函數(shù)的凸性曲線的曲率（Word）

1、第7章 函數(shù)的凸性·曲線的曲率圖1xyO內(nèi)容摘要凸函數(shù) 函數(shù)的“凸性”概念最初來自曲線的彎曲方向。例如，曲線(圖1)在軸左邊是向下彎曲的(稱為上凸)，而在軸右邊是向上彎曲的(稱為下凸)。雖然說“彎曲方向”或“凸性”這些名稱是幾何上的術(shù)語，但經(jīng)過抽象后的凸函數(shù)理論在其它數(shù)學分支中也是很有用的。 從圖2中看出，向上彎曲(下凸)的曲線上任何兩點的連線(弦)的中點在弧的上方；而從圖3中看出，向下彎曲(上凸)的曲線上任何兩點的連線(弦)的中點在弧的下方。圖2ABCDxyO x1 (x1+x2 )/2 x2yABCD圖3O x1 (x1+x2)/2 x2x根據(jù)上面幾何上的啟示，我們引入下面的定義

2、：稱連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為下凸(上凸)函數(shù)，假若對于內(nèi)任意兩點和，都有 () 【注1】在國內(nèi)早期的一些教科書(包括翻譯前蘇聯(lián)的一些教科書)中，都把下凸函數(shù)稱為“凹函數(shù)”，而把上凸函數(shù)稱為“凸函數(shù)”。這里的稱呼與新近一些教科書或論文中的稱呼是一致的。請讀者注意到這些區(qū)別?！咀?】還請讀者注意，通常說“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是下(上)凸函數(shù)”，若對于內(nèi)任意兩點和與任意，都滿足琴生(Jesen)不等式它等價于不等式（其中和為正數(shù)且）顯然，不等式()是琴生不等式的特殊情形。不過，對于連續(xù)函數(shù)來說，不等式()與琴生不等式是等價的。因此，我們就用簡單的不等式()定義函數(shù)的凸性。關(guān)于連續(xù)函數(shù)情形下兩者等價性的證明，有興趣

3、的讀者可去看本網(wǎng)站上的專題選講?！咀?】若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可微分，則從下圖4看出，下凸(上凸)函數(shù)的圖形上，每一點處的切線都在圖形的下面(上面)，而且導函數(shù)107 / 10(切線的斜率)是增大(減小)的。我們也可以證明這個結(jié)論 (見專題選講)。圖4 下凸切線 上凸切線定理 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有導數(shù)。若導數(shù)在內(nèi)是增大(減小)的，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是下凸(上凸)的。(逆命題也成立。專題選講中有證明)。假若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有二階導數(shù)，那么根據(jù)上述定理和判別函數(shù)單調(diào)性的方法，就有下面判別函數(shù)凸性的方法。判別法 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有二階導數(shù) 若，則在區(qū)間內(nèi)是下凸函數(shù)因為導數(shù)是增函數(shù)； 若，則在區(qū)間內(nèi)是上凸函數(shù)因為導數(shù)是減函

4、數(shù)。拐點(變曲點) 函數(shù)圖形可能在這一段上是上凸的，而在相鄰的另一段上又是下凸的(如圖1中原點的兩邊)。這樣兩段弧的連接點，就稱為函數(shù)圖形(曲線)的拐點(曲線拐彎的點)或變曲點(曲線改變彎曲方向的點)。同時，也把函數(shù)圖形拐點的橫坐標稱為這個函數(shù)的拐點或變曲點。請讀者注意到函數(shù)的拐點與函數(shù)圖形(曲線)的拐點之間的區(qū)別!若點是函數(shù)的拐點且有二階導數(shù)，則這是因為，例如函數(shù)在點的左邊近旁下凸時，由于(見注3)，所以 (極限運算單調(diào)性)且函數(shù)在點的右邊上凸時，由于，所以 (極限運算單調(diào)性)圖5Oxy因此. 同理，若函數(shù)在點的左邊上凸且在點的右邊下凸時，也有. 但是要注意，僅有時，點不一定是函數(shù)的拐點。例

