重積分例題及課后答案理工類吳贛昌

1、第九章 重積分內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容二重積分定義性質(zhì) 計(jì)算法利用直角坐標(biāo)計(jì)算把D寫成X型區(qū)域把D寫成Y型區(qū)域利用極坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用直角坐標(biāo)計(jì)算投影法(針刺法、先一后二法)截面法(切片法、先二后一法)利用柱面坐標(biāo)計(jì)算利用球面坐標(biāo)計(jì)算應(yīng)用求立體的體積、求曲面的面積、求質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等 課后習(xí)題全解習(xí)題9-11.設(shè)有一平面薄板（不計(jì)其厚度），占有面上的閉區(qū)域，薄板上分布著面密度為的電荷，且在上連續(xù)，試用二重積分表達(dá)該板上的全部電荷.解：將任意分割成個(gè)小區(qū)域，在第個(gè)小區(qū)域上任取一點(diǎn)，由于在上連續(xù)和很小，所以用作為上各點(diǎn)函數(shù)值的近似值，則上的電荷從而該板上的全部電荷其中是各中的最大直徑。2.利用

2、二重積分定義證明：（1）（為區(qū)域的面積）；（2）（其中為常數(shù)）；（3），其中, 為兩個(gè)無公共內(nèi)點(diǎn)的閉區(qū)域。證明：（1）這里，被積函數(shù)，由二重積分的定義，對(duì)任意分割和取點(diǎn)法，其中是各中的最大直徑。 （2）（3）將任意分割成個(gè)小區(qū)域，是其各小區(qū)域的最大直徑，將任意分割成個(gè)小區(qū)域，有類似的意義。記，于是對(duì)應(yīng)區(qū)域就分成了個(gè)區(qū)域，當(dāng)時(shí)，有且，因?yàn)? 無公共內(nèi)點(diǎn)，將以上分割反過來處理：先將分割為個(gè)區(qū)域，此分割在上的部分為，個(gè)小區(qū)域。于是當(dāng)在上可積時(shí)，便可如下推出在上可積（或反過來也一樣），且有3.判斷積分的符號(hào)解：由于，所以，且當(dāng)時(shí)，于是4.判斷下列積分值的大小：，其中由，圍成，則之間的大小順序?yàn)椋?）A

3、. B. C. D. 解：因?yàn)楸槐容^積分的積分區(qū)域相同，故可從被積函數(shù)來判斷，在區(qū)域上，當(dāng)時(shí)，從而當(dāng)時(shí)，其中的只有在邊界處才可能取到所以，故應(yīng)選C.5.估計(jì)下列二重積分的值：（1）,其中是矩形閉區(qū)域，；（2）,其中是圓形閉區(qū)域；解：（1），（2）圓形閉區(qū)域的面積為，在中，即，即6.試用二重積分性質(zhì)證明不等式，其中：，.證明：當(dāng)時(shí)，由重積分的性質(zhì)即得，證畢。7.計(jì)算，其中由中心在原點(diǎn)，半徑為的圓所圍成。解： 在上連續(xù)，由二重積分的中值定理知，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，于是有1習(xí)題9-21.計(jì)算下列二重積分：(1) ，其中：，;(2) ，其中閉區(qū)域由坐標(biāo)軸與所圍成;(3)，其中：，;(4) ，其中：

4、，.解：(1) =而，所求(2)積分區(qū)域：， 所求(3) =1(4) =+其中=所求2.畫出積分區(qū)域，并計(jì)算下列二重積分：(1)，其中:(2) ，其中是由，所圍成的區(qū)域(3) ，其中是以，為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域(4) ，其中是由，所圍成的區(qū)域解：(1)所求= =(2)所求=(3)所求=(4)所求(和書上答案不一樣)3.改變下列二次積分的積分次序：(1);(2) ;(3) ;(4) ;(5) 解：(1)原式(2)由二次積分的積分限有，改變積分次序后積分限為，所以，原式(3)積分區(qū)域D：，可改寫為，所以，原式(4)由二次積分的積分限，畫出積分區(qū)域可改寫為 所以，原式(5)由二次積分的積分限畫出積分區(qū)

