函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性與非一致收斂性判別法歸納（Word）

1、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性與非一致收斂性判別法歸納一 定義引言設(shè)函數(shù)列與函數(shù)定義在同一數(shù)集上，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，都有 則稱函數(shù)列在上一致收斂于，記作 ，設(shè)是定義在數(shù)集上的一個(gè)函數(shù)列，表達(dá)式 稱為定義在上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),簡(jiǎn)記為或；稱 , , 為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列設(shè)數(shù)集為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域，則對(duì)每個(gè)，記，即，稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng)定義1設(shè)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列，若在數(shù)集上一致收斂于函數(shù)，或稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂于，或稱在上一致收斂由于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性是由它的部分和函數(shù)列來確定，所以可以根據(jù)函數(shù)列一致收斂性定義得到等價(jià)定義2 / 58

2、定義2設(shè)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列，函數(shù)列，和函數(shù)都是定義在同一數(shù)集上，若對(duì)于任給的正數(shù)，總存在某一正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，都有，則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂于函數(shù)，或稱在上一致收斂同時(shí)由，故在上一致收斂于0定義3設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上收斂，其和函數(shù)為，部分和函數(shù)列，若，及，使得，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上非一致收斂例1試證在上一致收斂，但在內(nèi)不一致收斂證明顯然在內(nèi)收斂于對(duì)任意的，欲使當(dāng)和時(shí)，恒有成立,只要當(dāng)時(shí),恒有 成立,只要當(dāng)時(shí),恒有 成立,只要當(dāng)時(shí)，恒有 成立，只要取即可依定義，在上一致收斂于存在，對(duì)任意自然數(shù)，都存在和，使成立，依定義，在內(nèi)不一致收斂二 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的判定方法定理1Ca

3、uchy一致收斂準(zhǔn)則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集上一致斂的充要條件為：對(duì)，總，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切和一切正整數(shù)，都有 或 或特別地，當(dāng)時(shí)，得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的一個(gè)必要條件：推論1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在在數(shù)集上一致收斂的必要條件是函數(shù)列在上一致收斂于定理2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在點(diǎn)集上一致收斂于的充分必要條件是： 定理3放大法 是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列,和函數(shù),都是定義在同一數(shù)集上,對(duì)于任意的,存在數(shù)列,使得對(duì)于,有,且,則稱函數(shù)列一致收斂于,即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂于函數(shù).證明因,故對(duì)任給的,(與無關(guān)),使得當(dāng)時(shí),對(duì)一切,都有.由定義2得函數(shù)列一致收斂于,即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂于.注:用放大法判定函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性時(shí),

4、需要知道. 定理4確界法 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集上一致收斂于的充要條件是 證明充分性設(shè)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列, 為和函數(shù),則有，并令，而，即,由定理3(放大法)得知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂于函數(shù).必要性注：實(shí)質(zhì)上是用極值的方法把一致收斂問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列極限的問題定理5若在區(qū)間上收斂,則在上一致收斂的充要條件是,有.證明充分性假設(shè)在上不一致收斂,則,使得,如此得到,但,這與已知條件矛盾.必要性因已知在上一致收斂,所以,使得當(dāng)時(shí),對(duì)一切,都有,對(duì)于,則有,即,得.例2設(shè)，在上連續(xù)，又在收斂于連續(xù)函數(shù)，則在一致收斂于證明已知（其中）是單調(diào)遞減且趨于0，所以有，且>0,時(shí),有.將固定,令,因?yàn)樵谏线B續(xù),

5、既然,所以,當(dāng)時(shí), .從而時(shí)更有即,僅當(dāng).如上所述,對(duì)每個(gè)點(diǎn),可找到相應(yīng)的領(lǐng)域及相應(yīng)的,使得時(shí),對(duì)恒有.如此:構(gòu)成的一個(gè)開覆蓋,從而必存在有限子覆蓋,不妨記為,于是,總使得),取,那么時(shí),恒有,由定理5得在一致收斂于.定理6判別法或優(yōu)先級(jí)判別法或Weierstrass判別法設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義在數(shù)集上,為收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù),若對(duì)一切,有 則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明由假設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的Cauchy準(zhǔn)則,某正整數(shù),使得當(dāng)及任何正整數(shù),有又由(3)對(duì)一切,有根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的Cauchy準(zhǔn)則,級(jí)數(shù)在上一致收斂.注:若能用從判定一致收斂,則必是絕對(duì)收斂,故判別法對(duì)條件收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