5、如函數(shù)，盡管有，但不是函數(shù)的拐點，因為即函數(shù)在原點的兩邊都是下凸的(圖5)。特別，假若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有二階導數(shù),且在點的兩邊有相反的符號,則就是函數(shù)的拐點。此時，當然有勾畫函數(shù)圖形的方法 在中學數(shù)學中，畫函數(shù)圖形用的是描點法。它的缺點是不能從整體上把握函數(shù)變化的狀態(tài)。微積分中講的繪圖方法稱為解析法，而它的優(yōu)點正好彌補了描點法的缺陷。我們利用導數(shù)的有關(guān)信息所畫出的略圖，使我們能夠看出函數(shù)的變化狀態(tài)。例如在哪個區(qū)間內(nèi)，它是增大的或減小的，是下凸的或上凸的；又在哪個點上取到極大值或極小值。因此，把描點法和解析法結(jié)合起來就是最好的繪圖方法。xy圖6O函數(shù)圖形的漸近線 不管是描點法，還是解析法，都只能畫出

6、函數(shù)圖形的有限部分。對于那些能夠伸向無窮遠處的函數(shù)圖形，當函數(shù)圖形伸向無窮遠時，它有可能無限接近某一直線(稱它為漸近線)。例如，函數(shù)的圖形有兩條漸近線(圖6)。因為它們與軸平行，所以稱它們?yōu)樗綕u近線。求水平漸近線的方法很簡單。若存在有窮極限或則曲線就有水平漸近線 函數(shù)圖形也可能有垂直漸近線。例如函數(shù)的圖形(圖7)有兩條垂直漸近線.求垂直漸近線的方法也很簡單。若函數(shù)有無窮間斷點，即(左極限) 或 (右極限)圖7yxO則曲線就有垂直漸近線.可見，當函數(shù)有無窮間斷點時，它才有垂直漸近線。圖8 AO d NPxy函數(shù)圖形還可能有斜漸近線。如圖8，設(shè)曲線上點到直線的距離為. 在直角三角形中， 按定義，

7、直線是曲線的漸近線，當且僅當點沿曲線伸向無窮遠時，有；而，當且僅當有常數(shù)和，使 或 于是，當條件滿足時，可以按下面的方法求常數(shù)和：第一步，先求斜率 因為 且 所以；第二步，再求截距，即 曲線的曲率（理工科專業(yè)學生用，經(jīng)濟類專業(yè)學生不用）BA圖9CD曲線的下凸和上凸說的是曲線的彎曲方向，而曲線的曲率說的是曲線的彎曲程度。直線段沒有彎曲，所以認為它的曲率為. 一般情形下，如圖9，弧的全曲率規(guī)定為起點A處切線方向與終點B處切線方向的偏差. 可是，弧的全曲率與弧的全曲率相同，但前者顯然比后者彎曲得更厲害一些。這就是說，弧的彎曲程度與弧本身的長度有關(guān)。因此，就像測量物理量或幾何量時先確定一個單位那樣，把

8、單位長度弧的全曲率取作測量弧時曲率的單位，而把長度為的弧的全曲率同弧長的比值，稱為該弧的平均曲率。它有點像質(zhì)點運動的平均速度。像定義質(zhì)點運動的瞬時速度那樣，把極限AR圖10OB定義為弧在點A處的曲率 (其中為弧的全曲率, 為弧的長度)。對于半徑為R的圓周來說 (圖10)，由于，所以圓周上任一點處的曲率都相等，且曲率為 (半徑的倒數(shù))對于一般的弧來說，雖然弧上各點處的曲率可能不盡相同，但是當弧上點處的曲率時，我們可以設(shè)想在弧的凹方一側(cè)有一個圓周，它與弧在點相切 (即有公切線)且半徑. 這樣的圓周就稱為弧上點處的曲率圓；而它的圓心稱為弧上點處的曲率中心。如圖11中那個拋物線在原點或點的曲率圓。請讀

9、者注意，因為曲率有可能是負數(shù)(在實際應(yīng)用中，有時把絕對值稱為曲率)，而曲率半徑要與曲率保持相同的正負號，所以曲率半徑也有可能是負數(shù)。保留曲率或曲率半徑的正負號，以便說明曲線的彎曲方向。圖11xO曲率圓yA曲率圓圖12xxyO曲率圓A對于用方程表示的弧(圖12)，由于， 所以，若有二階導數(shù)，則注意到，則弧上點處的曲率為 (曲率公式) 當時，曲率半徑為 (曲率半徑公式) 其中，時，曲率和曲率半徑都大于，說明曲線弧向上彎曲或曲率圓在弧的上方(圖12)。反之，說明曲線弧向下彎曲或曲率圓在弧的下方。例如圖11中那個拋物線，因為，所以(曲率) , (曲率半徑) 顯然，原點處有最大曲率，最小曲率半徑. 點處

