LDPC的BP譯碼算法

1、課程名稱：現(xiàn)代編碼理論任課教師：王琳 洪少華論文題目：LDPC碼的BP譯碼算法姓名：曹沙沙趙卜寒2014 年 07月06日目錄摘要IIAbstractIII第一章 LDPC碼的概述11.1 LDPC碼的發(fā)展史1、LDPC碼的表示11.3 二進(jìn)制LDPC碼的編碼方法3校驗(yàn)矩陣的生成3編碼算法4第二章 LDPC碼譯碼算法62.1 Gallager概率譯碼基本思路62.2 BP算法研究82.3 用對(duì)數(shù)似然比表示的BP算法11第三章 LDPC的性能分析143.1 LDPC的仿真模型143.2 LDPC的譯碼性能15碼長(zhǎng)對(duì)性能的影響15迭代次數(shù)對(duì)譯碼性能的影響16結(jié)論18參考文獻(xiàn)19摘要低密度奇偶校驗(yàn)碼

2、是Gallager提出的一種線性分組碼，其性能可以非常接近香農(nóng)極限。它是根據(jù)低密度稀疏校驗(yàn)矩陣H和二分圖來(lái)構(gòu)造的，本文詳細(xì)的闡述了二進(jìn)制，規(guī)則的LDPC的BP譯碼算法，其校驗(yàn)矩陣每一行和每一列的1的個(gè)數(shù)是相同的，分別為p和q,其Tanner圖中比特節(jié)點(diǎn)的度和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)固定值，通常用（m，n，p，q）表示。BP譯碼算法是一種迭代的概率譯碼算法，本文著重于BP譯碼算法及其簡(jiǎn)化運(yùn)算。本論文主要介紹了LDPC碼的構(gòu)造、編碼和譯碼基本原理。闡述了LDPC編譯碼的過(guò)程，并通過(guò)MATLAB仿真工具對(duì)LDPC碼在AWGN信道的誤比特率性能進(jìn)行了仿真，分析了信噪比、碼長(zhǎng)和迭代次數(shù)對(duì)誤比特率性能的

3、影響。關(guān)鍵詞：二進(jìn)制LDPC BP算法 迭代概率譯碼 后驗(yàn)概率AbstractLow Density Parity Check(LDPC) codes are a class of linear block codesproposed by Gallager,which perform at a rate extremely closed to the Shannon capacity.It is based on low-density parity check matrix H and sparse bipartite graph is constructed, the paper ela

4、borated binary, LDPC decoding algorithm of BP rule, the number of one of its check matrix each row and each column is the same , respectively, p and q, the Tanner graph of bit nodes and check nodes of degree corresponds to a fixed value, respectively, usually expressed as (m, n, p, q). BP decoding a

5、lgorithm is the probability of an iterative decoding algorithm, This paper focuses on its simplified operation. This paper describes the structure, the basic principles of the encoding and decoding of LDPC codes. Describes the LDPC encoding and decoding process, and through MATLAB simulation tool fo

6、r LDPC codes in the bit error rate performance AWGN channel simulation, analysis of the impact of signal to noise ratio, code length and number of iterations of the bit error rate performance.Keywords: binary LDPC BP-decoding algorithm iterative probabilityposterior probability第一章 LDPC碼的概述LDPC碼的發(fā)展史1

7、、 1963年，Gallager發(fā)現(xiàn)的LDPC碼被稱作古典碼型：規(guī)則LDPC。2、 1998年，MacKay and Spielman發(fā)明了不規(guī)則的LDPC。3、 Richardson and Urbanke開(kāi)創(chuàng)了用譯碼分析設(shè)計(jì)碼型的方法。4、針對(duì)B-LDPC碼優(yōu)異的糾錯(cuò)性能，M. Davey和D. Mackay進(jìn)一步將B-LDPC碼一般化到多進(jìn)制域上，并且研究結(jié)果表明Q-LDPC碼在低碼率（R<1/2），AWGN信道下比B-LDPC碼的糾錯(cuò)性能還要優(yōu)越，Q-LDPC碼的出現(xiàn)為L(zhǎng)DPC碼的研究開(kāi)拓了一個(gè)全新的領(lǐng)域。1.2、LDPC碼的表示LDPC是一種分組碼，但是LDPC碼與其他線性分組