6、失效. 例3函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂,因?yàn)閷?duì)一切有,而正項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂的.推論2設(shè)有函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),存在一收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù),使得對(duì)于有,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂證明已知,即有即,從而,又因?yàn)槭諗?則也收斂,由判別法得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.由廣義調(diào)和級(jí)數(shù),當(dāng)時(shí)收斂,故當(dāng)=時(shí),有推論設(shè)有函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),若存在極限且,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.例4 證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在是一致收斂的.證明對(duì)于,存在收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù),且由的推論2與推論得, 在一致收斂.定理7比較判別法兩個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與,若,當(dāng)有(其中為正常數(shù)),且函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間絕對(duì)一致收斂,則函數(shù)區(qū)間絕對(duì)一致收斂.證明已知 在區(qū)間絕對(duì)一致收斂,即對(duì)(其中為正常數(shù)

7、),及,有；又由條件知有；取當(dāng),有由收斂級(jí)數(shù)一致收斂Cauchy準(zhǔn)則知，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂，從而函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間絕對(duì)一致收斂.定理8若有函數(shù)級(jí)數(shù)與,有(其中為正常數(shù)),且函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂,則函數(shù)區(qū)間絕對(duì)一致收斂.證明 已知,有(其中為正常數(shù)).又函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間絕對(duì)一致收斂,即,有；取當(dāng)有從而函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間絕對(duì)一致收斂.推論3比較極限法若有兩個(gè)函數(shù)級(jí)數(shù)與,且有且,若級(jí)數(shù)在區(qū)間絕對(duì)一致收斂,則函數(shù)在區(qū)間也絕對(duì)一致收斂.證明由且,即當(dāng)有使且.即及有,又級(jí)數(shù)在區(qū)間絕對(duì)一致收斂,由比較判別法定理7知級(jí)數(shù)在區(qū)間絕對(duì)一致收斂.推論4有函數(shù)列在區(qū)間上一致有界,且函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間絕對(duì)一致收斂,則

8、函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間上也絕對(duì)一致收斂.證明 由已知函數(shù)列在區(qū)間上一致有界,即有,使當(dāng)有,又因函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間絕對(duì)一致收斂,由比較判法定理7知, 函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間上絕對(duì)一致收斂.例5 若函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂,且,有,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂.證明 由條件函數(shù)在區(qū)間一致收斂,則級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂.又有,故且級(jí)數(shù)在區(qū)間絕對(duì)一致收斂,由定理8知,級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂.又已知在區(qū)間一直收斂,從而級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂.推論5 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義在數(shù)集上，在上一致收斂且，若對(duì)一切，有，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.定理9 逼近法若對(duì)任意的自然數(shù)和,都有成立,又和都在數(shù)集上一致收斂于,則也在上一致收斂于.證明 設(shè)，因

9、為都有,所以有.又,在區(qū)間上一致收斂于,即,當(dāng)時(shí),對(duì)一切有及；所以,當(dāng)時(shí),對(duì)一切有.由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂定義知, 在上也一致收斂于.定理10 由有性質(zhì)判別若和在點(diǎn)集上一致收斂，則在上也一致收斂證明 由和均在點(diǎn)集上一致收斂知，對(duì)（自然數(shù)），使得當(dāng)時(shí)，對(duì)自然數(shù)和有所以 由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的Cauchy收斂準(zhǔn)則知，在上也一致收斂定理11 Dini定理設(shè)在上連續(xù)，又在上收斂于連續(xù)函數(shù)，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在一致收斂使用步驟：判定且連續(xù)；求和函數(shù)；判定求和函數(shù)在上連續(xù)Abel引理定理12 Abel判別法證明 推論6 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂，函數(shù)在上有界，則在上一致收斂.證明 因?yàn)樵谏嫌薪?所以使,對(duì)成立.因

