微積分的基本定理崔建宜(理)

1、微積分的基本定理教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：(1) 了解微積分基本定理推導(dǎo)的基本思路；(2) 認(rèn)識(shí)微積分基本定理中積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，了解微積分基本定理的作用；(3) 能利用微積分基本定理求定積分； 過程與方法：通過分析路程與速度的關(guān)系，即速度的積分等于路程的過程中，得到微積分 基本定理，理解導(dǎo)數(shù)和積分計(jì)算的互逆關(guān)系， 認(rèn)識(shí)和體會(huì)微積分基本定理的重要 意義和作用情感、態(tài)度與價(jià)值觀：微積分基本定理使得導(dǎo)數(shù)與積分得到統(tǒng)一，使得微積分作為一個(gè)整體成為研究物體運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的最有力工具，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的極值教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)微積分基本定理的理解；利用微積分基本定理求積分； 教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)微積分基本定理的

2、理解的認(rèn)識(shí)； 教學(xué)計(jì)劃：2課時(shí) 教學(xué)過程：一、舊知回顧：1、 定積分定義：一般的，給定一個(gè)在區(qū)間 a,b 1上的函數(shù)y二f(x)，其圖像如圖 所示，將a,b區(qū)間分成 n 份，分點(diǎn)為：a =兀：:：x:： x2 ：xn：xn = b.第 i 個(gè) 小區(qū)間為k小xj，設(shè)其長度為 xi .在這個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)， SfG)* "：2)歆2 f()4n的值也趨于1這個(gè)固定常數(shù) A .我們稱A是函數(shù)y= f (x)在區(qū)間丿la,b】上的定積分.記作：f(x)dx，即f(x)dx = A，|其中J叫作積分號(hào)，a叫作積分上限，b叫作積分 JL下限，f(x)叫作被積函數(shù).2、定積分性質(zhì)：根據(jù)定積分定義我

3、們可以得到：(1)bba kf (x)dx = k a f (x)dx(3)bbbf(x)±g(x)dx= f (x)dx± g(x)dx(4)bcba f (x)dx = a f (x)dx c f(x)dx、定積分的基本定理:如果連續(xù)函數(shù)f(x)是函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f(x)=F (x)，則有:bf (x)dx 二 F (x)aa 二 F(b)_F(a)也稱為牛頓萊布尼茲公式證明見課本；【老師引導(dǎo)學(xué)生分析證明】三、應(yīng)用舉例:例1、計(jì)算下列定積分:1(1)02xdx【同步訓(xùn)練】：F列式子正確的是(bf(x)dx = f(b) f(a) + c'a：x2dx(3

4、)02 cosxdx2(4)1 exdx1.B.,bf' (x)cbx f(b) + f(a)aC.2.bf(x)dx = f(x) + c a3由曲線y=x，直線x = 0,D.x = 1及y= 0所圍成的曲邊梯形的面積為3.4.定積分1C. 30cos2x dx =5.定積分1 .例2、求定積分：xdx0【同步練習(xí)】：1、計(jì)算： 0 (sinx cosc)dx2、計(jì)算定積分： J； 2cos 2dx (2) J。| x2 1dx例3、求定積分° cosxdx，并解釋其意義.【同步練習(xí)】：1、已知曲線y= f(x)在x軸下方，則由y=f(x), y= 0, x= 1和x=

5、3所圍成的曲邊梯形的面積S可表示為 ().A .3f (x)dx B.1f (x)dx C.3f (x)dx D. 1 f (x)dx-1-31-1-32、利用定積分的幾何意義求下列定積分.(1) 1 1 x2dx；(2) 2n cos xdx；(3) 1 (sin7x+ x3)dx.丿0J o丿-1解(1)由y= ,1 x2得 x2+ y2= 1(y>0),其圖像是圓心為原點(diǎn)，半徑為1的圓的寸 部分.1 2 1 2 1二.1 x ck = 4 n 豐才兀由函數(shù)y= cosx, x 0,2 的圖像的對(duì)稱性(如圖)知, 2ncos xck= 0. 073(3) 函數(shù) y= sin x+x在

6、x 1,1上是奇函數(shù)且區(qū)間 1,1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,-1 (si n7x+x3)dx= 0. 01 13. 由直線x=夕x= 2,曲線y =殳及x軸所圍圖形的面積是 4、 求當(dāng)c取何值時(shí)，d(x2+ cx+ c)2dx的值最??？J 0解 令 y= d(x2 + cx+ c)2dxI, 43,2 2222、，= (x + 2cx + ex + 2cx + 2c x+ c )dx ol'"l 5 2 4 I32 I31 222 X| 1177 2= x + 4cx + 3x c + 3X 2c + qx 2c + c x i o=5+©c+3c,714-y 二6+ Tc，1令 y，= 0,得 c= 4.11當(dāng) cv 4時(shí)，y'v 0,當(dāng) c> 4時(shí)，y'> 0.1當(dāng)c= 4時(shí)，y最小.四、小結(jié)：本節(jié)課：(1)我們學(xué)習(xí)了微積分