概率論：二維隨機變量的函數(shù)的分布

1、二、離散型隨機變量函數(shù)的分布二、離散型隨機變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 四、小結(jié)四、小結(jié)一、問題的引入一、問題的引入第五節(jié)兩個隨機變量的函數(shù)的分布第五節(jié)兩個隨機變量的函數(shù)的分布.,),(,的分布的分布分布確定分布確定的的如何通過如何通過的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系與與并且已知并且已知表示該人的血壓表示該人的血壓年齡和體重年齡和體重分別表示一個人的分別表示一個人的和和令令有一大群人有一大群人ZYXYXgZYXZZYX 為了解決類似的問題下面為了解決類似的問題下面我們討論隨機變量函數(shù)的分布我們討論隨機變量函數(shù)的分布.一、問題的引入一、問題的引入二、離散型隨機變量函

2、數(shù)的分布二、離散型隨機變量函數(shù)的分布 設(shè)設(shè)(X,Y)(X,Y)為二維離散型隨機變量，為二維離散型隨機變量， 則函數(shù)則函數(shù)是一維離散型隨機變量是一維離散型隨機變量若已知若已知(X,Y)(X,Y)的分布律，的分布律，如何得到如何得到的分布律的分布律? ?),(YXgZ ),(YXgZ 例例1 1 設(shè)二維設(shè)二維r.v.( X,Y )的概率分布為的概率分布為X Y pij -1 1 2-1 04161418112181求求XYXYYXYX,的概率分布的概率分布解解 根據(jù)根據(jù)( X,Y )的聯(lián)合分布可得如下表格的聯(lián)合分布可得如下表格：P 4141618181121 X +Y X -Y X Y Y / X

3、 ( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0故得PX+Y-2 -1 0 1 241414161121PX - Y-1 0 1 2 34141418181PX Y-2 -1 0 1 6141812411PY /X-1 -1/2 0論結(jié)論的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布律律為為若若二二維維離離散散型型隨隨機機變變量量, 2, 1, jipyYxXPijji的分布律為的分布律為則隨機變量函數(shù)則隨機變量函數(shù)),(YXgZ )

4、,(kkzYXgPzZP ., 2, 1 ,)( kpjikyxgzij例例 2 設(shè)兩個獨立的隨機變量設(shè)兩個獨立的隨機變量 X 與與 Y 的分布律為的分布律為XXP317 . 03 . 0YYP424 . 06 . 0求隨機變量求隨機變量 Z=X+Y 的分布律的分布律.,jijiyYPxXPyYxXP 得得YX421318. 012. 042. 028. 0因為因為 X 與與 Y 相互獨立相互獨立, 所以所以解解可得可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P18. 012. 042. 028. 0YXZ 3557所以所以YXZ P35718. 054. 028. 0YX42131

5、8. 012. 042. 028. 0q 設(shè)設(shè) X B (n1, p), Y B (n2, p), 且獨立，且獨立，具有可加性的兩個離散分布具有可加性的兩個離散分布q 設(shè)設(shè) X P ( 1), Y P ( 2), 且獨立，且獨立，則則 X + Y B ( n1+n2, p)則則 X + Y P( 1+ 2) 證明過程見證明過程見73頁例頁例3.21 問題問題 已知二維隨機變量已知二維隨機變量( X ,Y )的密度函數(shù)，的密度函數(shù)， g(x,y)為已知的二元函數(shù)，為已知的二元函數(shù)，求求 Z= g( X ,Y ) 的密度函數(shù)的密度函數(shù). .方法方法q 從求從求Z 的分布函數(shù)出發(fā)的分布函數(shù)出發(fā),將將

6、Z 的分布函數(shù)的分布函數(shù) 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為( X ,Y )的事件的事件三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布主要形式連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布主要形式的分布的分布YXZ )1(的的分分布布及及),min(),max()2(YXNYXM 這里這里X,Y相互獨立。相互獨立。 設(shè)設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機向量，具有概率密度為連續(xù)型隨機向量，具有概率密度f(x,y)，又又Z=g(X,Y)(g(x,y)為一已知的連續(xù)函數(shù)為一已知的連續(xù)函數(shù))。大部分情。大部分情況下，況下，Z是一連續(xù)型隨機變量。是一連續(xù)型隨機變量。),()(zYXgPzZPzFZ dxdyyxfzyxg

7、),(),( 為求為求Z的概率密度，可先求出的概率密度，可先求出Z的分布函數(shù)的分布函數(shù)1. 和分布：和分布：Z=X+Y 的分布的分布 求解過程中，關(guān)鍵在于將事件求解過程中，關(guān)鍵在于將事件Zz等價地轉(zhuǎn)化為等價地轉(zhuǎn)化為用用(X,Y)表示的事件表示的事件g(X,Y) z=(X,Y) ,其其中中 。zD ),(),(zyxgyxDz yxyxfzyxdd),( yux yxyxfyzdd),( yuyyufzdd),( .dd),(uyyyufz zzx +y= z 設(shè)設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，現(xiàn)求，現(xiàn)求Z=X+Y的概的概率密度。令率密度。令 ，則，則Z的分布函數(shù)為的分

