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文檔簡介

1、1. 在區(qū)間內用線性函數近似代替,試求使得積分取得最小值.分析：利用含參量積分及求極值的方法。令解： 要使得積分取最小值,即要求 (*)從而=.=.從而(*)式可化為解之得 又，且，因此在點取得極小值又因處處存在偏導數，故為的唯一極值點，從而在，時取最小值2. 設,其中與為上的連續(xù)函數.證明.分析：根據的表達式，將積分表示成，再對u(x)求導數。證明： ,將函數改寫為= 從而=故.3. 求函數分析：注意利用變量代換t=的不連續(xù)點,并作函數的圖象.解： 當,即時,有=.當,即時,有=.當,即時,有.所以函數的不連續(xù)點是的圖象如圖.4. 證明:若在時一致收斂于,且對任何一致地成立,則.分析：通過先

2、證形式的積分收斂得到相應的證明，多次用到一致收斂的定義和積分收斂及極限的定義。證明： 先證積分收斂.因在時一致收斂,所以對任給的,存在,對 和一切,有.又對任意的一致收斂于因此對,存在,對一切和,有.從而+因此,積分收斂.再證首先,有= (1) 由一致收斂于知, 對任給的,存在,對一切和一切,有. (2)由收斂,對上述,存在,當時 (3)取定,從而(3),(2)都成立.再由知,對,存在,當時對一. (4)從而.由(1)-(4)知:對一切的,有.因此.5. 設為二階可微函數,為可微函數.證明函數滿足弦振動方程及初值條件.分析：先驗證滿足初值條件，再證明成立。證明： 因為=+=+,所以=+=.=+=+ . (1)因為=+,所以=+ (2)對比(1)(2)兩式得:.6. 證明:(1);(2) ,.分析：本題用到lnx 的泰勒展開式及第十四章§14.1習題3的結論證明: (1)因,所以根據§14.1習題3的結論得

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