8、碼不同的是，其他線性分組碼由生成矩陣表征，而LDPC碼是由校驗(yàn)矩陣來(lái)表征，其奇偶校驗(yàn)矩陣具有低密度的1。規(guī)則LDPC碼可以用（n,j,k）的形式表示，其中n表示生成的碼字的碼長(zhǎng)，j表示H矩陣的列重，k為行重。也可將j用表示，k用表示。如果用m表示H矩陣中的行數(shù)則有。一個(gè)規(guī)則的（12，3，4）LDPC碼的H矩陣如下圖所示： 圖11 （12，3，4）LDPC的校驗(yàn)矩陣我們把H矩陣中的每一行看作一個(gè)校驗(yàn)點(diǎn)(check node)，每一列看作一個(gè)變量點(diǎn)(variable node)。則H矩陣反映了變量點(diǎn)與校驗(yàn)點(diǎn)的連接關(guān)系，如在第一行中有，表示模2加，表示第一個(gè)校驗(yàn)點(diǎn)約束、這四個(gè)變量點(diǎn)。從而我們可以知道

9、行重k表示一個(gè)校驗(yàn)點(diǎn)約束k個(gè)變量點(diǎn)。我們?cè)賮?lái)看第一列，它表示了第一個(gè)變量點(diǎn)受到check2、check5、check7的約束。因此我們又可以推出列重j表示了一個(gè)變量點(diǎn)受到j(luò)個(gè)校驗(yàn)點(diǎn)的約束。由于LDPC也是一種線性分組碼，因此可以用（n,k）的形式表示。n表示碼長(zhǎng)，k表示信息位的個(gè)數(shù)。為了更形象的表示LDPC碼中變量點(diǎn)與校驗(yàn)點(diǎn)的關(guān)系，九十年代中期科學(xué)家們引入雙邊圖（biparttie graphs）來(lái)表示LDPC碼。雙邊圖是LDPC的一個(gè)有用的工具。它將節(jié)點(diǎn)分成兩類，節(jié)點(diǎn)之間用無(wú)向的邊進(jìn)行連接，并且連接只存在于不同類的節(jié)點(diǎn)之間即只存在與校驗(yàn)點(diǎn)與變量點(diǎn)之間，而兩個(gè)校驗(yàn)點(diǎn)之間或者兩個(gè)變量點(diǎn)之間不存在

10、邊的連接。我們把LDPC校驗(yàn)矩陣H的每一行表示一個(gè)校驗(yàn)點(diǎn)用方框表示，每一列表示一個(gè)變量點(diǎn)用圓表示。則由上述可知一個(gè)校驗(yàn)點(diǎn)連接k個(gè)變量點(diǎn)，一個(gè)變量點(diǎn)連接j個(gè)校驗(yàn)點(diǎn)。當(dāng)對(duì)應(yīng)H矩陣中時(shí)，第i個(gè)變量點(diǎn)就與第j個(gè)校驗(yàn)點(diǎn)連接，否則不連接。并且校驗(yàn)點(diǎn)發(fā)出的邊的總數(shù)等于變量點(diǎn)發(fā)出的邊的總數(shù)。每個(gè)節(jié)點(diǎn)發(fā)出的邊的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)點(diǎn)的度。如對(duì)于（12，3，4）碼其雙邊圖為：圖12 （12，3，4）LDPC碼的因子圖表示當(dāng)H矩陣中每列1的個(gè)數(shù)與（或）每行1的個(gè)數(shù)不同時(shí)稱為不規(guī)則LDPC碼。在雙邊圖中表現(xiàn)為變量點(diǎn)與校驗(yàn)點(diǎn)的度允許改變。對(duì)于不規(guī)則LDPC碼，它更喜歡具有高密度的變量點(diǎn)，因?yàn)樗鼘男ｒ?yàn)點(diǎn)接收更多的信息量，從而能