8、布函數(shù)為),(zyxyxDz )(zYXPzZPzFZ zDdxdyyxf),( zyzduyyufdxyxf),(),(由此可得概率密度函數(shù)為由此可得概率密度函數(shù)為.d),()( yyyzfzfZ.d),()(xxzxfzfZ 由于由于 X 與與 Y 對稱對稱, 當當X, Y獨立時獨立時, ,也也可可表表示示為為)(zfZ( )()( )dZXYfzfzy fyy( )( )() dZXYfzfxfzxx或卷積公式卷積公式XYff記作XYff記作稱之為函數(shù)稱之為函數(shù) f X 與與 f Y 的的卷積卷積 ),(21)(22xexfxX所以由卷積公式得所以由卷積公式得Z=X+Y概率密度為概率密度

9、為 解因為解因為X,Y獨立且其概率密度分別為獨立且其概率密度分別為dxxzfxfzfYXZ)()()(dxeexzx2)(22221),(21)(22yeyfyY1、考慮被積函數(shù)的非零區(qū)域、考慮被積函數(shù)的非零區(qū)域; 2、z在在(-,+)上取值上取值; 3、x在在(-,+)上積分上積分; 4、在、在xoz系中綜合上述各點確系中綜合上述各點確定定z的分段情形的分段情形.dxeezxz22)2(4214221ze2zxtdteetz2242122)2(2221ze所以所以ZN(0,2).).( z說明說明).,(,).,(),(,222121222211NZYXZNYNXYX 且有且有仍然服從正態(tài)分

10、布仍然服從正態(tài)分布則則相互獨立且相互獨立且設(shè)設(shè)一般一般 有限個有限個相互獨立相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布仍然服從正態(tài)分布. 正態(tài)隨機變量的結(jié)論正態(tài)隨機變量的結(jié)論（定理（定理3.13.1）q 若若X ,Y 相互獨立相互獨立,),(),(222211NYNX則則),(222121NYXniNXiii, 2 , 1),(2 若若nXXX,21相互獨立相互獨立則),(1211niiniiniiNX推廣推廣 解因為解因為X,Y獨立獨立,所以所以和分布和分布概率密度可由概率密度可由卷卷 積公式積公式計算計算: 計算積分計算積分思路思路:1.被積函數(shù)非零區(qū)域被積函

11、數(shù)非零區(qū)域;2. z取任意實取任意實 數(shù)數(shù);3.x在在(-,+)上積分上積分;4.綜合上述就綜合上述就z分段分段., 0,100,5010)(其它xxxfX 由邊緣概率密度確定由邊緣概率密度確定 的表達式的表達式, 特別是其非零區(qū)域特別是其非零區(qū)域 : )()(xzfxfYX由題目條件得由題目條件得:, 0,100,50)(10)(其它xzxzxzfY, 010,100,50)(105010)()(其其它它xzxxxzxxzfxfYX故得故得: 計算卷積計算卷積: 函數(shù)自變量為函數(shù)自變量為z,積分變量為積分變量為x,當當z取值范圍確取值范圍確 定后定后,x由由-積分至積分至+ (只需在非零區(qū)域

12、內(nèi)一段上積只需在非零區(qū)域內(nèi)一段上積 分分).zZdxxzxzf050105010)( zdxxzxz02)10100(25001100 z150006060032zzz 2010 z101050105010)(zZdxxzxzf15000)20(3z10102)10100(25001zdxxzxz200zz或或, 0)()(xzfxfYX因為因為所以所以. 0)(zfZ.0,2010,15000)20(,100,1500060600)(332其它zzzzzzzfZ綜上可得綜上可得: 參照參照D就就z在在(-,+)上進行分段上進行分段; 對上述各分段中取定的對上述各分段中取定的z值值,就就x從從

13、- 積分至積分至 +,實際只需在非零區(qū)域?qū)嶋H只需在非零區(qū)域D上一段積分上一段積分. 卷積計算思路卷積計算思路 在在xoz平面上確定被積函數(shù)及其非零區(qū)域平面上確定被積函數(shù)及其非零區(qū)域D; dxxzfxfzfYXZ)()()(注意：上述也是一般參量積分的計算方法。注意：上述也是一般參量積分的計算方法。練習(xí)練習(xí) 若若 X 和和Y 獨立獨立, 具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度 . 其它其它, 010, 1)(xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解解 由卷積公式由卷積公式 其它其它, 01, 10, 1)()(xzxxxzfxfYXzx zxOz1zx21

