重積分例題及課后答案理工類吳贛昌

1、第九章 重積分內容概要名稱主要內容二重積分定義性質 計算法利用直角坐標計算把D寫成X型區(qū)域把D寫成Y型區(qū)域利用極坐標計算三重積分利用直角坐標計算投影法(針刺法、先一后二法)截面法(切片法、先二后一法)利用柱面坐標計算利用球面坐標計算應用求立體的體積、求曲面的面積、求質量、重心、轉動慣量等 課后習題全解習題9-11.設有一平面薄板（不計其厚度），占有面上的閉區(qū)域，薄板上分布著面密度為的電荷，且在上連續(xù)，試用二重積分表達該板上的全部電荷.解：將任意分割成個小區(qū)域，在第個小區(qū)域上任取一點，由于在上連續(xù)和很小，所以用作為上各點函數(shù)值的近似值，則上的電荷從而該板上的全部電荷其中是各中的最大直徑。2.利用

2、二重積分定義證明：（1）（為區(qū)域的面積）；（2）（其中為常數(shù)）；（3），其中, 為兩個無公共內點的閉區(qū)域。證明：（1）這里，被積函數(shù)，由二重積分的定義，對任意分割和取點法，其中是各中的最大直徑。 （2）（3）將任意分割成個小區(qū)域，是其各小區(qū)域的最大直徑，將任意分割成個小區(qū)域，有類似的意義。記，于是對應區(qū)域就分成了個區(qū)域，當時，有且，因為, 無公共內點，將以上分割反過來處理：先將分割為個區(qū)域，此分割在上的部分為，個小區(qū)域。于是當在上可積時，便可如下推出在上可積（或反過來也一樣），且有3.判斷積分的符號解：由于，所以，且當時，于是4.判斷下列積分值的大?。?，其中由，圍成，則之間的大小順序為（ ）A

3、. B. C. D. 解：因為被比較積分的積分區(qū)域相同，故可從被積函數(shù)來判斷，在區(qū)域上，當時，從而當時，其中的只有在邊界處才可能取到所以，故應選C.5.估計下列二重積分的值：（1）,其中是矩形閉區(qū)域，；（2）,其中是圓形閉區(qū)域；解：（1），（2）圓形閉區(qū)域的面積為，在中，即，即6.試用二重積分性質證明不等式，其中：，.證明：當時，由重積分的性質即得，證畢。7.計算，其中由中心在原點，半徑為的圓所圍成。解： 在上連續(xù)，由二重積分的中值定理知，在內至少存在一點，使得，于是有1習題9-21.計算下列二重積分：(1) ，其中：，;(2) ，其中閉區(qū)域由坐標軸與所圍成;(3)，其中：，;(4) ，其中：

4、，.解：(1) =而，所求(2)積分區(qū)域：， 所求(3) =1(4) =+其中=所求2.畫出積分區(qū)域，并計算下列二重積分：(1)，其中:(2) ，其中是由，所圍成的區(qū)域(3) ，其中是以，為頂點的三角形閉區(qū)域(4) ，其中是由，所圍成的區(qū)域解：(1)所求= =(2)所求=(3)所求=(4)所求(和書上答案不一樣)3.改變下列二次積分的積分次序：(1);(2) ;(3) ;(4) ;(5) 解：(1)原式(2)由二次積分的積分限有，改變積分次序后積分限為，所以，原式(3)積分區(qū)域D：，可改寫為，所以，原式(4)由二次積分的積分限，畫出積分區(qū)域可改寫為 所以，原式(5)由二次積分的積分限畫出積分區(qū)