11、更精確的判斷變量點(diǎn)的值。另外，不規(guī)則LDPC碼喜歡具有低密度的校驗(yàn)點(diǎn)，在這種情況下，校驗(yàn)點(diǎn)所傳送的信息對(duì)于相鄰點(diǎn)而言更有價(jià)值。從上分析可知不規(guī)則LDPC碼比規(guī)則LDPC的性能更好的原因在于不規(guī)則LDPC碼中存在波浪效應(yīng)。高密度的變量點(diǎn)能夠快速的收斂到正確的值，并且它能夠幫助中等的變量點(diǎn)收斂到他們正確的值，從而由于循環(huán)可以幫助低密度的變量點(diǎn)。最終使得所有點(diǎn)的譯碼速度加快。由于不規(guī)則LDPC碼中行重和列重都不是規(guī)則的，因此就不能用（n,j,k）的形式表示。因此不規(guī)則LDPC中采用度的表示方法。 ， （1.1）其中表示變量點(diǎn)的度的分布，表示校驗(yàn)方程點(diǎn)的度的分布；()表示從度為()的變量點(diǎn)（校驗(yàn)方程點(diǎn)

12、）所發(fā)出的邊數(shù)占總邊數(shù)的比例。很顯然。 對(duì)于規(guī)則的LDPC碼，也可以用這樣的方式進(jìn)行表示。例如，對(duì)于規(guī)則的LDPC碼(n,3,6)，則，。已知一個(gè)度的分布對(duì)（）后，可以確定一系列碼字集合，其中校驗(yàn)方程個(gè)數(shù)以及碼率如下式所示：（1.2）（1.3）1.3 二進(jìn)制LDPC碼的編碼方法對(duì)于二進(jìn)制LDPC碼的編碼，其編碼基本步驟為：（1）、按照一定的設(shè)置生成校驗(yàn)矩陣H。（2）、由校驗(yàn)矩陣H，按照一定的編碼算法生成最后的碼字u。校驗(yàn)矩陣的生成由于LDPC碼是以校驗(yàn)矩陣H為特征的，不同的校驗(yàn)矩陣H對(duì)應(yīng)不同的碼字集合。因此，LDPC碼的編碼首先需要設(shè)計(jì)校驗(yàn)矩陣H，同時(shí)這也是LDPC碼編碼的關(guān)鍵。在H矩陣的設(shè)計(jì)

13、過(guò)程中，必須避免兩種情況，一是出現(xiàn)短周期的環(huán)主要是長(zhǎng)為四的環(huán)，二是避免變量點(diǎn)的連接過(guò)于集中，即校驗(yàn)點(diǎn)的度過(guò)大。長(zhǎng)為4的環(huán)(圖中存在長(zhǎng)度為4的圈)會(huì)導(dǎo)致信息在兩組點(diǎn)間反復(fù)傳遞，難以更新，違背了迭代譯碼的初衷。長(zhǎng)為4的環(huán)反映在H矩陣中是存在2×2的子矩陣。當(dāng)變量點(diǎn)所連接的校驗(yàn)方程過(guò)于集中時(shí)，常常導(dǎo)致LDPC碼錯(cuò)誤地板的發(fā)生。例如在圖23中，變量點(diǎn)的度為3，但其中三個(gè)帶陰影的變量點(diǎn)總共只連接了5個(gè)校驗(yàn)方程；除了最右邊的一個(gè)校驗(yàn)方程以外，其它4個(gè)校驗(yàn)方程中，每個(gè)都連接了兩個(gè)陰影的變量點(diǎn)。因此，如果這三個(gè)陰影的變量點(diǎn)都出錯(cuò)時(shí)，左邊4個(gè)校驗(yàn)方程都不能檢測(cè)到錯(cuò)誤的存在。當(dāng)分組長(zhǎng)度增大時(shí)，出現(xiàn)這種拓

14、撲結(jié)構(gòu)的可能性也隨之減少。圖23 變量點(diǎn)所連接校驗(yàn)方程過(guò)于集中的因子圖下面以準(zhǔn)規(guī)則LDPC碼的H矩陣的生成為例說(shuō)明校驗(yàn)矩陣的生成步驟。校驗(yàn)矩陣的生成步驟如下：（1）、選擇參數(shù)（碼長(zhǎng)，碼率，列重，行重）。（2）、構(gòu)造一個(gè)全0矩陣。（3）、隨機(jī)選擇Wc行加入非0元素。在實(shí)際的仿真中采用的是準(zhǔn)規(guī)則的H矩陣，既列重相同，行重盡量相同。因此，先在每列選擇Wc行，隨機(jī)的插入非0元素。接著再對(duì)于低重的行添加非0元素，以避免出現(xiàn)低重的碼字。（4）、對(duì)已生成的H矩陣進(jìn)行消4環(huán)。編碼算法按照上小節(jié)的方法求出校驗(yàn)矩陣H后，就可以按照一定的編碼方法得到最后生成的碼字。常規(guī)的編碼方法中，當(dāng)H矩陣被構(gòu)造出來(lái)后，可以得到生

