高考數(shù)學試題分類匯編—數(shù)列

1、2009年高考數(shù)學試題分類匯編數(shù)列一、選擇題1.(2009年廣東卷文)已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且·=2，=1，則= A. B. C. D.2 【答案】B【解析】設公比為,由已知得,即,又因為等比數(shù)列的公比為正數(shù)，所以,故,選B2.（2009廣東卷理）已知等比數(shù)列滿足，且，則當時，A. B. C. D. 【解析】由得，則， ，選C.3.（2009安徽卷文）已知為等差數(shù)列，則等于A. -1 B. 1 C. 3 D.7【解析】即同理可得公差.選B?！敬鸢浮緽4.（2009江西卷文）公差不為零的等差數(shù)列的前項和為.若是的等比中項, ,則等于A. 18 B. 24 C. 60 D. 90答案

2、：C【解析】由得得,再由得 則,所以,.故選C5.（2009湖南卷文）設是等差數(shù)列的前n項和，已知，則等于【 C 】A13 B35 C49 D 63 解: 故選C.或由, 所以故選C.6.（2009福建卷理）等差數(shù)列的前n項和為，且 =6，=4， 則公差d等于A1 B C.- 2 D 3【答案】：C解析且.故選C7.（2009遼寧卷文）已知為等差數(shù)列，且21, 0,則公差d（A）2 （B） （C） （D）2【解析】a72a4a34d2(a3d)2d1 Þ d【答案】B8.（2009遼寧卷理）設等比數(shù)列 的前n 項和為 ，若 =3 ，則 =（A） 2 （B） （C） （D）3【解析】設

3、公比為q ,則1q33 Þ q32 于是【答案】B9.（2009寧夏海南卷理）等比數(shù)列的前n項和為，且4，2，成等差數(shù)列。若=1，則=（A）7 （B）8 （3）15 （4）16解析：4，2，成等差數(shù)列，,選C.10.（2009四川卷文）等差數(shù)列的公差不為零，首項1，是和的等比中項，則數(shù)列的前10項之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190【答案】B【解析】設公差為，則.0，解得2，10011.（2009湖北卷文）設記不超過的最大整數(shù)為,令=-，則，,A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)

4、列【答案】B【解析】可分別求得，.則等比數(shù)列性質(zhì)易得三者構(gòu)成等比數(shù)列.12.（2009湖北卷文）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來研究數(shù)，例如：他們研究過圖1中的1，3，6，10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù);類似地，稱圖2中的1，4，9，16這樣的數(shù)成為正方形數(shù)。下列數(shù)中及時三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是A.289 B.1024 C.1225 D.1378【答案】C【解析】由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項，同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項，則由可排除A、D，又由知必為奇數(shù)，故選C.13.（2009寧夏海南卷文）等差數(shù)列的前n項和為，已知，,則（A）38 （B）20 （C）10

5、（D）9【答案】C【解析】因為是等差數(shù)列，所以，由，得：20，所以，2，又，即38，即（2m1）×238，解得m10，故選.C。14.（2009重慶卷文）設是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則的前項和=（ ）A B CD【答案】A解析設數(shù)列的公差為，則根據(jù)題意得，解得或（舍去），所以數(shù)列的前項和15.（2009安徽卷理）已知為等差數(shù)列，+=105，=99，以表示的前項和，則使得達到最大值的是（A）21 （B）20 （C）19 （D） 18解析：由+=105得即，由=99得即 ，由得，選B16.（2009江西卷理）數(shù)列的通項，其前項和為，則為A B C D答案：A【解析】由于以3

6、為周期,故故選A17.（2009四川卷文）等差數(shù)列的公差不為零，首項1，是和的等比中項，則數(shù)列的前10項之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190【答案】B【解析】設公差為，則.0，解得2，100二、填空題1.（2009全國卷理） 設等差數(shù)列的前項和為，若,則= 。解: 是等差數(shù)列,由,得.2.（2009浙江理）設等比數(shù)列的公比，前項和為，則 答案：15【解析】對于3.（2009浙江文）設等比數(shù)列的公比，前項和為，則 【命題意圖】此題主要考查了數(shù)列中的等比數(shù)列的通項和求和公式，通過對數(shù)列知識點的考查充分體現(xiàn)了通項公式和前項和的知識聯(lián)系【解析】對于4.（2009浙江文）設等差數(shù)

