《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》文科測試題(詳細答案)

1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元測試題(文科)一、選擇題(本大題共 10小題，共50分，只有一個答案正確)1 函數(shù)f(X)二2 x 2的導(dǎo)數(shù)是()(A) f (x) =4二x (B) f (x) = 4二2x (C) f (x) = 8二2x (D) f (x) = 16x2. 函數(shù)f(X)=X的一個單調(diào)遞增區(qū)間是()(A) 1-1,01(B)2,81(C)1,21(D)0,2 13. 已知對任意實數(shù) x，有 f()=-f(x) ,g(咲)=g(x)，且 x0 時，f"(x)nO, g"(x)O,則 x : 0 時()A.f (x)0,g (x)0B.f (x) - 0,g (x) ： 0

2、C.f (x) ：0,g (x)0D.f (x) : 0,g (x) ： 04. 若函數(shù)f (x) =x3 -3bx 3b在0,1內(nèi)有極小值，則()1(A) 0 ： b : 1(B)b <1(C)b 0(D) b ：-25. 若曲線y =x4的一條切線丨與直線x 4y -8 =0垂直，則丨的方程為()A. 4x-y-3=0 B . x 4y-5=0 C . 4x-y 3 = 0 D . x 4y 3 = 06. 曲線y =ex在點(2, e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為()A.2B. 2e2c. eD.7.設(shè)(x)是函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)，將y = f(x)和y = f (x)的

3、圖象畫在同一個直角坐標系中,不可能正確的是()D.28 .已知二次函數(shù)f (x)二ax bx c的導(dǎo)數(shù)為f '(x) , f '(0) 0，對于任意實數(shù)x都有f (x)0,則f的最小值為()f'(0)53A . 3B .C . 2D .-229.設(shè) p :f x) & n x2 x l2x1在(0, ：)內(nèi)單調(diào)遞增，q : m > - 5，則 p 是 q 的()A .充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件10.函數(shù)f (x)的圖像如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是()(A) 0 ：匸(2)： f/(3)< f(3) f(

4、2)(B) 0 ：(3) ： f 一 f(2) ： f/(2)(C) 0 ： f/(3)< 門2) ： f(3)- f(2)(D) 0 ： f(3) f(2”： f/(2”： f/(3)二.填空題(本大題共 4小題，共20分)11.函數(shù)f (x) = x In x(x > 0)的單調(diào)遞增區(qū)間是312 .已知函數(shù)f(x) = x-12x8在區(qū)間-3,3上最大值、最小值分別為 M,m，則M-m二3218.已知函數(shù) f(x) = 2x -3x 3.(1) 求曲線y= f (x)在點x = 2處的切線方程；(2) 若關(guān)于x的方程f x - m=0有三個不同的實根，求實數(shù)m的取值范圍3 2

5、一13.點P在曲線y = x -x上移動，設(shè)在點 P處的切線的傾斜角為為，則的取值范圍3是13214 .已知函數(shù) y x x ax-5(1)若函數(shù)在總是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍3是 .若函數(shù)在1廠：)上總是單調(diào)函數(shù)，則 a的取值范圍.(3)若函數(shù)在區(qū)間(-3, 1)上單調(diào)遞減，貝U實數(shù)a的取值范圍是 .三解答題(本大題共 4小題，共12+12+14+14+14+14=80分)15.用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2: 1，問該3ax219.已知 f (x)(a 1)x 4x 1 a R3(1) 當(dāng)a二-1時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(2) 當(dāng)a，R時，討論函數(shù)

6、的單調(diào)增區(qū)間。(3) 是否存在負實數(shù)a，使x 1-1,0】， 函數(shù)有最小值-3 ?長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？3216.設(shè)函數(shù)f(x) =2x 3ax 3bx 8c在x=1及x=2時取得極值.(1) 求a、b的值； 若對于任意的0,3，都有f(x) ：c2成立，求c的取值范圍.17.設(shè)函數(shù)f (x) = -x3 3x 2分別在x1> x2處取得極小值、極大值.xoy平面上點A、B的坐標分T T別為(X1，f(xJ)、(x2, f(x2)，該平面上動點P滿足PA?PB =4,點Q是點P關(guān)于直線y =2(x-4) 的對稱點，求(I )求點A、B的坐標；(n)求動

