在職工程碩士GCT 數(shù)學(xué)第3章 集合映射和函數(shù)

1、第3章 集合、映射和函數(shù)一、集合二、映射三、函數(shù)（ 一次函數(shù)、 二次函數(shù)） 函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、周期性）第3章 集合、映射和函數(shù)一、集合1、集合的基本概念把某些確定的對(duì)象集在一起，就形成了一個(gè)集合。 元素與集合的關(guān)系：集合常用 表示。NMCBA,集合的元素常用 表示。cba, 集合的分類(lèi)：有限集空集無(wú)限集 集合中元素的特性：確定性、互異性、無(wú)序性。2、集合的表示法列舉法描述法a. 列舉法：b. 描述法：把集合的元素一一列舉出來(lái)，并寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)。0,5,2,1 ,3,2,1 ,0N把集合中元素的共同特性描述出來(lái)，并寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)。一般形式為：)( xpx如：2 |320 x xx1,222( ,

2、)|4x yxy3、幾種常見(jiàn)的數(shù)集的表示符號(hào)N自然數(shù)集；,3,2,1 ,0NZ整數(shù)集；,3,2,1,0ZQ有理數(shù)集；R實(shí)數(shù)集；C復(fù)數(shù)集。),(ZZ4、集合與集合之間的關(guān)系三種符號(hào)：三種關(guān)系：子集真子集相等如：,BA BA,; 是任何集合的子集。 是任何非空集合的真子集。 任意集合 是它本身的一個(gè)子集。A 區(qū)別五種符號(hào)：例 集合 的子集的個(gè)數(shù)為（ ）（P32 第1題）（07年）BnnnnnCCCC210A. B. C. D. 18161514 含有 個(gè)元素的有限集，共有 個(gè)子集。nn2證明：設(shè)naaaaA,321則其子集有：n2個(gè)。3,2,1 ,05、集合的運(yùn)算（ ）,且SAABAB |x xA

3、xB或 |x xAxBnnn22-12-2子 集， 非 空 子 集， 非 空 真 子 集1,3,5 ,A 設(shè) 則,ASASsAa|x xSxA且例 已知 （P32 第2題）CA. B. C. D. ABI0,2,4 ,B 則（ ）.解SAIAB 0,2,4IA0,2,4IAB0,1,2,3,4,5 ,I 例 設(shè) （P33 第3題）AA. B. C. D. ( , )|00 ,Tx yxy則（ ）.且解oxySSTSTSSTTSTSST STSSTT( , )|0,Sx yxy補(bǔ)設(shè)集合|2lglg(815),AxxxxR|cos0,2xBxxR則 的元素個(gè)數(shù)為（ ）.AA. B. C. D. 1

4、234解2815xx2lglg(815)xx先解方程：3,x故3,5A 因此 中最多有2個(gè)元素，排除C, D.把 代入集合 中，3,5x B3,B 5B08150 xx5x 3cos0,25cos02ABAB3AB二、映射（ 實(shí)際上是兩個(gè)集合之間的對(duì)應(yīng)（關(guān)系）映射：設(shè) 是兩個(gè)集合，如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng),A B法則 ，對(duì)于 中的任何一個(gè)元素，在 中fAB都有惟一的元素與之對(duì)應(yīng)，則這樣的對(duì)應(yīng)稱(chēng)為 集合 到 的映射。 ABBAf.記作：:fAB一一映射：若映射 滿(mǎn)足：:fAB 中不同的元素在 中有不同的象；AB 中每個(gè)元素都有原象。B則稱(chēng) 是 到 上的一一映射。ABf例 映射 是一種對(duì)應(yīng)，對(duì)于這種對(duì)應(yīng)關(guān)

5、系， :fAB以下的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）.A. B. C. D. 中每一個(gè)元素都存在 中元素與它對(duì)應(yīng)；AB 中每個(gè)元素不能對(duì)應(yīng) 中一個(gè)以上的元素；AB 中可以有兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素對(duì)應(yīng) 中一個(gè)元素；AB 中不可有多余元素。BD三、函數(shù)定義： 設(shè) 是 的非空子集，則,A BR則稱(chēng)映射 為 到 的一個(gè)函數(shù)。 A:fABB( ),yf xxA記作：BAf.函數(shù)的三要素：定義域?qū)?yīng)法則值域),(|xfyyxA決定要素 幾種常見(jiàn)的函數(shù) 1、一次函數(shù)yaxb(0)a （定義、圖像、性質(zhì)）直線(xiàn)，定義域和值域均為R, a b 的含義：a直線(xiàn)的斜率，0,a 0,a 銳角，增函數(shù)鈍角，減函數(shù)b直線(xiàn)在 軸上的截距。y