15、成矩陣G，則最后生成的碼字U=S×G。但是實(shí)際的編碼過(guò)程并不像其表達(dá)式這么簡(jiǎn)單。我們來(lái)看一個(gè)例子：一個(gè)（10000，5000）線性分組碼，其GI|P矩陣為5000×10000，假設(shè)P矩陣中1的密度為0.5，則在P矩陣中將有的1，即有次加法運(yùn)算。從而所需的寄存器的數(shù)目將是很多的。因此我們?cè)诰幊痰倪^(guò)程中采用的是具有系統(tǒng)形式的H矩陣的快速編碼。假設(shè)生成的碼字具有系統(tǒng)形式U=C|S，其中C為校驗(yàn)位，S表示信息位。則我們將校驗(yàn)矩陣H變換成A|B的形式，其中A為m×m的單位矩陣，B為（n-m）×m的矩陣，則根據(jù),可得AC+BS=0,從而可以得到。在實(shí)驗(yàn)中，是把隨機(jī)生

16、成的校驗(yàn)矩陣經(jīng)過(guò)列變換成系統(tǒng)形式，然后根據(jù)H與G的關(guān)系，求出生成矩陣G的前面部分，生成矩陣的后面是一個(gè)（n-m）×（n-m）的單位矩陣，從而得到校驗(yàn)位C。由于A是單位陣，從而降低了計(jì)算量。這種方法降低了編碼過(guò)程的運(yùn)算量但是同時(shí)也降低了其性能。它要求H具有系統(tǒng)形式，就存在一個(gè)m×m的單位矩陣，使得剩余部分具有高密度的1。這就使矩陣的稀疏特性被破壞。但是其生成矩陣H較容易。編碼時(shí)間與分組長(zhǎng)度呈線性關(guān)系。 除了上述的兩種方法外，中外學(xué)者還研究出了其他更適合硬件實(shí)現(xiàn)的編碼算法。主要集中于H矩陣的設(shè)計(jì)上，如具有類似下三角的H矩陣的設(shè)計(jì)，具有線性的編碼復(fù)雜度，節(jié)省了對(duì)寄存器的要求，易于

17、硬件的實(shí)現(xiàn)。第二章 LDPC碼譯碼算法信道編碼的譯碼算法是決定編碼性能和應(yīng)用前景的一個(gè)重要因素，尤其是在長(zhǎng)碼的條件下，譯碼算法的復(fù)雜度決定了編碼的前途。通常分組碼的譯碼長(zhǎng)度與碼長(zhǎng)成指數(shù)關(guān)系，碼長(zhǎng)增加到一定的程度后，復(fù)雜度的增加將是不可控制的，無(wú)法得到實(shí)際的應(yīng)用。LDPC碼則不同，由于其奇偶校驗(yàn)矩陣的稀疏性，使它存在高效的譯碼算法，其譯碼復(fù)雜度與碼長(zhǎng)成線性關(guān)系，克服了分組碼在碼長(zhǎng)比較長(zhǎng)時(shí)面臨的巨大譯碼計(jì)算復(fù)雜度問(wèn)題。Gallager提出LDPC碼時(shí)曾給出兩種譯碼算法：硬判決算法和概率譯碼軟判決算法。硬判決不能達(dá)到LDPC碼的最佳性能，軟判決則有非常好的性能。BP算法是在Gallager提出的概率

18、譯碼算法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。2.1 Gallager概率譯碼基本思路假設(shè)發(fā)送端發(fā)送一個(gè)碼長(zhǎng)為n的二進(jìn)制序列（）,接收端收到的信號(hào)為（），如果發(fā)送的二進(jìn)制比特是相互獨(dú)立的，則可以根據(jù)接收信號(hào)和信道模型估計(jì)出發(fā)送的各比特位0或1的概率。考慮其中的某一比特，如果，則就認(rèn)為發(fā)送的為1，否則為0。這是對(duì)應(yīng)于沒(méi)有信道編碼的情況下。如果經(jīng)過(guò)了信道編碼，此時(shí)的二進(jìn)制序列各比特之間就不是相互獨(dú)立的。假設(shè)這個(gè)二進(jìn)制序列是一個(gè)LDPC碼字，那么這n個(gè)比特就要滿足由該碼的校驗(yàn)矩陣所確定的一系列校驗(yàn)方程。假設(shè)其中一個(gè)校驗(yàn)方程是（模2加法），此時(shí)=1的概率，除了接收信號(hào)提供的信息外，還要考慮比特間的相關(guān)性。假定，滿足校驗(yàn)