7、點Q的軌跡方程.2a20 .已知函數(shù) f x = x ，gx=xT nx，其中 a 0 .x(1) 若x = 1是函數(shù)h xi；= f xi亠g x的極值點，求實數(shù) a的值；(2) 若對任意的X1,X2，1, el ( e為自然對數(shù)的底數(shù))都有 f為> g x?成立，求實數(shù)a的取值范圍.【文科測試解答】、選擇題1 - f (x) = 2x 2 =4二 2x2,. f (x) =2 4.2x = f (x) =8二2x;2.f (x) =x e -1 ex - x ex1-x ex 0,.x : 1 選(A)3.(B)數(shù)形結(jié)合4.A 由 f (x) =3x2 -3b =3 x2 -b，依題

8、意，首先要求 b>0,所以 f (x) = 3 x 、一 b x- b由單調(diào)性分析，x - ib有極小值，由x -._bw0,1得.5 .解：與直線x，4y_8=0垂直的直線l為4x - y m = 0 ,艮卩y = x4在某一點的導(dǎo)數(shù)為 4，而y、4x3，所以y =x4在(1 , 1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點的切線為4x - y - 3 = 0，故選 A6.( D)7.( D)8.( C)9. ( B)10. B設(shè)x=2,x=3時曲線上的點為 AB，點A處的切線為 點B處的切線為BQ,f(3)f(2)f(3)-f(2) kf (3) - f (2)kAB32f 二 kBQ,(2)二 kAT,如

9、圖所示，切線 BQ的傾斜角小于 直線AB的傾斜角小于切線AT的傾斜角kBQ ： kAB ： kATAT所以選B111. ，二_e12 32 13 0，汁14. a 1;(2)a - 3;(3)a 乞-3.三、解答題h J8 12x 尹七彳乂口)0<xv£ .4I 2丿故長方體的體積為22333V(x)= 2x (45 3x)=9x - 6x (m )(0< xv專).從而 V (x) = 18x - 18x2 (4.5 一 3x) = 18x(1 - x).令V'( x)= 0，解得x=0 (舍去)或x=1，因此x=1.當(dāng) 0< x< 1 時，V

10、9;( x)> 0 ;當(dāng) 1<x< -時，V'( x)< 0,3故在x=1處V ( x)取得極大值，并且這個極大值就是V ( x)的最大值。從而最大體積 V = V'( x)= 9X 12-6 x 13 ( m3)，此時長方體的長為 2 m，高為1.5 m. 答：當(dāng)長方體的長為 2 m時，寬為1 m，高為1.5 m時，體積最大，最大體積為 3 m3。16 .解：(1) f (x) = 6x2 6ax 3b ,因為函數(shù)f(x)在x = 1及x = 2取得極值，則有 (1)=0,(2) = 0 .6 6a 3b = 0,即24 12a 3b = 0.解得 a

11、 - -3, b = 4 .(2)由(I)可知，f (x) = 2x3 - 9x2 12x 8c ,2f (x) = 6x -18x 12=6(x-1)(x-2).當(dāng) x (0,)時，f (x)0 ；當(dāng) x (1,2)時，f (x) ：0 ;當(dāng) x (2,3)時，f (x)0 .15.解：設(shè)長方體的寬為 x ( m)，則長為2x(m),高為所以，當(dāng) x = 1 時，f (x)取得極大值 f (1) = 5, 8c，又 f(0) = 8c, f (3) = 9, 8c .則當(dāng)0,時，f(x)的最大值為f(3)=98c .因為對于任意的x ：二0,31，有f(x)：c2恒成立，所以 9 8c :：

12、: c2,解得 c ” 1或c 9 ,因此c的取值范圍為(_：:，- 1)U(9, =) 17解：令 f (x) =(-x3 3x 2)J -3x2 3=0 解得 X =1或 x 二-1當(dāng) x ： -1 時，f (x) ： 0，當(dāng)一 1 ： x ： 1 時,f (x) 0 ，當(dāng) x 1 時,f (x) : 0令 g (x) = 0,x = 0或 1.,則x, g (x), g (x)的變化情況如下表x(皿,0)0(0,1)1(1,址)gH(x)+00+g(x)匚極大匚極小當(dāng) x = 0,g(x)有極大值 m 3; x = 1,g(x)有極小值 m 2.,10分g(0)> 0由g(x)的簡