7、列的前項和為，則，成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設等比數(shù)列的前項積為，則， ， ，成等比數(shù)列答案： 【命題意圖】此題是一個數(shù)列與類比推理結(jié)合的問題，既考查了數(shù)列中等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識，也考查了通過已知條件進行類比推理的方法和能力【解析】對于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列的前項積為，則，成等比數(shù)列5.（2009北京文）若數(shù)列滿足：，則 ；前8項的和 .（用數(shù)字作答）【解析】本題主要考查簡單的遞推數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查.，易知，應填255.6.（2009北京理）已知數(shù)列滿足：則_；=_.【答案】1，0【解析】本題主要考查周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識.屬于創(chuàng)新題型.依題意，得，.

8、 應填1，0.7.（2009江蘇卷）設是公比為的等比數(shù)列，令，若數(shù)列有連續(xù)四項在集合中，則= . 【解析】 考查等價轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力。等比數(shù)列的通項。有連續(xù)四項在集合，四項成等比數(shù)列，公比為，= -98.(2009山東卷文)在等差數(shù)列中,則.【解析】:設等差數(shù)列的公差為,則由已知得解得,所以. 答案:13.【命題立意】:本題考查等差數(shù)列的通項公式以及基本計算.9.（2009全國卷文）設等比數(shù)列的前n項和為。若，則= × 答案：3解析：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運算，由得q3=3故a4=a1q3=3。10.(2009湖北卷理)已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），若，則m所有可能的取

9、值為_。11.【答案】4 5 32【解析】（1）若為偶數(shù)，則為偶, 故當仍為偶數(shù)時， 故當為奇數(shù)時，故得m=4。（2）若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，故必為偶數(shù)，所以=1可得m=512.（2009全國卷理）設等差數(shù)列的前項和為，若則 9 .解：為等差數(shù)列，13.（2009遼寧卷理）等差數(shù)列的前項和為，且則 【解析】Snna1n(n1)d S55a110d,S33a13d 6S55S330a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4【答案】14.（2009寧夏海南卷理）等差數(shù)列前n項和為。已知+-=0，=38,則m=_解析：由+-=0得到。答案1015.（2009陜西卷文）設等差數(shù)列的

10、前n項和為,若,則 .答案:2n解析:由可得的公差d=2,首項=2,故易得2n.16.(2009陜西卷理)設等差數(shù)列的前n項和為,若,則 .答案：117.（2009寧夏海南卷文）等比數(shù)列的公比, 已知=1，則的前4項和= 【答案】【解析】由得：，即，解得：q2，又=1，所以，。18.(2009湖南卷理)將正ABC分割成（2，nN）個全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個三角形的頂點各放置一個數(shù)，使位于ABC的三遍及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當數(shù)的個數(shù)不少于3時）都分別一次成等差數(shù)列，若頂點A ,B ,C處的三個數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點上的數(shù)之和為f(n)，則有

11、f(2)=2，f(3)= ，f(n)= (n+1)(n+2) . 【答案】：【解析】當n=3時，如圖所示分別設各頂點的數(shù)用小寫字母表示，即由條件知即進一步可求得。由上知中有三個數(shù)，中 有6個數(shù)，中共有10個數(shù)相加 ，中有15個數(shù)相加.，若中有個數(shù)相加，可得中有個數(shù)相加，且由可得所以=19.（2009重慶卷理）設，則數(shù)列的通項公式= 【答案】：2n+1【解析】由條件得且所以數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，則三、解答題1.(2009年廣東卷文)（本小題滿分14分）已知點（1，）是函數(shù)且）的圖象上一點，等比數(shù)列的前項和為,數(shù)列的首項為，且前項和滿足=+（）.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若數(shù)列

12、前項和為，問>的最小正整數(shù)是多少?【解析】（1）, , .又數(shù)列成等比數(shù)列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, ；數(shù)列構(gòu)成一個首相為1公差為1的等差數(shù)列， ， 當， ；()；（2） ； 由得，滿足的最小正整數(shù)為112.2.（2009全國卷理）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）在數(shù)列中， （I）設，求數(shù)列的通項公式 （II）求數(shù)列的前項和分析：（I）由已知有 利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項公式: ()（II）由（I）知,=而,又是一個典型的錯位相減法模型，易得 =評析：09年高考理科數(shù)學全國(一)試題將數(shù)列題前置,考查構(gòu)造新數(shù)列和利用錯位相減法求前n項和，一改往年的將數(shù)列結(jié)合

