量子測(cè)量4節(jié)-北京大學(xué)物理學(xué)院

1、北京大學(xué)量子信息物理原理課程講稿（III ）§1.4, 廣義測(cè)量與POVM1，開(kāi)放系統(tǒng)的廣義測(cè)量通過(guò)把與所考慮系統(tǒng)有相互作用的外部系統(tǒng)都計(jì)算進(jìn)來(lái)， 構(gòu)成足夠大系統(tǒng)的辦法，總能以足夠好的近似將這個(gè)大復(fù)合系統(tǒng)看作是孤立體系。人們知道，或者準(zhǔn)確些說(shuō)是相信， 孤立系量子測(cè)量必定是正交投影測(cè)量 。因此可以說(shuō)， 對(duì)如此構(gòu)成的大系統(tǒng)中某一組相互對(duì)易力學(xué)量完備組進(jìn)行的量子測(cè)量， 必定是正交投影測(cè)量。 就是說(shuō)，測(cè)量所得的必定是這個(gè)完備組共同本征態(tài)的量子數(shù)， 測(cè)量所實(shí)現(xiàn)的也必定是向這個(gè)完備組相互正交共同本征態(tài)的投影。 以前的量子力學(xué)都是針對(duì)封閉系統(tǒng)的。現(xiàn)在研究開(kāi)放系統(tǒng)也就是子系統(tǒng)的量子力學(xué)。 注意，大系

2、統(tǒng)的一組相互正交的本征態(tài)族在子系統(tǒng)所屬子空間中的對(duì)應(yīng)態(tài)未必仍然相互正交！于是可以設(shè)想， 不知道（根本不知道、 不想知道、難以知道）大系統(tǒng)、只知道子系統(tǒng)（?。┑挠^察者會(huì)認(rèn)為： 通常情況下的量子測(cè)量將投影出一組非正交態(tài)， 而不是一組正交態(tài)。這就是通常所說(shuō)的 “廣義測(cè)量不一定是正交投影 ”的原故。 廣義測(cè)量是指，在一個(gè)由若干子系統(tǒng)組成的大系統(tǒng)上進(jìn)行正交測(cè)量時(shí)， 在局部的子系統(tǒng)上所實(shí)現(xiàn)的局限性測(cè)量，稱為廣義測(cè)量，又稱為局域測(cè)量 。從大系統(tǒng)的角度來(lái)看，現(xiàn)在的子系統(tǒng)是個(gè)開(kāi)放系統(tǒng)， 對(duì)其進(jìn)行的觀測(cè)是片面的觀測(cè)、 局部的觀測(cè)。廣義測(cè)量也可以說(shuō)成是對(duì)開(kāi)放系統(tǒng)的量子測(cè)量?？偫ㄆ饋?lái)， 開(kāi)放系統(tǒng)的量子力學(xué)，包括開(kāi)放系

3、統(tǒng)的量子測(cè)量，出現(xiàn)三個(gè)新特點(diǎn)：a）量子態(tài)可能是混的；b）量子演化可能是非幺正的、不可逆的；c）量子測(cè)量可能是非正交投影分解POVM。POVM 直譯是“正算符取值測(cè)度”，是個(gè)重要概念。將它表示出來(lái)為?，F(xiàn)FFF F(1.11)FI ,FF,F FF, trF1POVM 是以前針對(duì)封閉系統(tǒng)的von Neumann正交投影向開(kāi)放系統(tǒng)的推廣，是完全測(cè)量向非完全測(cè)量的推廣。簡(jiǎn)明地說(shuō)，在大系統(tǒng)上進(jìn)行正交測(cè)量時(shí)，在子系統(tǒng)中所觀察到的非正交投影就是一組POVM，在子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)的測(cè)量稱為廣義測(cè)量。其實(shí)，按 POVM 的含意，全稱應(yīng)當(dāng)是 “單位算符的非正交測(cè)度分解”。下面會(huì)舉例詳細(xì)說(shuō)明。2，局域測(cè)量 POVMi,

4、 直和解釋：空間 AB 正交測(cè)量在子空間A 中表現(xiàn)假設(shè)所關(guān)心的態(tài)空間是一個(gè)更大的直和空間(1.12)的一部分（設(shè)的基是i，的基是，i0,i,）。有正交基u。設(shè) M A 是中的一個(gè)可觀察量，于是有以下正交分解關(guān)系MAMA0（1.13）u(1.14)這里。注意，不同值的 u雖然彼此正交，但它們?cè)谧涌臻g中投影部分 ，也即從子空間中看，這些態(tài)不一定正交歸一。將態(tài)歸一化記為。按 u u1，設(shè)，(1.15)注意，同時(shí)有?，F(xiàn)在假設(shè)， 在大空間中對(duì)子空間中的一個(gè)態(tài)A 執(zhí)行向基矢u的正交投影測(cè)量 Eu u。這些測(cè)量，從 “生活 ”在中的觀察者來(lái)看，只得到以概率（注意A 不屬于，其作用為零）（1.16a）獲得測(cè)量