6、oxyb.正比例函數(shù)：ykx例 如果圖1中給出了平面直角坐標(biāo)系中直線(xiàn) 的圖像，那么坐標(biāo)為 的點(diǎn)在（ ）.yaxbB（2010年）( , )a b: lA. B. C. D. 第象限第象限第象限第象限oxyyaxb圖1解由圖像知 y=x 一三0,a 0b 點(diǎn)在第象限。例 某人從家到工廠(chǎng)的路程為 米。有一天，他從家 去工廠(chǎng)，先以每分鐘 米的速度走了 米后，A. B. C. dDa2d他加快了速度，以每分鐘 米的速度走完了剩下的b路程。記該人在 分鐘走過(guò)的路程為 米，那么t( )s t函數(shù) 的圖像是（ ）.( )ss totsd（分）（米）2d5 10251520otsd（分）（米）2d5 1025

7、1520otsd（分）（米）2d5 10251520D. otsd（分）（米）2d5 10251520（P34 第13題）（08年）反比例函數(shù)：kyx(0,0)xk定義域： |0 x x 值域： |0y y 圖像： 雙曲線(xiàn)oxyoxy(0)k (0)k 2、二次函數(shù) （定義、圖像、性質(zhì)）2yaxbxc(0)a 拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)：1、開(kāi)口朝向 a0 開(kāi)口上 a0 開(kāi)口下2、頂點(diǎn)3、對(duì)稱(chēng)軸24(,)24bacbaa2bxa oxy24(,)24bacbaa函數(shù)的性質(zhì)：1、單調(diào)性2、最值3、值域（與開(kāi)口、對(duì)稱(chēng)軸有關(guān)）（在頂點(diǎn)處取得）1、開(kāi)口朝向 求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)（二次函數(shù)的最值）方法：公式法配方法2( )

8、23f xxx2(1)4x例oxy頂點(diǎn)為：(1, 4)最小值為：4補(bǔ)在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yaxc和二次函數(shù) 的圖像大致為（ ）.2yaxcoxyoxyA. B. oxyC. oxyD. B例 若圖3中給出的函數(shù) 的圖像與 軸相切，則 （ ）.2yxaxaD（2010年）a xA. B. C. D. oxy圖3解由題知0124法一2404acba即2404aa4,a 0a （舍）法二由題知0 即240aa4,a 0a （舍）例 設(shè)二次函數(shù) 圖像的對(duì)稱(chēng)軸 為 ，其圖像過(guò)點(diǎn) ，則 （ ）.2( )f xaxbxcD1x (2,0)( 1)(1)ff（P33 第11題）（06年）A. B. C

9、. D. 3223解由題意得12ba420abc2ba 代入 得0c 2( )2f xaxax故( 1)(1)ff因此22aaaa33aa 例 函數(shù) 在 上 單調(diào)增的充分必要條件是（ ）.2yaxbxcC（P33 第10題）（03年）解由題意得(0)a 0,)aA. B. C. D. 且0b 0a且0b 0a且0b 0a且0b 0oxy0,a 排除 A, B0,2ba又0b 若區(qū)間改為： 呢？2,)0a 2ba則oxy22例 下圖直角坐標(biāo)系 中的曲線(xiàn)是二次函數(shù) 的圖像，則 （ ）.( )yf xB（09年）A. B. C. D. xoy( )f x oxy551解265xx265xx245xx