13、不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導向作用。也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心。3.（2009浙江文）（本題滿分14分）設為數(shù)列的前項和，其中是常數(shù) （I） 求及； （II）若對于任意的，成等比數(shù)列，求的值解析：（）當， （） 經(jīng)驗，（）式成立， （）成等比數(shù)列，即，整理得：，對任意的成立， 4.（2009北京文）（本小題共13分）設數(shù)列的通項公式為. 數(shù)列定義如下：對于正整數(shù)m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.（）若，求；（）若，求數(shù)列的前2m項和公式；（）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范

14、圍；如果不存在，請說明理由.【解析】本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質(zhì)，考查運算能力、推理論證能力、分類討論等數(shù)學思想方法本題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題.（）由題意，得，解，得. 成立的所有n中的最小整數(shù)為7，即. （）由題意，得，對于正整數(shù)，由，得.根據(jù)的定義可知當時，；當時，. .（）假設存在p和q滿足條件，由不等式及得.,根據(jù)的定義可知，對于任意的正整數(shù)m 都有，即對任意的正整數(shù)m都成立. 當（或）時，得（或）， 這與上述結(jié)論矛盾！ 當，即時，得，解得. 存在p和q，使得；p和q的取值范圍分別是，.5.（2009北京理）（本小題共13分） 已知數(shù)集具有性質(zhì)；對任意的，與兩數(shù)中至少

15、有一個屬于.（）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；（）證明：，且；（）證明：當時，成等比數(shù)列.【解析】本題主要考查集合、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力、推理論證能力、分分類討論等數(shù)學思想方法本題是數(shù)列與不等式的綜合題，屬于較難層次題.（）由于與均不屬于數(shù)集，該數(shù)集不具有性質(zhì)P. 由于都屬于數(shù)集， 該數(shù)集具有性質(zhì)P. （）具有性質(zhì)P，與中至少有一個屬于A，由于，故.從而，.， ，故. 由A具有性質(zhì)P可知.又，從而，.（）由（）知，當時，有，即， ，由A具有性質(zhì)P可知.，得，且，即是首項為1，公比為成等比數(shù)列.6.（2009江蘇卷）（本小題滿分14分） 設是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項和，滿

16、足。（1）求數(shù)列的通項公式及前項和；（2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項?！窘馕觥?本小題主要考查等差數(shù)列的通項、求和的有關(guān)知識，考查運算和求解的能力。滿分14分。（1）設公差為，則，由性質(zhì)得，因為，所以，即，又由得，解得，,(2) （方法一）=,設，則=, 所以為8的約數(shù)（方法二）因為為數(shù)列中的項，故為整數(shù)，又由（1）知：為奇數(shù)，所以經(jīng)檢驗，符合題意的正整數(shù)只有。7.（2009江蘇卷）（本題滿分10分）對于正整數(shù)2，用表示關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根的有序數(shù)組的組數(shù)，其中（和可以相等）；對于隨機選取的（和可以相等），記為關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根的概率。（1）求和；（2）求證：對任意正整數(shù)

17、2，有.【解析】 必做題本小題主要考查概率的基本知識和記數(shù)原理，考查探究能力。滿分10分。8.(2009山東卷理)（本小題滿分12分）等比數(shù)列的前n項和為， 已知對任意的 ，點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值； （11）當b=2時，記 證明：對任意的 ，不等式成立解:因為對任意的,點，均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當時,當時,又因為為等比數(shù)列,所以,公比為,（2）當b=2時，, 則,所以下面用數(shù)學歸納法證明不等式成立. 當時,左邊=,右邊=,因為,所以不等式成立. 假設當時不等式成立,即成立.則當時,左邊=所以當時,不等式也成立.由、可得不等式恒成立.【命題立意】:本題主要

18、考查了等比數(shù)列的定義,通項公式,以及已知求的基本題型,并運用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式.9.(2009山東卷文)（本小題滿分12分）等比數(shù)列的前n項和為， 已知對任意的 ，點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值； （11）當b=2時，記 求數(shù)列的前項和解:因為對任意的,點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.所以得,當時,當時,又因為為等比數(shù)列, 所以, 公比為, 所以（2）當b=2時，, 則相減,得 所以【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項公式,以及已知求的基本題型,并運用錯位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對應項乘積所得新數(shù)列的前項和.10.（2

