函數(shù)的單調(diào)性與極值理（Word）

1、33 函數(shù)的單調(diào)性與極值一、學(xué)習(xí)要求1掌握用一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判別函數(shù)的單調(diào)性2會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間3理解函數(shù)的極值與極值點(diǎn)的概念4熟練掌握求函數(shù)極值的方法，了解極值存在的必要條件5 知道極值點(diǎn)和駐點(diǎn)的區(qū)別和聯(lián)系6初步掌握實(shí)際問題中最大值和最小值的求法7理解邊際與彈性的概念，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)討論一些簡單的經(jīng)濟(jì)問題8了解極值和最值的區(qū)別和聯(lián)系二、疑難解析（一）基本概念1函數(shù)單調(diào)性的判定定理：設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo) 如果在內(nèi)，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加， 如果在內(nèi)，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)減少定理中的開區(qū)間換成其他區(qū)間（包括無窮區(qū)間），結(jié)論仍然成立 在利用定理解題時(shí)，需注意： 考慮函數(shù)的定義域； 在解題過程中，列成表格更能清楚地說明問

2、題 與換成與（等號(hào)只在個(gè)別點(diǎn)成立），上述定理的結(jié)論是否仍然成立。 一般地，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是： 求函數(shù)的定義域；1 / 11 求導(dǎo)數(shù)，并進(jìn)一步求出的不可導(dǎo)點(diǎn)與駐點(diǎn)； 用中的點(diǎn)對(duì)定義域進(jìn)行劃分； 在每個(gè)開區(qū)間內(nèi)判定的符號(hào)，由上述定理得出相應(yīng)的結(jié)果。2極值的概念設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，如果在該鄰域內(nèi)任取一點(diǎn)（），均有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值，稱為的極大值點(diǎn)；同樣，如果在該鄰域內(nèi)任取一點(diǎn)（），均有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極小值，稱為的極小值點(diǎn)函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)要注意函數(shù)的極值與最值的區(qū)別：這是兩個(gè)不同的概念。極值是一種局部性的概念，它只限于與的某鄰域的函

3、數(shù)值比較；而最大值、最小值是一個(gè)整體概念，它是就整個(gè)區(qū)間的函數(shù)值比較來說的函數(shù)的極大值不一定是函數(shù)的最大值，函數(shù)的極小值也不一定就是函數(shù)的最小值；一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上可能有若干個(gè)極值點(diǎn)，在這些點(diǎn)上，有些極小值可能要大于極大值。3極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且在點(diǎn)處取得極值，則必有可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)4函數(shù)極值的判定（極值的第一充分條件） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且（1）如果當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ，則函數(shù)在處取得極大值；（2）如果當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ，則函數(shù)在處取得極小值；（3）如果在的兩側(cè)，具有相同的符號(hào)，則函數(shù)在處

4、不取得極值（極值的第二充分條件） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有二階導(dǎo)數(shù)，且，則（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值看起來，第二充分條件比第一充分條件要簡單。在利用第二充分條件解題時(shí)，需注意：當(dāng)時(shí)，第二充分條件定理失效，在這種情況下，要利用第一充分條件來判斷函數(shù)的極值。對(duì)于不可導(dǎo)點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，只能用第一充分條件定理來判斷。一般地，求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值的一般步驟為：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求，解方程，求出駐點(diǎn)，找出使不存在的點(diǎn)；(3)用上述諸點(diǎn)按從小到大的順序?qū)⒍x區(qū)間分為若干子區(qū)間；列表考察在各個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，判定出函數(shù)在子區(qū)間上的單調(diào)性，也就得到了極值點(diǎn)；(4)求出

5、各極值點(diǎn)處的函數(shù)值，就得到函數(shù)的全部極值（二）基本運(yùn)算1判斷函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間例1 判斷函數(shù)的單調(diào)性解：在定義域上連續(xù)，且只有在處等于0，故在上單調(diào)增加。例2 討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：函數(shù)的定義域?yàn)?令，得，將定義域分成三個(gè)區(qū)間，可列表討論如下：12+0-0+增加減少增加即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：，；單調(diào)減區(qū)間為：2利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式例3 證明當(dāng)時(shí)，證明：令，則又（），所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加因此，當(dāng)時(shí)，即 3求函數(shù)的極值 例4 求的極值解：函數(shù)的定義域?yàn)?令，得，列表討論如下：-13+0-0+增加極大值10減少極小值-22增加即函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值例5 求函數(shù)在區(qū)間上的極