19、方程這一事件記為S，現(xiàn)要計(jì)算概率。根據(jù)條件概率的貝葉斯公式：當(dāng)然包含比特的校驗(yàn)方程可能不止一個(gè)，這些校驗(yàn)方程的某些比特又包含在其他更多的校驗(yàn)方程中。由于碼字中的各比特的相關(guān)性，除了利用對(duì)于該比特的接收信號(hào)外，還可以利用其他比特的接收信號(hào)來(lái)修正該比特的后驗(yàn)概率。為了直觀的表示這種關(guān)系，引入校驗(yàn)集合樹(shù)的概念。如下圖所示圖2-1校驗(yàn)集合樹(shù)具體算法Gallager的論文中已有詳細(xì)的闡述，這里我們只對(duì)結(jié)果做下說(shuō)明。 通過(guò)校驗(yàn)集合樹(shù)，在傳送碼字c時(shí)，碼字中的各比特滿足包含比特d的j個(gè)校驗(yàn)方程。當(dāng)接收到相應(yīng)的符號(hào)序列時(shí)y時(shí)，比特d為1的條件概率可以表示為。同理，比特d為0 的條件概率表示為。令當(dāng)不考慮發(fā)送比

20、特間的相關(guān)性時(shí)，d為1的概率表示為，它與信道模型有關(guān)。有下面公式：令，表示d的校驗(yàn)集合樹(shù)第一層中包含d的第i個(gè)校驗(yàn)方程的第l個(gè)比特位1 的概率，那么有： (2.1)則概率譯碼的步驟可以描述如下：對(duì)每一個(gè)比特，畫(huà)出相應(yīng)的校驗(yàn)集合樹(shù)，從最高層的節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，應(yīng)用上式逐層計(jì)算出各節(jié)點(diǎn)的后驗(yàn)概率分布，直至求出根節(jié)點(diǎn)的后驗(yàn)概率分布。根據(jù)后驗(yàn)概率分布判決該比特是0或者1：若 其它綜上可見(jiàn)，概率譯碼的算法的運(yùn)算量是相當(dāng)大的，因?yàn)闆](méi)計(jì)算一個(gè)比特的后驗(yàn)概率分布，都需要利用所有比特的相關(guān)信息，運(yùn)算量隨碼數(shù)的增加呈指數(shù)增長(zhǎng)。2.2 BP算法研究 校驗(yàn)集合樹(shù)雖然在描述計(jì)算單個(gè)節(jié)點(diǎn)的后驗(yàn)概率時(shí)非常直觀，但針對(duì)不同的節(jié)點(diǎn)有不

21、同的校驗(yàn)集合樹(shù)，因此在描述并行的計(jì)算整個(gè)碼字各比特的后驗(yàn)概率時(shí)，使用校驗(yàn)集合樹(shù)并不方便，我們這里采用Tanner圖來(lái)對(duì)應(yīng)前面提過(guò)的校驗(yàn)集合樹(shù)。為了方便該圖只畫(huà)出了部分節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)。Tanner圖的變量節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于校驗(yàn)集合樹(shù)的節(jié)點(diǎn)，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于校驗(yàn)集合樹(shù)的邊。圖2-2 校驗(yàn)集合樹(shù)的部分anner圖 設(shè)表示校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)相連的所有變量節(jié)點(diǎn)的集合，即，表示集合去掉變量節(jié)點(diǎn)。設(shè)表示與變量節(jié)點(diǎn)相連的所有校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的集合，即，表示集合中去掉校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)。 圖 2-3 Tanner圖中關(guān)于變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的局部關(guān)系圖中表示不考慮比特間的相關(guān)性，僅僅根據(jù)比特的接收信號(hào)值以及信道特性而得出的比特取值為x的概率，其中。顯