5、域知原式4. 設(shè)是由不等式所確定的有界閉區(qū)域，求二重積分解：由對(duì)稱性0+所以5.求證證明：畫出積分區(qū)域知左邊6.如果二重積分的被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)和的乘積，即，積分區(qū)域，證明證明：7.設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域由直線，和軸所圍成，它的面密度，求該薄片的質(zhì)量。解：設(shè)該薄片的質(zhì)量為,則質(zhì)量元素8.求曲線所圍成的平面圖形的面積。該曲線所圍成的區(qū)域?yàn)?，故所求面積令，則， 00=9.用二重積分表示由曲面，所圍成的立體的體積。解：將所圍立體視為以平面為頂，以面上的圓為底的曲頂柱體，根據(jù)二重積分的幾何意義，所求的體積為10.求由曲面，所圍成的立體的體積。解：由于所圍立體的底部為區(qū)域:，頂部是旋轉(zhuǎn)拋物面，所以所求

6、體積11.求由曲面和所圍成的立體的體積。解：該立體的上頂面為，下頂面為兩曲面的交線為，故交線所圍平面區(qū)域?yàn)槠矫嫔系膱A域，令，則， 00=習(xí)題9-31.化二重積分為極坐標(biāo)形式的二次積分，其中積分區(qū)域?yàn)椋?） （2） （3）解：（1）積分區(qū)域?yàn)閳A域，故 （2）積分區(qū)域?yàn)榄h(huán)域，故（3）積分區(qū)域?yàn)閳A心在，半徑為1的圓域，故2.化下列二次積分為極坐標(biāo)形式的二次積分（1） （2） （3）解：（1）畫出積分區(qū)域草圖知（2）（3）3.利用極坐標(biāo)計(jì)算下列二重積分：（1），其中是由所圍成的閉區(qū)域。（2），其中是由與軸所圍成的上半部分閉區(qū)域。（3），其中是由圓周與坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域。（4），其中是由

7、，所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域。解：（1）（2）畫出積分區(qū)域的草圖知：，上半圓的極坐標(biāo)方程為，所以所求（3）所求（4）經(jīng)極坐標(biāo)變換，邊界曲線方程為，故所求4.選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列各題：（1），其中是由與所圍成的閉區(qū)域。（2），其中是由圓周，及所圍成的閉區(qū)域。（3），其中：，（4），其中是由圓周與坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域。（5），其中：，解：（1）利用極坐標(biāo)計(jì)算。拋物線的極坐標(biāo)方程為即，所求（2）本題用直角坐標(biāo)計(jì)算比較簡(jiǎn)單。積分區(qū)域可表示為，故所求（3）畫出積分區(qū)域的草圖，采用極坐標(biāo)計(jì)算，可表示為，故所求（4）畫出積分區(qū)域的草圖，采用極坐標(biāo)計(jì)算，可表示為，故所求令，則， 0101所求

8、（5）畫出積分區(qū)域的草圖，采用極坐標(biāo)計(jì)算，所求5.求區(qū)域的體積,其中由，所圍成。解：注意到曲面在第一、三象限時(shí)位于面的上方，在第二、四象限時(shí)位于面的下方。曲面在面上的投影區(qū)域?yàn)椋?，故所求體積為6.求球體與所圍公共部分的體積。解：因?yàn)閮汕蛎娴慕痪€為，所以兩球體公共部分在面上的投影區(qū)域?yàn)椋?，?7.設(shè)均勻薄片所占的閉區(qū)域由，所圍成，求此薄片的重心。解：不妨設(shè)該薄片的面密度為1，則該薄片的質(zhì)量=靜矩=重心坐標(biāo)，即重心在點(diǎn)8.設(shè)半徑為1的半圓形薄片上各點(diǎn)處的面密度等于該點(diǎn)到圓心的距離，求此半圓的重心坐標(biāo)及關(guān)于軸（直徑邊）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：依題意，面密度。由對(duì)稱性知，重心必在軸，即，故只需計(jì)算。=。所以即

9、重心坐標(biāo)為對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為=。9.設(shè)均勻薄片（面密度為常數(shù)1）所占閉區(qū)域由拋物線與直線所圍成，求和解：=10.設(shè)有一由，及所圍成的均勻薄片（密度為1），問此薄片繞哪一條垂直于軸的直線旋轉(zhuǎn)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最??？解：令0，得由于所以當(dāng)時(shí)最小。11.計(jì)算，其中為橢圓形閉區(qū)域：解：作廣義極坐標(biāo)變換，則被積函數(shù)。區(qū)域：化為，即:，而=所以，原式12.計(jì)算解：由對(duì)稱性知,所以，原式作變換則1由對(duì)稱性知所以，所求13.計(jì)算重積分，其中是由直線，和所圍成。解：作變換，則被積函數(shù)。區(qū)域化為：，而=所以，原式14.進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，化二重積分為單積分，其中為由曲線，所圍成的閉區(qū)域。解：作變換，則，化為：，而=所以，