5、域知原式4. 設是由不等式所確定的有界閉區(qū)域，求二重積分解：由對稱性0+所以5.求證證明：畫出積分區(qū)域知左邊6.如果二重積分的被積函數(shù)是兩個函數(shù)和的乘積，即，積分區(qū)域，證明證明：7.設平面薄片所占的閉區(qū)域由直線，和軸所圍成，它的面密度，求該薄片的質量。解：設該薄片的質量為,則質量元素8.求曲線所圍成的平面圖形的面積。該曲線所圍成的區(qū)域為:，故所求面積令，則， 00=9.用二重積分表示由曲面，所圍成的立體的體積。解：將所圍立體視為以平面為頂，以面上的圓為底的曲頂柱體，根據(jù)二重積分的幾何意義，所求的體積為10.求由曲面，所圍成的立體的體積。解：由于所圍立體的底部為區(qū)域:，頂部是旋轉拋物面，所以所求

6、體積11.求由曲面和所圍成的立體的體積。解：該立體的上頂面為，下頂面為兩曲面的交線為，故交線所圍平面區(qū)域為平面上的圓域，令，則， 00=習題9-31.化二重積分為極坐標形式的二次積分，其中積分區(qū)域為（1） （2） （3）解：（1）積分區(qū)域為圓域，故 （2）積分區(qū)域為環(huán)域，故（3）積分區(qū)域為圓心在，半徑為1的圓域，故2.化下列二次積分為極坐標形式的二次積分（1） （2） （3）解：（1）畫出積分區(qū)域草圖知（2）（3）3.利用極坐標計算下列二重積分：（1），其中是由所圍成的閉區(qū)域。（2），其中是由與軸所圍成的上半部分閉區(qū)域。（3），其中是由圓周與坐標軸所圍成的在第一象限內的閉區(qū)域。（4），其中是由

7、，所圍成的在第一象限內的閉區(qū)域。解：（1）（2）畫出積分區(qū)域的草圖知：，上半圓的極坐標方程為，所以所求（3）所求（4）經極坐標變換，邊界曲線方程為，故所求4.選用適當?shù)淖鴺擞嬎阆铝懈黝}：（1），其中是由與所圍成的閉區(qū)域。（2），其中是由圓周，及所圍成的閉區(qū)域。（3），其中：，（4），其中是由圓周與坐標軸所圍成的在第一象限內的閉區(qū)域。（5），其中：，解：（1）利用極坐標計算。拋物線的極坐標方程為即，所求（2）本題用直角坐標計算比較簡單。積分區(qū)域可表示為，故所求（3）畫出積分區(qū)域的草圖，采用極坐標計算，可表示為，故所求（4）畫出積分區(qū)域的草圖，采用極坐標計算，可表示為，故所求令，則， 0101所求

8、（5）畫出積分區(qū)域的草圖，采用極坐標計算，所求5.求區(qū)域的體積,其中由，所圍成。解：注意到曲面在第一、三象限時位于面的上方，在第二、四象限時位于面的下方。曲面在面上的投影區(qū)域為：，故所求體積為6.求球體與所圍公共部分的體積。解：因為兩球面的交線為，所以兩球體公共部分在面上的投影區(qū)域為：，故=7.設均勻薄片所占的閉區(qū)域由，所圍成，求此薄片的重心。解：不妨設該薄片的面密度為1，則該薄片的質量=靜矩=重心坐標，即重心在點8.設半徑為1的半圓形薄片上各點處的面密度等于該點到圓心的距離，求此半圓的重心坐標及關于軸（直徑邊）的轉動慣量。解：依題意，面密度。由對稱性知，重心必在軸，即，故只需計算。=。所以即

9、重心坐標為對于軸的轉動慣量為=。9.設均勻薄片（面密度為常數(shù)1）所占閉區(qū)域由拋物線與直線所圍成，求和解：=10.設有一由，及所圍成的均勻薄片（密度為1），問此薄片繞哪一條垂直于軸的直線旋轉時轉動慣量最??？解：令0，得由于所以當時最小。11.計算，其中為橢圓形閉區(qū)域：解：作廣義極坐標變換，則被積函數(shù)。區(qū)域：化為，即:，而=所以，原式12.計算解：由對稱性知,所以，原式作變換則1由對稱性知所以，所求13.計算重積分，其中是由直線，和所圍成。解：作變換，則被積函數(shù)。區(qū)域化為：，而=所以，原式14.進行適當?shù)淖兞看鷵Q，化二重積分為單積分，其中為由曲線，所圍成的閉區(qū)域。解：作變換，則，化為：，而=所以，