10、245xx由圖知0,a 排除 A, C.又 點(diǎn) 在拋物線(xiàn)上，(5,0)將其代入 B，D 中選B.法一法二又由圖知， 對(duì)稱(chēng)軸為：1 522x 2bxa 按 檢驗(yàn)后，B正確。 反函數(shù)如果映射 是一一映射，則可確定A:fABB1( ),yfxxB記作：BAf.( )yf x一個(gè) 到 的一個(gè)映射，稱(chēng)此映射為函數(shù)( )yf x的反函數(shù)。:fAB1:fBA1 ( )ff xxx( )f x1f 與 的定義域和值域相反。 ( )yf x1( )yfx 與 的圖像關(guān)于直線(xiàn) ( )yf x1( )yfxyx對(duì)稱(chēng).關(guān)于反函數(shù)的存在性 若函數(shù) 在某區(qū)間內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)增（減），( )yf x則它一定存在反函數(shù)。 若函數(shù)

11、 在 ， ，則 在 ( )yf x , a c , c b( )f x , a b上不存在反函數(shù)。例2yx在 內(nèi)不存在反函數(shù)。(,) 但在 內(nèi)存在反函數(shù)。(0,)oxy 求 的反函數(shù)的步驟： ( )yf x從 中解出. x( )yf x調(diào)換 的位置。, x y確定 的值域，即反函數(shù)的定義域。( )yf x例 設(shè) 如果 的反函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò) 0,1,aaB（P33 第8題）xya點(diǎn) ，那么 （ ）。21(,)24a A. B. C. D. 16422解由題意得142,2a兩邊同時(shí) 次方 得1422(2)24a4例 函數(shù) 的反函數(shù)是（ ）。 22 ,yxxD（P33 第9題）(, 1)x A. B.

12、 C. D. 1 1,yx (, 1)x 1 1,yx ( 1,)x 1 1,yx (,1)x 1 1,yx ( 1,)x 解2(1)1,x22yxx(1)1,xy 由得11,xy (, 1)x 又11,xy 故反函數(shù)為：11,yx 排除A, B.oxy由圖可知原函數(shù)的值域?yàn)椋? 1,) 選D. 函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）1、單調(diào)性)(xf),(ba若對(duì)),(2, 1baxx當(dāng)21xx 時(shí),都有：)()(21xfxf則稱(chēng))(xf在),(ba內(nèi)單調(diào)增加；),(ba)(xf的單調(diào)增加區(qū)間。 具有單調(diào)性的函數(shù)圖像的特點(diǎn)：增函數(shù)的圖像是一條上升的曲線(xiàn)；減函數(shù)的圖像是一條下降的曲線(xiàn)。oxyab

13、2、奇偶性)(xf關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)若對(duì),DxD都有：)()(xfxf偶函數(shù))()(xfxf奇函數(shù)xxxxcot,tan,cos,sin的奇偶性。.sin)sin(xx 奇偶函數(shù)圖像的特點(diǎn)：y奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；偶函數(shù)的圖像關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)。（畫(huà)圖時(shí)可利用） 奇偶函數(shù)的性質(zhì)：（1） 奇函數(shù) 奇函數(shù) = 奇函數(shù)偶函數(shù) 偶函數(shù) = 偶函數(shù)（2） 奇函數(shù) 奇函數(shù) = 偶函數(shù)偶函數(shù) 偶函數(shù) = 偶函數(shù)奇函數(shù) 偶函數(shù) = 奇函數(shù) 2、利用已知函數(shù)的奇偶性和奇偶函數(shù)的性質(zhì)判斷。 判斷函數(shù)奇偶性的方法：1、利用奇偶性的定義判斷。D（P97 第7題）A. B. C. D. 解觀察圖像知，需判斷函數(shù)的奇偶性。例 函

14、數(shù) 的部分圖像是（ ）。 cosyxx oxyoxyoxyoxycosyxx 是奇函數(shù)，可排除A, C.B例 若奇函數(shù) 在 上是增函數(shù)，又 （P33 第6題）( )f x(0,)( 3)0,f 則 可表述為（ ）. |( )0 x x f x解畫(huà)圖即可oxy( 3)0,f ( )f x是奇函數(shù)，且(3)0f33A. B. C. D. ( 3,0)(3,)( 3,0)(0,3)(, 3)(3,) (, 3)(0,3) 由圖知，選B.3、周期性)(xf若存在非零常數(shù) ，使對(duì)D定義域,xD 都有：)()(xfTxfxxxxcot,tan,cos,sin均為周期函數(shù)。 周期函數(shù)圖像的特點(diǎn)： 若 的周期