6、值解：函數(shù)的定義域?yàn)?令，得，又因?yàn)椋?，所以在處有極大值，在處有極小值三、自測(cè)題自測(cè)題（一）、填空題1可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的_2 設(shè)函數(shù)在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，如果，則函數(shù)在（a，b）內(nèi)單調(diào)_;如果，則函數(shù)在（a，b）內(nèi)單調(diào)_;如果，則函數(shù)在內(nèi)是_;3 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_，單調(diào)減區(qū)間是_4函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加，則a_5 函數(shù)的極小值點(diǎn)是_6 函數(shù)在_處取得極大值_, 在_處取得極小值_、單項(xiàng)選擇題1下列說法正確的是（ ）A函數(shù)的駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn) B 函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)C函數(shù)的極大值必大于極小值 D 極值點(diǎn)只能在定義區(qū)間內(nèi)部取得2點(diǎn)是函數(shù)的（ ）A駐點(diǎn)但非極值點(diǎn) B 極值點(diǎn)但非駐點(diǎn)C駐點(diǎn)且

7、是極值點(diǎn) D 非駐點(diǎn)也非極值點(diǎn)3設(shè)，則（ ）A在內(nèi)單調(diào)減少 B 在內(nèi)單調(diào)增加C在內(nèi)單調(diào)減少 D 在內(nèi)單調(diào)增加4的單調(diào)區(qū)間是（ ）A， B C D 5 函數(shù)在區(qū)間上的極小值點(diǎn)為（ ）A B C D 不存在、計(jì)算解答題1設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2 設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值3 設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值、證明題1 利用函數(shù)的單調(diào)性證明自測(cè)題（二）、填空題1函數(shù)的極值點(diǎn)可能是函數(shù)的_或_2 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_;單調(diào)減區(qū)間是_;極值點(diǎn)是_,它是極_值點(diǎn)3 函數(shù)在區(qū)間_上單調(diào)減少，在區(qū)間_上單調(diào)增加4如果函數(shù)在處取得極小值，則=_,b=_5 函數(shù)的極小值點(diǎn)為_6 函數(shù)在_處取得極大值_、單項(xiàng)選

8、擇題1如果函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，則必有（ ）A B C且 D 或不存在2點(diǎn)是函數(shù)的（ ）A駐點(diǎn)但非極值點(diǎn) B 極值點(diǎn)但非駐點(diǎn)C駐點(diǎn)且是極值點(diǎn) D 非駐點(diǎn)也非極值點(diǎn)3滿足方程的點(diǎn)是函數(shù)的（ ）A極值點(diǎn) B 駐點(diǎn) C間斷點(diǎn) D 不可導(dǎo)點(diǎn)4下列函數(shù)中，（ ）在指定區(qū)間內(nèi)是單調(diào)減少的函數(shù)A B C D 5 設(shè)函數(shù)，則下列正確的是（ ）A極小值 B 極大值 C 極小值 D 極大值、計(jì)算解答題1設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值2 設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值3 設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值、證明題1 利用函數(shù)的單調(diào)性證明四、自測(cè)題答案自測(cè)題（一）、填空題1駐點(diǎn) 2 增加、減少、常數(shù) 3 、 4 大于0 5 6 ，；， 、選擇題1D 2 A 3 A 4 B 5 B、計(jì)算題解答題1單調(diào)減區(qū)間： ；單調(diào)增區(qū)間： 2 單調(diào)減區(qū)間： ；單調(diào)增區(qū)間：， ；在處取得極大值；在處取得極小值3 單調(diào)減區(qū)間： ；單調(diào)增區(qū)間： ；在處取得極小值、證明題略自測(cè)題（二）、填空題1駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn) 2 ，小 3 ， 4 ，0 5 6 ，3 、選擇題1D 2 C 3B 4 A 5 C、計(jì)算解答題1單調(diào)減區(qū)間：