19、009全國卷文）（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列中，求前n項和.解析：本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)及求和公式運用能力，利用方程的思想可求解。解：設的公差為，則即解得因此11.（2009廣東卷理）（本小題滿分14分）已知曲線從點向曲線引斜率為的切線，切點為（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：.解：（1）設直線：，聯(lián)立得，則，（舍去）. ，即，（2）證明：由于，可令函數(shù)，則，令，得，給定區(qū)間，則有，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即在恒成立，又，則有，即.12.（2009安徽卷理）（本小題滿分13分）首項為正數(shù)的數(shù)列滿足（I）證明：若為奇數(shù)，則對一切都是奇數(shù)；（II）若對一切都有，求的取值范圍.解：本小題主要考

20、查數(shù)列、數(shù)學歸納法和不等式的有關(guān)知識，考查推理論證、抽象概括、運算求解和探究能力，考查學生是否具有審慎思維的習慣和一定的數(shù)學視野。本小題滿分13分。解：（I）已知是奇數(shù)，假設是奇數(shù)，其中為正整數(shù)，則由遞推關(guān)系得是奇數(shù)。根據(jù)數(shù)學歸納法，對任何，都是奇數(shù)。（II）（方法一）由知，當且僅當或。另一方面，若則；若，則根據(jù)數(shù)學歸納法，綜合所述，對一切都有的充要條件是或。（方法二）由得于是或。因為所以所有的均大于0，因此與同號。根據(jù)數(shù)學歸納法，與同號。因此，對一切都有的充要條件是或。13.（2009安徽卷文）（本小題滿分12分）已知數(shù)列 的前n項和，數(shù)列的前n項和（）求數(shù)列與的通項公式；（）設，證明：當且

21、僅當n3時， 【思路】由可求出，這是數(shù)列中求通項的常用方法之一，在求出后，進而得到，接下來用作差法來比較大小，這也是一常用方法?！窘馕觥?1)由于當時, 又當時數(shù)列項與等比數(shù)列,其首項為1,公比為(2)由(1)知由即即又時成立,即由于恒成立.因此,當且僅當時, 14.（2009江西卷文）（本小題滿分12分）數(shù)列的通項，其前n項和為. (1) 求; (2) 求數(shù)列的前n項和.解: (1) 由于,故,故 ()(2) 兩式相減得故 15.（2009江西卷理）（本小題滿分14分）各項均為正數(shù)的數(shù)列，且對滿足的正整數(shù)都有（1）當時，求通項（2）證明：對任意，存在與有關(guān)的常數(shù)，使得對于每個正整數(shù)，都有解：

22、（1）由得將代入化簡得 所以故數(shù)列為等比數(shù)列，從而即可驗證，滿足題設條件.(2) 由題設的值僅與有關(guān),記為則 . 考察函數(shù) ,則在定義域上有故對， 恒成立.又 ,注意到,解上式得取,即有 .16.（2009天津卷文）（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的公差d不為0，設（）若 ,求數(shù)列的通項公式；（）若成等比數(shù)列，求q的值。（）若【答案】（1）（2）（3）略【解析】 （1）解：由題設，代入解得，所以 （2）解：當成等比數(shù)列，所以，即，注意到，整理得（3）證明：由題設，可得，則 -得，+得， 式兩邊同乘以 q，得所以（3）證明：=因為，所以若，取i=n，若，取i滿足，且，由（1）（2）及題設知，且

23、當時，由，即，所以因此 當時，同理可得因此綜上，【考點定位】本小題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列通項公式與前n項和等基本知識，考查運算能力和推理論證能力和綜合分析解決問題的能力。17.(2009湖北卷理)（本小題滿分13分）（注意：在試題卷上作答無效）已知數(shù)列的前n項和（n為正整數(shù)）。（）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（）令，試比較與的大小，并予以證明。19.解析：（I）在中，令n=1，可得，即當時，. . 又數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列. 于是.(II)由（I）得，所以由-得于是確定的大小關(guān)系等價于比較的大小由可猜想當證明如下：證法1：（1）當n=3時，由上驗算顯示

