材料力學(xué)小論文

1、材料力學(xué)小論文圓形薄板小撓度不同約束下的撓度計(jì)算分析12151196 梁桐1 背景在材料力學(xué)課程中，第七章主要內(nèi)容是梁的彎曲變形，通過對(duì)梁進(jìn)行有限元分析，導(dǎo)出了梁在不同約束、不同受力情況下的小撓度公式。但是在實(shí)際的工程應(yīng)用中，還有另外一種比較常見的情況薄板的受力，書中沒有討論。本文將就一種特殊情況，即圓形薄板受均布載荷情況下的小撓度計(jì)算分析。2 建模計(jì)算分析2.1 圓形薄板的受力模型及其基本假設(shè)查閱相關(guān)資料，并結(jié)合書本知識(shí)，先討論均布載荷為橫向軸對(duì)稱的情況，并做出如下基本變形假設(shè)：1) 板彎曲時(shí)其中面保持中性，即板中面內(nèi)各點(diǎn)無伸縮和剪切變形，只有沿中面法線的撓度，只有橫向力載荷；2) 變形前位

2、于中性面法線上的各點(diǎn)，變形后仍位于彈性曲面的同一法線上，且法線上各點(diǎn)間的距離不變；3) 平行于中性面的各層材料互不擠壓，即板內(nèi)垂直于板面的正應(yīng)力較小，可忽略不計(jì)。則據(jù)此，使用有限元法可以推得受軸對(duì)稱橫向載荷圓形薄板小撓度彎曲微分方程為：d3wdr3+1rd2wdr2-1r2dwdr=FsD或ddr1rddrrdwdr=FsD其中Fs為距圓心距離為r處的橫向剪力，對(duì)D有：D=Eh312(1-2)其中h為圓形薄板的厚度，為材料的泊松比。2.2 圓形薄板內(nèi)力計(jì)算和撓度、轉(zhuǎn)角方程將圓形薄板加上集度為q的均布載荷，如圖所示：則由靜力學(xué)平衡方程有：Fs=qr2帶入撓度微分方程有：ddr1rddrrdwdr

3、=qr2D對(duì)上式中的變量r連續(xù)三次積分得：w=qr464D+C1r24+C2lnr+C3由于r=0處的w應(yīng)該為有限值，則應(yīng)該有C2=0，最終得到：w=qr464D+C1r24+C3并由此可以得到：=dwdr=qr316D+C1r2其中C1、C3需由邊界調(diào)節(jié)確定。3 幾種不同約束條件下的計(jì)算3.1 圓周處為固定支座由于圓周處的約束為固定支座，不允許有撓度和轉(zhuǎn)角，則有邊界條件r=R w=0 =0則帶入撓度、轉(zhuǎn)角方程得積分常數(shù)：C1=-qR28D C3=qR464D所以有圓周固定支座的轉(zhuǎn)角、撓度方程為：=-qr16D(R2-r2)w=q64D(R2-r2)23.2 圓周處為簡單支座（不約束轉(zhuǎn)角）此時(shí)

4、有約束條件：r=R M=0因?yàn)閐2wdr2=MD則有全部約束條件為：r=R w=0 d2wdr2=0將邊界條件帶入得：w=q64Dr4-6r2R2+5R4=q16Dr3-3R2r3.3 圓心處為固定或簡單支座若為固定支座，此時(shí)有約束條件：r=0 w=0 =0若為簡單支座，有約束條件：r=0 w=0 d2wdr2=0但是帶入方程中無法解出積分常數(shù)，所以考慮特殊的方法。因?yàn)?.2中的圓周處為簡單支座的情況下，圓周處不限制轉(zhuǎn)角，這與圓心處有約束的情況相同，則用可以得到這兩種圓心約束的情況下，撓度、轉(zhuǎn)角方程的值與3.2中互為相反數(shù)。4 分析與總結(jié)4.1 受均布載荷的圓形薄板不同約束下的撓度因?yàn)閳A心的約束情況可以等效于圓周簡單支座約束，所以本部分只討論前兩種約束的撓度。固定支座時(shí)，最大撓度在中心，為：wmax=qR464D簡單支座時(shí)，最大撓度在中心，為：wmax=5qR464D4.2 結(jié)果分析1) 可見固定支座時(shí)的最大撓度要小于簡單支座時(shí)的情況，所以若要減小變形，應(yīng)采用固定支座的約束形式，工程中一般使用的都是介于固定和簡單之間的約束。2) 在板材的材料和載荷都確定的情況下，減小半徑和增加板的厚度都能夠減小撓度，從而減小變形。4.3 總結(jié)本文通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)得到受均布載荷圓形薄板撓度的相關(guān)計(jì)算公式，再應(yīng)用到兩種簡單的