10、所求15.作適當?shù)淖儞Q，證明等式，其中閉區(qū)域:解：畫出積分區(qū)域的草圖，并結合被積函數(shù)的形式，作變換，即，區(qū)域化為：，而=，所以所求習題9-41.化三重積分為三次積分，其中積分區(qū)域分別是：（1） 由，所圍成的閉區(qū)域；（2） 由六個平面，所圍成的閉區(qū)域；（3） 由曲面及所圍成的閉區(qū)域。解：（1）想像的形狀，可把表示為，所以，（2）畫出積分區(qū)域的草圖，可知區(qū)域介于平面與之間，且，在面上的投影區(qū)域為：，所以（3）不難求得兩曲面的交線在面上的投影為，在面上的投影區(qū)域為：，所以2.設有一物體，占有空間閉區(qū)域：，在點處的密度為，計算該物體的質量。解：該物體的質量=183.設積分區(qū)域：，證明：證明：左邊右邊4

11、.計算，其中是由曲面，所圍成的區(qū)域。解：根據(jù)題意，積分區(qū)域可表示為：，所以5.計算，其中是由，和所圍成的四面體。解：在面上的投影區(qū)域為：，于是所求6.計算，其中是由，所圍成的區(qū)域。解：由消去，得，區(qū)域可分成兩個區(qū)域和，：，；：，。所求+(和書上答案不一樣)7.計算，其中：解：被積函數(shù)僅為的函數(shù)，截面為圓域：，故采用“先二后一”法8.設在上可積，試證，其中是由球面圍成的空間閉區(qū)域。解：（法一）直接在空間直角坐標系中計算（法二）將球域分割成許多平行于面的小薄片，設第片的豎坐標為，厚度為，該片在面上的投影區(qū)域記為，在極坐標系下計算該三重積分：9.計算，其中為圓繞軸旋轉一周所生成的空間環(huán)形閉區(qū)域。解：

12、所求習題9-51.利用柱面坐標計算三重積分，其中積分區(qū)域由曲面及所圍成（在拋物面內的那一部分）解：畫出積分區(qū)域的草圖，經柱面坐標變換，上曲面方程為，即，下曲面方程為，即。故：， 2.利用柱面坐標計算三重積分，其中積分區(qū)域由曲面及所圍成的閉區(qū)域。解：和的交線是平面上的圓，故在面上的投影區(qū)域為：，利用柱坐標得所求3.利用球面坐標計算三重積分，其中由所圍成的閉區(qū)域。解：在面上的投影區(qū)域為：，利用球面坐標得所求4.利用球面坐標計算三重積分，其中：，解：畫出積分區(qū)域的草圖，：，所求5.計算，其中由柱面及平面，所圍成的在第一卦限內的閉區(qū)域。解：易知宜采用柱面坐標計算，在面上的投影為位于第一卦限的個單位圓，

13、于是，所求6.計算，其中由平面，與圓柱面所圍成的閉區(qū)域。解：在面上的投影為:,而當時，易證所以平面位于平面的上方，采用柱坐標，7.，其中是由所圍成的閉區(qū)域。解：利用球面坐標，題設球面方程可化為，它位于面的上方，且與面相切，故，所求8.計算，其中是由曲線，繞軸旋轉一周而成的曲面與兩平面，所圍成的立體。解：曲線繞軸旋轉一周所得的旋轉曲面的方程為，由于積分域在面上的投影域的兩個不同的部分：，：其中任一點所作平行于軸的直線與圍成的不同曲線相交，故原積分應視為柱坐標下兩個不同的三重積分之和，即=+9.計算，其中是兩個球，所圍成的閉區(qū)域。解：利用柱坐標，=10.計算，其中是由橢球面所圍成的區(qū)域。解:令，則

