2020屆重慶市南開中學高三上學期第二次教學質(zhì)量檢測數(shù)學（理）試題（解析版）

1、2020屆重慶市南開中學高三上學期第二次教學質(zhì)量檢測數(shù)學（理）試題一、單選題1的值為（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】利用誘導公式計算得到答案.【詳解】故選：C【點睛】本題考查了三角函數(shù)的計算，屬于基礎題型.2復數(shù)滿足（其中是虛數(shù)單位），則的虛部為（ ）A.2B.C.3D.【答案】B【解析】利用復數(shù)計算公式化簡得到答案.【詳解】，虛部為 故選：B【點睛】本題考查了復數(shù)的計算，屬于簡單題型.3“命題為假”是“命題為假”的（ ）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】根據(jù)條件判斷每個命題的真假，再確定充分性和必要性得到答案.【詳解】命題為假，

2、則命題均為假命題，可以推出命題為假，命題為假，則命題不全為真命題，不能得到命題為假.“命題為假”是“命題為假”的充分不必要條件故選：A【點睛】本題考查了充分非必要條件，意在考查學生的推理能力.4的值為（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】直接利用定積分公式計算得到答案.【詳解】故選：A【點睛】本題考查了定積分的計算，意在考查學生的計算能力.5如圖是定義在上的函數(shù)的導函數(shù)的圖象，則函數(shù)的極值點的個數(shù)為（ ）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】根據(jù)圖像得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷極值點.【詳解】如圖所示：設導數(shù)的零點分別為 則函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.故函數(shù)在取極

3、大值，在取極小值，在取極大值.故選：B【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)的極值點，混淆導函數(shù)圖像和原函數(shù)圖像是容易發(fā)生的錯誤.6在許多實際問題中，一個因變量往往與幾個自變量有關，即因變量的值依賴于幾個自變量，這樣的函數(shù)稱為多元函數(shù).例如，某種商品的市場需求量不僅僅與其市場價格有關，而且與消費者的收入以及這種商品的其它代用品的價格等因素有關，即決定該商品需求量的因素不止一個而是多個.我們常常用偏導數(shù)來研究多元函數(shù).以下是計算二元函數(shù)在處偏導數(shù)的全過程：,，所以,，由上述過程，二元函數(shù)，則（ ）A.29B.C.D.【答案】B【解析】根據(jù)題目給出的運算法則，計算得到答案.【詳解】則；故選：B【點

4、睛】本題考查了函數(shù)的新定義問題，意在考查學生的應用能力和計算能力.7下列命題中，是假命題的是A.，B.，C.函數(shù)的最小正周期為D.【答案】C【解析】根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)和對數(shù)運算，依次判斷每個選項的正誤，判斷得到答案.【詳解】A. ，即，正確B. ，故，正確C. 函數(shù)的最小正周期為，最小正周期為，錯誤D. ，根據(jù)對數(shù)運算法則知：，正確故選：C【點睛】本題考查了三角函數(shù)的大小比較，周期，對數(shù)計算，意在考查學生的綜合應用能力.8若函數(shù)的最小正周期為且其圖象關于直線對稱，則A.函數(shù)的圖象過點B.函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)C.將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象D.函數(shù)的一個對稱中心是【答案】D【解析】先

5、計算得到，再依次判斷每個選項的正誤得到答案.【詳解】，最小正周期為 圖象關于直線對稱，所以， 所以，A錯誤；，則函數(shù)先增后減，B錯誤；函數(shù)的圖象向右平移個單位得到：，C錯誤；，D正確.故選：D【點睛】本題考查了三角函數(shù)表達式，單調(diào)性，平移，對稱，意在考查學生對于三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應用能力.9函數(shù)在上有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是A.B.C.D.【答案】B【解析】取化簡得到，設，求導確定函數(shù)圖像得到答案.【詳解】取設，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減畫出函數(shù)圖像：根據(jù)圖像知：故選：B【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題，參數(shù)分離轉(zhuǎn)化為圖像的交點問題是解題的關鍵.10函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差的取值范圍