10、所求15.作適當(dāng)?shù)淖儞Q，證明等式，其中閉區(qū)域:解：畫出積分區(qū)域的草圖，并結(jié)合被積函數(shù)的形式，作變換，即，區(qū)域化為：，而=，所以所求習(xí)題9-41.化三重積分為三次積分，其中積分區(qū)域分別是：（1） 由，所圍成的閉區(qū)域；（2） 由六個(gè)平面，所圍成的閉區(qū)域；（3） 由曲面及所圍成的閉區(qū)域。解：（1）想像的形狀，可把表示為，所以，（2）畫出積分區(qū)域的草圖，可知區(qū)域介于平面與之間，且，在面上的投影區(qū)域?yàn)椋?，所以?）不難求得兩曲面的交線在面上的投影為，在面上的投影區(qū)域?yàn)椋海?.設(shè)有一物體，占有空間閉區(qū)域：，在點(diǎn)處的密度為，計(jì)算該物體的質(zhì)量。解：該物體的質(zhì)量=183.設(shè)積分區(qū)域：，證明：證明：左邊右邊4

11、.計(jì)算，其中是由曲面，所圍成的區(qū)域。解：根據(jù)題意，積分區(qū)域可表示為：，所以5.計(jì)算，其中是由，和所圍成的四面體。解：在面上的投影區(qū)域?yàn)椋?，于是所?.計(jì)算，其中是由，所圍成的區(qū)域。解：由消去，得，區(qū)域可分成兩個(gè)區(qū)域和，：，；：，。所求+(和書上答案不一樣)7.計(jì)算，其中：解：被積函數(shù)僅為的函數(shù)，截面為圓域：，故采用“先二后一”法8.設(shè)在上可積，試證，其中是由球面圍成的空間閉區(qū)域。解：（法一）直接在空間直角坐標(biāo)系中計(jì)算（法二）將球域分割成許多平行于面的小薄片，設(shè)第片的豎坐標(biāo)為，厚度為，該片在面上的投影區(qū)域記為，在極坐標(biāo)系下計(jì)算該三重積分：9.計(jì)算，其中為圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的空間環(huán)形閉區(qū)域。解：

12、所求習(xí)題9-51.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分，其中積分區(qū)域由曲面及所圍成（在拋物面內(nèi)的那一部分）解：畫出積分區(qū)域的草圖，經(jīng)柱面坐標(biāo)變換，上曲面方程為，即，下曲面方程為，即。故：， 2.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分，其中積分區(qū)域由曲面及所圍成的閉區(qū)域。解：和的交線是平面上的圓，故在面上的投影區(qū)域?yàn)椋?，利用柱坐?biāo)得所求3.利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分，其中由所圍成的閉區(qū)域。解：在面上的投影區(qū)域?yàn)椋?，利用球面坐?biāo)得所求4.利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分，其中：，解：畫出積分區(qū)域的草圖，：，所求5.計(jì)算，其中由柱面及平面，所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域。解：易知宜采用柱面坐標(biāo)計(jì)算，在面上的投影為位于第一卦限的個(gè)單位圓，

13、于是，所求6.計(jì)算，其中由平面，與圓柱面所圍成的閉區(qū)域。解：在面上的投影為:,而當(dāng)時(shí)，易證所以平面位于平面的上方，采用柱坐標(biāo)，7.，其中是由所圍成的閉區(qū)域。解：利用球面坐標(biāo)，題設(shè)球面方程可化為，它位于面的上方，且與面相切，故，所求8.計(jì)算，其中是由曲線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與兩平面，所圍成的立體。解：曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為，由于積分域在面上的投影域的兩個(gè)不同的部分：，：其中任一點(diǎn)所作平行于軸的直線與圍成的不同曲線相交，故原積分應(yīng)視為柱坐標(biāo)下兩個(gè)不同的三重積分之和，即=+9.計(jì)算，其中是兩個(gè)球，所圍成的閉區(qū)域。解：利用柱坐標(biāo)，=10.計(jì)算，其中是由橢球面所圍成的區(qū)域。解:令，則