14、，故有所求11.求由曲面及所圍立體的體積。解：利用柱坐標計算，積分區(qū)域的上半曲面是拋物面，下方是開口向上的錐面，由又兩曲面的交線為消得即，故在面上的投影區(qū)域為圓域：于是所求12.曲面將球分成兩部分，求這兩部分的體積比。解：球面方程，球體體積，題設曲面與球面的交線在面上的投影區(qū)域為，球面的下部與曲面之間的體積為球面的上部與曲面之間的體積-=所以：13.計算密度函數(shù)為的立體的質量，這里是由球面與錐面所圍成的區(qū)域（錐面的內部）解：由題意知，用球面坐標表示積分區(qū)域，有：,，于是14.球心在圓點，半徑為的球體，在其上任意一點的密度的大小與該點到球心的距離成正比，求該球體的質量。解：密度函數(shù)，是比例系數(shù)，

15、質量元素，所求的質量，由于是球體，故宜采用球面坐標，=15.利用三重積分求由曲面，所圍成的立體的重心（設密度）。解：這是一個錐體，由對稱性易知，利用柱坐標計算，投影區(qū)域:及，即，于是靜矩，故重心坐標為16.球體內，各點處的密度的大小等于該點到坐標原點的距離的平方，求該球體的重心。解：由于此球體關于，坐標面對稱，所以，下面求。為球體，用球坐標計算三重積分，將球坐標代入球面方程，得，又易見，所以靜矩=，故該球體的重心坐標為17.一均勻物體（密度為常量）占有的閉區(qū)域由曲面和平面，所圍成，（1）求物體的重心；（2）求物體關于軸的轉動慣量。解：（1）由為常量和物體關于，坐標面對稱知，所以物體的重心坐標為

16、（2）18.設有半徑為的均勻球體（ ），球外一點放置一單位質點，試求球體對該質點的引力。解:設球心為原點，建立直角坐標系，使點在軸上，坐標為，由對稱性知，=故所求引力=，其中為球的質量，為引力常數(shù)，上式負號表示引力的方向與軸的正方向相反?？偭曨}九1.計算下列二重積分：（1），其中是由，及所圍成的區(qū)域。（2），其中是由，及所圍成的在軸上方的區(qū)域。（3），其中：，（4）（），其中是由圓心在點，半徑為且與坐標軸相切的圓周的較短的一段弧和坐標軸所圍成的區(qū)域。解：（1）視為型區(qū)域，（2）視為型區(qū)域，積分區(qū)域關于軸對稱，且被積函數(shù)滿足，故由對稱性知（3）畫出積分區(qū)域的草圖，從的形狀來看，似乎應先對積分，但

17、從被積函數(shù)來看，這樣會對第二次積分帶來困難，故選擇先對積分，易知題設兩曲線的交點為+-（4） 解:圓的方程為，區(qū)域的邊界所涉及的圓弧為，所以注：本題的積分域涉及圓，雖可以考慮使用極坐標系，但這段圓弧的極坐標表達式并不簡單，同時被積函數(shù)化為極坐標后也會增加難度，所以使用直角坐標系較為簡單。2.改變下列二次積分的積分次序：（1）（2）（）解：（1）積分區(qū)域：，其中：，：，所以+（2）積分區(qū)域：，將分成、及三部分，：，：，：，故+3.計算下列二次積分：（1）（2）解：（1）因為，與的原函數(shù)都不是初等函數(shù)，所以不能先對積分，必須交換積分順序，積分區(qū)域如圖，+1-+-1-（2）原式4.設在上連續(xù)，并設，