24、成立。（2）假設時所以當時猜想也成立綜合（1）（2）可知 ，對一切的正整數(shù)，都有證法2：當時綜上所述，當，當時18.（2009四川卷文）（本小題滿分14分）設數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記。（I）求數(shù)列與數(shù)列的通項公式；（II）設數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個正整數(shù)；若不存在，請說明理由；（III）記，設數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有；【解析】（I）當時，又數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列， 3分（II）不存在正整數(shù)，使得成立。證明：由（I）知當n為偶數(shù)時，設當n為奇數(shù)時，設對于一切的正整數(shù)n，都有不存在正整數(shù)，使得成立。 8分（III）由得又，

25、當時，當時， 14分19.（2009全國卷理）（本小題滿分12分）設數(shù)列的前項和為 已知（I）設，證明數(shù)列是等比數(shù)列（II）求數(shù)列的通項公式。解：（I）由及，有由， 則當時，有得又，是首項，公比為的等比數(shù)列（II）由（I）可得，數(shù)列是首項為，公差為的等比數(shù)列， 評析：第（I）問思路明確，只需利用已知條件尋找第（II）問中由（I）易得，這個遞推式明顯是一個構(gòu)造新數(shù)列的模型：，主要的處理手段是兩邊除以總體來說，09年高考理科數(shù)學全國I、這兩套試題都將數(shù)列題前置,主要考查構(gòu)造新數(shù)列（全國I還考查了利用錯位相減法求前n項和的方法），一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和

26、一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導向作用。也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心。20.（2009湖南卷文）（本小題滿分13分）對于數(shù)列,若存在常數(shù)M0,對任意的，恒有 , 則稱數(shù)列為數(shù)列.（）首項為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請說明理由;（）設是數(shù)列的前n項和.給出下列兩組判斷：A組：數(shù)列是B-數(shù)列, 數(shù)列不是B-數(shù)列;B組：數(shù)列是B-數(shù)列, 數(shù)列不是B-數(shù)列.請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題.判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；()若數(shù)列是B-數(shù)列，證明：數(shù)列也是B-數(shù)列。解: （）設滿足題設的等比數(shù)列為,則.于是

27、 =所以首項為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列 .（）命題1：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列.此命題為假命題.事實上設=1，易知數(shù)列是B-數(shù)列，但=n， .由n的任意性知，數(shù)列不是B-數(shù)列。命題2：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列不是B-數(shù)列。此命題為真命題。事實上，因為數(shù)列是B-數(shù)列，所以存在正數(shù)M，對任意的，有 , 即.于是,所以數(shù)列是B-數(shù)列。（注：按題中要求組成其它命題解答時，仿上述解法） ()若數(shù)列是B-數(shù)列，則存在正數(shù)M，對任意的有 .因為 .記，則有 .因此.故數(shù)列是B-數(shù)列. 21.（2009遼寧卷文）（本小題滿分10分）等比數(shù)列的前n 項和為，已知,成等差數(shù)列 （1）求的公比q；

28、（2）求3，求解：（）依題意有 由于 ，故 又，從而 5分 （）由已知可得 故 從而 10分22.（2009陜西卷文）（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足， .令，證明：是等比數(shù)列； ()求的通項公式。（1）證當時，所以是以1為首項，為公比的等比數(shù)列。（2）解由（1）知當時，當時，。所以。23.(2009陜西卷理)（本小題滿分12分） 已知數(shù)列滿足， .猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；()證明：。證（1）由由猜想：數(shù)列是遞減數(shù)列下面用數(shù)學歸納法證明：（1）當n=1時，已證命題成立 （2）假設當n=k時命題成立，即易知，那么 =即也就是說，當n=k+1時命題也成立，結(jié)合（1）和（2）知，命題成立（

29、2）當n=1時，結(jié)論成立當時，易知 24.（2009四川卷文）（本小題滿分14分）設數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記。（I）求數(shù)列與數(shù)列的通項公式；（II）設數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個正整數(shù)；若不存在，請說明理由；（III）記，設數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有；【解析】（I）當時，又數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列， 3分（II）不存在正整數(shù)，使得成立。證明：由（I）知當n為偶數(shù)時，設當n為奇數(shù)時，設對于一切的正整數(shù)n，都有不存在正整數(shù)，使得成立。 8分（III）由得又，當時，當時， 14分25.（2009湖北卷文）（本小題滿分12分） 已知a

