【圖文】簡(jiǎn)并微擾理論

1、 例2.有一粒子，其 Hamilton 量的矩陣形式為：H = H0 + H， 其中 æ 2 0 0ö ç ÷ H0 = ç 0 2 0÷ ç 0 0 2÷ è ø æ0 0 aö ç ÷ H¢ = ç 0 0 0 ÷ ça 0 0 ÷ è ø a << 1 求能級(jí)的一級(jí)近似和波函數(shù)的0級(jí)近似。 解： H0 的本征值問題是三重簡(jiǎn)并的，這是一個(gè)簡(jiǎn)并微擾問題。 (1求本征能量 -

2、 E (1 0 0 - E (1 0 由久期方程|H - E(1 I| = 0 得： a 0 =0 - E (1 ( ì E1 = E0 + E11 = 2 - a ï ( E 2 = E0 + E 21 = 2 í ï ( E 3 = E0 + E 31 = 2 + a î a 解得：E(1 = 0, ±. 記為： E1(1 =- E2(1 = 0 E3(1 = + 故能 級(jí)一 級(jí)近 似： 簡(jiǎn)并完全消除 (2 求解 0 級(jí)近似波函數(shù) æa ç ç0 ça è 0 將E1(1 = 代入

3、方程，得： æ a (c1 + c3 ö ç ÷ ç ac 2 ÷=0 ç a (c + c ÷ 1 3 ø è a ö æ c1 ö ÷ 0÷ a÷ ø a 0 ç ÷ ç c2 ÷ = 0 çc ÷ è 3ø ìc1 = - c3 í îc2 = 0 æ 1 ö 由歸一化條件： ÷ &

4、#230; c1 ö 1 ç (0 y1 = ç ÷ ç 0 ÷ 2 1 2ç (c1 * 0 - c1 *) ç 0 ÷ = 2 | c1 | = 1 取實(shí)解： c1 = 2 ÷ è - 1ø ç-c ÷ è 1ø 將E2(1 = 0 代入方程，得： æ0 ç ç0 ça è 0 aö ÷ 0 0÷ 0 0÷ ø æ c1 &

5、#246; ç ÷ ç c2 ÷ = 0 çc ÷ è 3ø 則 æ ac 3 ö ç ÷ ç 0 ÷=0 ç ac ÷ è 1ø c1 = c3 = 0 則 æ 0ö ç ÷ (0 y 2 = ç 1÷ ç 0÷ è ø 由歸一化條件： 如法炮制得： ( y 30 æ0ö ç ÷

6、; (0 c2 * 0) ç c2 ÷ =| c2 |2 = 1 ç0÷ è ø 取實(shí)解： c2 = 1 æ 1ö 1 ç ÷ = ç 0÷ 2ç ÷ è 1ø 測(cè)驗(yàn)題 1、非簡(jiǎn)并微擾論能實(shí)際應(yīng)用的條件是什么？并說明其物理意義。對(duì)于連續(xù)譜 的情況，收斂性條件是否滿足？為什么？此條件能否適用于簡(jiǎn)并情況？ 2、從數(shù)學(xué)的角度，怎么定義一個(gè)體系是微擾的還是非微擾的？ 3、在定態(tài)微擾論中，為什么要分為非簡(jiǎn)并和簡(jiǎn)并兩類問題討論？試從物理圖像和數(shù)學(xué)適 用條件說明之。 4、有人說：“近似計(jì)算方法