18、求解：因為不能直接積出，所以應該改變積分次序，令則原式，故+所以5.證明證明：由等式左端，易畫出積分區(qū)域的草圖，交換積分次序得左邊右邊。6. 設在區(qū)間上連續(xù)，證明 證明：左邊，其中：，由于，所以=，由此即可推出左邊右邊。7.已知函數(shù)的三階導數(shù)連續(xù)，且，求解：所求68.計算解：積分區(qū)域是，顯然關于軸、軸、原點對稱，所以0，又，故所求9.計算二重積分解：（法一）用極坐標計算所求（法二）作變換，則所求（法三）本題一個簡單解法是：由，的輪換對稱性知，所求，而均勻圓板：的質心為圓心：，但,所以，故所求10.計算，其中是由曲線，與軸所圍成的在右上方區(qū)域的部分。解：選用極坐標，所涉及的兩個圓的極坐標方程為和

19、，交點的極坐標為，則11. 計算=，其中是由，所圍成的平面區(qū)域。解：注意到被積函數(shù)在直角坐標系下不能用有限形式表示，但，故積分有可能在極坐標系下算出，直線的極坐標方程為，故所求12.計算=，其中，由，和所圍成。解：畫出積分區(qū)域的草圖，結合被積函數(shù)的表達式，將分成三個部分，在上，所以0，因此=+13.計算=，其中：解:為去掉被積函數(shù)的絕對值，將積分區(qū)域分成如下兩個部分: ,: ,則=+2=+=+=+=+=+14. 計算=，其中是由直線，所圍成。解：=，劃分積分區(qū)域以去掉絕對值=+-15.設，證明證明：化成二重積分證明，記=，由不等式,有左邊的面積16.計算以面上的由圓周所圍成的閉區(qū)域為底，以曲面

20、為頂?shù)那斨w的體積。解：將底：用極坐標表示,利用積分區(qū)域和被積函數(shù)的對稱性，所求體積17.在均勻半圓形薄片的直徑上，要接上一個一邊與直徑等長的均勻矩形薄片，為了使整個均勻薄片的重心恰好落在圓心上，問接上去的均勻矩形薄片另一邊的長度應是多少？解：設旁接矩形的寬度為，建立如圖坐標系，由于要求拼接的平面塊形的重心在圓心（坐標原點），故平面塊對軸的靜力矩應為0，即有關系式。+由此推出18.密度均勻的平面薄片，由曲線，（可變）所圍成，求該可變面積平面薄片的重心軌跡。解：=，于是，這是可變面積平面薄片重心的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即得重心的直角坐標系下方程為，仍是一條拋物線。19.已知均勻矩形板（面密度為常

21、數(shù)）的長和寬分別為和，計算此矩形板對于通過其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉動慣量。解：取形心為圓點，兩條坐標軸分別平行于矩形的兩邊，則矩形為。其中為矩形板的質量20.求由及直線（）所圍成的圖形對直線的轉動慣量（密度1）解：（法一）（法二）先作平移變換，則區(qū)域變成了，由和圍成。21.試證其中閉區(qū)域:，且證：令，為了便于解出對稱的和并便于計算，不妨再令，則，由:有所以也為單位圓域，故所求右邊。22.計算，其中是由平面與三個坐標面圍成。解：由積分區(qū)域和被積函數(shù)對三個變量的輪換對稱性得故所求323.計算，其中由，以及所圍成。解：易知在面上的投影區(qū)域：，因此所求24.計算，其中是由錐面與平面（）所圍成的

22、閉區(qū)域。解：將錐面與平面的方程聯(lián)立，消去，得投影柱面的方程,即，故在面上的投影區(qū)域：,，于是所求（令）25.交換下列積分的積分順序:= 改換成先對最后對的積分順序。解：交換三重積分的積分順序，可分兩步走，其中的每一步均是二重積分交換積分順序的問題，對本題，第一步，交換與的次序；第二步，交換與的次序，就會得到以的順序的累次積分。對第一步，其積分區(qū)域：，所以= ，對第二步，其積分區(qū)域：，所以=+26. 計算= ，其中：，解：為了消去被積函數(shù)里的絕對值號，用曲面把分成上下兩個部分，、，作柱面坐標變換得：，：，=+27.計算，其中是由，所圍成。解：由于關于坐標面、坐標面均對稱，故0，于是，所求28.計