30、n是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a655, a2+a716.()求數(shù)列an的通項公式：（）若數(shù)列an和數(shù)列bn滿足等式：an，求數(shù)列bn的前n項和Sn解（1）解：設等差數(shù)列的公差為d，則依題設d>0由a2+a716.得 由得 由得將其代入得。即（2）令兩式相減得于是=-4=26.(2009湖南卷理)（本小題滿分13分）對于數(shù)列若存在常數(shù)M0,對任意的，恒有 則稱數(shù)列為B-數(shù)列（1） 首項為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請說明理由;請以其中一組的一個論斷條件，另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；（2） 設是數(shù)列的前項和，給出下列兩組論斷；A

31、組：數(shù)列是B-數(shù)列 數(shù)列不是B-數(shù)列B組：數(shù)列是B-數(shù)列 數(shù)列不是B-數(shù)列請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題。判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；（3） 若數(shù)列都是數(shù)列，證明：數(shù)列也是數(shù)列。解（1）設滿足題設的等比數(shù)列為,則，于是 因此- +-+-=因為所以即 故首項為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列。（2）命題1：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列 次命題為假命題。 事實上，設，易知數(shù)列是B-數(shù)列，但 由的任意性知，數(shù)列是B-數(shù)列此命題為。命題2：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列此命題為真命題事實上，因為數(shù)列是B-數(shù)列，所以存在正數(shù)M，對任意的有 即。于是

32、所以數(shù)列是B-數(shù)列。（III）若數(shù)列 是數(shù)列，則存在正數(shù)，對任意的有 注意到 同理：記，則有因此 +故數(shù)列是數(shù)列27.（2009天津卷理）（本小題滿分14分）已知等差數(shù)列的公差為d（d0），等比數(shù)列的公比為q（q>1）。設=+.+ ,=-+.+(-1 ,n(I) 若= 1，d=2，q=3，求 的值；(II) 若=1，證明（1-q）-（1+q）=，n；() 若正數(shù)n滿足2nq，設的兩個不同的排列， ， 證明。本小題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力，滿分14分。（）解：由題設，可得所以，（）證明

33、：由題設可得則 式減去式，得 式加上式，得 式兩邊同乘q，得 所以， ()證明： 因為所以 （1） 若，取i=n（2） 若，取i滿足且由（1）,(2)及題設知，且 當時，得即，又所以 因此 當同理可得，因此綜上，28.（2009四川卷理）（本小題滿分14分）設數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記。（I）求數(shù)列的通項公式；（II）記，設數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有；（III）設數(shù)列的前項和為。已知正實數(shù)滿足：對任意正整數(shù)恒成立，求的最小值。本小題主要考查數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識、考查化歸思想、分類整合思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力。解：（）當時，又 數(shù)列成等比數(shù)列，其首

34、項，公比是.3分（）由（）知 = 又當當 （）由（）知一方面，已知恒成立，取n為大于1的奇數(shù)時，設則 >對一切大于1的奇數(shù)n恒成立只對滿足的正奇數(shù)n成立，矛盾。另一方面，當時，對一切的正整數(shù)n都有事實上，對任意的正整數(shù)k，有 當n為偶數(shù)時，設則 <當n為奇數(shù)時，設則<對一切的正整數(shù)n，都有綜上所述，正實數(shù)的最小值為4.14分29.（2009福建卷文）(本小題滿分)2分）等比數(shù)列中，已知 （I）求數(shù)列的通項公式； （）若分別為等差數(shù)列的第3項和第5項，試求數(shù)列的通項公式及前項和。解：（I）設的公比為 由已知得，解得 （）由（I）得，則， 設的公差為，則有解得 從而 所以數(shù)列的前

35、項和30.（2009年上海卷理）（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分。已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列。（1） 若，是否存在，有說明理由； （2） 找出所有數(shù)列和，使對一切,并說明理由；（3） 若試確定所有的，使數(shù)列中存在某個連續(xù)項的和是數(shù)列中的一項，請證明。解法一（1）由，得， 2分整理后，可得，、，為整數(shù)， 不存在、，使等式成立。 5分（2）若，即， （*）（）若則。 當為非零常數(shù)列，為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。 7分（）若，（*）式等號左邊取極限得，（*）式等號右邊的極限只有當時，才能等于1。此時等號左邊是常數(shù)，矛盾。綜上所述，只有當為非零常數(shù)列，為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。10分【解法二】設 則（i） 若d=0，則 （ii） 若（常數(shù)）即，則d=0，矛盾綜上所述，有， 10分（3） 設.，. 13分取 15分由二項展開式可得正整數(shù)M1、M2，使得（4-