10、在上一致收斂,使當(dāng),時(shí)有,對(duì)成立,此式表明.由Cauchy準(zhǔn)則知在上一致收斂.定理13 Dirichlet判別法設(shè)(i)的部分和函數(shù)列在上一直致有界; (ii)對(duì)每一個(gè)，單調(diào); ()在上,則級(jí)數(shù)和在上一致收斂.證明 充分性 由(i)正數(shù),對(duì)一切,有,因此當(dāng)為任何正整數(shù)時(shí),對(duì)任何一個(gè),再由(ii)及Abel引理,得到 .再由()對(duì)當(dāng)時(shí),對(duì)一切,有；所以于是由一致收斂的Cauchy準(zhǔn)則級(jí)數(shù)在上一致收斂.注:事實(shí)上必要性也成立,即已知在上一致收斂,可推出(i)(ii)()成立,這里不再贅述.例6 若數(shù)列單調(diào)且收斂于0,則級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明 由得在上有,所以級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列在上一致有界,于是令,

11、則由Dirichlet判別法可得級(jí)數(shù)在上一致收斂.定理14 積分判別法設(shè)為區(qū)域上的非負(fù)函數(shù), 是定義在數(shù)集上的正項(xiàng)函數(shù)級(jí),如果在上關(guān)于為單調(diào)減函數(shù),若含參變量反常積分在數(shù)集上一致收斂,則在數(shù)集上一致收斂.證明 由在數(shù)集上一致收斂,對(duì),一個(gè),當(dāng)時(shí),對(duì)一切自然數(shù)和一切,有.由,所以在數(shù)集上一致收斂.例7 設(shè),證明在區(qū)間連續(xù).證明 首先對(duì)任意取定一點(diǎn),都存在,使得,我們只要證明在即可.令,由,并且無窮級(jí)數(shù)收斂,所以含參積分在上一致收斂.又因?yàn)榧磳?duì)任意固定,關(guān)于在區(qū)間上是單調(diào)遞減的,由定理14知,函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間上是一致收斂的.利用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)可得, 在區(qū)間連續(xù),從而在區(qū)間也連續(xù),所以在連續(xù),由在的

12、任意性可知, 在上連續(xù).含參變量無窮積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)都是對(duì)函數(shù)求和的問題,前者連續(xù)作和,后者離散作和,因此它們的一致收斂性定義及判別法都是平行的,而且所表示的函數(shù)分析性質(zhì)(如連續(xù)、可微、可積性)也一致,在此不在贅述.由定理14,我們可利用積分的便利條件判斷某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂,也可用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別某些含參變量積分一致收斂.定理15 函數(shù)列在上連續(xù)且單調(diào),級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明 級(jí)數(shù)和收斂.則+收斂.由在上連續(xù)且單調(diào),則<+,由判別法知,級(jí)數(shù)在上一致收斂.定理16 設(shè)函數(shù),在上可微(其中為有限數(shù)),且滿足如下條件:(i)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上收斂; (ii)存在常數(shù)

13、,使得對(duì)任意的自然樹,任意的實(shí)數(shù),恒有,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明 對(duì),因?yàn)闉橛邢迶?shù),所以存在自然數(shù),使得,我們?cè)陂]區(qū)間上插入分點(diǎn),于是,閉區(qū)間被分成個(gè)小區(qū)間,.從而有=.又因?yàn)楹瘮?shù)項(xiàng)級(jí)在上是收斂的,故對(duì)任意,存在自然數(shù),使得時(shí),對(duì)任意,有.于是,對(duì)任意,在自然數(shù),使得時(shí), 對(duì)任意,有 因此,對(duì),存在自然數(shù),使得當(dāng)時(shí),任意,任意自然數(shù),均有.即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.定理17 設(shè)為定義在數(shù)集上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),為的收斂點(diǎn),且每個(gè)在上一致可微, 在上一致收斂,記.定理18 設(shè)函數(shù)列在閉區(qū)間上連續(xù)可微,且存在一點(diǎn),使得在點(diǎn)處收斂; 在上一致收斂,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明 已知在點(diǎn)處收斂, 在

