第6章磁流體力學(xué)不穩(wěn)定性

1、第 6 章 磁流體力學(xué)不 穩(wěn)定性 6.1概論等離子體能 夠被磁場約束并處于力學(xué)平衡狀 態(tài)。一個處于力學(xué)平衡狀 態(tài)的等離子體位形，當(dāng)它受到某種 擾動，偏離平衡態(tài)時，等離子體將如何反應(yīng)？是越來越偏離平衡 態(tài)，最后導(dǎo)致平衡態(tài)被破壞呢，還是很快將 擾動抑制住回到平衡 態(tài)前者是不穩(wěn)定平衡，后者是穩(wěn)定平衡但當(dāng)磁流體 處在非熱力學(xué)平衡 態(tài)，其內(nèi)部存在著可以 轉(zhuǎn)換成擾動能量的自由能 時，在合適的條件下有些 擾動就可能發(fā)展成為在大范圍、長時間、能量超過熱噪聲水平的大幅度集體運(yùn)動這種集體運(yùn) 動就稱為不穩(wěn)定的模式，相應(yīng)現(xiàn)象就稱為磁流體的不 穩(wěn)定性研究等離子體的各種不 穩(wěn)定性，闡明其物理機(jī)制，探索抑制不 穩(wěn)定性的方法

2、，一直是受控核聚變研究的重要 課題磁約束等離子體可以 處于力學(xué)平衡狀 態(tài)，但它不是完全的熱力學(xué)平衡態(tài)等離子體處于非熱力學(xué)平衡狀 態(tài)意味著等離子體具有 較高的自由能，因而必然會 產(chǎn)生從較高能量狀 態(tài)過渡到較低能量狀 態(tài)的宏觀或微觀運(yùn)動等離子體偏離熱力學(xué)平衡 態(tài)大體有兩類方式一類是等離子體宏 觀參數(shù)如密度、溫度、壓強(qiáng)或其它熱力學(xué)量的空 間局域性和不均勻性；另一類是等離子體的速度空 間分布函數(shù)偏離麥克斯 韋分布由于前一種原因 產(chǎn)生不穩(wěn)定性時，等離子體通常以整體形式在空 間改變其形狀，因而稱為宏觀不穩(wěn)定性。由后一種原因產(chǎn)生的不穩(wěn)定性稱為微觀不穩(wěn)定性宏觀不穩(wěn)定性通常用磁流體力學(xué)方程進(jìn)行分析，因而也稱為磁

3、流體力學(xué)不 穩(wěn)定性，而微觀不穩(wěn)定性則用動力論方程進(jìn)行分析，因而也叫動力學(xué)不穩(wěn)定性由于磁流體力學(xué)不 穩(wěn)定性在磁 約束核聚變等離子體中具有更重要的地位， 處理方法也相對地比較容易，因此本節(jié)僅討論 磁流體力學(xué)不 穩(wěn)定性下面我們將首先從分析流體的瑞利一泰勒不 穩(wěn)定性（Rayleigh Taylorinstability ）入手，這樣做物理圖像清晰，易于理解然后討論在分析磁流體力學(xué)不 穩(wěn)定性中得到廣泛 應(yīng)用的能量原理在這基礎(chǔ)上分析幾種主要的宏觀不穩(wěn)定性，最后討論等離子體 電阻對不穩(wěn)定性的影響下面是幾種典型的磁流體不穩(wěn)定模式例 1瑞利一泰勒（Rayleigh-Taylor ）不穩(wěn)定性（圖 41）；例 2開

4、爾文一亥姆霍 茲（Kelvin Helmholtz ）不穩(wěn)定性（圖 42）；例 3臘腸型不 穩(wěn)定性（圖 43）；例 4彎曲型不穩(wěn)定性（圖 4.4）；例 5. 磁島（圖 4.5）；例 6. 磁重聯(lián)（圖 46）每種不穩(wěn)定的擾動在其演化 過程中都會依次 經(jīng)歷下面三個 階段：線性階段、非線性階段及飽和階段在線性階段，擾動的幅度較小，不同類型的擾動彼此之間并不相互作用，擾動對它所處的平衡態(tài)也無影響，這時擾動 的幅度是隨 時間指數(shù)增長的在非線性階段，擾動幅度增大到會反 過來使原有的平衡量作一定 調(diào)整（因此改變了自己得以不 穩(wěn)定增長的初始條件，使饋入的自由能量減少），并達(dá)到開始和其他 擾動模式相互作用（從而