14、，故有所求11.求由曲面及所圍立體的體積。解：利用柱坐標(biāo)計(jì)算，積分區(qū)域的上半曲面是拋物面，下方是開口向上的錐面，由又兩曲面的交線為消得即，故在面上的投影區(qū)域?yàn)閳A域：于是所求12.曲面將球分成兩部分，求這兩部分的體積比。解：球面方程，球體體積，題設(shè)曲面與球面的交線在面上的投影區(qū)域?yàn)?，球面的下部與曲面之間的體積為球面的上部與曲面之間的體積-=所以：13.計(jì)算密度函數(shù)為的立體的質(zhì)量，這里是由球面與錐面所圍成的區(qū)域（錐面的內(nèi)部）解：由題意知，用球面坐標(biāo)表示積分區(qū)域，有：,，于是14.球心在圓點(diǎn)，半徑為的球體，在其上任意一點(diǎn)的密度的大小與該點(diǎn)到球心的距離成正比，求該球體的質(zhì)量。解：密度函數(shù)，是比例系數(shù)，

15、質(zhì)量元素，所求的質(zhì)量，由于是球體，故宜采用球面坐標(biāo)，=15.利用三重積分求由曲面，所圍成的立體的重心（設(shè)密度）。解：這是一個(gè)錐體，由對(duì)稱性易知，利用柱坐標(biāo)計(jì)算，投影區(qū)域:及，即，于是靜矩，故重心坐標(biāo)為16.球體內(nèi)，各點(diǎn)處的密度的大小等于該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，求該球體的重心。解：由于此球體關(guān)于，坐標(biāo)面對(duì)稱，所以，下面求。為球體，用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分，將球坐標(biāo)代入球面方程，得，又易見，所以靜矩=，故該球體的重心坐標(biāo)為17.一均勻物體（密度為常量）占有的閉區(qū)域由曲面和平面，所圍成，（1）求物體的重心；（2）求物體關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：（1）由為常量和物體關(guān)于，坐標(biāo)面對(duì)稱知，所以物體的重心坐標(biāo)為

16、（2）18.設(shè)有半徑為的均勻球體（ ），球外一點(diǎn)放置一單位質(zhì)點(diǎn)，試求球體對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力。解:設(shè)球心為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)在軸上，坐標(biāo)為，由對(duì)稱性知，=故所求引力=，其中為球的質(zhì)量，為引力常數(shù)，上式負(fù)號(hào)表示引力的方向與軸的正方向相反。總習(xí)題九1.計(jì)算下列二重積分：（1），其中是由，及所圍成的區(qū)域。（2），其中是由，及所圍成的在軸上方的區(qū)域。（3），其中：，（4）（），其中是由圓心在點(diǎn)，半徑為且與坐標(biāo)軸相切的圓周的較短的一段弧和坐標(biāo)軸所圍成的區(qū)域。解：（1）視為型區(qū)域，（2）視為型區(qū)域，積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，且被積函數(shù)滿足，故由對(duì)稱性知（3）畫出積分區(qū)域的草圖，從的形狀來看，似乎應(yīng)先對(duì)積分，但

17、從被積函數(shù)來看，這樣會(huì)對(duì)第二次積分帶來困難，故選擇先對(duì)積分，易知題設(shè)兩曲線的交點(diǎn)為+-（4） 解:圓的方程為，區(qū)域的邊界所涉及的圓弧為，所以注：本題的積分域涉及圓，雖可以考慮使用極坐標(biāo)系，但這段圓弧的極坐標(biāo)表達(dá)式并不簡(jiǎn)單，同時(shí)被積函數(shù)化為極坐標(biāo)后也會(huì)增加難度，所以使用直角坐標(biāo)系較為簡(jiǎn)單。2.改變下列二次積分的積分次序：（1）（2）（）解：（1）積分區(qū)域：，其中：，：，所以+（2）積分區(qū)域：，將分成、及三部分，：，：，：，故+3.計(jì)算下列二次積分：（1）（2）解：（1）因?yàn)椋c的原函數(shù)都不是初等函數(shù)，所以不能先對(duì)積分，必須交換積分順序，積分區(qū)域如圖，+1-+-1-（2）原式4.設(shè)在上連續(xù)，并設(shè)，