14、上一致收斂.即對(duì),使得時(shí),對(duì),有成立.對(duì),有.根據(jù)拉格朗日中值定理,有<,(介于與之間)于是， 即在上一致收斂.引理2 若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上收斂，則在一致收斂的必要條件是收斂.證明 由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的柯西收斂準(zhǔn)則有，有. 又,在(4)的兩端取極限,令得,于是由Cauchy收斂準(zhǔn)則知收斂.（若,則在一致收斂的必要條件是收斂.若在連續(xù),則在一致收斂收斂.)定理19 利用內(nèi)閉一致收斂判別若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在內(nèi)閉一致收斂,則在一致收斂,級(jí)數(shù)收斂.證明 必要性,充分性用反正法,這里不再贅述.注:僅由閉一致收斂性和引理的必要條件(集函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)收斂或端點(diǎn)的極限級(jí)數(shù)收斂)是不能得到函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂的.例

15、8證明在內(nèi)閉一致收斂,且在端點(diǎn)收斂,但在不一致收斂.證明的部分和函數(shù)列在一致有界,而在一致收斂于0,于是由Dirichlet判別法知, 在一致收斂,從而在內(nèi)閉一致收斂.當(dāng)或時(shí),級(jí)數(shù)顯然收斂.取,則但發(fā)散,故由定理19知, 在不一致收斂.推論7若在內(nèi)閉一致收斂,則在一致收斂的充要條件是, 皆收斂.證明與定理19類似,略.定理20 設(shè)函數(shù)級(jí)數(shù)在收斂,且滿足引理2中必要條件,則在一致收斂,皆收斂.證明必要性用反證法.假設(shè),而發(fā)散.若或,則由定理20知不可;若,則存在的子列或或,于是由定理19知在或在不一致收斂,從而在不一致收斂,矛盾.必要性獲證.充分性用反證法.設(shè)在不一致收斂,則由定理18的證明可得

16、,且而發(fā)散,矛盾.推論8設(shè)在收斂,且滿足引理的必要條件,則在一致收斂或,皆收斂.證明與定理20的類似,略.推論12 設(shè)使定義在數(shù)集上的正項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，在上有界，若時(shí)，一致收斂于，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，在上一致收斂證明 由，時(shí),一致收斂于，取，時(shí)，對(duì)一切，有，所以，取，有，取，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切,有，因此，所以，由時(shí)，收斂，由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法可知在上一致收斂推論13 函數(shù)列定義于數(shù)集上，且在上有界，若對(duì)一切的，有，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂證明 不妨設(shè)對(duì)于,有，即，則，假設(shè)當(dāng)，成立，則當(dāng)，也成立，故由數(shù)學(xué)歸納法得，且在有界，即，對(duì)，有所以，又已知幾何級(jí)數(shù)收斂，故級(jí)數(shù)收斂，由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知在上一致收斂推論14 函數(shù)列定

17、義于數(shù)集上，且在上有界，若，有，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂證明 因?yàn)榧?,對(duì)一切，有，即，由推論10得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集上一致收斂例11 判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂性證明 因?yàn)椋?且，由推論13可知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂定理23 （根式判別法）設(shè)為定義在數(shù)集上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，記，若存在正整數(shù)，正數(shù)，使得對(duì)一切的，成立，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂證明 由定理?xiàng)l件對(duì)一切，成立，而幾何級(jí)數(shù)收斂，由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂推論15 （根式判別法的極限形式）設(shè)為定義在數(shù)集上的函數(shù)列，若一致收斂于，且，即，對(duì)成立，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂證明 由一致收斂于 ，取，,當(dāng)時(shí)，對(duì)一切有，所以，所以，又因?yàn)?/p>

18、，由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知在上一致收斂推論 設(shè)為定義在數(shù)集上的正項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，記，若，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂證明 由假設(shè)，則存在正整數(shù),使得當(dāng)時(shí)，有，則對(duì)任意的，有 ，而幾何級(jí)數(shù)收斂，由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知在上一致收斂，即得證例12 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂，（其中是實(shí)常數(shù)且），因?yàn)椋O(shè)，由推論得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂推論16 有函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，若對(duì)，有，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂證明 因，則，有，即，從而依定理8得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂例13 判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上的一致收斂性證明 因，依推論15函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂定理24 （對(duì)數(shù)判別法）設(shè)為定義在上的正的函數(shù)列，若存在，那么若，對(duì)，則函數(shù)項(xiàng)