5、彼此 間交換能量）的程度，從而使增 長率木斷下降這時擾動 幅度是依次隨 時間的不同冪次（一般是從高冪到低冪次）而增長的當(dāng)時間的冪次最后降低到零 時，就達(dá)到了演化的終點(diǎn) 擾動的幅度不再隨 時間增加，而一直保持極大 值，這就是飽和本章只討論磁流體的 線性不穩(wěn)定性線性不穩(wěn)定性的基本描述方法（1）簡正模法先將描述所研究 對象的狀態(tài)量寫成平衡量（零級量）和擾動量（一級小量）之和，然后把它們代入所用的磁流體方程 組，從中減去平衡方程并略去二 級小量就得到了 線性化的方程組對這些方程作（時間）拉氏變換和（空間）傅氏變換 A(r ,t)A ,k exp(ik ri t ) 后可能出 現(xiàn)下列幾種情況：（i）全部

6、空間坐標(biāo)都能進(jìn)行傅氏變換 這樣線 性微分方程 組就變成了線性的齊次代數(shù)方程 組，它的有非平凡解的條件（系數(shù)行列式 為零）就給出了關(guān)于(k ) 的色散關(guān)系例如上一章中平板幾何位形下的阿 爾文波的色散關(guān)系正是由 這種方式得到的（ii ）只有部分空間坐標(biāo)能進(jìn)行傅氏變換，剩余的坐標(biāo)構(gòu)成了約化的微分方程 組這時要設(shè)法先得到它的通解，然后利用 邊條件或連接條件也可以得到(k ) 的色散關(guān)系例如上一章中，柱坐標(biāo)下阿爾文波的色散關(guān)系就是 這樣求得的（iii ）所得出的約化微分方程如果是奇異的，如上一章中連續(xù)譜阿爾文波所滿足的方程(2)能量原理（僅對理想磁流體適用） 6.2瑞利一泰勒不 穩(wěn)定性這是一種經(jīng)典的流體

7、不 穩(wěn)定性因?yàn)檫@種不穩(wěn)定性是由重力 驅(qū)動的，故又稱重力不 穩(wěn)定性讓我們來研究圖 3.25 所示的一個容器該容器內(nèi)盛有兩種不同 質(zhì)量密度的液體，上面的液體質(zhì)量密度大，下面的質(zhì)量密度小兩種流體之 間有明顯的分界線顯然，質(zhì)量密度梯度由下向上，受到的重力由上向下，用G 來表示液體的平衡方程是t( u) 0(1)duG(2)dt式中 u 是流體元的速度流體達(dá)到平衡 u0 現(xiàn)在假定在交界面上出 現(xiàn)了一個微 擾動，其形式為1 1 ( x )ei t , u1u1 ( x )e i t(3)這樣，密度和流體速度便可寫成：01 ,u u0u1 u1(4)從這里開始，參數(shù)下標(biāo)為 0 表示平衡量，參數(shù)下 標(biāo)為 1

8、表示擾動量將（4）式代入平衡方程（3），我們得到質(zhì)量守恒方程1(0u1 )u100（5）t在整理上式 時，已考慮到流體是不可 壓縮的， u10 將（3）式代人5（）式便得到1 表達(dá)式：1u10（6）i同樣可以得到 擾動后的動量方程和 u1 的表達(dá)式：du11 G（7）0dtu11G（8）i 0將（6）式和（8）相結(jié)合使得到如下的方程：2G0（9）0（9）式說明，當(dāng)流體的密度梯度方向跟受到的重力方向相反時就會產(chǎn)生不穩(wěn)定性，此時20 ，這就是說重流體在上面 輕流體在下面的 這種平衡是不 穩(wěn)定的只要有微擾（輕輕晃動），就會破壞原來的平衡狀 態(tài)，直到達(dá)到另一種新的平衡 態(tài)為止這時重流體在下，輕流體在上