13、圖知，當(dāng)且僅當(dāng))lg <0亦 m 30,即，-3： m： -2時，m 2 ： 0函數(shù)g(x)有三個不同零點，過點A可作三條不同切線.所以若過點A可作曲線y二f(x)的三條不同切線，m的范圍是(_3,-2).,14分所以屈數(shù)在X = 1處取得極小值，在x = 1取得極大值，故冷=-1, X2 = 1, f (-1) = 0, f (1) = 419 ( 1) x" -2,或 xG2：,f(x 遞減；xp-2,2,f(x)遞增;(2) 1、當(dāng) a = 0,所以，點A、B的坐標為A(-1,0), B(1,4) f(x)遞增;2、當(dāng) a ： 0,2 ,2laf(x)遞增;3、當(dāng) 0 ：

14、 a ： 1,2 ,或kpQ丄，所以g2x m=20 2 設(shè) p(m，n) , Q(x，y), PA PB - -1 - m,-n 1 一 m，4 - n 二 m2 - 1 n2 - 4n = 41-，又PQ的中點在y =2(x -4)上，所以2x(2 打 f(x)遞增；當(dāng) a=1, X壬(-°o,P) f(x)遞增；當(dāng) a a 1, xi比 2或 xE(2,p) fg遞增； a''.'a '(3)因a ： 0,由分兩類(依據(jù)：單調(diào)性，極小值點是否在區(qū)間-1,0上是分類“契機”：1、當(dāng)-<-1 a 王2, x壬匚 1,0紅-,2 , f(x>

15、;遞增，f(x>min=f(T>=_3，解得 a= 3>2,aa4消去 m,n 得 x -82 y 22 =9.另法：點P的軌跡方程為 m2亠n 2二9,其軌跡為以(0, 2)為圓心，半徑為3的圓；設(shè)點(0,2、當(dāng)2 .-1,= a2,由單調(diào)性知：fgm/fg-Q化簡得：3a2 3a-1 = 0,解得 aaa = 不合要求；綜上，a =為所求。6'418解(1) f (x) =6x2 -6x, f =12,f(2) =7,2分曲線 y 二 f (x)在 x =2 處的切線方程為 y -7 =12(x-2)，即 12x- y-17 =0 ； ,4 分(2)記 g(x)

16、=2x3 -3x2 m 3,g (x) =6x2 -6x =6x(x -1)a -02)關(guān)于y=2(x-4)的對稱點為(a,b),則點Q的軌跡為以(a,b),為圓心，半徑為3的圓,-4 得 a=8,b=-222a20 (1)解法 1： / h x = 2xIn x,其定義域為 0,= ,x管、a21- h x = 2 - 2 x x/ x = 1是函數(shù)h x的極值點， h 1=0，即3-a2 = 0 a 0， a = ； 3 經(jīng)檢驗當(dāng)a=J3時，x=1是函數(shù)h x的極值點,1a2 解法2： / h x =2xxh i x = 2 -2 _ .x x2令 h x =0，即 2 -a2xm =1

17、8a20 ,2 2=0,整理，得 2x x-a =0 . h x =0的兩個實根4當(dāng)x變化時，h x ， h x的變化情況如下表:-1 - 1 8a2-11 8a2為二-(舍去)，X2二一-,x(0,X2 )X2區(qū)，母）h(x)一0+h(x)匚極小值_1 1 8a22依題意，1 -1 8a =1,即 a2 =3,4a 0 , a - . 3.(2)解：對任意的為兀，1, e 1都有f為> g x2成立等價于對任意的 xnx 1, el都 有 / x min_g x max，1當(dāng) x:1, e 時，g x =1 0 .x 函數(shù)g x =x Inx在1 e】上是增函數(shù). ILg x max 二 9 e %1 .x a x _ a. i，且 x= h,e, a > 0.-max2 f X 胡-% =xx2當(dāng) 0 ：a ：1 且 x : 1, e:時,2二函數(shù)f x = x 在1 ,x上是增函數(shù), ILf X ：min = f 1 = 1 a . 由 1 a2 > e 1，得 a > .e , 又0 ： a : 1, a不合題意. 當(dāng)1 w a w e時，x a x-a右 1W x V a，貝y f x20,x卄“.(x+ a Y x a)右 a