6、是A.B.C.D.【答案】D【解析】將題目等價于在的最大值和最小值之差的取值范圍，討論的范圍計算最大最小值，綜合得到答案.【詳解】，原題等價于在的最大值和最小值之差的取值范圍不失一般性：設 當時：最大值最小值差為，滿足：當是取最大值1，當時取最小值當時：最大值最小值差為，滿足：當時：最大值最小值差為，滿足：當時有最大值為，且綜上所述：最大值與最小值之差的取值范圍是【點睛】本題考查了三角函數(shù)的最值問題，分類討論是一個常用的方法，需要熟練掌握，意在考查學生的計算能力.11已知內(nèi)角對應的邊長分別是，且，則的值為A.B.C.D.【答案】C【解析】如圖所示，作的角平分線與交于點，根據(jù)余弦定理得到，計算得

7、到答案.【詳解】如圖所示：作的角平分線與交于點 則 ，設，則，分別利用余弦定理得到： ，故， 故選：C【點睛】本題考查了余弦定理解三角形，意在考查學生解決問題的能力和計算能力.12函數(shù)存在兩個不同零點，函數(shù)存在兩個不同零點，且滿足，則實數(shù)的取值范圍是A.B.C.D.【答案】A【解析】求導根據(jù)有兩個零點得到；再根據(jù)二次函數(shù)有兩個解得到，根據(jù)零點的大小關系得到，消元得到，構(gòu)造函數(shù)計算得到答案.【詳解】，當時，恒成立，單調(diào)遞增，最多有一個零點，不滿足當時，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減滿足，解得 綜上所述：函數(shù)存在兩個不同零點，則或故零點滿足，則且又因為，代換得到考慮函數(shù)，驗證知，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減

8、故，解得 此時，滿足綜上所述：【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題，綜合性強，計算量大，通過消元得到函數(shù)是解題的關鍵，意在考查學生的綜合應用能力.二、填空題13函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】求導得到恒成立，化簡得到，計算得到答案.【詳解】在恒成立即恒成立，故 故答案為：【點睛】本題考查了利用導數(shù)計算函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學生的計算能力.14已知，則銳角_.【答案】【解析】，利用和差公式展開得到答案.【詳解】 故答案為：【點睛】本題考查了三角函數(shù)的計算，意在考查學生的計算能力.15過點且和函數(shù)的圖象相切的直線的斜率為_.【答案】【解析】設切點，求導得到，驗證知是方程的解，再

9、確定單調(diào)遞增，得到答案.【詳解】設切點為，故 即，驗證知是方程的解.函數(shù)單調(diào)遞增，故是唯一解.此時故答案為：【點睛】本題考查了函數(shù)的切線問題，驗證解方程再判斷唯一解是常用的方法，需要同學們熟練掌握.16已知函數(shù)，若，分別為的最小值點和最大值點，則_.【答案】【解析】設，函數(shù)化簡為，得到，再利用和差公式展開得到答案.【詳解】，設 ，此時 ，此時故答案為：【點睛】本題考查了函數(shù)的最值，三角恒等變換，意在考查學生的計算能力.三、解答題17在中，角所對的邊分別為，且，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）直接利用二倍角公式得到，再計算得到答案.（2）根據(jù)面積公式得到，代入余

10、弦定理計算得到答案.【詳解】（1），.（2）由余弦定理得：.【點睛】本題考查了余弦定理和面積公式的應用，意在考查學生解決問題的能力.18某團購網(wǎng)站為拓展業(yè)務，與某品牌新產(chǎn)品簽訂代銷合同，以擬定的價格進行試銷，試銷半年后，營銷部門得到一組19月份的銷售量與利潤的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：附：，.（1）根據(jù)17月份的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，求出關于的回歸直線方程.（2）若由回歸直線方程得到的估計數(shù)據(jù)與剩下的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2萬元，則認為得到的回歸直線方程是理想的，試問由（1）所得回歸直線方程是否理想？【答案】（1）；（2）回歸直線的方程是理想的.【解析】（1）直接利用公式計算得到，得到答案.（2）根據(jù)公式計算剩余兩個

