南昌大學(xué)第五屆高數(shù)競賽文科類試題及答案

1、南昌大學(xué)第五屆高等數(shù)學(xué)（文科類）競賽試題序號姓名學(xué)院專業(yè)學(xué)號考試日期：題號-三四五六七八九十總分累分人簽名題分1515101010121414100得分15得分 評閱人分？E答案填在題中橫線上）2.3.得分評閱人二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個選項中只有一項符合題目的要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))F列命題中正確的命題有幾個？(1)無界變量必為無窮大量；(2)有限多個無窮大量之和仍為無窮大量；(3)無窮大量必為無界變量；(4)無窮大量與有界變量之積仍為無窮大量A1B2C3D4xx2乂2 .把x；0時的無窮小量？=cost2dt,tan.tdt,sint

2、3dt排列起來,$07J0使排在后面的是前一個的高階無窮小，則正確的排列次序是？13 .當x>0時，曲線y=xsin.xA有且僅有水平漸近線B有且僅有鉛直漸近線C既有水平漸近線，又有鉛直漸近線？D既無水平漸近線，又無鉛直漸近線？4 .設(shè)是函數(shù)fxAarctarx在區(qū)間0,b上使用Lagrange(拉格朗日)中值定理巴2中的“中值”，貝U極限lim.(A)1(B)1(C)1(D)12345 .設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，則必有AF(x)是奇函數(shù)的充分必要條件是f(x)是偶函數(shù)BF(x)是偶函數(shù)的充分必要條件是f(x)是奇函數(shù)CF(x)是周期函數(shù)的充分必要條件是f(x)是周期函

3、數(shù)DF(x)是單調(diào)函數(shù)的充分必要條件是f(x)是單調(diào)函數(shù)得分評閱人二、（本題滿分10分）求極限lim四、（本題滿分10分）?222sinxxcosx2x-1)ln(1+tan x sec x, 且 f(i)=4, 求 f (x).x)得分評閱人五、(本題滿分10分)設(shè)D是由拋物線y=2x(2x)與x軸所圍成的區(qū)域，直線y二kx將區(qū)域D分成面得分評閱人七、（本題滿分14分）研究方程ex=ax2a0在區(qū)間-二，？二內(nèi)實根的個數(shù).得分評閱人八、(本題滿分14分)設(shè)f(x)在區(qū)間2,4上連續(xù)可導(dǎo))且f(2)=f(4)=0,試證明:maxfx)>ff(x)dx.2譽童J2南昌大學(xué)第五屆高等數(shù)學(xué)co

4、s2x（文科類）競賽試題參考答案3. y =、 p3x -1、選擇題侮題1. A（本題滿 分3分,3 分，共2.10分)2.4.共15分）15分）cos2x .(_2sin 2x ln x5.xIn x -e4.)dx5. B?2Hm s.i.n.x. -x cos x x ° x(e2x -21x -)ln(1 tanx =lim.2 sin2x cos xx)x 2x tan 2 x（本題滿分 分）10設(shè) tanx 1 = tf (t)f (x)-于是f(x)二+ 1 + (x -1) 2 dxf(1) =4 ，c =3.f (x)二 arctan(x -1) x(x _1)33

5、五（本題滿分10、分）除了原點，設(shè)直線y二kx與拋物線y=2x（2-x）交于c,kc，那么c2°(4x-2x2 -kx)dx22I(kx-4x2x)dx二2k,2x3=2k ,3 c.Ic2x2送x3kx2-kx八2x22022+1+(x_1)1(x-1)又2c(2_c)二kc聯(lián)立，解得c=3.4,k=4-234.六、(本題滿分12分)111解：fxdx二xfx-xfxdxoo1_x在方程fX=ey2dy中，令X=1,得o1of1ey2-ydyey2dy=0.oo1_x再在方程f(x)=Jey(2_ydy兩端對x求與,得fTx-e1o1111因止匕，fxdx=xfxo-xfxdx=-

6、xfxdxoooox2dx = e 11A2=Jxe'jdx=eJxeoo七、(本題滿分14分)解：設(shè)函數(shù)fx二ax2e?-1,fx=2axe?-ax2e?=ax2-xe?令fx=0,得函數(shù)fx的駐點摧=0,X2=2.由于a0,所以limfx=limax2e"Tlim f x = lim ax 2e" -1 =a lim 電-1x )x )x ). e若4ae7.0,即時，函數(shù)fX21在：，°、Q 2、2, *內(nèi)各22x2二啤孑-仁啤壬-1一1有一個零點，即方程eX=ax2在-:,?:內(nèi)有3個實根.若4ae=0,即af-時，函數(shù)fx=ax2e一1在：，0、0,:內(nèi)各有一個零點，即方程ex=ax2在一：:，?：內(nèi)有2個實根.2若4ae7:0,即a:冷時，函數(shù)fx二ax2e-1在-:,0有一個零點，即方程ex=ax2在：；：7片？：內(nèi)有1個實根.八、(本題滿分14分)證明：設(shè)x?2,4,貝uf(x)二f(】)(x-2),-(2,x)；f(x)二f(2)(x-4),2(x,4).令M=maxfr(x)，則有2蘭魚f(x)|EM(x2),f(x)蘭M(4x)4一J；f(x)dx玄勿f(x)|dx玄j2M(x2)dx+J3M(4x)dxM=m.1(t-1)2<In(11函數(shù)f(X)=?eX2_i,X<0