14、1zz1z 暫時固定暫時固定 0.Zfz 故故 當當 或或 時時 ,0z 2z 0zZfzdx 當當 時時 ,01z12z當當 時時 ,z 11Zzfzdx 2 z 于是于是 ,01,2,12,0 ,.Zzzfzzz 其其它它 dxxzfxfzfYXZ)()()(的分布函數(shù)的分布函數(shù)與與現(xiàn)在求現(xiàn)在求的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為設(shè)設(shè)NMyxFYX),(),(),(, ),max()(zzFzYzXPzYXPzMPzFM ).,()()( 11 ,1),min(1 ),min()(zzFzFzFzzFzFzFzYzXPzYXPzYXPzNPzFYXYXN ，.,)(),(的的邊邊緣緣分分布布函函數(shù)數(shù)分

15、分別別為為YXyFxFYXXY當 與 獨立時有的分布的分布及及),min(),max(. 2YXNYXM ),()()(maxzFzFzFYX ).(1)(11)(minzFzFzFYX 推廣推廣的的分分布布函函數(shù)數(shù)分分別別為為及及則則),min(),max(2121nnXXXNXXXM ),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX ), 2, 1()(,21nixFnXXXiXni 它們的分布函數(shù)分別為它們的分布函數(shù)分別為量量個相互獨立的隨機變個相互獨立的隨機變是是設(shè)設(shè)).(1)(1)(11)(21minzFzFzFzFnXXX 則則分布函數(shù)分布函數(shù)相互獨立且具有相同的相互獨立且具有

16、相同的若若,)(,21xFXXXn,)()(maxnzFzF .)(11)(minnzFzF .),(iii),(ii),(i),2121如圖所示如圖所示開始工作開始工作系統(tǒng)系統(tǒng)損壞時損壞時當系統(tǒng)當系統(tǒng)備用備用并聯(lián)并聯(lián)串聯(lián)串聯(lián)連接的方式分別為連接的方式分別為聯(lián)接而成聯(lián)接而成統(tǒng)統(tǒng)由兩個相互獨立的子系由兩個相互獨立的子系設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)LLLLLXY1L2LXY2L1LXY2L1L例例度分別為度分別為已知它們的概率密已知它們的概率密的壽命分別為的壽命分別為設(shè)設(shè),21YXLL , 0, 0, 0,e)(xxxfxX由由解解串串聯(lián)聯(lián)情情況況(i),21就停止工作就停止工作系統(tǒng)系統(tǒng)中有一個損壞時中有一個損壞

17、時由于當由于當LLL的壽命為的壽命為所以這時所以這時 L).,min(YXZ .0, 0的的概概率率密密度度的的壽壽命命接接方方式式寫寫出出試試分分別別就就以以上上三三種種聯(lián)聯(lián)且且其其中中ZL , 0, 0, 0,e1)(xxxFxX , 0, 0, 0,e)(xxxfxX , 0, 0, 0,e)(yyyfyY ; 0, 0, 0,e)(yyyfyY由由 . 0, 0, 0,e1)(yyyFyY)(1)(11)(minzFzFzFYX . 0, 0, 0,e1)(zzz . 0, 0, 0,e )()()(minzzzfz的壽命為的壽命為所以這時所以這時 L).,max(YXZ 的分布函數(shù)為

18、的分布函數(shù)為),max(YXZ )()()(maxzFzFzFYX . 0, 0, 0),e1)(e1(zzzz . 0, 0, 0,e )(ee)()(maxzzzfzzz并聯(lián)情況并聯(lián)情況(ii),21才停止工作才停止工作系統(tǒng)系統(tǒng)都損壞時都損壞時由于當且僅當由于當且僅當LLL,21才開始工作才開始工作系統(tǒng)系統(tǒng)損壞時損壞時由于這時當系統(tǒng)由于這時當系統(tǒng)LL即即兩者之和兩者之和是是的壽命的壽命因此整個系統(tǒng)因此整個系統(tǒng),21LLZLYXZ 的概率密度為的概率密度為時時當當YXZz ,0yyfyzfzfYXd)()()( zyyzy0)(dee zyzy0)(dee備備用用的的情情況況(iii), 0

19、)(,0 zfz時時當當?shù)母怕拭芏葹榈母怕拭芏葹橛谑怯谑荵XZ . 0, 0, 0,ee )(zzzfzz.ee zz 需要指出的是，當需要指出的是，當X1,Xn相互獨立且具有相相互獨立且具有相同分布函數(shù)同分布函數(shù)F(x)時時, 常常稱稱M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)為極值為極值 . 由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實用等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實用價值價值. 小小 結(jié)結(jié)1. 離散型隨機變量函數(shù)的分布律離散型隨機變量函數(shù)的分布律的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布律律為為若若二二維維離離散散型型隨隨機機變變量量, 2, 1, jipyYxXPijji的的分分布布律律為為則則隨隨機機變變量量函函數(shù)數(shù)),( YXgZ ),(kkzYXgPzZP ., 2, 1 ,)( kpjikyxgzij2. 連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布的分布的分布YXZ )1(的的分分布布及及),min(),max()2(YXNYXM 這里這里X,Y相互獨立。相