入阻抗)稱為次級(jí)回路對(duì)初級(jí)回路的反映阻抗或稱為次級(jí)回路對(duì)初級(jí)回路的反映阻抗或其中：其中：22211S1ZMZUI222111SZMZIUZi222ZM引入阻抗，用引入阻抗，用Zf1表示。它反映了次級(jí)回路通表示。它反映了次級(jí)回路通過(guò)磁耦合對(duì)初級(jí)回路的影響。過(guò)磁耦合對(duì)

24、初級(jí)回路的影響。據(jù)此，可作為初級(jí)等效回路，很方便地求出據(jù)此，可作為初級(jí)等效回路，很方便地求出初級(jí)回路電流。而次級(jí)回路的電流為初級(jí)回路電流。而次級(jí)回路的電流為若若 ，相當(dāng)于次級(jí)未接，相當(dāng)于次級(jí)未接， ，即，即 次次級(jí)對(duì)初級(jí)無(wú)影響；級(jí)對(duì)初級(jí)無(wú)影響；若若 ,當(dāng)當(dāng)k=1，線圈繞組近似為零時(shí)，線圈繞組近似為零時(shí)，11ZZi0LZLZ0jjj)(j221221LMLLMLZi2212jZIMI初級(jí)等效電路初級(jí)等效電路反映阻抗特點(diǎn)：反映阻抗特點(diǎn)：(1)與同名端無(wú)關(guān)；與同名端無(wú)關(guān)；(2)反映阻抗改變了次級(jí)阻抗的性質(zhì)。反映阻抗改變了次級(jí)阻抗的性質(zhì)。本法本法:(1)先求輸入阻抗，先求輸入阻抗，(2)求初級(jí)電流求初級(jí)電流(與同與同名端無(wú)關(guān)名端無(wú)關(guān))(4)求次級(jí)電流求次級(jí)電流(與同名端有關(guān)與同名端有關(guān))可見(jiàn)，次級(jí)短路相當(dāng)于可見(jiàn)，次級(jí)短路相當(dāng)于(近似于近似于)初級(jí)短路。初級(jí)短路。+-1R222)(ZM1j L1ISU法法3：空芯變壓器電路也可用去耦等效電路：空芯變壓