19、級(jí)數(shù)一致收斂；若對(duì)，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)不一致收斂證明 由定理?xiàng)l件知，對(duì)任意，使得對(duì)一切，有，即，則當(dāng)對(duì)成立時(shí)，有，而級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收；而當(dāng)，對(duì)成立時(shí)，有，而級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)發(fā)散，從而函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)不一致收斂定理25 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，都是定義在數(shù)集上的正項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，當(dāng)，時(shí)，一致收斂于，設(shè)，；當(dāng)時(shí)，若在上一致收斂，則在上也一致收斂當(dāng)時(shí)，若在上一致收斂，則在上也一致收斂當(dāng)時(shí)，與在數(shù)集上同時(shí)一致收斂，或同時(shí)不一致收斂證明 由當(dāng)，時(shí)，一致收斂于，則任取，總，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切有，得到即當(dāng)時(shí)，由上式的右半部分可知若在上一致收斂，則在上也一致收斂； 當(dāng)時(shí)，由上式左半部分可知若在一致收斂，則在上也一

20、致收斂； 當(dāng)時(shí)，取易知與同時(shí)一致收斂或同時(shí)不一致收斂Lipschitz（萊布尼茨）型函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂判別定義4 設(shè)有函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中,是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),且函數(shù)列在區(qū)間上單調(diào)減少收斂于0，則稱這類級(jí)數(shù)為Lipschitz型函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定理26 若，為L型函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，則此級(jí)數(shù)在上一致收斂；證明 因?yàn)槭巧系倪B續(xù)函數(shù)，函數(shù)列在區(qū)間上單調(diào)減少且收于連續(xù)函數(shù)所以在連續(xù)非負(fù)，而，由Dini定理知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂于0，從而函數(shù)列在一致收斂于0又，所以,故一致有界，由Dirichlet判別法知交錯(cuò)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂由得一致收斂，設(shè)，于是 例14 試證在區(qū)間一致收斂證明 是任意閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

21、列且，由定理26知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂推論17 設(shè)函數(shù)列在上收斂于，若可寫成L型函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和，則函數(shù)列在上一致收斂于證明 設(shè)有L型函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂于，而，則對(duì)，都有，即，故函數(shù)列在上一致收斂于例15 證明在上一致收斂證明 因?yàn)?，由，有，由與無關(guān)且故，由Cauchy準(zhǔn)則證畢定理27 利用結(jié)論：設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，則當(dāng)(或)收斂時(shí)，在或一致收斂；在內(nèi)一致收斂，當(dāng)且僅當(dāng)在上一致收斂注：1 Cauchy準(zhǔn)則與M判別法比較實(shí)用一般優(yōu)先考慮；2 Cauchy準(zhǔn)則、M判別法、放大法要實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收型性的判別，均要對(duì)一定的表達(dá)式進(jìn)行有效是我放大三 非一致收斂性的判別1 利用非一致收斂的定義定

22、義3，略例16 討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在是否一致收斂解 當(dāng)時(shí)，有取使，無論多大只要，就有，故在上非一致收斂2 利用確界原理的逆否命題定理28 若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集上非一致收斂的充要條件是證明 它是確界原理的逆否命題，故成立例17 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)為，討論在上是否一致收斂證明 部分和函數(shù)，當(dāng)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，故在內(nèi)非一致收斂注：極限函數(shù)知道時(shí)值得用3 利用定理5的逆否命題定理29 設(shè)，若存在使得，則在上不一致收斂證明 略注：此定理比較實(shí)用4 利用Cauchy準(zhǔn)則逆否命題定理30 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上非一致收斂的充要條件是存在，,，使得證明 它是Cauchy準(zhǔn)則的逆否命題，故成立例18 討論在上的一致收斂性解