9、，正好跟原來交 換了位置，所以這種不穩(wěn)定性也叫做 交換不穩(wěn)定性現(xiàn)在我們采用類比的方法來研究 約束在磁場中的等離子體假定磁 場與等離子體之 間達(dá)到了平衡，中間有明顯的分界面就是說在等離子體中沒有磁 場，在磁場中沒有等離子體這時，等離子體除了受到重力之外，還受到磁場的作用力，包括磁場梯度引起的力B 和磁場的彎曲引起的力 mv|2 (b)b 當(dāng)然這是指 單個粒子受到的力，我們把它們當(dāng)作等效重力（跟流體情況作 類比），記作Geff ，GeffBmv|2 (b) b(10)將mv2WB, (b )b2BBB以及粒子能量 WWW: 代入上式并 對整個麥克斯 韋速度分布函數(shù) 積分，我們可以得到作 為流體元的

10、等效重力：0 GeffBBP（11）BB對干各向同性等離子體， BB, P| P ，因此0 GeffB2PB因?yàn)樵诘颓闆r下BRcBRc2所以Geff2PRe（12）0 Re2將（12）式代入（9）式便得到描述瑞利一泰勒不 穩(wěn)定性的方程22P0（13）2 Re0Re0上式說明，當(dāng)磁場曲率 Re 與等離子體密度梯度0 方向相反，即 Re0 0 ，就會產(chǎn)生不穩(wěn)定性這種不穩(wěn)定性條件也可以表示 為磁場梯度與等離子體密度梯度同向，即B0 如圖 3.26（a）所示從圖中可以看出，這時的0磁力線是凹向等離子體的 這種曲率被稱 為 “壞曲率 ”圖326（b）畫出了穩(wěn)定的磁場位形此時，磁場曲率 Rc 與等離子體壓

11、強(qiáng)梯度P （或密度梯度0 ）同向磁力線凸向等離子體，這種磁場位形的曲率被稱 為 “好曲率 ”在實(shí)際的磁場位形中，曲率矢量 ?往往不斷改 變方向也就是說，在某個地方是 “好曲率 ”，在另一個地方則變成“壞曲率 ”如在簡單 磁鏡場中，在中心部位是 “壞曲率 ”，而在“咽喉 ”部位則是 “好曲率 ”因此，有必要引入“平均曲率 ”的概念定義：磁力線管的比容 U ，它是磁力線管的幾何體 積 V 與管內(nèi)的磁通量的比值：VSdl ，B S const ，VSdlBSdlBdlBUVdlB平均曲率的定 義為dlRcdlBdl 1 B: BR2: BB: B Bc:dl B1BB:dlB因此，平均曲率半徑 為d

12、l1dl: BRc: B前面得到的 穩(wěn)定條件（好曲率）是曲率與 P 同向，即 P Rc0 ，在聚變等離子體中，一般都是中心密度大，即 P : P / r0 ；因此穩(wěn)定條件要求 Rc0 這就相當(dāng)于要求dlU2V0: B2其中 V () 為磁面包圍的體積因此，即V () 有極大值，其中必有磁場極小值，這相當(dāng)于平均磁阱這說明位于磁阱的等離子體是 穩(wěn)定的與之相反，位于磁山“磁山 ”的等離子體是不 穩(wěn)定的， 6.2等離子體的能量原理不考慮離子和電子的效應(yīng)，可將等離子體作為單流體來處理。采用理想磁流體力學(xué)方程組作為出發(fā)點(diǎn)tu0（1）dupJBg（2）dtdp0（3）dtJ1B（4）0BE（5）tEuB0（

13、6）其中表示比熱比。設(shè)每一個變量均為平衡量和擾動量的疊加，即f f0 f1 .。為簡化起見，不考慮平衡流，即 u00 。（ 如果 u 00 可以討論 ）則將方程（ 1）（ 6）線性化之后可得關(guān)于一階擾動量的微分方程組10 u10（7）tdu1p1 J1B0 J0 B1（ 8）0 dtp1p0u1 u1p0（9）tB1uB 0（ 10）tJ11B1（ 11）0令相對于流體元平衡位置r0 的擾動位移 rr0 為一階小量，則有u1 r0 ,t（ 12）t將上式分別代入方程（ 7）、（9）和（ 10），對時間積分，可將擾動密度、擾動壓強(qiáng)和擾動磁場均用擾動位移來表示10（ 13）p1p0 p0（ 14）