15、為 ，則 也是 )(xfTTkT(,0)kZ k)(xf的周期。即()( )f xkTf xC例 函數(shù) 是定義在 上的周期為3 的 （09年）( )yf x(,) ( 1)(2009)( 3)(4)ffff周期函數(shù)，下圖表示的是該函數(shù)在 上的圖像， 2,1則 的值等于（ ）.A. B. C. D. 2024xy0112112解( 1)1f (3 )( )f xkf x由圖知又 ( )f x的周期為3(2009)(20072)ff(2)f( 1)1f ( 3)(0)ff1(4)(1)ff2故 ( 1)(2009)( 3)(4)ffff1 121 2 A例 函數(shù) 是奇函數(shù)， 是以4為周期的周期函數(shù)

16、 ， （2010年）( )f x2(0)( 2)( 2)1,20 (2)2fg fggf且 若則 （ ）.A. B. C. D. 2101( )g x( 2)( 2)6.fg(0)g解2(0)( 2)( 2)20 (2)fg fggf是奇函數(shù)( )f x(0)0,f(2)6f 2(12)( 120)gg又( )g x是周期為4的周期函數(shù)(12)(0),gg( 120)(0)gg2(0)(0)gg122(0)(0)gg(0)2g故A例 若函數(shù) 是周期為6的奇函數(shù)，則（2011年）( )f xsin( 7)(1)cos(6)1212fff的值等于（ ）.A. B. C. D. 14122232(

17、7)f 解由題知( 1)f (1)f ( 7)(1)0ff又 (6)(0)ff0sin( 7)(1)cos(6)1212fffsincos12121sin261.4D 定義在 上的函數(shù) 既是偶函數(shù)又是 ( )f x周期函數(shù)。若 的最小正周期是 且當(dāng)時(shí)， 則 的值為（ ）.A. B. C. D. 12123232 補(bǔ)R,( )f x0,2x( )sin ,f xx5()3f解5()(2)33ff()3f()3f3sin32又 ( )f x的周期為 ,()( )f xkf x即 偶函數(shù)3、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)a. 指數(shù)a 指數(shù)滿(mǎn)足的規(guī)律： （P28）01a 1nnaanmnmaamnm na

18、aa()mmmababmm nnaaa()mnmnaa( )mmmaabbb. 對(duì)數(shù)若 對(duì)數(shù)恒等式：b,Na則 叫以 為底 的對(duì)數(shù)。abN記作： log.abN(0,1)aa 指數(shù)、對(duì)數(shù)的互換：bNalogab NalogaNN特別地，lnNeN 對(duì)數(shù)滿(mǎn)足的規(guī)律：式中（P29）(0,0)MNlog ()loglogaaaMNMNlogloglogaaaMMNNloglognaaMnMlogloglogbabMMa（換底公式）log1aa alogaNNloglogmnaanbbm補(bǔ)log 10alnNeN補(bǔ)設(shè) 且 0,0,ab227,abab則 （ ）. 1ln |()|3abA. B. C.

19、 D. 1(lnln )2ab1(lnln )3ab1ln()2ab1ln()3ab解先排除 A, C. 關(guān)鍵是求：| ?ab2|ab2()ab2229aabbab| 3abab1ln |()|3ab故1ln|3ab1lnln()2ababB 冪函數(shù),yx()R冪函數(shù)的定義域隨 的不同而不同。但有一公共定義域?yàn)椋?0,),且在 內(nèi)，(0,)0,0, 會(huì)畫(huà)幾種常見(jiàn)冪函數(shù)的圖像 231(,)yx yxyxyyxx定義形如： 的函數(shù)。yOxyxyOx2xy yOx3xy yOx1yxyOxxy 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（互為反函數(shù)）a. 指數(shù)函數(shù)定義、b. 對(duì)數(shù)函數(shù)定義、,xya(0,1)aa定義域：xR值域：0y 單調(diào)性：1,a 01,a 性質(zhì)、圖像性質(zhì)、圖像log,ayx(0,1)aa定義域：0 x 值域：yR單調(diào)性：1,a 01,a 問(wèn)題：1 32xy在 內(nèi)是否為增函數(shù)？(,) 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)yOx) 1( aayxyOx) 10(aayx) 1(logaxyayOxyOx) 10(