11、數(shù)據(jù)，計算誤差得到答案.【詳解】（1）由已知條件得：，關于的回歸直線方程為.（2）當時，此時當時，此時所得回歸直線的方程是理想的.【點睛】本題考查了線性回歸方程，意在考查學生的計算能力和解決問題的能力.19已知橢圓的左右焦點分別為，左頂點為，下頂點為，離心率為，且的面積為.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知點在橢圓上，且以為直徑的圓過點，求直線的斜率.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)條件得到，計算得到答案.（2）根據(jù)條件得到直線方程為，聯(lián)立方程組解得，計算得到到答案.【詳解】（1） 計算得到：，所以橢圓標準方程為（2）以為直徑的圓過點，即，.則直線方程為，與橢圓聯(lián)立解得點坐標為,所以.

12、【點睛】本題考查了橢圓方程，直線和橢圓的位置關系，其中將以為直徑的圓過點轉(zhuǎn)化為垂直關系是解題的關鍵.20已知函數(shù)的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為.（1）求函數(shù)的解析式：（2）已知角滿足：且，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）化簡函數(shù)得到，根據(jù)周期為，計算得到答案.（2）代入數(shù)據(jù)得到，計算得到，最后利用齊次式計算得到答案.【詳解】（1）由條件可得，所以，則（2）又原式【點睛】本題考查了函數(shù)三角函數(shù)的解析式，三角恒等變換.其中齊次式方法是解題的關鍵，需要熟練掌握.21已知函數(shù)，其中.（1）求函數(shù)在的值域；（2）用表示實數(shù)，的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)的零點個數(shù).【答案】（1）；（2）見解析.

13、【解析】（1）求導得到，討論和得到函數(shù)在單調(diào)遞增，計算得到答案.（2）時，恒成立，當時，恒成立，故的零點即為函數(shù)的零點，討論在的零點個數(shù)得到答案.【詳解】（1） 當時，所以當時，所以所以：當時，成立，即函數(shù)在單調(diào)遞增所以函數(shù)在的值域為，即值域為.（2）函數(shù)的定義域為由（1）得，函數(shù)在單調(diào)遞增，當時，又，所以時，恒成立，即時，無零點.當時，恒成立，所以的零點即為函數(shù)的零點下面討論函數(shù)在的零點個數(shù)，所以、當時，因為， 又函數(shù)在區(qū)間遞減，所以即當時，所以單調(diào)遞減，由得：當時，遞增當時，遞減當時，當時又，當時，函數(shù)有1個零點；當時，函數(shù)有2個零點；當時，函數(shù)有3個零點；、當時，由得：當時，遞增，當時，

14、遞減，所以，所以當時函數(shù)有2個零點、當時，即成立，由，所以當時函數(shù)有1個零點綜上所述：當或時，函數(shù)有1個零點；當或時，函數(shù)有2個零點；當時，函數(shù)有3個零點.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，值域，零點個數(shù)，綜合性強，分類討論是函數(shù)問題的常用方法，需要熟練掌握.22在直角坐標系中，曲線（為參數(shù)），在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）若過原點的直線與曲線，分別相交于異于原點的點，求的最大值.【答案】（1），；（2）4【解析】（1）直接利用參數(shù)方程公式和極坐標公式計算得到答案.（2）得到曲線的極坐標方程，得到，計算得到答案.【詳解】（1）消去得到，等式兩邊同乘可得，且代入化簡得（2）由曲線，的極坐標方程為，.，當時取得等號.故最大值為4【點睛】本題考查了參數(shù)方程，極坐標方程，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.23設函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）對，都有不等式恒成立，求