5、結(jié)果和態(tài)。特別是，在測(cè)出值以后，塌縮投影過(guò)去的這些測(cè)量末態(tài)不見(jiàn)得彼此正交！設(shè) E AI A 是子空間的單位算符，它也是大空間向子空間的投影算符 。利用它可將中的正交投影算符系列Euu向投影。即， 定義中的一組算符FEAE EA (1.17)利用定義（ 1.17）式，可以把（ 1.16a）式，即從中觀察所得結(jié)果為的概率重新表達(dá)為(1.16b)這些 F 顯然是厄密的、 非負(fù)的，但跡卻不一定為（ 1 TrF0 ），1而且也不一定彼此正交， 所以不能算是正交投影算符系列。然而，它們總和等于子空間中的單位算符F EA EEA EA IA(1.18)因此，這些 F 在子空間中執(zhí)行著類似于 E 在空間中的投

6、影分解任務(wù)，但它們卻不是正交投影。 于是推廣開(kāi)來(lái)看， 可以引入如下定義：定義 系統(tǒng) A 的一個(gè) POVM（ positive operator valued mesure2、3、8p.90、13 p.287）是一組不一定彼此正交，但總和等于系統(tǒng)單位算符 I A 的非負(fù)、厄密算符序列，F(xiàn):FF,FF,AFnA0,FI A;（1.19）1換句話說(shuō)， POVM 是將系統(tǒng)的單位算符用一組不一定彼此正交的正值算符序列進(jìn)行分解， 簡(jiǎn)單地說(shuō)，系統(tǒng)單位算符的一種非正交測(cè)度分解。這里態(tài) A 是系統(tǒng) A 的任意態(tài)。根據(jù)這里的廣義測(cè)量理論， 當(dāng)對(duì)中 A 態(tài)作廣義測(cè)量時(shí)，相應(yīng)每個(gè)測(cè)量結(jié)果 F 的概率由 (1.16a、

7、b)式表示。特別是，有Pr obtr FAA為保證概率正定和總概率為1， F 的正定性和F1 都是必需的 。由于任何投影算符P 的平方等與它自己P2P ，所以開(kāi)根也是它自己 PP 。而這里正屬于投影算符， 于是在廣義測(cè)量前后，態(tài)的改變是AAAFA F(1.20)（1.20）式是正交投影情況（AAE A E）向 POVM 情況的推廣。注意，由于 “的投影 ”，所以有F 是大空間的 E 向子空間的維數(shù)F數(shù)目 E數(shù)目 =維數(shù)和（1.21）F 個(gè)數(shù)可能多于的維數(shù)是因?yàn)?，它們完備但彼此卻不一定正交；而 F 個(gè)數(shù)可能少于的維數(shù)是因?yàn)椋?可以有這樣的 E ，它只向正交子空間投影，于是與這種E 相應(yīng)的 F 便

8、是零。這個(gè) POVM 名詞最初來(lái)源于文獻(xiàn) 9。該文首次引入廣義測(cè)量概念來(lái)分辯一些非正交的態(tài)。ii）直積解釋：空間AB 正交測(cè)量在子空間A 中表現(xiàn)假設(shè)考慮一個(gè)N 維系統(tǒng) A ，處在態(tài)A 上。并假設(shè)另有一個(gè)輔助系統(tǒng) B （常稱為 “附屬系統(tǒng) ”，其維數(shù)這里并不重要，予以略去）處在已知態(tài)B 上。設(shè)這兩個(gè)子系統(tǒng)組成一個(gè)“未關(guān)聯(lián) ”的張量積的大系統(tǒng)，初態(tài)為ABAB 。現(xiàn)在對(duì)這個(gè)張量積系統(tǒng)進(jìn)行某種正交投影測(cè)量E;EI AB。在單次測(cè)量中得到測(cè)量結(jié)果為E中的某一個(gè)，相應(yīng)概率 Pr ob為也即Pr obABE AATrB Tr F AB（1.22）FmnEmr,nsB sr Tr E I ABmnr,s這組算

9、符 F稱作系統(tǒng) A 的一組 POVM單位算符 I A 的非正交測(cè)度分解。（1.22）表明， Pr ob 既是張量積大系統(tǒng)在正交測(cè)量 E 中得到結(jié)果為 E 的概率，也是在子系統(tǒng) A 中執(zhí)行相應(yīng) POVM 并得到 F 的概率。由于（ 1.22）中 Pr ob0 ，以及A 是任意和非負(fù)的，可知全體F 都是非負(fù)的，有時(shí)簡(jiǎn)單稱它們?yōu)檎?。?1.22)式，它們也是厄米的、總和為 1。比如對(duì)總和， (1.22)式對(duì)求和即得分量形式為FFmnEBsrmn rsBsrmnr ,smr ,nsr ,smnTrBI ABmnmn這正是（ 1.18）式。但對(duì)于直積情況， POVM 中 F 個(gè)數(shù)的上限與直和的（ 1.