23、 取，對(duì),，及使 故在上非一致收斂注：該類型關(guān)鍵是要找出與及之間的關(guān)系，從而湊出，該類型題也有一種簡(jiǎn)便方法，即取能適用于很多例題此方法比較實(shí)用，優(yōu)先考慮推論18 函數(shù)列在上非一致收斂于0，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集上非一致收斂證明 它是推論1的逆否命題，故成立例19 設(shè)，討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性解 取，則，此極限不存在，所以在定義域內(nèi)非一致收斂于0，則在內(nèi)非一致收斂推論19 若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上逐點(diǎn)收斂，且在區(qū)間中存在一點(diǎn)列，使，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上非一致收斂例20 討論在上的一致收斂性解 因?yàn)槭?，有，知在上非一致收? 利用求極值的方法定理31 ，若，則在上不一致收斂例21 證在上處處收斂，但不一

24、致收斂證明 因?yàn)?，?duì)，與都收斂，所以收斂，時(shí)收斂，故在上處處收斂；而,所以，又，故在非一致收斂注：極限函數(shù)知道時(shí)，可考慮用6 利用一致收斂函數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)判別引理2 若連續(xù)函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂于，則，有證明 由在上一致收于，即有,，：，有，得根據(jù)連續(xù)函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂于，則也必在上連續(xù)，從而定理32 連續(xù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上逐點(diǎn)收于，且，有則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上非一致收斂于例22 討論在上一致收斂性解 顯然在上逐點(diǎn)收，且每一項(xiàng)都在上連續(xù)，取，則再設(shè)，由定積分概念 故知在上非一致收斂推論20 設(shè)連續(xù)函數(shù)列在區(qū)間上逐點(diǎn)收斂，且在中存在數(shù)列和滿足條件，；，而則在上不一致收斂例23 討論，在上的一致

25、收斂性解 這個(gè)連續(xù)函數(shù)列在上逐點(diǎn)收，先取，則有 又取，則且 由，極限不同，所以由推論20連續(xù)函數(shù)列在上不一致收斂7 利用端點(diǎn)發(fā)散性判別定理33 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義在（或）上對(duì)函數(shù)都在點(diǎn)右連續(xù)，但級(jí)數(shù)發(fā)散，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在（或）上非一致收斂（注：在（或）內(nèi)也有相應(yīng)結(jié)論）證明 反證法設(shè)在（）上一致收斂，即，或，有又因，在左端點(diǎn)（右）連續(xù)，令（或），對(duì)上式兩端取極限得，知收斂，與已知矛盾，故在（或）上非一致收斂例24 討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂性解 顯然函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在逐點(diǎn)收斂，且每一項(xiàng)都在處連續(xù)，而在處發(fā)散，故函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上非一致收斂定理34 如果在內(nèi)，每一個(gè)在點(diǎn)左連續(xù)，但不存在，則在內(nèi)不一致收斂（注：在內(nèi)

26、也有相應(yīng)結(jié)論）8 利用和函數(shù)的連續(xù)性來判別（若連續(xù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂于和函數(shù)，則和函數(shù)在區(qū)間上必連續(xù)）定理35 若連續(xù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上逐點(diǎn)收斂于和函數(shù)，且，在處不連續(xù)，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上非一致收斂于和函數(shù)例25 討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂性解 這個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和為，即得，知和函數(shù)在處不連續(xù)故知該函數(shù)項(xiàng)在上非一致收斂注：在和函數(shù)方便求解時(shí)，能簡(jiǎn)化證明過程9 定理36 設(shè)對(duì)任意自然數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上都是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的，如果存在數(shù)列，使得級(jí)數(shù)發(fā)散，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上非一致收斂證明 反證法設(shè)在上一致收斂，由Cauchy準(zhǔn)則，對(duì)，總，使對(duì)任意及，不等式，對(duì)一切成立，不妨設(shè)有在上單調(diào)增，又設(shè)，則有，所以有，所以收斂，與假設(shè)矛盾證畢例26 證在內(nèi)非一致收斂證明 對(duì)，顯然在區(qū)間內(nèi)都是單調(diào)減小的，其次，取，級(jí)數(shù)發(fā)散，于是由本定理得證定