10、的曲率和曲率半徑依次為， 可見，拋物線上離頂點越遠，曲率越小，而曲率半徑越大。第7-1節(jié) 看我做題1.勾畫出函數(shù)的略圖。解 ， 用駐點和(它們有可能是極值點)，與二階導數(shù)等于的點(它有可能是拐點)，將函數(shù)的定義區(qū)間劃分為四個小區(qū)間：再把函數(shù)在這些小區(qū)間內(nèi)有關(guān)和的信息，填在下面的表格中。按照表格中提供的信息，就可以畫出它的略圖(它沒有漸近線。為什么？)。 + - - + - - - + + 極大拐點 2y=x1yxO 1 212x=1第2題圖 極小 -1第1題圖0x3y-212.勾畫出函數(shù)的略圖。解 因為，所以它有垂直漸近線(沒有水平漸近線)。又 ，所以它有斜漸近線(見圖)其次， ， 像第1題那

11、樣，用函數(shù)的駐點和(沒有其它臨界點和二階導數(shù)等于的點)，把函數(shù)的定義域分成若干小區(qū)間(注意,是間斷點)，并把有關(guān)信息填入下面的表格中： 0 1 2 0 0 極大 間斷點 2極小 有垂直漸近線和斜漸近線根據(jù)表格中提供的信息，就可勾畫出函數(shù)的略圖(見上圖)。（*） 經(jīng)濟類專業(yè)學生不用看。3.對于用參數(shù)方程表示的曲線弧，其中和有二階導數(shù)且不妨認為因為， 把它們依次代入曲率公式和曲率半徑公式，則得 (曲率公式)(曲率半徑公式)第7-2節(jié) 根據(jù)提示做習題1.用判別法，驗證下列函數(shù)在所示區(qū)間內(nèi)是下凸的：； ； 2.用判別法，驗證函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)是上凸的。3.根據(jù)判別法，求下列函數(shù)的下凸區(qū)間或上凸區(qū)間：； ；

12、 答案：在內(nèi)下凸，在內(nèi)上凸；在內(nèi)上凸，在內(nèi)下凸；在與內(nèi)下凸，在內(nèi)上凸；在與內(nèi)上凸，在內(nèi)下凸。4.設(shè)函數(shù)為連續(xù)偶函數(shù)。若在區(qū)間內(nèi)有 且 則在區(qū)間內(nèi)，下列哪一種情形是對的？； ； ； 提示：注意 答案： 又問：若函數(shù)為連續(xù)奇函數(shù)且在區(qū)間內(nèi)有 且 那么上述情形中哪一種是對的？點是它的拐點嗎？ 答案：；是拐點5.證明下列不等式：；。 提示：選擇適當?shù)南峦购瘮?shù)。6.勾畫下列函數(shù)的圖形：【注】勾畫函數(shù)圖形之前，要注意以下事項：確定函數(shù)的定義域；函數(shù)是否具有奇偶性或周期性；求出函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，并查明它是否有間斷點；若有零值點，求出函數(shù)的同號區(qū)間；求出函數(shù)的極值點、最大(小)值點和拐點；確定函數(shù)的增大或減小區(qū)

13、間、下凸或上凸區(qū)間；查明是否有漸近線；查明函數(shù)是否還有其它特性。 ； ； ； ； ； 7.證明：若，則有 (幾何平均值不超過算術(shù)平均值)提示：考慮下凸函數(shù) (理工科學生做以下習題)8.求下列曲線的曲率和曲率半徑： (雙曲線)； (拋物線)； 答案：；9.在對數(shù)曲線上，求出曲率絕對值最大的點。 答案：10.證明：極坐標系中曲線的曲率公式為 提示:并由此求下列曲線的曲率: (阿基米德螺線)； (對數(shù)螺線)； (心形線)； (雙紐線) 答案：；第7-3節(jié) 試做研究生入學考試題(三)2004/選擇題 設(shè)，則。是的極值點，但不是曲線的拐點不是的極值點，但是曲線的拐點是的極值點，且是曲線的拐點不是的極值點，也不是曲線的拐點2000/六求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，并求該函數(shù)圖形的漸近線。第7-4節(jié) 試