10、21）式不同。這時(shí)有維數(shù)積（1.23）大系統(tǒng) AB 測(cè)量且塌縮結(jié)果為E 時(shí)，大系統(tǒng)的態(tài)相應(yīng)塌縮到下面狀態(tài)，EABE（1.24）ABTr ABEAB但與此同時(shí)，對(duì)于只知道子系統(tǒng) A 的觀察者而言，當(dāng)測(cè)量塌縮到 F 時(shí)，密度矩陣從A 變?yōu)門(mén)r BEAB E（1.25）ATr ABEAB顯然，這里（ 1.25）式和前面（ 1.20）式求和中對(duì)應(yīng)項(xiàng)是相同的。因?yàn)?，注意到這里所用的向A 投影算符 E A 對(duì) A 而言是單位算符I A ，于是由于（ 1.25）式分子已經(jīng) Tr B ，所以可以左右全乘以E A ，并收入求跡號(hào)內(nèi)，同時(shí)對(duì)求跡號(hào)內(nèi)A 兩側(cè)也如此做。至于分母可直接利用概率公式（ 1.22）?？傊?/p>

11、以有Tr BEAE EA AEABEEAATrABEABTr BFAB FFAFTr AFTr AFF A FAA這里最后結(jié)果 F 上的根號(hào)是等式對(duì)全部測(cè)量概率歸一化的要求。以上通過(guò)直和與直積兩種方式說(shuō)明了，在更大態(tài)空間中進(jìn)行某個(gè)正交投影測(cè)量過(guò)程， 反映到它某個(gè)子空間中 （相當(dāng)于只從這個(gè)子空間作局部性觀察） ，就實(shí)現(xiàn)為一個(gè)非正交的投影系列 實(shí)現(xiàn)一種POVM 。3，POVM 舉例例1舉一個(gè)單qubit 兩維態(tài)空間中POVM例子。選擇N 個(gè)3維單位矢量和N個(gè)正實(shí)數(shù)，使它們滿足：01,1 ，n 0 。由此便可構(gòu)造一種有 N 個(gè)元素的 POVM 如下：(1.26a)回憶起 1自旋態(tài)的投影算符為2，其中

12、是2態(tài)的極化矢量，就有F 2 E（）1.26b它們共計(jì) N 個(gè)，顯然都是非負(fù)的、厄密的，并且有所以，這 N 個(gè) F 就在此 qubit 二維態(tài)空間中定義了一個(gè) POVM 。注意，在兩維態(tài)空間中作單位算符的 POVM 分解時(shí)，若是兩個(gè)分解（ N=2，即 F1 , F 2 ），雖有無(wú)窮多種分解， 但必定都是正交分解：只有多于所在空間維數(shù)的分解，即 N 3 的分解，才必定是非正交的分解。比如對(duì) N=3 情況，若取任意三角形的三個(gè)邊作為（首尾相接的）三個(gè)矢量，則有，再選比如1231 ，于是便得到一種共計(jì)三個(gè)的如下3POVM ，（1.27）由它們乘積即知，它們已不再是正交投影，各自的跡也不是1 了。例

13、2三維空間中正交投影測(cè)量。向X,Y,Z 三個(gè)方向投影矩陣：100000000100E1 000 ,E2010 ,E3000：E1 E2 E3 010I000000001001這時(shí)，在法線方向?yàn)榈亩S平面上生存的人看來(lái)，這個(gè)原本在三維空間中的正交投影測(cè)量是一個(gè)POVMF1 , F2 , F3 測(cè)量。求這三個(gè) Fi 的表達(dá)式。解：將三維空間向X-Y 平面投影操作轉(zhuǎn)到向這個(gè)平面的投影操作。這個(gè)投影操作和Z-軸轉(zhuǎn)到法線的轉(zhuǎn)動(dòng)有關(guān)。此轉(zhuǎn)動(dòng)為向這個(gè)平面投影操作為（注意有一個(gè)零根，不是三維，是二維）這里的 E plan 相當(dāng)于前面所說(shuō)的向H A 投影的 EA 。按 (1.17)式，有這組 POVM 求和為這