23、算，其中是由及所圍成的閉區(qū)域。解：為錐體，宜用柱面坐標計算，將代入錐面方程，得兩曲面的交線：（），故在坐標面上的投影區(qū)域：又由曲面方程知，所以所求29. 計算，其中由與所圍成。解：由于關于坐標面對稱，且被積函數(shù)是的奇函數(shù)，故0所求30.計算，其中由所圍成。解：利用廣義球坐標變換，令， （1）則=將變換式（1）代入題設曲線的方程，得，于是但變換式（1）本身須限定于是應取，又中的變化范圍與無關，故應取，變換后積分區(qū)域為，所以所求31.計算，其中：解：由于積分區(qū)域關于坐標面、坐標面均對稱，故所求因此可應用球坐標進行計算，球面的球坐標方程為，故在球坐標下可表示為：，所求32.設函數(shù)具有連續(xù)的導數(shù)，且，

24、試求解：所求33.證明：證：從改變積分次序入手。，所以左邊右邊34.設函數(shù)在上連續(xù)，且滿足，求。解：從積分區(qū)域和被積函數(shù)的形式可見宜選極坐標計算。兩邊求導得，所以邊積分得，又由題設條件知代入上式得,故35.求由曲面及所圍成的立體的體積。解：由上半球面與向上的拋物面所圍成，利用柱坐標計算。兩曲面的交線為（），故在面上的投影區(qū)域為：（）從而，將柱坐標變換，代入所以所求的體積36.求由曲面所圍立體的體積。解：觀察曲面方程，宜用球坐標計算，將變換式代入曲面方程得，由，而僅含平方項，故所求體積為第一卦限部分體積的4倍，因此37.設有一物體，由圓錐以及與這一錐體共底的半球拼成，而錐的高等于它的底半徑，求該

25、物體關于對稱軸的轉動慣量（）解：選球心為坐標原點，對稱軸取作軸，半球面與錐面方程分別為，半球關于軸的轉動慣量為=錐體關于軸的轉動慣量為=所以該物體關于對稱軸的轉動慣量=+=38.一個由曲面與（）圍成的漏斗盛滿液體，斗內任一點處液體的密度為（），求斗中液體的質量解：設為曲面與所圍成的區(qū)域，則39.求密度均勻的圓柱體對其底面中心處單位質點的引力。解：設圓柱底半徑為,高為,以中心軸為軸，底面為面建立空間直角坐標系，則所求引力為柱體對原點處單位質點的引力，設引力，顯然，取中是圓柱體，是圓柱中任一點處小體積元素到原點（單位質點）的距離，為和的夾角，于是（利用柱坐標計算）引力方向同軸正向（,）考研真題1.（2000年數(shù)學一）設有一半徑為的球體,是此球體的表面上的一個定點，球體上任一點的密度與該點到的距離的平方成正比（比例常數(shù)），求球體的重心的位置。解：記所考慮的球體為，以的球心為原點，射線為正軸建立直角坐標系，則點的坐標為，球面的方程為，設的重心位置為，由對稱性得，而+=+=所以的重心位置為注：本題也可將定點設為原點，球心為,射線為正軸建立直角坐標系，則球面的方程為，采用如上方法可求出重心位置在2.（2002年數(shù)學一）計算，其中解：設，則所求+3.（2003年數(shù)學一）設函數(shù)連續(xù)且恒大于零，其中=, =(1) 討論在區(qū)間內的單調性；(2) 證明：當時，（1） 解：顯然在上，在