18、求解：因?yàn)椴荒苤苯臃e出，所以應(yīng)該改變積分次序，令則原式，故+所以5.證明證明：由等式左端，易畫出積分區(qū)域的草圖，交換積分次序得左邊右邊。6. 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，證明 證明：左邊，其中：，由于，所以=，由此即可推出左邊右邊。7.已知函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且，求解：所求68.計(jì)算解：積分區(qū)域是，顯然關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)對(duì)稱，所以0，又，故所求9.計(jì)算二重積分解：（法一）用極坐標(biāo)計(jì)算所求（法二）作變換，則所求（法三）本題一個(gè)簡(jiǎn)單解法是：由，的輪換對(duì)稱性知，所求，而均勻圓板：的質(zhì)心為圓心：，但,所以，故所求10.計(jì)算，其中是由曲線，與軸所圍成的在右上方區(qū)域的部分。解：選用極坐標(biāo)，所涉及的兩個(gè)圓的極坐標(biāo)方程為和

19、，交點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則11. 計(jì)算=，其中是由，所圍成的平面區(qū)域。解：注意到被積函數(shù)在直角坐標(biāo)系下不能用有限形式表示，但，故積分有可能在極坐標(biāo)系下算出，直線的極坐標(biāo)方程為，故所求12.計(jì)算=，其中，由，和所圍成。解：畫出積分區(qū)域的草圖，結(jié)合被積函數(shù)的表達(dá)式，將分成三個(gè)部分，在上，所以0，因此=+13.計(jì)算=，其中：解:為去掉被積函數(shù)的絕對(duì)值，將積分區(qū)域分成如下兩個(gè)部分: ,: ,則=+2=+=+=+=+=+14. 計(jì)算=，其中是由直線，所圍成。解：=，劃分積分區(qū)域以去掉絕對(duì)值=+-15.設(shè)，證明證明：化成二重積分證明，記=，由不等式,有左邊的面積16.計(jì)算以面上的由圓周所圍成的閉區(qū)域?yàn)榈祝郧?/p>

20、為頂?shù)那斨w的體積。解：將底：用極坐標(biāo)表示,利用積分區(qū)域和被積函數(shù)的對(duì)稱性，所求體積17.在均勻半圓形薄片的直徑上，要接上一個(gè)一邊與直徑等長(zhǎng)的均勻矩形薄片，為了使整個(gè)均勻薄片的重心恰好落在圓心上，問接上去的均勻矩形薄片另一邊的長(zhǎng)度應(yīng)是多少？解：設(shè)旁接矩形的寬度為，建立如圖坐標(biāo)系，由于要求拼接的平面塊形的重心在圓心（坐標(biāo)原點(diǎn)），故平面塊對(duì)軸的靜力矩應(yīng)為0，即有關(guān)系式。+由此推出18.密度均勻的平面薄片，由曲線，（可變）所圍成，求該可變面積平面薄片的重心軌跡。解：=，于是，這是可變面積平面薄片重心的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即得重心的直角坐標(biāo)系下方程為，仍是一條拋物線。19.已知均勻矩形板（面密度為常

21、數(shù)）的長(zhǎng)和寬分別為和，計(jì)算此矩形板對(duì)于通過其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：取形心為圓點(diǎn)，兩條坐標(biāo)軸分別平行于矩形的兩邊，則矩形為。其中為矩形板的質(zhì)量20.求由及直線（）所圍成的圖形對(duì)直線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（密度1）解：（法一）（法二）先作平移變換，則區(qū)域變成了，由和圍成。21.試證其中閉區(qū)域:，且證：令，為了便于解出對(duì)稱的和并便于計(jì)算，不妨再令，則，由:有所以也為單位圓域，故所求右邊。22.計(jì)算，其中是由平面與三個(gè)坐標(biāo)面圍成。解：由積分區(qū)域和被積函數(shù)對(duì)三個(gè)變量的輪換對(duì)稱性得故所求323.計(jì)算，其中由，以及所圍成。解：易知在面上的投影區(qū)域：，因此所求24.計(jì)算，其中是由錐面與平面（）所圍成的