14、就是上面的 (1.18)式。4，Neumark 定理i，Neumark 定理 2，3上面通過(guò)考察比更大空間中的正交測(cè)量，得到了在空間中的 POVM 的概念?，F(xiàn)在反過(guò)來(lái)考量，這就是Neumark定理：“總能夠采用將所考慮的態(tài)空間拓展到一個(gè)較大空間， 并在這個(gè)較大空間執(zhí)行適當(dāng)正交測(cè)量的辦法， 實(shí)現(xiàn)所考慮空間中任何事先給定的 POVM ?！弊C明：考慮 N 維狀態(tài)空間 H 和 n（ nN）個(gè)F,1,2, , n 的一種POVM 。每個(gè)一維正算符（意即只有1 個(gè)非零本征值） F 可寫(xiě)為（1.28）注意這里和不一定歸一。于是，已設(shè)的全體 F 之和為中單位矩陣的結(jié)果，現(xiàn)在就表示為（1.29）可以換一種角度看

15、待關(guān)系式（1.29）：按下式定義 N 個(gè) n維矢量這里是說(shuō)，在 n維空間中第 i 個(gè)矢量的第分量為。于是在這 n維空間中就已經(jīng)有了N 個(gè)正交歸一的矢量。 現(xiàn)在只需要在這個(gè)維數(shù)較高的 n維空間中再增加 （ nN ）個(gè)正交歸一矢量， 補(bǔ)充這N 個(gè)正交歸一矢量集合，使它們共同構(gòu)成一組正交歸一完備基矢就可以了。顯然，這種補(bǔ)充不但可行，而且辦法并不唯一。設(shè)補(bǔ)充的（ n N ）個(gè)正交歸一矢量為（1.30）將兩部分合并排成正交歸一的n行之后，各列便同時(shí)組成n維空間的一組 n個(gè)正交歸一基u。注意這些 u是如此構(gòu)造的： 第個(gè)矢量的前 N個(gè)分量為 （現(xiàn)在可以在這個(gè)），后（ nN ）個(gè)分量為新補(bǔ)充的。n維空間中執(zhí)行

16、一個(gè)由下面定義的正交測(cè)量：Euu（1.31）顯然，將基矢u明寫(xiě)出來(lái)便是（1.32）這里。這里是由所撐開(kāi)的、維數(shù)為（ nN ）的、與正交的另一個(gè)子空間。通過(guò)正交投影，可將u投影到，于是就得到中原先已設(shè)定為POVM 的 F。證畢?？偠灾?，由正交測(cè)量的局部投影之后所得的POVM 以及此處的 Neumark 定理，得到一個(gè)總體的認(rèn)識(shí)：在一個(gè)系統(tǒng)上執(zhí)行任選的POVM 類型測(cè)量是人們能夠執(zhí)行的最一般的測(cè)量。ii，舉例說(shuō)明例 1 可以采用直和拓展方法來(lái)應(yīng)用此定理。再次考慮單個(gè)。取2維態(tài)空間中3個(gè)POVMF 的（）式：qubit1.27現(xiàn)在用直和方式增加一維，在三維態(tài)空間中構(gòu)造相應(yīng)的正交投影操作，使得在二維

17、態(tài)空間中觀察，測(cè)量就是事先給定的 F 。為此取一個(gè)“三進(jìn)制 ”量子位 一個(gè)三維態(tài)空間的單量子系統(tǒng) qutrit，選取下面三個(gè)矢量，它們?cè)谇蜃鴺?biāo)中分別為24，是 X-Z 面上00,0,033的等角三葉螺旋槳，夾角120 。因此，考慮到和是歸一化 1 自旋態(tài)。由此得到2 維空間原有的 3 個(gè)態(tài)矢，2（1.33）現(xiàn)在，按定理證明敘述，將這 3 個(gè) 2 維矢量看作是個(gè) 2 3 的矩陣（由于所取 POVM 的完備性，（1.33）式中兩行是正交的） 。再補(bǔ)上正交的第三行（注意保持歸一化） ，就成為2 31 61 6u10u21 2u31 2（1.34）1 31 31 3如定理所說(shuō)的，各列（現(xiàn)即為 u）也彼此正交。這時(shí)若執(zhí)行向基 u的正交投影測(cè)量（即，測(cè)量以u(píng)為本征矢量的物理量組） 。一位只生活在二維子空間中的觀察者將會(huì)認(rèn)為在他子空間中執(zhí)行了一種POVM F1F2F3。就是說(shuō)，如果我們手上的qubit 暗中是某個(gè) qutrit的前兩個(gè)分量，對(duì)這個(gè)qutrit 態(tài)空間中進(jìn)行上面這樣的正交測(cè)量，就實(shí)