22、然有?？梢园芽闯勺兞抗?jié)點(diǎn)的固有性質(zhì)。 設(shè)表示基于接收信號(hào)并根據(jù)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)集合的信息而得出的比特的概率，其中。同樣有?？梢哉J(rèn)為是變量節(jié)點(diǎn)向校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)傳遞的信息。表示當(dāng)比特，并給定其他比特的一組概率時(shí)，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)m對(duì)應(yīng)的校驗(yàn)方程成立的概率?？梢钥醋鲂ｒ?yàn)節(jié)點(diǎn)向變量節(jié)點(diǎn)傳遞的信息。根據(jù)和的定義，考慮到校驗(yàn)方程都是模2加法，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)m對(duì)應(yīng)的校驗(yàn)方程成立的概率即為比特序列中包含偶數(shù)個(gè)1的概率；校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)m對(duì)應(yīng)的校驗(yàn)方程成立的概率即為比特序列中包含奇數(shù)個(gè)1 的概率。在進(jìn)行簡(jiǎn)易的推導(dǎo)易得）（2.3）根據(jù)式(2.1)以及，以及的定義，可以得到（2.4）完整的BP算法描述。對(duì)滿足的m,l執(zhí)行如下步驟。（1）初始化： ,其

23、中表示信道的先驗(yàn)概率。（2）校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)更新：，則有（2.5）（2.6） （2.7）（3）變量節(jié)點(diǎn)更新：（2.8）（2.9）其中是一個(gè)使得的值。（4）似后驗(yàn)概率更新：（2.10）（2.11）同樣是一個(gè)使得的值。（5） 比特判決：如果，則判,(l=1,2,.,N). 若，或者迭代次數(shù)達(dá)到最大迭代次數(shù)，則結(jié)束迭代，把作為譯碼輸出，否則轉(zhuǎn)到步驟（2）繼續(xù)迭代。2.3 用對(duì)數(shù)似然比表示的BP算法 上述介紹的BP算法比較復(fù)雜。一方面該算法需要在每個(gè)變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)分別計(jì)算各比特為0或者為1 的概率，并且在計(jì)算和時(shí)，要選擇合適的系數(shù)和使之滿足概率和為1 的條件；另一方面，算法的表述太過(guò)復(fù)雜，采用很多相乘運(yùn)算

24、，耗費(fèi)較多的運(yùn)算時(shí)間和硬件資源，不利于硬件實(shí)現(xiàn)。采用對(duì)數(shù)似然比描述的BP算法會(huì)有一個(gè)非常簡(jiǎn)單明了的形式?？紤]一個(gè)隨機(jī)變量x，它的對(duì)數(shù)似然比L(x)定義為根據(jù)對(duì)數(shù)似然比的定義，令那么根據(jù)式（2.2）和（2.3）得因?yàn)榉辞泻瘮?shù)在開(kāi)區(qū)間（-1.1）內(nèi)單調(diào)增加，是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的奇函數(shù)。這樣上式變?yōu)楹?jiǎn)潔形式： 因?yàn)?，上式右端各項(xiàng)除以 ，右端各項(xiàng)分母再除以 ，可得下式：再引用的定義得下式：這里為了使形式更簡(jiǎn)潔，引用雙曲正切函數(shù)：，它是在內(nèi)單調(diào)增加，函數(shù)值，以y=+1,-1為漸近線，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的奇函數(shù)。最后得到： （2.12）根據(jù)式（1.8）和（1.9）有 （2.13）同理有：（2.14）BP算法的

25、步驟整理如下：對(duì)于校驗(yàn)矩陣元素的m,l執(zhí)行如下步驟運(yùn)算。(1) 初始化：(2) 校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)更新：(3) 變量節(jié)點(diǎn)更新：(4) 似后驗(yàn)概率更新(5) 比特判決：如果，則判；否則判，（l=1,2,.,N）。若，或者迭代次數(shù)達(dá)到最大迭代次數(shù)，則結(jié)束迭代，把作為譯碼輸出，否則轉(zhuǎn)到步驟（2）繼續(xù)迭代。 上述是完整的的碼譯碼的BP算法，但還沒(méi)有說(shuō)明如何去求得在譯碼的初始化過(guò)程中所需要的或，這些值是與信道有關(guān)的。下面以信道為例，說(shuō)明如何計(jì)算或的值。表示不考慮比特之間的相關(guān)性，僅根據(jù)比特的接收信號(hào)值以及信道特性而得出的比特取值為的概率，其中的取值為或。假設(shè)信道是二進(jìn)制無(wú)記憶對(duì)稱信道，其輸入是來(lái)自信源的二進(jìn)制、數(shù)