22、閉區(qū)域。解：將錐面與平面的方程聯(lián)立，消去，得投影柱面的方程,即，故在面上的投影區(qū)域：,，于是所求（令）25.交換下列積分的積分順序:= 改換成先對(duì)最后對(duì)的積分順序。解：交換三重積分的積分順序，可分兩步走，其中的每一步均是二重積分交換積分順序的問題，對(duì)本題，第一步，交換與的次序；第二步，交換與的次序，就會(huì)得到以的順序的累次積分。對(duì)第一步，其積分區(qū)域：，所以= ，對(duì)第二步，其積分區(qū)域：，所以=+26. 計(jì)算= ，其中：，解：為了消去被積函數(shù)里的絕對(duì)值號(hào)，用曲面把分成上下兩個(gè)部分，、，作柱面坐標(biāo)變換得：，：，=+27.計(jì)算，其中是由，所圍成。解：由于關(guān)于坐標(biāo)面、坐標(biāo)面均對(duì)稱，故0，于是，所求28.計(jì)

23、算，其中是由及所圍成的閉區(qū)域。解：為錐體，宜用柱面坐標(biāo)計(jì)算，將代入錐面方程，得兩曲面的交線：（），故在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域：又由曲面方程知，所以所求29. 計(jì)算，其中由與所圍成。解：由于關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱，且被積函數(shù)是的奇函數(shù)，故0所求30.計(jì)算，其中由所圍成。解：利用廣義球坐標(biāo)變換，令， （1）則=將變換式（1）代入題設(shè)曲線的方程，得，于是但變換式（1）本身須限定于是應(yīng)取，又中的變化范圍與無關(guān)，故應(yīng)取，變換后積分區(qū)域?yàn)?，所以所?1.計(jì)算，其中：解：由于積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面、坐標(biāo)面均對(duì)稱，故所求因此可應(yīng)用球坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，球面的球坐標(biāo)方程為，故在球坐標(biāo)下可表示為：，所求32.設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，

24、試求解：所求33.證明：證：從改變積分次序入手。，所以左邊右邊34.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且滿足，求。解：從積分區(qū)域和被積函數(shù)的形式可見宜選極坐標(biāo)計(jì)算。兩邊求導(dǎo)得，所以邊積分得，又由題設(shè)條件知代入上式得,故35.求由曲面及所圍成的立體的體積。解：由上半球面與向上的拋物面所圍成，利用柱坐標(biāo)計(jì)算。兩曲面的交線為（），故在面上的投影區(qū)域?yàn)椋海ǎ亩?，將柱坐?biāo)變換，代入所以所求的體積36.求由曲面所圍立體的體積。解：觀察曲面方程，宜用球坐標(biāo)計(jì)算，將變換式代入曲面方程得，由，而僅含平方項(xiàng)，故所求體積為第一卦限部分體積的4倍，因此37.設(shè)有一物體，由圓錐以及與這一錐體共底的半球拼成，而錐的高等于它的底半徑，求該

25、物體關(guān)于對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（）解：選球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸取作軸，半球面與錐面方程分別為，半球關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為=錐體關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為=所以該物體關(guān)于對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=+=38.一個(gè)由曲面與（）圍成的漏斗盛滿液體，斗內(nèi)任一點(diǎn)處液體的密度為（），求斗中液體的質(zhì)量解：設(shè)為曲面與所圍成的區(qū)域，則39.求密度均勻的圓柱體對(duì)其底面中心處單位質(zhì)點(diǎn)的引力。解：設(shè)圓柱底半徑為,高為,以中心軸為軸，底面為面建立空間直角坐標(biāo)系，則所求引力為柱體對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)點(diǎn)的引力，設(shè)引力，顯然，取中是圓柱體，是圓柱中任一點(diǎn)處小體積元素到原點(diǎn)（單位質(zhì)點(diǎn)）的距離，為和的夾角，于是（利用柱坐標(biāo)計(jì)算）引力方向同軸正向（,）考研真題1.（2000年數(shù)學(xué)一）設(shè)有一半徑為的球體,是此球體的表面上的一個(gè)定點(diǎn)，球體上任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到的距離的平方成正比（比例常數(shù)），求球體的重心的位置。解：記所考慮的球體為，以的球心為原點(diǎn)，射線為正軸建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，球面的方程為，設(shè)的重心位置為，由對(duì)稱性得，而+=+=所以的重心位置為注：本題也可將定點(diǎn)設(shè)為原點(diǎn)，球心為,射線為正軸建立直角坐標(biāo)系，則球面的方程為，采用如上方法可求出重心位置在2.（2002年數(shù)學(xué)一）計(jì)算，其中解：設(shè)，則所求+3.（2003年數(shù)學(xué)一）設(shè)函數(shù)連續(xù)且恒大于零，其中=, =(1) 討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；(2) 證明：當(dāng)時(shí)，（1） 解：顯然在上，在