14、B1 B 0（ 15）將這些表達(dá)式代入方程（8），并利用方程（ 11），則可得到關(guān)于擾動位移 的二階微分方程02F （ 16）t2F p111B0B1B1 B000p0 p01 B 0B 00B 0 B 0（ 17）顯而易見， F 相當(dāng)于由擾動位移所引起的作用在單位流體體積上的力。在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下解此方程，可以確定位形的穩(wěn)定性。根據(jù)能量守恒原理，擾動位移引起的系統(tǒng)總能量的變化為零，即動能和勢能的變化之和為零12（ 18）0drW 02將上式對時間微商可得d0:drW0（ 19）dt利用擾動方程（ 16）和函數(shù) F 的自伴性，即F drF dr（ 20）可將方程（ 19）中的第一項(xiàng)寫成0drF

15、 dr 1F F dr1 dF dr:2:2 dt:（ 21）則由方程（ 19）可得擾動勢能的變化W1 F dr（ 22）2從直觀上來說，線性系統(tǒng)在力 F 的方向上做位移 時，所做的功為 F / 2 。根據(jù)能量守恒原理，這個功之可能是以消耗勢能為代價，因此可得方程（22）。假設(shè)等離子體邊界為理想導(dǎo)電壁，一次在邊界上垂直位移n en 0 。將式（ 17）代入方程（ 22）可得等離子體內(nèi)部擾動勢能變化的表達(dá)式12Wp2 V drp0 p01 B021B 0 B0（ 23）00右邊被積函數(shù)中第一項(xiàng)總是正的，代表流體可壓縮性的穩(wěn)定作用；第二項(xiàng)在很多情況下是負(fù)的，可導(dǎo)致壓強(qiáng)梯度驅(qū)動的不穩(wěn)定性；第三項(xiàng)總是

16、正的，代表磁張力的穩(wěn)定作用，因?yàn)閺澢鸥袘?yīng)線會導(dǎo)致磁能增加；第四項(xiàng)有時是負(fù)的，可導(dǎo)致電流驅(qū)動的不穩(wěn)定性。如果等離子體邊界為真空區(qū)，在等離子體內(nèi)部，根據(jù)歐姆定律（6）的線性化形式，在固定于流體上的坐標(biāo)系中必有EE1u1B00 。而電場的切向分量enE 在等離子體和真空的交界面上連續(xù)，故在等離子體之外的真空區(qū)也有enE1 u1 B 0 0（ 24）即en E1u1nB 0（25）這里 en 是垂直于等離子體邊界、法向的單位矢量，u1n 是垂直速度。在真空中可將擾動磁場用矢勢表示成 B1A 1 ，利用法拉第電磁感應(yīng)定律（5）式，則有 E1A 1 / t ，代入方程（25）并利用 u1n1n / t

17、可得邊界條件為enA 11nB 0（ 26）在真空之外的理想導(dǎo)電壁上，則有enA 10根據(jù)平衡方程，在跨越等離子體和真空的交界面上的總壓強(qiáng)連續(xù)，p0r0B02 r0B0V2r02200相應(yīng)地，在位移的邊界上總壓強(qiáng)也必須連續(xù)B0 r2B0V r2p0r p1B1 rB1V rr2200將方程（ 29）的各項(xiàng)用其在平衡位置上的值展開，且只保留一級近似，則有p B0 B1n nB0 2 r0B0V B1Vn nB0V 2 r00220000此時，這擾動勢能除了方程（23）所示的Wp 外，還有等離子體表面的部分111Wa2 : dS:p0 p00B1B 00B1 B0 利用邊界條件（ 25）和（ 31）可將 Wa 分成邊界上的擾動勢能Ws12p0B02B0V22dS nn2200表示穩(wěn)定性取決于界面內(nèi)外的勢能差，和真空區(qū)中的擾動勢能2WV1dr B0V22（ 27）（ 28）（ 29）（ 30）（ 31）（ 32）