26、字信號(hào)，經(jīng)發(fā)端的二相調(diào)制器后變?yōu)椋瑢?duì)極信號(hào)。經(jīng)收端的二相相干解調(diào)器又把，對(duì)極信號(hào)變?yōu)?，?shù)字信號(hào)還原輸出。由于高斯白噪聲的存在，相干解調(diào)的檢測(cè)可能出現(xiàn)錯(cuò)誤。用信號(hào)加噪以后的條件概率密度分布函數(shù)來(lái)分析誤碼的產(chǎn)生比較清楚。第三章 LDPC的性能分析3.1 LDPC的仿真模型圖3-1 LDPC仿真模型圖 其中第二章詳細(xì)介紹了LDPC碼的譯碼算法，可知LDPC譯碼一般包括以下5個(gè)步驟：1、初始化2、校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)更新3、變量節(jié)點(diǎn)更新4、判決5、停止。實(shí)際操作時(shí)發(fā)現(xiàn)判決時(shí)只需用到本輪迭代的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的更新結(jié)果，變量節(jié)點(diǎn)的更新在下一輪迭代中才起作用。因此可以把步驟4和5安排在步驟3之前進(jìn)行，這樣可以節(jié)省一次變量節(jié)點(diǎn)

27、的更新工作，譯碼流程圖如下：圖3-2譯碼流程圖3.2 LDPC的譯碼性能通過(guò)前面幾章的介紹，LDPC的譯碼基本完成，為了了解實(shí)現(xiàn)的譯碼性能，下文中給出了LDPC的譯碼性能圖。LDPC編譯碼實(shí)現(xiàn)的編碼輸入是函數(shù)rand()產(chǎn)生的二進(jìn)制隨機(jī)序列，并記錄LDPC譯碼在不同性噪比下的誤碼率，再在matlab中畫(huà)圖。仿真時(shí)LDPC碼列重選擇3，最大迭代次數(shù)設(shè)置為5次時(shí)進(jìn)行仿驗(yàn)，分析研信噪比對(duì)LDPC碼誤碼性能的影響，隨著信噪比的增加，LDPC碼的性能不斷提高。BP譯碼算法下，可以看成是無(wú)窮比特量化譯碼，它充分利用接收的信道信息，信道信息利用率得到了極大的提高。信道信息的充分利用，極大地提高了譯碼性能，使

28、得譯碼可以迭代進(jìn)行，充分挖掘接收的信道信息，最終獲得出色誤碼性能圖3-3BP算法的BER曲線碼長(zhǎng)對(duì)性能的影響將LDPC碼列重選擇3，最大迭代次數(shù)設(shè)置為5次且信噪比為0.5dB時(shí)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，分析研究碼長(zhǎng)對(duì)LDPC碼誤碼性能的影響，仿真得到了不同碼長(zhǎng)對(duì)LDPC碼的性能仿真結(jié)果如下圖所示。從圖中可以看出，在同樣的信噪比條件下，隨著碼長(zhǎng)的增加，LDPC碼的性能不斷提高。在小信噪比區(qū)域，碼長(zhǎng)的增加對(duì)誤碼率的改進(jìn)不大，但隨著信噪比的增大，LDPC碼的誤碼率得到了明顯改善。但隨著碼長(zhǎng)的增加，LDPC碼性能的提高是相對(duì)的，當(dāng)達(dá)到一定碼長(zhǎng)后，性能將會(huì)有很小的提高。這是因?yàn)橐欢ùa長(zhǎng)下編碼性能有一定的極限，隨著碼長(zhǎng)的增大，編碼和譯碼的復(fù)雜度也增加，編碼性能就會(huì)更接近極限，性能隨碼長(zhǎng)增加改善的就更少。圖3-4碼長(zhǎng)對(duì)LDPC性能的影響迭代次數(shù)對(duì)譯碼性能的影響將碼長(zhǎng)為400的LDPC碼，列重為3，信噪比為0dB的情況下進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。圖中給出了上述情況下的不同迭代次數(shù)對(duì)LDPC碼的性能仿真結(jié)果?？梢钥闯?，在相同的信噪比下，LDPC碼的性能隨著迭代次數(shù)的增加而逐漸提高。但是LDPC碼的誤碼率并不能隨著迭代次數(shù)的增加無(wú)限地減小，當(dāng)